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研究的基础,函数,极限,连续,研究对象,研究方法,研究桥梁,第一章 函数、极限与连续,在某一变化过程中始终保持相对静止状态的量称为常量；时时处于变化着的量成为变量。前者记为a,b,c等，后者记为x,y,t等。,1.1函数,函数的概念,一、常量与变量,设在某个变化过程中存在两个变量x,y,若对于某一非空数集中的每一个x值,按照某一确定的关系f都有唯一一个实数y与之对应,则称变量y是变量x的函数,记为,二、函数的概念,定义1,定义域,f(D)称为值域,函数图形:,自变量,因变量,二是在定义域范围内,变量x与 y有确定的对应关系,这两个要素决定值域R。,理解：,函数的定义有两个要素：,一是自变量x必须有明确的定义域D；,如果两个函数相等,则这两个要素必须完全相同。,例1 求下列函数的定义域：,解：,即,因此f(x)的定义域为:,约定:定义域是自变量所能取的使算式有(实际)意义的一切实数值.,例3 已知函数 求。,解：,令x+1=t，则x=t-1，将其代入原式，,即,得,例2 已知函数,求,解：,邻域:,所谓是指如果x0是实数轴上一点，为正实数，则开区间-x0+称为点x0的邻域，记为,单调增加函数和单调减少函数统称为单调函数。,1.1.2 函数的特性,一、单调性,设函数f(x)的定义于为D，如果在D 中某一个子区间I中任意取两个值x1和x2，当x1f(x2)，则称函数在区间I上是单调增加（或单调减少）的。,单调增加函数对应的曲线随自变量x的逐渐增大而上升；单调减少函数对应的曲线随自变量x逐渐增加而下降。,单调函数图像的特点是：,设函数f(x)的定义域为D,如果对D内任意一点x(-xD),都满足f(x)=f(-x),则称函数f(x)在D内是偶函数;若函数f(x)对定义域D内任意一点x，都满足f(x)=-f(x),则称函数在D内是奇函数。,二、奇偶性,函数y=x2是在其定义域(-,+)上是偶函数;函数y=sinx是在其定义域(-,+)是奇函数;函数y=sinx+cosx在其定义域(-,+)上非奇非偶.,偶函数,y,x,o,x,-x,奇函数,y,x,o,x,-x,偶函数的图像是关于y轴对称,奇函数的图像是关于原点对称,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个正数M,使得对于D中某一个子区间I内任意一点x,总有|f(x)|M(即-Mf(x)M),则称函数在I上是有界的，否则是无界的。,三、有界性,o,y,x,M,-M,y=f(x),I,有界,(2)有界与否是和I有关的.,(1)当一个函数有界时，它的界是不唯一的.,注意:,如sinx、cosx对区间(-,+)上任,意一点x,存在M=1,使得,所以它们在区间(-,+)上都是有界函数。,lnx在区间(0,+)上为无界函数,因为,找不到那样一个正数M,使 成立。,如f(x)=1/x在开区间(0，1)上是无,界的,但在闭区间1,2上却是有界函数,因为在此区间上能找到M1,使当x1,2,时,成立。,设函数的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对于任意一点xD,f(x+T)=f(x)恒成立,则称f(x)在D上为周期函数,T称为的周期。通常所说的周期是指最小正周期。,四、周期性,周期函数的图像特点是在这函数的定义域内,每个长度为周期T的区间上,函数所对应的曲线有相同的形状。,x,y,T/2,-T/2,3T/2,-3T/2,o,1.1.3 初等函数,一、基本初等函数,基本初等函数通常是指幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。,(1)幂函数,是常数,取值不同函数的定义域不同,y=x,y=1/x,y=x2,(2)指数函数,0a1,a1,1,2,3,4,1,-1,(3)对数函数,a1,0a1,(1,0),1,3,4,5,6,7,8,2,2,3,-1,2,3,(4)三角函数,正弦函数,余弦函数,正切函数,10,-10,-20,20,(5)反三角函数,反正弦函数,反余弦函数,反正切函数,二、复合函数,例如自由落体运动的动能,其中m为质点的质量,v为质点的速度,而,其中g为重力加速度.我们称 是由两个函数 和 复合而成的t的复合函数,v称为中间变量,t称为自变量。,例如,函数,合函数,但函数,可定义复,不能构成复合函数.,设函数y=f(u)和u=(x)，且u=(x)的值域全部在y=f(x)的定义域内，则称y=f(x)是由这两个函数经过中间变量u而构成x的复合函数，其中x为自变量，简称函数y=f(x)是x的复合函数。,【定义2】,理解：,1.两个函数复合要满足复合条件；,2.中间变量可以多个；,3.复合函数分解不唯一。,【定义3】由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而构成并可以用一个式子表示的函数称为初等函数。,三、初等函数,例如,多项式函数,双曲正弦函数、双曲余弦函数,等等都是初等函数。,又如,可表为,故为初等函数.,非初等函数举例:,符号函数,当 x 0,当 x=0,当 x 0,在定义域内不同的区间上,由不同解析式所表示的函数称为分段函数。,1.1.4 分段函数和反函数,一、分段函数,分段函数通常不是初等函数,不过,在不同段内的表达式,通常由初等函数表示。,二、反函数,在一般情况下，如果y=f(x)在某个区间上有定义且是单调函数，就能保证它的反函数 存在；,若把函数y=f(x)称为直接函数,则直接函数的定义域(或值域)恰好是它的反函数 的值域(或定义域)。,一般习惯上自变量用x表示,因变量用y来表示,这时y=f(x)的反函数 就可以写成。,例如,在定义域(-,+),上是单调函数,它的值域是(0,+),所以它的反函数 存在,其定义域是(0,+),即y(0,+),值域是(-,+)。,如函数 的反函数一般不写成,习惯上写成.,例如,与对数函数,互为反函数,它们都单调递增,其图形关于直线,对称.,指数函数,y=f(x)的图像与其反函数 的图像相同,但与 不同。,内容小结,定义域对应规律,2.函数的特性,单调性,奇偶性,有界性,周期性,3.初等函数的结构,作业:,1.函数的定义及函数的二要素,且,备用题,证明,证:令,则,由,消去,得,时,其中,a,b,c 为常数,且,为奇函数.,为奇函数.,1.设,1.2 函数的极限,引例:,设有半径为r的圆,逼近圆面积S.,如图所示,可知,当n无限增大时,无限逼近 S.,用其内接正n边形的面积,刘徽(约225 295年),我国古代魏末晋初的杰出数学家.,他撰写的重,差对九章算术中的方法和公式作了全面的评,注,指出并纠正了其中的错误,在数学方法和数学,理论上作出了杰出的贡献.,他的“割圆术”求圆周率,“割之弥细,所失弥小,割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失矣”,它包含了“用已知逼近未知,用近似逼近精确”的重要,极限思想.,的方法:,数列极限,当自变量按自然数1,2,3,依次顺序增大时,函数值按一定的法则排列的一列数 称为数列,记为。,例4 以下例子均为数列:,1.2.1 数列极限,注意：,1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取,2.数列是整数函数,对于数列,如果当n无限增大时,数列 无限接近某一个确定常数A,则称A为数列 的极限,或称数列 收敛于A,记为,否则称数列发散。,【定义5】,趋势不定,收敛,发散,又如,收 敛,解：给定数列，即2，4，8，当时，的数值无限增大，即它不趋向于一个确定的常数，所以数列是发散的。,例5 讨论数列的极限。,1.2.2 函数极限,一、时,函数f(x)的极限,注:Y=0为 的水平渐近线.,引例,几何意义:,【定义6】,注意：,如,有水平渐近线y=/2,有水平渐近线y=/2,如,又如：,都有水平渐近线,f(x)及g(x)都有水平渐近线,再如，,二、时,函数f(x)的极限,如果仅从x0点的左侧趋于x0,记,这时的极限称为f(x)在点x0的左极限,记为,类似可以定义右极限,记为。,当 时,函数f(x)极限存在的充分必要条件是函数f(x)的左右极限同时存在且相等.即.,如果函数f(x)的左右极限至少有一个不存在或这两个极限都存在但不相等,这时函数f(x)的极限就不存在。,定理,左极限:,右极限:,定理,小结：,解：,所以函数f(x)在点0极限不存在。,思考与练习:,1.若极限,存在,作业:,是否一定有,？,2.设函数,且,存在,则,一、无穷小量的概念,1.2.3 无穷小量,定义8如果,则称f(x)为(或)时的无穷小量,简称无穷小,此时也称函数f(x)收敛于0。,言简之,以零为极限的函数称为无穷小量.,当 时,是无穷小.,注意：,1)无穷小量是一个变量,而不是一个数.但0可以作为无穷小的唯一一个常数。,3)此概念对数列极限也适用,若,称数列 为 时的无穷小。,2)无穷小量与自变量变化过程有关。,二、无穷小量定理,【定理2】有限个无穷小量的代数和仍为无穷小量.,【定理3】有界函数与无穷小量乘积仍为无穷小量.,如,说明:无限个无穷小之和不一定是无穷小!,当,再如:,函数,时为无穷小;,【推论1】常数与无穷小量的乘积仍为无穷小量。,【推论2】无穷小量与无穷小量的乘积仍为无穷小量。,例如:,例如:,三、无穷大量,【定义9】如果当（或）时,无限增大(即）,则称f(x)为(或)时的无穷大量。,如 时,1/x、1/sinx 都是无穷大量；,时,lnx 是无穷大量；,时,tanx 是无穷大量；,无穷小与无穷大的关系,注意：,(1)无穷大是变量,不能与很大的数混淆;,(2)无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.,内容小结,1.无穷小与无穷大的定义;,2.无穷小定理;,3.无穷小与无穷大的关系.,一、极限的四则运算法则,1.2.4 极限的运算,则有,设,【定理4】,其中 B0,证明:,由无穷小运算法则,得,其中,由定理1可得:,【推论3】,(C为常数),【推论4】,(n为正整数),例:设n次多项式,则,例7 求,解:,【推论3】,(C为常数),【推论4】,(n为正整数),1.设n次多项式,则,结论:,例8 求,解:,例9 求,解:,由无穷小量和无穷大量之间的倒,数关系,得,一般有如下结果：,为非负常数),例10 求,解:,内容小结,1.极限运算法则,(1)无穷小运算法则,(2)极限四则运算法则,注意使用条件,2.求分式函数极限求法,时,用代入法,(分母不为0),时,对,型,约去公因子,时,分子分母同除最高次幂,思考及练习,1.,是否存在?为什么?,答:不存在.,否则由,利用极限四则运算法则可知,存在,与已知条件,矛盾.,解:,原式,2.,问,3.求,解法 1,原式=,解法 2,令,则,原式=,4.试确定常数a使,解:,令,则,故,因此,二、两个重要极限,【定理5】（两边夹定理）如果函数 满足下列条件：(1)自变量x在点x0的某个邻域（可以不考虑点x0）内,不等式 成立。(2)。则函数f(x)的极限存在且。,例11 证明,因为对任意实数,都有,成立,由定理5和定理1知，,证:,证明,圆扇形AOB的面积,即,AOB 的面积,AOD的面积,当x0,所以,例12 求,解:,例13 求,解:原式=,例14 求,练习：求,解:令,则,因此,原式,解：,令,则,2.,当n逐渐增大时，数列的变化趋势见表1-4。,从表1-4看出，当n逐渐增大时，,也逐渐增大，当 时，,即,当n为任何实数时，,结论仍成立,即,则,令,即,例15 求,解:,例16 求,解:,2.两个重要极限,或,内容小结,1.数列极限存在的夹逼准则,函数极限存在的夹逼准则,思考与练习,填空题(14),作业:4(4),(5),1.2.5 无穷小量的比较,都是无穷小,引例:,但,不存在,不可比.,极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.,而,【定义10】,例如，,即,当x0时,x2是比3x的高阶无穷小.,当x0时,sinx与3x是同阶无穷小.,当x0时,sinx是比x2的较低阶无穷小.,当x0时,sinx与x是等价无穷小.,即,故,时,是关于x的高阶无穷小,且,又如,当x3时,x2-9与x-3是,同阶无穷小.,内容小结,1.无穷小的比较,设,对同一自变量的变化过程为无穷小,且,是 的高阶无穷小,是 的低阶无穷小,是 的同阶无穷小,是 的等价无穷小,是 的 k 阶无穷小,作业:,常用等价无穷小:,1.3 函数的连续性,1.3.1 函数的连续性,设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义,当自变量由点x0变到另一点x时,称x-x0值为自变量的增量,记为x=x-x0,相应地f(x0+x)-f(x0)值为函数的增量,记为y=f(x)-f(x0).,【增量定义】,【定义11】,【定义12】,设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义,若当 时,函数f(x)的极限存在且等于f(x0),即 则称函数 y=f(x)在点x0连续.,即函数,在点,(1),在点,即,(2)极限,(3),连续必须具备下列条件:,存在;,有定义,存在;,。,由函数在一点x0处的连续定义及,有,例17 验证函数y=sinx在区间 上是连续,在区间 上任取一点x,当x有增量，,证：,对应的函数增量为：,为有界函数,根据定理可知,y=sinx在区间 上连续,【定义13】,设函数y=f(x)在点x0的左邻域内(x0+,x0内有定义,若,则称函数y=f(x)在点x0处左连续。,同理可定义函数f(x)在x0点右连续，即,函数f(x)在x点连续的充分必要条件是它在x点即左连续又右连续，即,但,所以 不存在。,左连续。如图所示。,因此f(x)在0点不连续,但,例如,在,上连续,即:,(有理整函数),又如,有理分式函数,义域内连续。,在其定,只要,都有,1.3.2 间断点,如果函数y=f(x)在点x0处不连续,则称x0点为,种情况之一时,点x0为函数f(x)的间断点:,(1)函数f(x),在,无定义;,在,在,(2)函数f(x),不存在;,(3)函数f(x),存在,但,虽有定义,但,虽有定义,且,f(x)的间断点或不连续点。,根据定义12可知,当函数f(x)在点x0有下列三,例18 函数 在x=1点无意义,所以x=1是此函数的间断点,见图.,但,所以 不存在,因此x=0是该函数的间断点,如图所示。,例19 函数 在x=0处有定义,但,所以x=0是f(x),的间断点,所以x=0是f(x)的间断点,如图所示。,为其无穷间断点.,为其振荡间断点.,例如:,显然,为其可去间断点。,(4),(5),为其跳跃间断点。,内容小结,左连续,右连续,2.作业：,思考与练习,1.讨论函数,x=2 是第二类无穷间断点。,的间断点。,2.设,时，,提示:,为,连续函数。,答案:x=1 是第一类可去间断点,一切基本初等函数在其定义域内都是连续的。,1.3.3 初等函数的连续性,一、基本初等函数的连续性,二、连续函数的运算,【定理6】设函数f(x)、g(x)在点连续,则f(x)g(x)在点连续；f(x).g(x)在点连续；当 时,f(x)/g(x)在点连续。,在其定义域内连续。,三、复合函数的连续性,【定理7】设函数 当 时极限存在且等于,即;函数y=f(u)在相应点 连续,即,则复合函数 当 时的极限也存在且等于,即。,理解：,例20 求极限。,解：,连续,根据定理7有,函数 可看作由,复合而成,因为,而 在相应点,例21 讨论函数 的连续性。,解：,函数 可看作由 复合而成,因,为 在 上连续,在,上连续,根据推论5得 在 上连续。,练习1:求,解:,原式,练习2:求,解:令,则,原式,说明:当,时,有,是由连续函数,练习4：讨论 的连续性,解：,练习3 求,解：,初等函数在其定义区间内是连续的,所谓定义区间是只包含在定义域内的区间。,四、初等函数的连续性,例22 求函数 的连续区间,并求当 时,f(x)的极限。,解：,续区间就是它的定义区间,f(x)在(-,-1)及在,因为 是初等函数,所以f(x)的连,(-1,1)(1,+)上有定义,故f(x)的连续区间,为(-1)(-1,1)(1,+).又因为x=0为f(x),连续区间内一点,所以,即,函数y=f(x)在区间上单值,单调增加(或单调减少)且连续,则其反函数 在对应的区间上也单值、单调增加(或单调减少)且连续。,例如,在,上连续单调递增,其反,在,上连续 单调 递增,其反函数,在,上也连续单调递增.,又如,在(-,+)内单调且连续,在(0,+)内单调且连续。,1.初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义,注意:,2.初等函数求极限的方法代入法:,域内不一定连续;,x定义区间。,内容小结,基本初等函数在定义区间内连续,连续函数的四则运算的结果连续,连续函数的反函数连续,连续函数的复合函数连续,初等函数在定义区间内连续,说明:,分段函数在界点处是否连续需讨论其左、,右连续性。,作业：,【定理8】（最大值最小值定理）闭区间a,b上的连续函数f(x)在该区间上至少取得它的最大值M和最小值m各一次。如图所示.,1.3.4 闭区间上连续函数的性质,注意:,间断点,结论不一定成立。,若函数在开区间上连续,或在闭区间内有,例如,无最大值和最小值,也无最大值和最小值,又如,闭区间a,b上的连续函数f(x)一定有界。,因为,取,【推论6】,【定理9】(介值定理）设函数f(x)在闭区间 上连续,且,C为A与B之间的任意一个值,则在开区间 内至少存在一点，使,如图所示。,连续曲线y=f(x)与水平直线y=c至少相交于一点,【推论7】y=f(x)在区间 上连续,且 时,则在开区间 内至少存在一点,使 如图所示。,连续曲线y=f(x)与x轴至少相交于一点,例23 证明三次方程 至少有一个实 根介于0和1之间。,解：,令,它为初等函数,在闭区,间0,1上连续,且f(0)=-10,由定,理9推论7可知,在开区间(0,1)内至少存在一,在(0,1)内至少有一个实根。,点,使得,说明方程,内容小结,在,上达到最大值与最小值;,上可取最大与最小值之间的任何值;,4.当,时,使,必存在,上有界;,在,在,设,则,1.任给一张面积为A的纸片(如图),证明必可,思考与练习：,将它一刀剪为面积相等的两片.,提示:,建立坐标系如图.,则面积函数,因,故由介值定理可知:,证明至少存,使,提示:令,则,易证,2.设,在一点,证：,令,连续,且,根据零点定理,原命题得证。,内至少存在一点,在开区间,显然f(x)在闭区间0,4上,使,