【教学课件】第三章控制系统的稳定性分析.ppt

第三章 控制系统的稳定性分析,稳定的重要性：控制系统正常工作的前提条件！,判断方法：,（1）SISO线性定常系统：Routh判据,Hurwith判据,Nyquist判据等；（应用场合？）,（2）MIMO系统、时变系统、非线性系统：Liaponov稳定性理论！,3.1 李雅普诺夫意义下的稳定性,基本概念：,平衡状态：,设系统状态方程为（？）：如果对所有t，总存在着则称xc为系统的平衡状态。,平衡的物理含义？！(x1,x2,xn=?)扰动作用？xc=？平衡点数？（线性定常，时变，非线性）,式中：,如果对于任意选定的实数，都存在另一实数，使得当 时，随着时间的无限推移，恒有，则称系统的平衡状态xc为稳定的。,李雅普诺夫稳定性与平衡状态的区别？稳定条件（引力域）？使用价值？,李雅普诺夫稳定性：,含义？,如果系统的平衡状态xc为稳定的，并且当 时，由初始状态引起的系统响应x(t)趋近于xc，则称系统的平衡状态为渐近稳定的。,渐近稳定性：,如果系统的平衡状态xc是渐近稳定的，并且其引力域包括整个状态空间，则称系统的平衡状态为大范围渐近稳定的，或称全局渐近稳定。必要条件：只有一个平衡状态！,不稳定性：无论实数 选得多小，由初始状态引起的系统相应随时间的增长都要脱离球域S(），则此平衡状态是不稳定的。,大范围渐近稳定性：,系统稳定图示：,3.2 李雅普诺夫稳定性理论,3.2.1 李雅普诺夫第一法,设系统状态方程为：,将 f(x,t)在系统的平衡状态xc附近展开为泰勒级数（？），得：,式中：g(x)为级数展开中的高次项；为函数f(x,t)的雅可比矩阵。,为一nn常系数矩阵。,级数展开式的一次项近似式，即为系统的线性化方程：,上式的解为：,若系统是渐近稳定的，需：,即：,显然，只有当A的特征值具有负实部才成立。,李雅普诺夫第一法：若系统线性化方程的系统矩阵A的所有特征值都具有负实部，则无论高次项g(x)如何，系统的平衡状态都是渐近稳定的；若系统矩阵A的特征值中有一个或以上的特征值具有正实部，则无论高次项g(x)如何，系统的平衡状态都是不稳定的；若系统矩阵A的特征值中有一个或多个为零，其余的特征值都具有负实部，则系统平衡状态的稳定性取决于高次项g(x)；对于线性定常系统，g(x)0；当系统矩阵A的特征值中有零、其余的特征值都具有负实部时，系统的平衡状态处于稳定的临界状态。,李雅普诺夫第一法又称间接法，或一次近似法。局限性：需线性化处理、与高次项有关。,习题1：,问题：无法求出特征根？零根？多平衡点？时变？,3.2.2 李雅普诺夫第二法,标量函数(scalar function)的正定性：,设V(x)为向量x的标量函数，是包含状态空间原点在内的封闭的有限区域。,不定函数：如果在域内，V(x)有时为正，有时为负，则称V(x)为不定函数。,正半定函数：如果当 时，其余条件同上，则称标量函数V(x)在内为正半定函数。,正定函数：若标量函数V(x)对于向量x的各分量有连续偏导数，且当，V(x)0；在x=0处，V(x)0，则称标量函数V(x)在内为正定函数。,负定（负半定）函数：如果V(x)是正定（正半定）函数，则称V(x)为负定（负半定）函数；,习题：,二次型函数：,符合下述关系的V(x)称为二次型函数：,或：,式中P为实对称矩阵。,Sylvester准则：,二次型函数V(x)为正定函数的充要条件是矩阵P的所有主子行列式为正，即：,判别V(x)负定的另一方法：P的主子行列式满足（i为奇数），（i为偶数），i=1,2,n,为何用二次型函数？（分析n=1,2,3,),若P为奇异矩阵，并且其它各阶主子行列式为非负的，则V(x)为正半定函数。如果V(x)为正定的，则V(x)为负定的。,李雅普诺夫第二法：,设系统状态方程为：Xc=0为其平衡状态。如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数V(x,t)，并且满足下列条件：（1）V(x,t)是正定的；（2）是负定的(对谁的导数？）；那么系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。称V(x,t)为李雅普诺夫函数。如果随着，函数，则在原点处的平衡状态是大范围内渐近稳定的。,定理1：,上面条件是充分条件，不是必要条件！对渐近稳定的平衡状态，相应的李雅普诺夫函数总是存在的。第二法适用范围：普遍方法！,设系统状态方程为：Xc=0为其平衡状态。如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数V(x,t)，并且满足下列条件：（1）V(x,t)是正定的；（2）是负半定的；,定理2：（条件放宽）,（3）对于任意的初始时刻t0和任意的初始状态x(t0)在 时，除了在x=0时，外，不恒为零，那么系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。如果随着，函数，则在原点处的平衡状态是大范围内渐近稳定的。,定理3：（系统稳定条件）,设系统状态方程为：Xc=0为其平衡状态。如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数V(x,t)，并且满足下列条件：（1）V(x,t)是正定的；（2）是负半定的；,则系统在原点处的平衡状态是稳定的。,定理4：（系统不稳定条件）,设系统状态方程为：Xc=0为其平衡状态。如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数V(x,t)，并且满足下列条件：（1）V(x,t)是正定函数；（2）也是正定函数；则系统在原点处的状态是不稳定的。,如果除原点外，不恒等于零，则定理（4）第二条可改为正半定函数。,关键：如何确定一个李雅普诺夫函数？,3.3 线性系统李雅普诺夫稳定性分析,3.3.1 线性定常系统稳定性分析,3.3.1.1 线性定常连续系统渐近稳定判据,线性定常连续系统状态方程为：,假设A是非奇异的，则唯一的平衡状态在原点x=0处。,选李雅普诺夫函数为：,P为正定的实对称矩阵(待求)。,对李雅普诺夫函数求导，得：,由定理1，若要求系统是渐近稳定的，Q应为负定的。,定理5：线性定常系统稳定的充要条件是：对于任意给定的对称正定矩阵Q，都存在一个对称正定矩阵P，使得，则 即为所求的李雅普诺夫函数。如果给定的Q是正半定的，则要求 不恒等于零。,习题1：,称为李雅普诺夫方程。,应用时，常令QI。（为何？）线性定常系统稳定性与谁有关？,习题2：,习题3：,试确定系统稳定时k值。假定：,3.3.1.2 线性定常离散系统渐近稳定判据,线性定常离散系统状态方程为：,定理6：线性离散系统是大范围内渐近稳定的充要条件是：对于任意给定的对称正定矩阵Q，都存在一个对称正定矩阵P，使得，则系统的李雅普诺夫函数为,应用时，常令QI。若 不恒等于零，Q也可取为正半定的。,习题：试确定系统大范围稳定条件。,3.3.2 线性时变系统稳定性分析,定理7：线性时变系统在平衡点xc=0处大范围渐近稳定的充要条件是：对于任意给定的连续对称正定矩阵 Q(t)，存在一个连续对称正定矩阵P(t)，使得，则系统的李雅普诺夫函数为,取不同的Q，结果不一样！如何处理这种情况？,当取Q(t)I 时，,式中：,3.4 非线性系统李雅普诺夫稳定性分析,3.4.1 概述,到目前为止，没有普适的方法！,多平衡点确定、平衡域确定，非线性系统稳定性问题远比线性系统复杂！非线性稳定特点：局部性！大范围内不是渐近稳定的，可能局部稳定；局部不稳定不能说明系统不稳定。已成熟理论：特殊李雅普诺夫函数、特殊的非线性问题。,3.4.2 变量梯度法,设系统状态方程为：,基本思想：,其平衡状态在坐标原点。若系统存在李雅普诺夫函数，则其梯度为：,全导数为：,对上式积分，得：,根据矩阵积分定理，在一定条件下，有：,因积分结果与路径无关，其旋度应等于零：,即要求下面矩阵是对称的：,共可得 个方程；通常假设 等于一个任意的列向量：,式中aij为待求未知量。通常将ann选为常数或t的函数。,如果非线性系统在平衡状态xc=0是渐近稳定的，可按照下述步骤确定一个李雅普诺夫函数：（1）假定 为上述列向量形式；（2）由 计算；（a）令 是负定的或至少是负半定的；（b）由 个旋度方程确定出 中的待定系数；（c）检验 的负定性；（3）由 求得；（4）确定平衡点处渐近稳定范围。,与定理不同之处？还是遵循李雅普诺夫第二法的基本思想！,习题：,3.4.2 线性近似法（阿依捷尔曼法）,基本思想：用线性关系取代非线性函数。,设非线性系统状态空间表达式为：,式中：A为非奇异常系数矩阵，f(xi)为单值非线性函数，并满足：,将非线性元件特性做线性近似，有：,余下的工作同线性系统处理方法。,3.5 系统参数最优的李雅普诺夫稳定性分析,概述：经典控制论：经验设计，稳定性验证、校正。现代控制论：追求最优系统设计！,基本思想：,设系统状态方程为：,假设A中包含一个或多个可调参数，要求使下列性能指标最小：,式中Q为正定或正半定实对称矩阵。,如何设计出一个系统，既满足上述指标，又能保证系统是稳定的呢？,稳定关键：得到一个合适的P矩阵！问题关键：将最优指标问题与稳定性约束有机结合到一起！,先假设（why?)：,若由此求得的P确实为一正定实对称矩阵，则说明上述假设可行。下面分析一下。,整理上式，得：,比较等式左右两端，得：,上式说明，若给定矩阵A、Q，必存在一个P矩阵。如果计算出的P矩阵经验证还是一个正定的实对称矩阵，则可选 作为李雅普诺夫函数。这样既满足极值条件，又能保证设计出的系统是稳定的。,设A矩阵中有若干个可调节参数r1,r2,，则 J 取极小值充要条件为：,一般情况下，将求得的P代入上面极值条件，就可以求出系统的最优参数。,实际上是将“耗功率”选作了李雅普诺夫函数的导数,一般情况下，系统参数最优值与初始条件有关！当x(0)只包含一个不等于零的分量xi(0)0时，参数最优值可以与xi(0)0无关。,将P矩阵代入性能指标，得：,习题：试确定图示系统中阻尼比的值，使得系统在单位阶跃作用下性能指标J达到极小。,