《珠算除法》PPT课件.ppt

第四章 珠 算 除 法,已知两数之积和其中一个因数，求另一个因数的运算叫除法。除法的算式是：被除数除数商余数珠算术语中将被除数叫做实数，除数叫做法数。珠算除法，应该遵守下面三个基本规则：（1）用除数去除被除数时，应从左到右，先从被除数的最高位除起，依次除到最低位。（2）珠算除法是用大九九口诀乘积递位叠减，是乘法的逆运算（逆位叠减就是每乘一位将乘积退一位减去）。（3）被除数和除数不能交换位置。,除法的分类,除法分基本除法和简捷除法。基本除法又可进一步分为商除法（包括隔位与不隔位商除法），扒皮除法和归除法，其中商除法简便易学，普及率较高；简捷除法可进一步分为定身减除法、定身加除法和省略除法等。,第一节商的定位法,在珠算除法中，随着乘减的继续，被除数逐渐从算盘上消失，最后只有商数（有时还有余数）。商的位数不像在笔算中那么容易看出。所以珠算除法得出商以后，必须定位，才能确定位数。一、公式定位法公式定位法是利用数学公式确定商数数值的一种定位方法，其优点在于事先就可确定商的位数，可使计算者心中有数，按要求位数计算商数，既不多算，也不少算。,设m代表被除数（实数）的位数，n代表除数（法数）的位数，s代表商数的位数。（1）当被除数（实数）的首位数小于除数（法数）的首位数（即不够除）时，商的位数等于被除数的位数m减去除数的位数n，即用公式：mns。（2）当被除数（实数）的首位数大于除数（法数）的首位数（即够除）时，商的位数等于被除数的位数m减去除数的位数n再加1，即用公式：mn1s。（3）当被除数（实数）的首位数与除数（法数）的首位数相等就比较它们的次高位或次次高位，若实数小于法数则用公式，若实数大于法数则用公式。,以上三条可概括为：“实法齐位比，实小法大位相减（mn），实大减后再加1（mn1）”。【例1】13.862.3定位：被除数首位数1，小于除数首位数6，用公式定位。即211（位），商数是正一位数。【例2】6.8732.29定位：被除数首位数6，大于除数首位数3，用公式定位。即1111（位），商数是正一位数。【例3】1211.1110定位：被除数的首位数和除数的首位数都是1，而被除数的首二位数2大于除数的首二位数1，故采用公式定位，即3113（位），商数是正三位数。,二、移档定位法,移档定位法也叫数档定位法。它是按照“等档同向、零位不变”的规则，以除数的位数为准，用向右或向左数档位的办法来确定商数的个位档。不隔位除法下，在整数及带小数除法中只要数一数除数整数有几位，商数的个位就在被除数个位的左边第几档上；在纯小数除法中，除数是负几位，商的个位就在被除数个位挡右边第几档上。如除数是负二位，则商的个位就在被除数个位档右边第二档上；在纯小数除法中，除数是零位时，则被除数的个位档，就是商的个位档。,隔位除法下，由于该法与不隔位除法在置商时相差一个档次，故商的个位应向左多移一档。如除数是正二位，则商的个位应在被除数个位档的左三档上；是负二位，则商的个位就在被除数个位档的右一档上；是零位，则商的个位档应在被除数个位档的左一档上。,三、固定个位档定位法（1）在算盘梁上选好定位部位，然后标上定位标记（小数点和分节号）。（2）不隔位除法用公式（mn）上盘，即被除数位数m，减除数位数n是几位，则从几位档起布被除数，运算后盘上各档算珠所表示的数和梁上所标的分节和小数点照抄写成数，即为所求商数及位数。（3）隔位除法用公式（mn1）上盘。（4）省一除法（定身除法）用公式（mn1）上盘。,第二节 商 除 法,商除法是一种古老的求商法，商除法又可进一步地分为隔位商除法和不隔位商除法。一、隔位商除法（一）隔位商除法的要领1布数为了计算时随时观看除数，作除法时，将除数布于算盘左边，被除数布于算盘右边适当的位置上（一般和除数相隔三、四档以免混淆）。2立商位置被除数与除数同位数相比，大于或等于除数（够除），隔位立商，即在被除数首位数的前二档置商，而当被除的数同位比除数小时（不够除），则挨位置商，即在被除数首位数的前一档置商。归纳起来，立商法则是：够除隔位商，不够除挨位商。,3估商从被除数的首位或前两位与除数首位的比较中看被除的数含几倍除数就进商数几，这一比较方法用乘法大九九口诀进行，但要遵循“宁小勿大”的估商原则。具体做法有以下三种：（1）法首估商法：商除法一般不用整个除数去与被除数比较估商，而是用除数的首数字（法首）去与被除数的一位或两位比较估商，叫法首估商法。（2）法首加1估商法：当除数的首二位数字较大时，用法首估商误差较大，根据估商宜偏小的原则，就应采取法首加1估商法。如45708293156，这时用法首2加1的“3”估商。用“法首加1估商法”估出的商，有时比实商略小，这时可通过补商来调整。（3）法二位估商法：当除数首位是1时，用法首1估商，或用法首加1（1+1=2）估商，都会产生误差，遇到此种情况，用法二位估商一般准确无误。,4运算顺序被除数从首位开始，依次除到末位或所要求的准确度的档位为止。5减积商与除数首位数相乘的积，其十位数从商的右一档减起，个位从右二档减起，除数位次每右移一档，其减积档次也右移一档，除数是第几位，与商的乘积十位数就从商的右边第几档减去，上次减积的个位就是本次减积的十位，依次运算下去。减积过程中注意“指不离档”，以免发生错档。,（二）一位数除法除数是一位数的除法，叫做一位数除法。它是多位数除法的基础。运算时，将商与除数的乘积依次从高位到低位轮减，减积时，如遇到积的十位为0，要占一位，以免错档。,（三）多位数除法除数是两位或两位以上的除法，叫做多位数除法。它与一位数除法的运算原理相同，也需要置数、估商、置商、减积、定位等五个计算步骤。不同的是在估商时，不能只看除数的首位，而要顾及到后面几位。另外，在减积时，要把商与除数各位数字相乘的积，依次从被除数中减去。,（四）多位数除法的补商与退商在多位数除法中要求估商准确，使之不大不小是非常重要的。但是，由于除数的位数较多，要想一次就确商是不容易的。有时估商会过小，有时估商会过大，这时就需要对原商进行调整。其处理方法有以下两种：1补商估商过小，把它改大叫“补商”。当减去估商与除数的乘积后，余数仍大于或等于除数，这说明估商偏小了，应予补商。补商的方法是：“在原商数上补加1，同时在余数中减去一倍除数”。如果余数仍大于或等于除数时，就再补商一次。直至余数小于除数为止，补商的方法可以概括为：“原商补加1，隔位减一倍除数”。,2退商估商大了，而余数小不够减时，将商退下一珠叫“退商”。当被除数在减去估商与除数的乘积时不够减，这说明估商偏大了，应予退商。退商的方法是：“在原商数上减1，同时在余数中，隔位加上已与商乘减过的除数，再用调整过的新商数去乘减除数里未除过的数”。有时会遇到退两次商，不论退几次商，退一次商就要加一次乘减过的除数。退商的方法可以概括为：“原商减去1，隔位加除数”。,二、不隔位商除法不隔位除法，够除时挨位立商，不够除时，将被除数首位数直接改为商数，所以又叫改商除法。它和隔位商除法的运算步骤、方法基本一致，只是在置商、减积和调商时，档次向右移了一位，因而能减少拨珠次数，也利于简便运算。（一）不隔位商除法的要领不隔位商除法在运算过程中，除了立商位置与隔位商除法错一位以外，其他如布数、估商、减积、退商与补商等方法都基本相同。（二）不隔位商除法的立商原则被除数与除数同位数相比，大于或等于除数（够除），挨位立商，即在被除数首位数的前一档置商，而当被除的数同位比除数小时（不够除），则将被除数首位数改为商。归纳起来，其立商原则是：够除挨位商，不够除本位改商。,第三节 其 他 除 法,一、扒皮除法扒皮除法是由金蝉脱壳发展演变来的，是一种“以减代除”的计算方法，对初学者来说极易掌握。做除法时，被除数含几倍除数，就在前档立商为几，并从商数右边被除数中减几次（倍）除数。在减几次（倍）除数时，不用“乘减”，当商为1、2、3时，需隔位减除数一、二、三倍，采用直接减法，即隔位一个一个地直接减几次除数；当商为4、5、6、7时，需隔位减除数四、五、六、七倍，采用减半除法，即下档减除数一半（即隔档的五倍除数），再于隔档进行加、减除数调整的办法进行；当商为8、9时，需隔位减八倍或九倍除数，采用补十整减法，即隔位先分别加一个或二个除数，于商数下档再减一个除数（即隔位的十倍）的办法直接减除数。,二、归除法,归除法也是比较古老的算法之一，属于以口诀求商的基本除法。归除法的口诀有传统口诀和改良口诀之分。归除法分为“归”和“除”两个步骤。一位数除法叫“归”，除数是几就叫归几；多位数除法叫“归除”，即先归后除，如除数486，就叫“四归八六除”。（一）归除法的基本知识1一位数除法古时把除数是一位数的除法，叫归法，也叫单归，是由于它只归不除。“归”就是它归纳了被除数、除数、商数和余数的整个计算过程，并以口诀的方式展现出一套规则化了的计算程序，求商时随口呼出，非常方便快捷。,2多位数除法除数是两位以上的除法叫归除。“归”与“除”是两层意思和两步运算，“归”是用法首和被除的数比较，用“九归口诀”求出首商；“除”是根据估出的首商与除数第二位以下的各位数字相乘，将乘积依次从被除数中错位减去。求出首商后，视余数为新的被除数，继续运算，直至求出整个商数。,（二）归除退商,当用九归口诀试商时，试得初商后，遇到余数不够减确商与除数二位以下各位的乘积时，说明初商偏大，这时就要调减初商叫“退商”。即从初商中减掉“l”，并在余数中加上已被减过的那一部分除数，然后再用调减过的商数乘尚未减过的除数，从余数中继续减掉。例如：用口诀得出初商后，用初商乘除数的二、三位，从被除数中减掉，当减初商与除数第四位相乘之积时，发现余数不够减，这时就要从初商中减掉“1”，并在其下档加上除数的一、二、三位数。然后用减掉1以后的商数与除数第四位以下各位相乘，继续从余数中减掉。,（三）撞归（齐头）在作归除法时，有时实、法首位相同，称为“齐头”，但以下位实小于法，如3238。这时用“九归口诀”不能计算,就需要用“撞归口诀”，这里的“撞”是“凑”或“凑成”的意思，就是直接把商凑成9几。传统的“撞归口诀”如下：一归：见一无除作91 二归：见二无除作92 三归：见三无除作93 四归：见四无除作94五归：见五无除作95 六归：见六无除作96七归：见七无除作97 八归：见八无除作98 九归：见九无除作99,第四节 珠算简捷除法,一、定身减除法除法中除数首位数是1，计算时可以简化。因为所得第一位商数是和被除数首位数相同，因此，不必乘减，可以省除。从除数第二位开始由不是零的有效数字和所定商数相乘，其积在被除数的相应位上减去。即除数第几位和商数相乘，其积的个位就在被除数的第几位上减去。（若不够减，即刻商去1）。定身减除法的要领：（1）记牢除数首位数1以后的除数的数码，与立商作轮乘，在盘面被除数（实数）上减去轮乘积，或以单积作叠减。（2）在减每一轮乘积时，要注意档位，防止错档。（3）在减轮乘积过程中，有时要在已作为立商的实首上借位，但必须“借首还尾”，不能遗漏。（4）当估商小于实首时，以估商作轮乘、减轮乘积，也要在实首上借位，但这是“实首退减成确商”，不必“借首还尾”。,二、定身加除法（补加数除法）,当除数是接近10的N次幂数时，如99、998、9,987等可采用补加数除法以简化计算过程。99、998、9,987的补数分别为01、002、0,013，运用补数加凑除数为整数后，在算盘上把被除数可看做商数的大部分，因为除数是10的N次幂即100、1,000则商数有效数字与被除数相同，商数不必估算，每一轮除开始时，将盘面被除数首位数（实首）转化作立商，商数就是被除数各位数字，只需乘减。,三、省略除法,在除法运算中，有时会遇到被除数与除数的位数很多，而要求商数的位数却不多，一般只取三四位小数。从多位数除法的运算过程中可以发现，影响商数大小的数主要是被除数和除数的前几位数，位数越多，后几位数对商的影响也就越小。因此，根据要求可把被除数和除数的后几位数适当截去一部分，使计算简化。运算要领是：（1）确定被除数的位数。一般采用公式法：mnv2（其中，m表示被除数的位数；n表示除数的位数；v表示所要求的小数位数；2为保险系数，即为保障要求的精确度准确无误多取的两位数）。（2）确定截止档。被除数入盘后最后一档的下一档，称为截止档。（3）截取的被除数和除数，它们末位数的下一位，都按四舍五入处理。（4）采用商除法运算。（5）在减商与除数相乘之积时，凡部分积落在截止档上的数字，都按四舍五入处理。（6）商数求到要求的位数为止。若截止档的前二档数（余数）大于或等于除数的前二位数字的一半时，商数的末位再加上1，否则舍去不计。,