《微分方程和解》PPT课件.ppt
1,常微分方程课程简介 常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体的运动现象、演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。物理、化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程，如牛顿运动定律、万有引力定律、机械能守恒定律，能量守恒定律、人口发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗传基因变异、股票的涨跌趋势、利率的浮动、市场均衡价格的变化,常微分方程,2,等，对这些规律的描述、认识和分析就归结为对相应的常微分方程描述的数学模型的研究。因此，常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学的各个领域。,学习常微分方程的目的是用微积分的思想,结合线性代数，解析几何等的知识，来解决数学理论本身和其它学科中出现的若干最重要也是最基本的微分方程问题，使学生学会和掌握常微分方程的基础理论和方法，为学习其它数学理论，如数理方程、微分几何、泛函分析等后续课程打下基础。,3,同时，通过这门课本身的学习和训练，使学生学习数学建模的一些基本方法，初步了解当今自然科学和社会科学中的一些非线性问题，为他们将来从事相关领域的科学研究工作培养兴趣，做好准备。,教材及主要参考资料教 材：常微分方程,东北师大数学系编,高教出版社.参考书目：常微分方程(第二版）王高雄等编(中山 大学)高教出版社。常微分方程讲义,王柔怀、伍卓群编，高教出版社。常微分方程及其应用，周义仓等编，科学出版社。常微分方程稳定性理论,许松庆编上海科技出版社。常微分方程定性理论，张芷芬等编，科学出版社。,4,第一章 初等积分法,本章将通过几个具体例子,浅显地介绍常微分方程的应用,并引出讲述一些最基本概念.,1.1 微分方程和解,1.1.1 微分方程,为了定量地研究一些实际问题的变化规律,往往是要对所研究的问题进行适当的简化和假设,建立数学模型,当问题涉及变量的变化率时,该模型就是微分方程,下面通过几个典型的例子来说明建立微分方程模型的过程.,5,例1 镭的衰变规律:,解:,设镭的衰变规律与该时刻的存镭量成正比,且已知 时,存镭量为 克,试确定在任意时刻 的存镭量.,6,含有导数的方程,初始条件,(积分常数),(记 常数),含有常数C的解,7,即任何时刻镭元素的存量可计算.K可实验测定,称为反应率常数.,这类反应叫一阶反应.,因提出这种测定有机性古生物年龄的方法,Libby(李倍)获60年诺贝尔化学奖.,古生物的年龄就可借用此公式计算:如碳的一种放射性同位素(存在于有机物)半衰期为5600年,一块古木的放射性只有活树的一半,那么它就是5600年前后活树上砍下的,若放射性只有活树的四分之一,它的生活期约为11200年.(都江堰二王庙有乌木用 测定年龄的例子).,8,求平面上过点(1,3)且每点切线斜率为横坐标2倍的曲线所满足的微分方程.,解:设所求的曲线方程为,由导数的几何意义,应有,即,又由条件:曲线过(1,3),即,于是得,故所求的曲线方程为:,例2 数学涉及切线的问题:,含有导数的方程,含有常数C的解,由条件确定了常数,又由条件:曲线过(1,3),即,9,定义1:联系自变量、未知函数及未知函数导数（或微分）的关系式称为微分方程.,例1：下列关系式都是微分方程,一、常微分方程与偏微分方程,10,如果在一个微分方程中，自变量的个数只有一个，则这样的微分方程称为常微分方程.如(1).(2).(3),1.常微分方程,如果在一个微分方程中,自变量的个数为两个或两个以上,称为偏微分方程.如(4).,2.偏微分方程,注:本课程主要研究常微分方程.同时把常微分方程简称为微分方程或方程.,11,定义2：微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数(或微分的阶数)称为微分方程的阶数.,是一阶微分方程；,是二阶微分方程；,是四阶微分方程.,二、微分方程的阶,如:,12,n 阶微分方程的一般形式为,函数中一定含有 是未知函数,是自变量.,13,是线性微分方程.,三 线性和非线性,如,定义3.如果方程,(关于函数及各阶导数是线性的),n阶线性方程.,14,是非线性微分方程.,如,2.n 阶线性微分方程的一般形式,不是线性方程的方程称为非线性方程,15,1.1.2 微分方程的通解与特解,定义4,16,通解与特解,定义5 如果微分方程的解中含有任意常数,且所含的相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同,则称这样的解为该方程的通解.,例如:,n 阶微分方程通解的一般形式为,17,在通解中给任意常数以确定的值而得到的解称为方程的特解.,例如,定义6,18,例3,证明:,19,当定解条件是初始条件时,相应的定解问题称为初值问题.(从例2看),1.1.3 初值问题,为了从通解中得到合乎要求的特解,必须根据实际问题给微分方程附加一定的初值条件,又称为定解条件.,求满足定解条件的求解问题称为定解问题.,常见的定解条件是初始条件,n 阶微分方程的初始条件是指如下的n个条件:在于,20,求平面上过点(1,3)且每点切线斜率为横坐标2倍的曲线所满足的微分方程.,解:设所求的曲线方程为,由导数的几何意义,应有,即,又由条件:曲线过(1,3),即,于是得,故所求的曲线方程为:,例2 数学涉及切线的问题:,含有导数的方程,含有常数C的解通解,由条件确定常数特解,又由条件:曲线过(1,3),即,21,一阶微分方程,称为微分方程的积分曲线.,1.1.4 积分曲线,例2 的积分曲线族如图.,22,作 业(课堂练习p8.1Q)p8.2:(1)、(2)、(3)、(),
