《维插值方法》PPT课件.ppt
1,第5章 数值逼近模型,5.1节 一维插值方法,2,数值逼近,泛指数学计算问题的近似解法。狭义的理解则专指对函数的逼近,即对于给定的较广泛的函数类F中的函数=(x),从较小的子类H中寻求在某种意义下的一个近似函数h(x)，以便于计算和处理。切比雪夫和威尔斯特拉斯曾于19世纪中后期做了奠基性工作。,3,数值逼近,函数逼近的主要内容有，对于某些特定的被逼近函数类F与逼近函数类H，讨论逼近的可能性，最佳逼近的存在性、特征、惟一性、误差估计以及算法等。它是现代数值分析的基本组成部分，除自身具有独立学科分支的意义外，还可用于构造数值积分、求函数零点、解微分方程和积分方程的近似方法。,4,5.1.1 引言,5,5.1.1 引言,6,下一个数是几？,8 15 10 13 12 11 10()()找规律填数?浏览次数：1190次悬赏分：10|解决时间：2008-2-4 17:02|提问者：kardon100 找规律填数,小学二年级问题,求解!问题补充：请把规律写下吧!,8 15 10 13 12 11 10(13)()8+15=10+13=12+11=10+13=23所以第1空为13所以第2空为8,题目有误吧,后一个10应为14第等单数位依次加2第等双数位依次减2,7,下一个数是几？,找规律说出下一个数是什么并说明理由：1、2、10、42 浏览次数：461次悬赏分：5|提问时间：2010-6-3 19:51|提问者：_迷糊丫頭 答案：A：422 B：420 C 6 D 3,推荐答案 是几都对，这种找规律的题就是垃圾题，没有讨论的价值下面说明为啥是几都对因为题目中已知的项一共有4个，所以构造函数f(n)=a1 n4+a2 n3+a3 n2+a4 n+a5a1,a2,a3,a4,a5都是待确定的常数,8,按题意带入f(1)=1f(2)=2f(3)=10f(4)=42f(5)=?问号代表A,B,C,D选项中的任意一个然后这5个式子组成了一个5元一次方程组解这个方程组就可以知道a1,a2,a3,a4,a5的值对于A,B,C,D的每个选项都有一组a1,a2,a3,a4,a5和它对应所以说A,B,C,D都对,下一个数是几？,9,5.1.1 引言,10,5.1.2 多项式插值,11,5.1.2 多项式插值,12,5.1.2 多项式插值,13,5.1.2 多项式插值,14,5.1.2 多项式插值,15,5.1.2 多项式插值,1线性插值 线性插值也叫两点插值，已知函数y=f(x)在给定互异点x0,x1上的值为y0=f(x0)，y1=f(x1)线性插值就是构造一个一次多项式 P1(x)=ax+b使它满足条件P1(x0)=y0 P1(x1)=y1其几何解释就是一条直线，通过已知点A(x0,y0)，B(x1,y1)。,16,1线性插值,由解析几何，过两点A、B的直线方程可写为：（点斜式）或改写成（对称式）容易验证，P1(x)就是所求的一次多项式，称为f(x)的线性插值多项式。,17,1线性插值,再研究对称式的结构。记 则前式可写为由于,18,1线性插值,因此，l0(x)与l1(x)分别是适合函数表 和的插值多项式。这两个插值多项式称作以x0,x1为结点的基本插值多项式。上式说明，满足条件的一次插值多项式y=P1(x)可以由两个基本插值多项式l0(x)与l1(x)的线性组合来表示。,19,拉格朗日插值公式,设连续函数y=f(x)在a,b上对给定n+1个不同结点：x0,x1,xn分别取函数值 y0,y1,yn其中 yi=f(xi)i=0,1,2,n试构造一个次数不超过n的插值多项式使之满足条件 i=0,1,2,n,20,拉格朗日插值公式,类似地，同构造线性插值的方法，先求n次多项式lk(x)k=0,1,n，使若作出这样的多项式lk(x)，则Pn(x)的次数n，另外，由上式，对i=0,1,2,n即Pn(x)满足插值条件。于是问题归结为具体求出基本插值多项式lk(x)。,21,拉格朗日插值公式,根据基性质，xk以外所有的结点都是lk(x)的根，因此令又由lk(xk)=1，得：,22,拉格朗日插值公式,所以有：即得Pn(x)的表达式上式称为拉格朗日插多项式。,23,5.1.2 多项式插值,24,5.1.2 多项式插值,25,5.1.2 多项式插值,26,5.1.2 多项式插值,27,图5.1 拉格朗日多项式插值的基函数,28,图5.2,29,5.1.2 多项式插值,30,5.1.2 多项式插值,31,5.1.2 多项式插值,32,5.1.2 多项式插值,33,5.1.2 多项式插值,34,5.1.2 多项式插值,35,5.1.2 多项式插值,36,5.1.2 多项式插值,演示：使用函数interpgui和rungeinterp,37,图5.3,38,图5.4,39,5.1.3 分段线性插值,40,5.1.3 分段线性插值,41,5.1.3 分段线性插值,42,图5.5 分段线性插值的基函数,43,5.1.3 分段线性插值,44,5.1.3 分段线性插值,45,5.1.3 分段线性插值,46,5.1.3 分段线性插值,47,5.1.3 分段线性插值,48,图5.5 分段线性插值的基函数,49,图5.6,50,5.1.3 分段线性插值,51,5.1.4 三次样条插值,在生产和科学实验中，对所做的插值曲线即要简单，又要在曲线的连接处比较光滑，即所作的分段插值函数在分段上要求多项式次数低，而在节点上不仅连续，还存在连续的低阶导数我们把满足这样条件的插值函数，称为样条插值函数，它所对应的曲线称为样条曲线，其节点称为样点，这种插值方法称为样条插值。,52,5.1.4 三次样条插值,样条函数是在生产和科学技术实践中产生的。如用方砖砌圆井、条石筑拱桥，这些都是最初的“样条函数”。但是现在因此得名的样条曲线并不是指折线而言，而是放样工人或绘图员借助样条（一种软木或塑料的长条）和压铁给出的那种曲线。这种曲线，在数学上是分段三次多项式的典型代表，它具有良好的力学性质。推而广之，今天把分段多项式，甚至分段解析函数统称为样条函数。,53,5.1.4 三次样条插值,样条函数的应用领域很广，早期在汽车、轮船、飞机制造方面的应和是手工放大样，在计算机的发展日前广泛深入后，它广泛地应用于各种制造业的计算机辅助设计（CAD），各种图形的绘制工作、地理信息系统、实验数据的拟合、以及现在“热门”的计算机动画制作。在样条函数中，应用最广的是三次样条函数。,54,55,56,5.1.4 三次样条插值,57,5.1.4 三次样条插值,58,5.1.4 三次样条插值,59,5.1.4 三次样条插值,60,5.1.4 三次样条插值,在考虑样条插值问题的时候，首先一个问题就是满足条件的样条函数是否存在？令 i=0,1,2,n根据三次样条函数的定义，在每一个小区间xi-1,xi i=1,n 上都是三次多项式，所以S(x)在 xi-1,xi上的表达式为：其中,61,5.1.4 三次样条插值,将S(x)两次积分得：其中Ai和Bi为积分常数，,62,5.1.4 三次样条插值,由插值条件Mi需满足方程：,63,5.1.4 三次样条插值,由此解得所以,64,5.1.4 三次样条插值,只要知道了诸Mi，S(x)的表达式也就完全确定了。微分S(x)的表达式得而,65,5.1.4 三次样条插值,于是由一阶导数在节点处连续 得,各项除以hi+hi+1，并记，则上式可写为n 1个内点有n 1个方程，有n+1个未知量Mi。为确定Mi(i=0,1,n)还需加上两个端点条件（边界条件）。,67,5.1.4 三次样条插值,端点条件端点条件形式很多，这里仅给出常用的两种。1）给定，补充方程组的第一个和最后一个方程。若取M0=Mn=0，称为三次自然样条。,68,5.1.4 三次样条插值,2）给定两端点导数值即有整理得,69,方程组的求解,经补充后的方程组为对端点条件（1），有,70,方程组的求解,对端点条件（2）有,71,方程组的求解,最终得到的方程组是一个三对角方程组，可用追赶法求解，因为i+i=1，i 0,i 0,0=i=1，故系数矩阵严格对角占优，从而存在唯一解。求出了Mi(i=0,1,n)，也就求得了S(x)在各个小区间的表达式Si(x)（i=0,1,2,n）,72,5.1.4 三次样条插值,73,5.1.4 三次样条插值,74,5.1.4 三次样条插值,75,5.1.4 三次样条插值,76,5.1.4 三次样条插值,77,78,79,5.1.4 三次样条插值,80,5.1.4 三次样条插值,81,5.1.4 三次样条插值,82,插值问题的发展,直接使用多项式基求解系数计算困难，求到系数后求值、微分、积分方便使用拉格朗日插值基函数求解系数简单，插值函数的求值、微分、积分复杂两种方法的共同缺点：高次插值多项式在非插值点误差较大，不适宜做外推原因分析：所采用的基函数是全局的,83,插值问题的发展,解决的方法：采用分段低次插值多项式分段线性插值多项式构造简单光滑性差在每个分段使用较高次的多项式三次样条函数,84,5.1.5 三次样条的MATLAB实现,Cubic spline interpolation,85,5.1.5 三次样条的MATLAB实现,86,5.1.5 三次样条的MATLAB实现,clamped:夹紧的，夹持的,87,5.1.5 三次样条的MATLAB实现,88,5.1.5 三次样条的MATLAB实现,89,5.1.5 三次样条的MATLAB实现,90,5.1.5 三次样条的MATLAB实现,91,5.1.5 三次样条的MATLAB实现,92,图5.7,93,5.1.5 三次样条的MATLAB实现,94,5.1.5 三次样条的MATLAB实现,95,5.1.5 三次样条的MATLAB实现,96,5.1.5 三次样条的MATLAB实现,97,5.1.5 三次样条的MATLAB实现,98,图5.8,99,5.1.5 三次样条的MATLAB实现,100,5.1.5 三次样条的MATLAB实现,101,5.1.5 三次样条的MATLAB实现,102,5.1.5 三次样条的MATLAB实现,103,5.1.5 三次样条的MATLAB实现,
