《分析力学二合》PPT课件.ppt

基 本 概 念,力学体系主动力约束力约束条件约束分类之几何约束与运动约束约束分类之可解约束与不可解约束完整力学体系广义坐标广义速度,有相互作用的质点组成的质点体系；,1 力学体系,问题：质点间无相互作用的体系是什么体系？,一群质点的集合，若其中有相互作用以致某一质点运动都与其它质点的位置和运动有关，则这种集合称为力学体系。,问题：确定其所有质点的位置需要多少个物理量?,2 主动力,能够引起质点运动的力,问题：质点在抛体运动中所受主动力是什么？问题：什么是质点的自由运动和约束运动?,凡是对质点系在运动中的位置坐标（直角、极、柱、球、其他，即指位置状态）、位置对时 间的导数（运动状态）及时间之间存在某种关系，则我们说这个质点系受到约束，这个关系称之为 约束方程。约束力一般是未知的。,3、约束力（约束反力、被动力）,问题：约束对运动的限制是通过什么实现的？问题：约束力取决于什么？,4、约束条件,约束方程：约束条件限制了质点的自由运动，改变 了主动力作用下质点的运动状况，因此 对约束条件进行量化描述时的数学表达 式为约束方程。,约束条件：力学体系中限制各质点自由运动的条件,约束：自由质点系中各质点运动信息必须服从的预 先设定的限制条件,问题：什么是质点系的位形？,5、约束分类几何约束与运动约束,（1）几何约束,只限制质点的位置的约束，又称完整约束,5、约束分类几何约束与运动约束,（1）几何约束,稳定约束,b.不稳定约束,例题：有一个质点限制于倾角为 的三棱体上运 动，分别在三棱体静止和以加速度 沿水 平线向右运动时写出其约束方程。例题：分析一下理想气体物态方程的约束条件。例题：当一个质点在椭球面上运动时，分别在椭 球中心以恒定速度 沿 轴移动的同时其 长短轴随时间程比例增加、椭球中心以恒 定 速度 沿 轴移动、椭球静止这三种不 同情况下写出其约束方程。,5、约束分类几何约束与运动约束,（2）运动约束,不仅限制质点位置还限制质点速度的约束，也叫微分约束。,例：在竖直的 平面内于 轴上作无滑动滚 动的半径为 的圆盘，写出其约束方程。,两组约束方程分别表明地面对车轮位置速度的限制.,在一定初始条件下积分,问题：运动约束可否转化成几何约束？,问题：什么是可积分的微分约束？与完整约束有什么关系？,问题：非完整的约束方程能否积分？,问题：什么叫完整约束和不完整约束？,问题：什么是可解约束与不可解约束？,6、约束分类可解约束与不可解约束,（1）可解约束,质点虽被约束，但在某个方向可脱离原来约束，也叫单面约束。,问题：这种约束只阻止朝某个方向位移而允许向 相反方向位移，其约束方程是什么形式？,6、约束分类可解约束与不可解约束,（2）不可解约束,判断：通常稳定与不稳定约束有可解的也有不可解的，可解与不可解约束也有稳定的和不稳定的约束。,虽然约束允许质点作一定运动，但不允许质点从任何方向脱离这种约束，也叫双面约束。,问题：不可解约束的约束方程是什么形式？,问题：判断下面各个约束的特点。,关于体系的约定本课程研究的均为不可解的完整体系,问题：什么叫完整系和不完整系？,作 业,写出下列各体系在各种情况下的约束方程1、一个质点被限制在固定球面上运动。2、一质点与一上端固定不动的刚性杆的下端相连。上端以速度沿水平方向运动时呢？3、一个刚性的双原子分子。4、球面摆的约束。5、与一柔软绳相连（绳的另一端与一个固定点相连）的质点的任意运动。6、在水平冰面上滑行的冰鞋上装有冰刀,冰面对冰刀 横向运动的限制使冰刀质心的速度方向只能沿着 冰刀的纵向。,2；4；球面摆的约束，OM 为刚性轻杆,设 O 点为直角坐标原点，则质点m 的坐标方程满足,若O 点不固定，在x 方向有一恒定速率v，t0 时O 点处于坐标原点，则约束方程,5、若质点与不可伸长的、柔软的绳子相连，,另一端固定且选为坐标原点时,另一端以速度沿水平方向运动，且初始时刻在原点时,6、在水平冰面上滑行的冰鞋上装有冰刀,冰面对冰 刀横向运动的限制使冰刀质心的速度方向只能沿 着冰刀的纵向.,冰刀的质心坐标和转角作为冰刀的位置坐标,则冰刀的约束方程为,上式还可写成,由于cot 与yc 的函数关系不能确定,所以不可积分.,7、力学体系,将地球和太阳均看成是质点，忽略其他行星对地球作用和太阳自身运动，则地球可视为质点，同样近似条件可研究太阳系其他行星运动。,如图质点 被约束于光滑水平平台上运动，质点上系一长度为的轻绳，绳穿过平台上小孔，绳另一端挂质点，讨论 运动情况,。,判断正误：第一个问题由于讨论的是多个行 星的运动问题，故属于质点系问 题。第二个问题只讨论一个质点 运动，因此是单个质点的问题。,问题：如何判断一个研究对象是质点还是质点系？,问题：如何求解自由质点系问题？,问题：上述的每一个量分别代表什么？,问题：若质点系内各质点间及质点与外界间存在有 个约束，情况如何？,问题：上述思想理论上是可以实现的，实际问题中 会碰到什么问题？,问题：有无更好的办法？,约 定,不可解的完整的力学体系约束可以是稳定的也可以是不稳定的,问题：完整不可解的力学体系仅含几何约束，不含运动约束。这句话对吗？,课间休息,小蜗牛问妈妈：为什么我们从生下来，就要背负个又硬又重的壳？妈妈：因为我们的身体没有骨骼的支撑，只能爬，又爬不快。所以 要这个壳的保护！小蜗牛：毛虫姊姊没有骨头，也爬不快，为什么她却不用背这个又 硬又重的壳呢？妈妈：因为毛虫姊姊能变成蝴蝶，天空会保护她啊。小蜗牛：可是蚯蚓弟弟也没骨头爬不快，也不会变成蝴蝶他什么不 背这个又硬又重的壳呢？妈妈：因为蚯蚓弟弟会钻土,大地会保护他啊。小蜗牛哭了起来：我们好可怜，天空不保护，大地也不保护。蜗牛妈妈安慰他：所以我们有壳啊！我们不靠天，也不靠地，我们靠自己。,8、广义坐标,（1）参考系与坐标系,（2）自由度,自由度（degree of freedom):描述一个物 体在空间的位置所需的独立坐标。自由度数：决定一个物体在空间的位置所 需的独立坐标数。,质点 空间的自由运动：3 某一平面上运动：2 某一直线上运动：1,刚体 平动：3 转动：3,双原子气体分子 刚性（哑铃型模型）：5（3平2转）非刚性（弹簧模型）：6（3平2转1振）,气体分子,单原子气体分子：3,设分子的平动自由度为t，转动自由度为r，振动自由度为s，则分子运动自由度为三种运动自由度之和，即：i=t+r+s=3N,三原子或多原子分子刚性：6 非刚性：最多3N,2 一卧倒的圆锥限制在一个平面上的运动（接触点可以滑动）。,1 长为L 细杆AB 的一端被约束在水平桌面 上,3 两个叠放在一起的陀螺，下面的陀螺支点固定.,作业：确定自由度,长度同为l的四根轻 杆,用光滑铰链连接 成一菱形ABCD。AB，AD 两边支于同一水 平线上相距为 2a 的 两根钉上，BD 间则 用一轻绳连接，C 点 上系一重 W 的物体。,例、一卧倒的圆锥限制在一个平面上的运动（接触点可以滑动）.,解：,A点的位置由坐标(x,y)表示,对称轴方位可由接触线AB与x轴夹角确定,圆锥自转角由确定,例、两个叠放在一起的陀螺，下面的陀螺支点固定.,例、长度同为L 的四根轻杆,用 光滑铰链连接成一菱形ABCD。AB,AD 两边支于同一水平线 上相距为2a 的两根钉上,BD 间则用一轻绳连接,C 点上 系一重W 物体。求系统自由度。,解:有绳连接时,系统的自由度为0,将绳子剪断,系统的自由度为1,例、长为l的细杆AB的一端被约束在水平桌面上,确定其自由度.,法一,刚体,细杆,无绕轴自转,A点被限制在平面上,s=6.xA,yA,zA,s=5.,s=4.,法二,A,B两点确定,细杆位置确定,2个约束方程:,8、广义坐标,（3）广义坐标,广义坐标定义,用于描述完整力学体系位形的一组独立变量。,适当选择的s 个用于描述质点系位形的独立参量。,足以能确定体系内质点位置的任意一组 s 个独立参量，用 表示，i=1，2，s，有时也称为独立坐标、拉格朗日广义坐标。S=3n-k,关于广义坐标的说明,为什么叫广义坐标,广义坐标的选取原则,直角坐标与广义坐标,关于广义坐标的说明,判断：在完整系中，广义坐标数目与自由度数目相等。,判断：对于一给定系统，广义坐标数目和广义坐标 选择都是唯一的。,?,?,?,判断,例：图示的双锤摆只能在xoy 平面内运动，分析并选择 广义坐标描述其状态。,作业：一质点被限制作半径为R 的平面圆周运动，请 用三种方法选择广义坐标来描述该质点的运动。,9、广义速度,广义坐标对时间的微商,问题：广义速度的单位是 m/s 吗？,问题：广义速度彼此是互相独立的吗？,问题：真实速度与广义速度关系是什么？,练习：写出n 个质点组成的自由质点系在直角 坐标系中的速度与任意一个其他广义坐 标系中的速度关系。,质点系,自由质点系：质点可“自由”运动，不受任何预先给定的限制,非自由质点系：质点运动受到预先给定的强制性限制,受约束的位置在力的作用下可能产生约束力,约束,可采用的力学方法,1、以牛顿运动定律为基础,矢量力学(牛顿力学),力、动量,问题：矢量力学如何解决多质点、多约束质点系问题？,2、以变分原理为基础,将基本定律表示为分析数学形式,分析力学,势函数、动能,约束、约束方程及其分类,一、约束与约束方程,约 束(constraint)：对非自由系统各质点位置和速度所加的 几何学或运动学限制。约束方程(constraint equation)：约束条件的数学表达式。,二、约束的分类,几何约束：只限制质点或质点系在空间的位置的约束运动约束：除限制质点位置，还限制质点速度的约束,约束方程:,可积分,可积分的运动约束,双面约束(bilateral constraint)：约束方程为等式的约束单面约束(unilateral constraint)：约束方程为不等式的约束,定常约束(steady constraint)：约束方程中不显含时间t 的约束非定常约束(unsteady constraint)：约束方程中显含时间t 的约束,非完整约束(nonholonomic constraint)：不可积分的运动约束,完整约束(holonomic constraint)：几何约束与可积分的运动约束,广义坐标与自由度,自由度数（degree of freedom)：确定具有完整约束质点系位置所需独立坐标的个数。,广义坐标(generalized coordinate)：唯一确定质点系位置的独立参数,广义坐标：x、y 或 x、z 或 y、z,自由度：N广义坐标数：k无约束时系统自由度数：3n完整约束方程数：s非完整约束方程数：r,非完整约束：（广义坐标数k系统自由度数N）,各质点的位置矢径：,例：写出以下双连刚杆质点系的约束方程，并判断自由度,解：双连刚杆双质点系的约束方程：,自由度数：,广义坐标：独立参数 角度,梁的挠度曲线：广义坐标,虚位移的概念,一、实位移、可能位移和虚位移,真实位移：满足约束方程和运动微分方程、初始条件的微小位移，是实际发生的位移。,针对双面、完整约束,设质点系(N个质点)受k个双面、完整约束，则约束方程：,简写为：,例：固定斜面上的物体只受重力作用，求：真实位移方向,问题：真实位移有多少个？,可能位移：只满足约束方程的无限小位移。,约束方程：,约束方程两边对t求导：,约束方程的微分,例：斜面上的物体只受重力作用，求：可能位移,问题：可能位移有多少个？,或：,可能速度,可能位移,约束方程：,虚位移：满足约束方程且无时间进程设想的可能位移。,在数学上：虚位移 满足以下条件:,约束方程的微分：,与时间变化无关,约束方程：,1、若约束定常，无穷小可能位移就是虚位移，无穷小真实位移也是虚位移之一。,虚位移满足：,例：斜面固定，物体只受重力作用，则：可能位移、实位移均是虚位移,虚位移也不唯一,约束方程的微分：,2、若约束非定常,例：斜面以速度v运动，物体只受重力作用，则真实位移、可能位移、虚位移是什么？,这时，可能位移是物体相对斜面的位移与斜面位移的叠加，一般不会在斜面内。,虚位移是假想约束在该时刻“凝固”不动时的“可能位移”。,虚位移在斜面内,约束方程：,虚位移满足：,约束方程的微分：,虚位移原理,虚位移原理：具有双面、完整、定常、理想约束的静止的质点系，在给定位置保持平衡的充要条件是：该质点系所有主动力在系统的任何虚位移上所作的虚功之和等于零。,变形体的虚位移原理,变形体的虚位移原理：具有双面、定常、完整、理想约束处于静止的质点系,在给定位置处于平衡的充分必要条件是，其所有外力和内力在该位置任意给定的虚位移上所作的虚功之和等于零。,直角坐标的虚位移与广义坐标虚位移的关系：,称为对应于广义坐标 的广义力,广义力表示的质系平衡条件,虚位移原理：,广义力,令：,由于广义坐标是独立的，因此 也是独立的。,对应于广义坐标 的广义力,若系统有 k 个自由度，虚位移原理可表示为,因此有：,广义力表示的平衡条件,如何计算广义力？,广义力表示的平衡条件,虚位移原理：,广义力：,(1)给出所有广义坐标方向上的虚位移，计算虚功，前面的系数就是。(解析法，几何法),(1)给出所有广义坐标方向上的虚位移，计算虚功，前面的系数就是。(解析法，几何法),(2)取一组特定虚位移，除 不为零，其余广义坐标虚位移均为零，计算虚功，则：,例：求对应于 的广义力。,例题 求简支梁外力对应于广义坐标 的 广义力 梁的挠度曲线：广义坐标：外力 虚位移：,一、有势力场中的平衡条件,势力场中质点系平衡条件及平衡稳定性,广义力表示的平衡条件,若在势力场中用虚位移原理建立的平衡条件是何形式？,虚位移原理：,质点系在势力场中的平衡条件,由虚位移原理,由广义坐标的独立性,广义力：,例题 求简支梁弹性力对应于广义坐标 的 广义力 梁的挠度曲线：广义坐标：外力 虚位移：弹性力的广义力：,二、质点系在有势力场中平衡的稳定性,观察下面三种质点平衡状态,平衡的稳定性(stability of equilibrium)：质点系处于某一平衡位置，若受到微小干扰偏离平衡位置后总不超出平衡位置邻近的某个微小区域，则称质点系在该位置的平衡是稳定的(stable)，否则是不稳定的(unstable)。,定理：质点系在势力场中的平衡位置是稳定的充分必要条件是系统在平衡位置的势能为极小值。,例：系统如图所示，滑块的质量为m,杆长为L(不计质量),弹簧刚度系数分别为。当杆铅垂时，弹簧无变形，求系统的平衡位置并分析其稳定性。,平衡位置,解：有势系统，1自由度，选广义坐标q,质点系 弹性体：弹簧力为有势力；弹性力可看作为有势力 即：弹性变形能等于引起此变形的外力所作的功弹性体变形能：（梁，柱的变形能）外力势能V，最小势能原理：在给定的外力下，实际存在的位移应使总势能的变分为零。即满足边界条件的各组位移中，真实位移使总势能取极值，稳定平衡状态该极值为极小值。,虚位移原理：针对平衡问题,C,应用虚位移原理,问题：对动力学问题能否用虚位移原理？,惯性力主动力约束力“平衡力系”,达朗贝尔原理：,动力学普遍方程,动力学普遍方程,其中：,动力学普遍方程和拉格朗日方程,建立了机构运动与主动力的关系,动力学普遍方程,拉格朗日方程,写成广义坐标虚位移形式,猜想：,与运动有关，可否表示成动能的某种形式？,是动力学普遍方程的广义坐标形式,动力学普遍方程和拉格朗日方程,拉格朗日方程,设：具有完整约束的非自由质点系有 k 个自由度 系统的广义坐标为：,第二类拉格朗日方程几种形式,1、当主动力均为有势力时,设：LT-V（拉格朗日函数）,2、当主动力部分为有势力时,例 求图示体系运动方程。以平衡时 的质心位置为坐标原点，取 为广义坐标，质点 的坐标为：重力 和弹簧反力 为有势力，以平衡位置为势能零位置，势能为阻尼力为非有势力，它对应于广义坐标 的广义力分别为体系的动能为：代入 得,例：求图示二层剪切框架运动方程。横梁只计质量、刚度无穷大；柱不计质量、层刚度为弹性力为有势力。设 的水平位移为，动能与势能分别为将 代入运动方程：,解：,哈密尔顿原理及哈密顿方程1.变分,引子:“最速落径”问题：J.Bernoulli 求连接A,B的曲线，使质点从 A至B所需的时间最短。,边界条件:,要解决：求y(x),使Ty(x)值最小,一般化问题:给定端点条件,求泛函,取极值的解函数:,求泛函极值用变分.,变分的概念:,由函数形状变化引起的函数值的变化称为函数的变分,泛函的变分,回忆：微分,变分,变分的计算:,设质点系某一质点的坐标y是广义坐标q和时间t的函数,微分:,变分:,泛函极值问题,L.Euler:使,的函数y(x)可使泛函取极值.且满足:,变分问题中的欧拉方程,欧拉（Euler）方程 求泛函 的极值。欧拉方程：,*端点变分为零,问题:自然界的规律能否用变分原理描述?,最小势能原理,势能函数取得极值是平衡的充要条件,平衡,稳定平衡,猜想:非平衡的动力学问题是否也存在是某个作用量的极值问题?,虚位移原理,作用量,1746 莫培丢 最小作用量原理,最小作用量：,动量在路径上的总功,质点系：,莫培丢拉格朗日最小作用量原理,对受理想、定常约束的保守系统，质点系在两个位形间所有的其他同能量的可能运动相比，真实运动的拉格朗日作用量为极小，或拉格朗日作用量的一阶变分为零。,拉格朗日作用量,全变分，包含t,2 哈密顿原理（Hamilton,1834）,哈密顿作用量：,哈密顿原理：具有理想和完整约束的质点系在有势力作用下，其真实运动与具有相同起止位置的可能运动相比，惟有真实运动使哈密顿作用量有驻值，即哈密顿作用量的变分等于零。,适用于：质点系统、多自由度刚体系统、无限自由度连续系统,证明：由于真实运动服从拉格朗日方程：代入得：由于 故有：由于，所以：对主动力中包括有势力和非有势力时的哈密尔顿原理为 式中，为非有势力的虚功,哈密顿原理与拉格朗日方程可以相互导出，即两者等价。,一般情况哈密顿原理不是变分原理,3.哈密顿方程哈密顿正则方程,回忆：拉格朗日方程,有几个微分方程？几阶的？,将拉格朗日方程作变换：,结果将怎样呢？,已知：,代入拉格朗日方程：,定义哈密顿函数：,定义哈密顿函数：,（2）,（1）,代入(1),哈密顿正则方程,代入(2),哈密顿正则方程,前n个方程：p与广义速度的关系,后n个方程：关于广义动量的一阶方程,L与H均为力学系统的描述函数。,拉格朗日方程与哈密顿方程等价。,讨论：,例：图示质量弹簧系统，求运动微分方程。,思考：可以有几种方法？,牛顿矢量法,拉格朗日方程,哈密顿方程,解:(1)法,坐标原点在弹簧自由伸长处,解:(2)法,零势能面在弹簧自由伸长处，x为广义坐标,代入拉格朗日方程：,解:(3)法,零势能面在弹簧自由伸长处，x为广义坐标,