《追及与相遇问题》PPT课件.ppt

123n,追及与相遇问题,1、追及与相遇问题的实质：,2、理清三大关系：,两者速度相等。它往往是物体间能否追上或（两者）距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。,研究的两物体能否在相同的时刻到达相同的空间位置的问题。,时间关系、速度关系、位移关系。,3、巧用一个条件：,1.物理分析法：抓好“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题中的隐含条件，在头脑中建立起一幅物体运动关系的图景。2.数学分析法：设相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于t的方程（通常为一元二次方程），用判别式进行讨论，若0，即有两个解，说明可以相遇两次；若=0，说明刚好追上或相遇；若0，说明追不上或不能相碰。3.图象法：将两者的速度时间图象在同一坐标系中画出，然后利用图象求解。4.相对运动法：巧妙地选取参照系，然后找两物体的运动关系。,解答追及、相遇问题常用的方法,(1)速度小者追速度大者,1.在解决追及相遇类问题时，要紧抓“一图三式”，即：过程示意图，时间关系式、速度关系式和位移关系式，另外还要注意最后对解的讨论分析。2.分析追及、相遇类问题时，要注意抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”“恰好”“最多”“至少”等，往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件。,解题思路,分析两物体运动过程,画运动示意图,找两物体的关系式,列方程求解,(1)汽车一定能追上自行车吗？若能追上，汽车经多长时间追上？追上时汽车的瞬时速度多大？,例3一辆汽车以3 m/s2的加速度开始启动的瞬间，另一辆 以6 m/s的速度做匀速直线运动的自行车恰好从汽车的旁边通过,(2)当v汽v自时，两者距离如何变化？汽车追上自行车前多长时间与自行车相距最远？此时的距离是多大？(3)画出两车运动的vt图象，并试着用图象法解上述两问题,例3一辆汽车以3 m/s2的加速度开始启动的瞬间，,解：,汽车:,例3一辆汽车以3 m/s2的加速度开始启动的瞬间，另一辆 以6 m/s的速度做匀速直线运动的自行车恰好从汽车的旁边通过,(1)汽车一定能追上自行车吗？若能追上，汽车经多长时间追上？追上时汽车的瞬时速度多大？,(2)当v汽v自时，两者距离如何变化？汽车追上自行车前多长时间与自行车相距最远？此时的距离是多大？,解：,汽车:,乘客:,(3)画出两车运动的vt图象，并试着用图象法解上述两问题,练一练、甲.乙两车在平直公路上比赛，某一时刻，乙车在甲车前方L111 m处，乙车速度v乙60 m/s，甲车速度v甲50 m/s，此时乙车离终点线尚有L2600 m，如图所示.若甲车加速运动，加速度a2 m/s2，乙车速度不变，不计车长.求：（1）经过多长时间甲.乙两车间距离最大，最大距离是多少？（2）经过多长时间甲乙两车相遇？（3）试通过计算说明到达终点前甲车能否超过乙车？,(2)速度大者追速度小者,说明：表中的x是开始追及以后，后面物体因速度大而比前面物体多运动的位移；x0是开始追及以前两物体之间的距离；t2-t0=t0-t1；v1是前面物体的速度，v2是后面物体的速度。,解：,汽车:,乘客:,此时人和车相距最近,此过程：x人vt42 m8 m,在一条平直的公路上，乙车以10m/s的速度匀速行驶，甲车在乙车的后面做初速度为15m/s，加速度大小为0.5m/s2的匀减速运动，则两车初始距离L满足什么条件时可以使：（1）两车不相遇；（2）两车只相遇一次；（3）两车能相遇两次（设两车相遇时互不影响各自的运动）,例1：一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮起时汽车以3m/s2的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来，从后面超过汽车。试求：汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？,甲、乙两车在一平直道路上同向运动，其v-t图象如图示，图中OPQ和OQT的“面积”分别为x1和x2(x2x1)。初始时，甲车在乙车前方x0处()A.若x0=x1+x2，两车不会相遇B.若x0 x1，两车相遇2次C.若x0=x1，两车相遇1次D.若x0=x2，两车相遇1次,A B C,分析：汽车追上自行车之前，v汽v自时 x变小,解法一 物理分析法,两者速度相等时，两车相距最远。（速度关系）,v汽=at=v自,t=v自/a=6/3=2s,x=v自t at2/2=62 3 22/2=6m,解法二 用数学求极值方法来求解,设汽车在追上自行车之前经过t时间两车相距最远,x=x1x2=v自t at2/2,（位移关系）,x=6t 3t2/2,由二次函数求极值条件知,t=b/2a=6/3s=2s时，x最大,xm=6t 3t2/2=62 3 22/2=6 m,解法三 用相对运动求解更简捷,选匀速运动的自行车为参考系，则从运动开始到相距最远这段时间内，汽车相对参考系的各个物理量为：,初速度 v0=v汽初v自=0 6=6 m/s,末速度 vt=v汽末v自=6 6=0,加速度 a=a汽a自=3 0=3 m/s2,解法四 用图象求解,1）自行车和汽车的v t 图象 如图,由于图线与横坐标轴所包围的面积表示位移的大小，所以由图上可以看出,在相遇之前，在t时刻两车速度相等时，自行车的位移（矩形面积）与汽车位移（三角形面积）之差（即斜线部分）达最大，所以,t=v自/a=6/3=2 s,2）由图可看出，在t时刻以后，由v自线与v汽线组成的三角形面积与标有斜线的三角形面积相等时，两车的位移相等（即相遇）。所以由图得相遇时，t=2t=4 s v=2v自=12 m/s,2什么时候汽车追上自行车，此时汽车的速度是多少？,解：汽车追上自行车时，二车位移相等（位移关系）,则 vt=at2/2,6t=at2/2，t=4 s,v=at=34=12 m/s,思考：若自行车超过汽车2s后，汽车才开始加速。那么，前面的1、2两问如何？,例2：A火车以v1=20m/s速度匀速行驶，司机发现前方同轨道上相距100m处有另一列火车B正以v2=10m/s速度与A火车同方向匀速行驶，A车立即做加速度大小为a的匀减速直线运动。要使两车不相撞，a应满足什么条件？,两车恰不相撞的条件是：两车速度相同时相遇.,由A、B 速度关系：,由A、B位移关系：,方法一：物理分析法,方法二：图象法,代入数据得,若两车不相撞，其位移关系应为,其图像(抛物线)的顶点纵坐标必为正值,故有,方法三：二次函数极值法,代入数据得,不相撞 0,方法四、判别式法：,以B车为参照物，A车的初速度为v0=10m/s，以加速度大小a减速，行驶x=100m后“停下”，末速度为vt=0,以B为参照物,公式中的各个量都应是相对于B的物理量.注意物理量的正负号.,方法五：相对运动法,例3、一车从静止开始以1m/s2的加速度前进，车后相距x0为25m处，某人同时开始以6m/s的速度匀速追车，能否追上？如追不上，求人、车间的最小距离。,一、数学分析法：依题意，人与车运动的时间相等，设为t,当人追上车时，两者之间的位移关系为：,x车+x0=x人,即：at22+x0=v人t,由此方程求解t，若有解，则可追上；若无解，则不能追上。,代入数据并整理得：t212t+50=0,=b24ac=1224501=560,所以，人追不上车。,二、物理分析法在刚开始追车时，由于人的速度大于车的速度，因此人车间的距离逐渐减小；当车速大于人的速度时，人车间的距离逐渐增大。因此，当人车速度相等时，两者间距离最小。,at=v人 t=6s,在这段时间里，人、车的位移分别为：,x人=v人t=66=36m,x车=at2/2=162/2=18m,x=x0+x车x人=25+1836=7m,二、数学分析法,s=1/21t2+25-6t=1/21t2-6t+25,=-140,s,t,例4.在平直公路上有两辆汽车A、B平行同向行驶，A车以vA=4m/s 的速度做匀速直线运动，B车以vB=10m/s的速度做匀速直线运动，当B车行驶到A车前x=7m处时关闭发动机以2m/s2的加速度做匀减速直线运动，则从此时开始A车经多长时间可追上B车？,分析：画出运动的示意图如图所示：,A车追上B车可能有两种不同情况：B车停止前被追及和B车停止后被追及。究竟是哪一种情况，应根据解答结果，由实际情况判断。,解答：设经时间t 追上。依题意：,vBt+at2/2+x=vAt,10t-t2+7=4 t,t=7s t=-1s(舍去),B车刹车的时间 t=vB/a=5s,显然，B车停止后A再追上B。,B车刹车的位移 xB=vB2/2a=102/4=25m,A车的总位移 xA=xB+x=32m,t=xA/vA=32/4=8s,思考：若将题中的7m改为3m，结果如何？,答：甲车停止前被追及,错解：4t=7+10t 2t2,t=-1(舍)t=7,例5.汽车正以10m/s的速度在平直公路上做匀速直线运动,突然发现正前方10m处有一辆自行车以4m/s的速度同方向做匀速直线运动,汽车立即关闭油门,做加速度为6m/s2的匀减速运动,问：汽车能否撞上自行车?若汽车不能撞上自行车，汽车与自行车间的最近距离为多少？,汽车在关闭油门减速后的一段时间内，其速度大于自行车速度，因此，汽车和自行车之间的距离在不断的缩小，当这距离缩小到零时，若汽车的速度减至与自行车相同，则能满足汽车恰好不碰上自行车,分析：画出运动的示意图如图所示,物理分析法 解：（1）汽车速度减到4m/s时运动的时间和发生的位移分别为t=(v自-v汽)/a=（4-10）/(-6）s=1sx汽=（v自2-v汽2）/2a=(16-100)/(-12)=7m这段时间内自行车发生的位移x自=v自t=4m因为 x0+x自x汽所以，汽车不能撞上自行车。汽车与自行车间的最近距离为x=x0+x自x汽=（10+47）m=7m,数学分析法x=x0+x自x汽=(10+4t)-(10t-1/26t2)=3t2-6t+10=-840，无解 不相遇,s,t,典例二,追及类问题,【例2】摩托车先由静止开始以25/16 m/s2的加速度做匀加速运动，后以最大行驶速度 25 m/s匀速运动，追赶前方以15 m/s的速度同向匀速行驶的卡车。已知摩托车开 始运动时与卡车的距离为1 000 m，则：(1)追上卡车前二者相隔的最大距离是多少？(2)摩托车经过多少时间才能追上卡车？,【解析】(1)对摩托车由静止开始匀加速至vm=25 m/s，用时t1=vm/a=16 s。发生位移x1=vm2/(2a)=200 m，显然未追上卡车。则追上卡车前二者共速时，间距最大(如图所示)，即x=x0+x卡-x摩 x摩=v2/(2a)x卡=v v/a 由联立得x=1 072 m。,1.通过运动的分析，找隐含条件 2.利用二次函数求极值的方法 3.因追及相遇问题至少涉及两个物体的运动问题，对描述它们的物理量必须选同一参考系。基本思路是：分别对两物体研究 画出运动过程示意图 列出方程 找出时间关系 解出结果，必要时进行讨论,(2)追上时，由运动情景图(如图所示)分析可知，x摩=x卡+x0 vm2/(2a)+vm(t-t1)=x0+vt 解得t=120 s。,【答案】(1)1 072 m(2)120 s,A、B两辆汽车在笔直的公路上同向行驶。当B车在A车前84 m处时，B车速度为4 m/s，且正以2 m/s2的加速度做匀加速运动；经过一段时间后，B车加速度突然变为零。A车一直以20 m/s的速度做匀速运动。经过12 s后两车相遇。问B车加速行驶的时间是多少？,【答案】6 s,典例三,用图象求解追及问题,【例3】甲、乙两车在公路上沿同一方向做直线运 动，它们的v-t图象如图所示。两图象在 t=t1时 相交于P点，P在横轴上的投影为Q，OPQ的“面积”为S。在t=0时刻，乙车在甲车前面，相 距为d。已知此后两车相遇两次，且 第一次相 遇的时刻为t，则下面四组t和d的组合可能 是()A.t=t1，d=S B.t=(1/2)t1，d=(1/4)S C.t=(1/2)t1，d=(1/2)S D.t=(1/2)t1，d=(3/4)S,D,【解析】甲做匀速运动，乙做匀加速运动，速度越来越大，甲、乙同时异地运动，当t=t1时，乙的位移为S，甲的位移为2S且v甲=v乙，若两者第一次相遇在t=t1时，则由d+S=2S可得d=S。不过不会出现第二次相遇，所以A错误；若两者第一次相遇在t=(1/2)t1时，乙的位移为(1/4)S，甲的位移为S，由d+(1/4)S=S可得d=(3/4)S，所以D正确，B、C错误。,(1)v-t图象中，由于位移的大小可以用图线和坐标轴包围的“面积”表示，因此可以根据“面积”判断物体是否相遇，还可以根据“面积”差判断物体间距离的变化。(2)用图象法求解运动学问题形象、直观，利用运动图象可以直接得出物体运动的速度、位移、加速度，甚至可以结合牛顿第二定律根据加速度来确定物体的受力情况。,甲、乙两车在一平直道路上同向运动，其v-t图象如图示，图中OPQ和OQT的“面积”分别为x1和x2(x2x1)。初始时，甲车在乙车前方x0处()A.若x0=x1+x2，两车不会相遇B.若x0 x1，两车相遇2次C.若x0=x1，两车相遇1次D.若x0=x2，两车相遇1次,A B C,