《根轨迹系统》PPT课件.ppt

教学目的：利用根轨迹分析系统性能教学重点：根轨迹的绘制和利用根轨迹分 析系统性能教学难点：根轨迹分析系统性能本章授课学时：6,第四章 根轨迹法,第一节 根轨迹法的基本概念,第二节 根轨迹绘制的基本法则,第四节 控制系统的根轨迹法分析,第五节 仿 真 实 现,本 章 研 究 内 容,第四章 根轨迹法,返回,第六节 本章小节,第三节 广义根轨迹,4.1 根轨迹法的基本概念,根轨迹概念,根轨迹方程,4.1.1 根轨迹概念 系统开环传递函数中某一参数从零变到无穷大时，闭环系统特征方程的根在 s 平面上变化的轨迹。,根轨迹法：利用根轨迹分析系统性能的方法。,（图解法）,4.1 根轨迹法的基本概念,已知:一单位反馈二阶系统的开环传递函数为：,闭环传递函数为：,闭环系统特征方程为：,闭环系统特征根(即闭环极点)为：,，,研究开环放大系数K与闭环特征根s1、s2之间的关系：,R(s)C(s),K s1 s20 0-20.5-1-1-1+j1-1-j12-1+j-1-j,K=1,K=1,K=2,K=2,K=0,K=0,K=0.5,-1,j,-2,0,开环放大系数K改变,改变特征根位置,改变系统性能,j1,-j1,闭环系统特征方程为：,反映了系统开环传递函数与闭环特征方程之间的关系,根轨迹方程,系统开环传递函数,系统闭环传递函数,设系统开环传递函数的一般形式为:,K系统开环增益 K*根轨迹增益或根轨迹放大倍数-zi,i=1,2m开环传递函数的零点-pj,j=1,2n开环传递函数的极点,特征方程为:,根轨迹方程,绘制根轨迹时，实质上就是当某一参数(K*)变化时，寻求闭环特征方程式解的变化轨迹。,幅角条件：,i开环有限零点到根轨迹上点s的矢量幅角j开环极点到根轨迹上点s的矢量幅角，幅角按逆时针方向为正,满足幅值条件和幅角条件的 s 值，就是闭环特征方程的根，这些根所描述的曲线就是根轨迹,幅值条件：,根轨迹上任一点满足,幅值条件,幅角条件,绘制根轨迹的基本法则,本章返回,4.2 根轨迹绘制的基本法则,根轨迹绘制举例,4.2.1 绘制根轨迹的基本法则,绘制根轨迹应确定以下几个方面的内容：起点、终点、根轨迹数和对称性、实轴上的根轨迹、分离点和汇合定、根轨迹的渐近线、根轨迹的出射角和入射角、根轨迹和虚轴的交点、根轨迹的走向。(9项),本节返回,本章返回,当 K*=0 时，有,1、起点（K*=0）,2、终点（K*=）,当 K*=时，有,根轨迹起始于开环极点,根轨迹终止于开环零点,（有限零点）,3、根轨迹数和它的对称性,4、实轴上的根轨迹,设 Nz实轴上根轨迹右侧开环有限零点的数目 Np实轴上根轨迹右侧开环极点的数目。,在实轴上根轨迹分支存在的区间的右侧，开环零、极点数目的总和为奇数,根轨迹数为开环极点数n；根轨迹都对称于实轴,本节返回,本章返回,实轴上根轨迹存在的条件：Nz+Np=1+2k,k=0,1,2,A B C,Nz+Np=3,Nz+Np=5,Nz+Np=1,本节返回,本章返回,5、分离点和会合点,分离点,会合点,b a,s2-z1-p1 s1-p2,确定分离点和会合点的位置：当K*=Kd*分离点和会合点 闭环特征方程式的重根。,本节返回,本章返回,本节返回,本章返回,设系统的开环传递函数为：,计算分离点、会合点的位置：,注意：1、分离点、会合点一定在实轴上 2、求得的Kd*值必须大于零,求分离点和会合点(重根)s=-d方法,本节返回,本章返回,6、根轨迹的渐近线,渐近线的倾角 渐近线的交点,渐近线包括 两方面内容,求得的Kd*0,有独立的(n-m)条,渐近线的倾角 设在无穷远处有特征根si，则s平面上所有开环有限零点-zi和极点-pj到si的矢量辐角都相等，即：i=j=代入幅角条件，得：,渐近线的倾角为：,k=0,1,2,本节返回,本章返回,渐近线的交点 设无限远处有特征根si，则s平面上所有开环有限零点-zi和极点-pj到 si的矢量长度都相等。可认为对于si来说，所有开环零点和极点都汇集在一起，设位置为-,此即为渐近线交点。求此交点坐标-：,本节返回,本章返回,渐近线交点为：,渐近线的交点在实轴上,试 计算渐近线倾角和交点，即确定渐近线的位置。解：由开环传递函数可知：m=0，n=3，故有3条渐近线。,渐近线交点为：,180,60,-60,j,渐近线,-=-5/3,渐近线,渐近线,例 设开环传递函数为：,本节返回,渐近线倾角为：,本章返回,7、根轨迹的出射角和入射角,入射角：,i 除被测终点外，所有开环有限零点到该点的矢量辐角j 开环极点到被测终点的矢量辐角。,i 开环有限零点到被测起点的矢量辐角；j 除被测起点外，所有开环极点到该点的矢量辐角,出射角：,复数极点根轨迹的出射角复数零点根轨迹的入射角,本节返回,本章返回,p4=-1+j1,p3=-1-j1,1,2,3,c,1,求极点 p4 处的出射角：,本节返回,【例 4-1】已知开环传递函数为：试 确定根轨迹的出射角。解：该系统的开环零点和开环极点分别为：-z=-2，-p 1=0，-p 2=-3，-p3,4=-1j对于极点 p3 和 p4有出射角。,本章返回,-p2=-3-z=-2-p1=0,p3处的出射角为：,8、根轨迹和虚轴的交点应确定根轨迹与虚轴交点的坐标值和临界放大系数Kp*值。例 4-2 已知系统开环传递函数为：试确定根轨迹与虚轴的交点，并计算临界放大系数。,本节返回,本章返回,解得：=0，,本节返回,本章返回,解：系统特征方程为：1+Gk(s)=0 s3+3s2+2s+K*=0 方法一：当根轨迹与虚轴相交时，令 s=j，代入上式,得：即：根轨迹与虚轴的交点坐标为：临界放大系数为：,方法二：利用劳斯判据计算交点和临界放大系数,令 s1 行为零，即(6-K*)/3=0，得：=6 根轨迹与虚轴的交点：由 s2 行的辅助方程求得，即令 3s2+K*=0，得：,本节返回,由特征方程：F(s)=s3+3s2+2s+K*=0 劳斯行列表：s3 1 2 s2 3 K*s1(6-K*)/3 0 s0 K*,本章返回,9、闭环极点的性质 1）若特征方程的阶次 n-m2，则 一些根轨迹右行时 另一些根轨迹必左行,j,本节返回,-2,-1,0,本章返回,特征方程：,改写为：常数，各特征根之和,本节返回,本章返回,常数，各特征根之积,2）闭环特征根与系数关系,绘制根轨迹的法则：1、起点(K*=0)开环传递函数Gk(s)的极点即为根轨迹的起点。2、终点(K*=)开环传递函数Gk(s)的零点(包括无限零点)即为根轨迹的终点。,3、根轨迹数目及对称性 根轨迹数目与开环极点数n相同，根轨迹对称于实轴4、实轴上的根轨迹 实轴上根轨迹右侧的零、极点数目之和应为奇数,本节返回,本章返回,渐近线的交点：,6、根轨迹的渐近线,(有n-m条渐近线),渐近线的倾角：,本节返回,本章返回,5、分离点与会合点注意：求出s=-d后，应把它代入 计算K*，只有Kd*为正值，s=-d才是分离点或会合点。,7、根轨迹的出射角和入射角,出射角：,入射角：,8、根轨迹与虚轴的交点。按劳斯判据计算9、根轨迹性质 一些根轨迹向右行时，另一些根轨迹必向左行 根与系数关系：,复数极点,复数零点,本节返回,本章返回,R(s)C(s),【例4.3】用根轨迹绘制法则重新绘制图4.1所示的 二阶系统的根轨迹。解：系统的开环传递函数为:,起点。根轨迹起始于两个开环极点，s0=0,s1=-2 终点。根轨迹终止于两个开环无限零点，即两条根轨迹都 终止于无限远处。,K*=2K,4.2.2 根轨迹绘制举例,分离点。,本节返回,本章返回,根轨迹数。有两条根轨迹。实轴上根轨迹。在0和-2之间必有根轨迹。,(k=0),渐近线。有n-m=2条独立的渐近线。,渐近线的倾角：,渐近线的交点：,渐近线,j,本节返回,-2-1 0,本章返回,K*=K/2 起点：起始于两个开环极点 s0=0,s1=-2。终点：终止于一个开环有限零点 s=-4和一个无限零点 实轴上根轨迹：在0-2之间和-4-之间有根轨迹,R(s)C(s),【例4.4】已知具有开环零点的二阶系统结构图,试绘制系统的根轨迹。,解：系统的开环传递函数为,分离点和会合点：,根轨迹上的分离点和会合点：,复平面上根轨迹设复平面上特征根为：s=+j，其满足下式：,圆:圆心为（-4,j0)，半径为,本节返回,本章返回,s1-4-2 0,s2,会合点=-6.828,分离点=-1.172,开环系统中加入 一个零点随着 K*的增大，根轨迹向左偏移远离虚轴，使系统动态性能改善。,本节返回,本章返回,起点：三个开环极点s0=0,s1=-2，s2=-4 终点：终止于三个开环无限零点，无限远 根轨迹数：三条,本节返回,本章返回,【例4.5】已知三阶系统的结构图，试绘制该系统的根轨迹。,K*=8K,实轴上根轨迹：在0-2和-4-之间有根轨迹。分离点：,s=-0.85，s=-3.15（省略）,渐近线：有n-m=3条渐近线。渐近线倾角：,渐近线交点：,根轨迹与虚轴交点：特征方程：劳斯行列表：s3 1 8 s2 6 K*s1(48-K*)/6 0 s0 K*,K*=Kp*=48,6s2+K*=6s2+48=0得：,二阶系统中加入一个极点，随着K*的增大，根轨迹向右偏移并穿过虚轴，使系统趋于不稳定。,60,-60,-2,-0.85,-180,渐近线,渐近线,渐近线,-4,4、具有复数极点的四阶系统,C(s)R(s),本节返回,本章返回,K*=3K,起点：四个开环极点 0，-3，-1j1；有4条根轨迹 终点：一个开环有限零点-2，3个无限零点。实轴上根轨迹：在0-2和-3-之间有根轨迹。渐近线：有3条渐近线,出射角：c1=-26.6，c2=26.6,本节返回,本章返回,根轨迹与虚轴的交点：闭环特征方程：s4+5s3+8s2+(6+K*)s+2K*=0 s4 1 8 2K*s3 5（6+K*）s2 8-(6+K*)/5 2K*s1(6+K*)-10K*/8-(6+K*)/5 0 s0 2K*,K*=7，K=K*/3=2.33,8-(6+K*)/5 s2+2K*=0 得：s=j1.61,-3-2-1 0,sc1=-26.6,sc2=26.6,本节返回,本章返回,求根轨迹与虚轴相交时，另外两个根R3、R4。,即：R3=1.58，R4=3.42,本节返回,s4+5s3+8s2+(6+K*)s+2K*=0,特征方程：,本章返回,R1+R2+R3+R4=(+j1.61)+(-j1.61)+R3+R4=5 R1R2R3R4=(+j1.61)(-j1.61)R3R4=2K*,4.3 广义根轨迹,参数根轨迹,零度根轨迹,本章返回,本节返回,本章返回,除根轨迹增益 外，把开环系统的其他参数从零变化到无穷或在某一范围内变化时，闭环系统特征根的轨迹叫参数根轨迹。,【例4.6】已知控制系统结构图如图4.13所示，当,时，试绘制参数,变化时的根轨迹。,4.3.1 参数根轨迹,解：系统闭环传递函数为：,特征方程为：,等效开环传递函数,称为等效根轨迹增益,一般绘制系统参数根轨迹的步骤归纳如下:(1)写出原系统的特征方程。(2)以特征方程式中不含参量的各项除特征方程，得等效系统的根轨迹方程。该方程中原系统的 参量即为等效系统的根轨迹增益。(3)绘制等效系统的根轨迹，即为原系统的参数根 轨迹。,本节返回,本章返回,4.3.2 零度根轨迹,正反馈系统的根轨迹。,闭环传递函数为:,特征方程式为:,设开环传函的零、极点表达式为:,（k=0，1，2，）,正反馈系统的根轨迹方程:,幅值条件:,相角条件:,本节返回,本章返回,零度根轨迹绘制方法：起点、终点和条数（相同）：(2)实轴上的根轨迹存在的区间为其右侧实轴上的开环 零点和极点个数之和为偶数。(3)根轨迹的分离点和会合点的计算方法同常规根轨迹。(4)根轨迹的渐近线与实轴的交点的计算方法同常规根轨 迹。倾角的计算公式为：,本节返回,本章返回,(5)根轨迹的出射角和入射角的计算公式为,(6)根轨迹与虚轴交点的计算方法同常规根轨迹。,本节返回,本章返回,控制系统的稳定性分析,本章返回,4.4 控制系统的根轨迹法分析,控制系统的暂态性能分析,控制系统的稳态性能分析,开环传递函数 闭环系统根轨迹,本节返回,本章返回,4.4.1 控制系统的稳定性分析,Kp*48不稳定,条件稳定系统,本节返回,本章返回,稳定条件：,不稳定条件：,本节返回,本章返回,典型二阶系统：,特征方程,绘制参数变化时的参数根轨迹：,等效特征方程：,起点（=0）：s1=+jn,s2=-jn，2条终点（）：s=0，无穷远分离点：,本节返回,本章返回,4.4.2 控制系统的暂态性能分析,二阶系统：=0：等幅震荡01：衰减震荡1：单调变化,暂态过程主要取决于离虚轴近的极点当R2 6R1时，可忽略R2的影响,-R2-R1,单位阶跃响应为单指数上升,1、闭环系统有两个负实极点,2、闭环系统有一对复极点,单位阶跃响应为衰减振荡特性离虚轴越近震荡越强,-R1,-R2,本节返回,本章返回,总结（任意系统）：,3、闭环系统附加一个零点,4、闭环系统附加一个实极点,附加极点的作用：使系统相位滞后，相当于增加阻尼比，超调量减小，但调节时间增长,-R,-n,-z,-n,附加零点的作用：使系统相位超前，相当于减小阻尼比，超调量增加,本节返回,本章返回,5、增加开环零点,Kp*=6,-2-1,-2-1.6-1 0,改变根轨迹形状,本节返回,本章返回,6、增加开环极点改变根轨迹形状,-p1,-p2-p1,0,本节返回,本章返回,根轨迹分析系统暂态性能解决两方面问题：1、由根轨迹上根的位置 求系统暂态性能,根轨迹上特征根位置，n,2、由系统暂态性能指标的要求 确定系统特征根的位置,本节返回,本章返回,阻尼线,超调量 阻尼线 调节时间,若没有合适根轨迹，应加入一定校正装置（引入适当零、极点），改变根轨迹形状，使其进入该工作区域，然后确定闭环极点位置及相应开环放大系数。,本节返回,本章返回,【例4.9】反馈控制系统的开环传递函数为,若要求闭环系统单位阶跃响应的最大超调量,，试确定系统的开环增益。,解：,阻尼线,与根轨迹交点 A,B,本节返回,本章返回,-s3,-7.6,本节返回,本章返回,由幅值条件，求得相应于A,B点的 值为：,特征方程：,故取：,系统的开环增益：,不会使超调量增大,本节返回,本章返回,4.4.3 系统的稳态性能分析,由暂态性能 K*K,若该,开环增益增加:,系统稳态性能提高,K值不满足系统提出的稳态性能要求时，可采用增加开环系统的极、零点的方法来解决。,附加偶极子条件：zcpc，且 zcpc，且 zc0，pc0,偶极子,仿 真 实 现,例4-1 已知系统开环传递函数为,试绘制系统根轨迹。,j2,-j2,60,-60,-3/5,-0.467,-180,渐近线,渐近线,渐近线,仿真结果,理论计算结果,本章返回,Xr(s)Xc(s),例4-2 已知系统结构框图为,试绘制系统根轨迹。,理论计算结果,仿真结果,仿 真 实 现,本章返回,-3-2-1,sc1=-26.6,sc2=26.6,本章返回,本 章 小 结,1、根轨迹的基本概念2、根轨迹的绘制法则 起点（Kg=0）终点（Kg=）根轨迹数目及对称性 实轴上根轨迹 分离点与会合点 根轨迹的渐近线 根轨迹的出射角和入射角 根轨迹与虚轴的交点 闭环极点的性质 在根轨迹上确定特征根 增加闭环零点、闭环极点对系统性能的影响 增加开环零点、开环极点对系统性能的影响,本章返回,