五章线系统的频域分析.ppt

第五章 线性系统的频域分析,本章主要内容本章主要介绍了控制系统频域分析法的相关概念和原理。包括频率特性的基本概念；开环频率特性的极坐标图表示法、伯德图表示法；控制系统稳定性的频域分析法及其应用；控制系统闭环频率特性；开环、闭环频率特性与时域性能的关系。,本章重点通过本章学习，应重点掌握频率特性的概念与性质；典型环节及系统开环频率特性的极坐标图和伯德图的绘制和分析方法；控制系统稳定性的频域分析法；系统稳定裕度的概念和求法；闭环频率特性的概念等。,5.1 引言,频域分析法的概念与特点利用频率特性分析、设计系统的方法 研究稳态正弦响应的幅值和相角随频率 变化的规律；由开环频率特性研究闭环稳定性及性能；实验法、图解分析法及其广泛适用性；与时域分析和性能指标的明确对应性；(5)一定的近似性。,1、频率特性 G(j)的定义 在正弦输入下，系统的稳态输出分量与输入量的复数之比。一般用G(j)表示。即：,5.2 频率特性的基本概念,一、频率特性的基本概念,例1 RC 电路如图所示，ur(t)=Asinwt,求uc(t)=?,5.2 频率特性的基本概念,1、频率特性 G(jw)的定义,定义三：,定义一：,幅频特性,相频特性,5.2 频率特性的基本概念,1）与传递函数一样，频率特性也是一种系统数学模型。它描述系统的内在特性，与外界因素无关。系统结构参数给定时，频率特性则完全确定。2）频率特性是一种稳态响应。是在系统稳定的前提下求得的，不稳定系统则无法直接观察到稳态响应。从理论上讲，系统动态过程的稳态分量总可以分离出来，而且其规律并不依赖于系统的稳定性。因此，我们仍可以用频率特性来分析系统的稳定性、动态性能、稳态性能等。3）系统的稳态输出量与输入量具有相同的频率。当频率改变，则输出、输入量的幅值之比A（）和相位移（）随之改变。这是系统中的储能元件引起的。4）实际系统的输出量都随频率的升高而出现失真，幅值衰减。所以，可以将它们看成为一个“低通”滤波器。5）频率特性可应用到某些非线性系统的分析中去。,5.2 频率特性的基本概念,2、频率特性的性质,系统模型间的关系,三要素：频率：0 幅值：Ai Ao 关系：幅角：i o 关系：,5.2 频率特性的基本概念,3、频率特性的求取：1）根据定义求取。即对已知系统的微分方程，把正弦输入函数代入，求出其稳态解，取输出稳态分量与输入正弦量的复数比即可得到。2）根据传递函数求取。即用s=j代入系统的传递函数，即可得到。3）通过实验的方法直接测得。,根据传递函数求取频率特性:传递函数:,5.2 频率特性的基本概念,A（）幅频特性；G（j）的模，它等于稳态 的输 出分量与输入分量幅值之比.（）相频特性；G（j）的幅角，它等于稳态输出 分量与输入分量的相位差。U（）实频特性；V（）虚频特性；,5.2 频率特性的基本概念,频率特性:（s=j）,二、频率特性 G(jw)的几何表示方法,.幅相特性(Nyquist曲线),.对数幅相特性(Nichols图),5.2 频率特性的基本概念,半对数坐标表示方法(Bode图),两张图：,相频特性,对数幅频特性,半对数坐标：频率横坐标刻度按对数值等分 标注仍用实际频率值,描述增益与频率的关系,描述相角与频率的关系,Lg0.6=-0.2218Lg0.8=-0.0969 Lg2=0.301 Lg3=0.4771 Lg4=0.602 Lg20=1.301,5.2 频率特性的基本概念,采用半对数坐标的优点,扩大了频带表示范围典型环节的幅频特性曲线或其渐进线是直线将幅值乘除运算化为加减运算,5.2 频率特性的基本概念,5.1、5.2 小结,1、频率特性 G(jw)的定义 幅相频特性，实虚频特性及其关系2、频率特性的性质3、频率特性的各种表示方法4、Bode图半对数坐标的画法和作用,作业：P21421552；54,5.2 频率特性的基本概念,5-3 开环系统的典型环节分解和开环频率特性曲线的绘制,三、系统的开环幅相频率特性曲线,一、开环系统典型环节分解的意义,四、系统的开环对数频率特性曲线,二、各种典型环节的开环频率特性曲线,一、开环系统典型环节分解的意义,1、闭环系统的开环传递函数分解,结论：闭环系统的开环传递函数和频率特性可以视为各种具有不同数学模型和控制特性的各种基本环节典型环节的串联,设典型环节频率特性为：则系统开环频率特性为,5-3 开环系统的典型环节分解和频率特性曲线,系统开环幅频特性：和开环相频特性：,系统开环对数幅频特性：和开环对数相频特性：,2、典型环节的分类,结论：开环频率特性变乘为加，使运算和绘图简化，描述频带范围扩大。,5-3 开环系统的典型环节分解和频率特性曲线,典型环节的分类2（按传递函数不同分）,二、典型环节的频率特性1、对数频率特性曲线（伯德图）2、幅频特性曲线（奈氏图）,5-3 开环系统的典型环节分解和频率特性曲线,1、典型环节的对数频率特性曲线（伯德图）,（1）比例 环节,5-3 开环系统的典型环节分解和频率特性曲线,-20dB/dec,（2）积分环节,L1(w),5-3 开环系统的典型环节分解和频率特性曲线,1,20dB/dec,（3）微分环节,传递函数与积分环节互为倒数，它们的Bode图以实轴相互对称；而一阶微分环节则与惯性环节对称。,5-3 开环系统的典型环节分解和频率特性曲线,（4）惯性环节,5-3 开环系统的典型环节分解和频率特性曲线,wt 1的近似线斜率-20dB/dec,与零分贝线交于 处,惯性环节的对数幅频特性通常用渐进线近似:,绘制惯性环节的Bode图方法,5-3 开环系统的典型环节分解和频率特性曲线,L(),绘制惯性环节Bode图的方法,2、wt1部分画0dB/dec线,3、延长至1/t处斜率转折为-20dB/dec线,1、找出w1/t,称 w=1/t 转折频率,相频特性不能用近似特性,5-3 开环系统的典型环节分解和频率特性曲线,（5）一阶微分环节,一阶微分环节的传递函数与惯性环节互为倒数，它们的Bode图以实轴为轴相互对称。,5-3 开环系统的典型环节分解和频率特性曲线,幅频特性：,相频特性：,对数幅频特性：,（6）振荡环节,对数幅频特性 低频段0dB/dec线，过转折频率 1=1/后斜率变为-40dB/dec直线,5-3 开环系统的典型环节分解和频率特性曲线,幅频特性精确曲线与大小有关,因此，近似曲线应根据值进行修正；误差最大发生在=1/处。,相频特性曲线也与大小有关,L()|=1/=-20lg(2),5-3 开环系统的典型环节分解和频率特性曲线,（7）滞后环节,迟后环节的Bode图,5-3 开环系统的典型环节分解和频率特性曲线,典型环节的极坐标图,振荡环节,5-3 开环系统的典型环节分解和频率特性曲线,惯性环节极坐标图,G(jw)幅值随w增加而由1变小至0，幅角从0-90，矢量末端轨迹是个半圆,对照BODE图,w=0处实部1,5-3 开环系统的典型环节分解和频率特性曲线,滞后环节的极坐标图,5-3 开环系统的典型环节分解和频率特性曲线,一 系统开环对数频率特性的绘制,前式两边取对数再乘20，得,系统开环频率特性大都是典型环节串联起来的,5-3.2 系统开环频率特性的绘制,这样，系统的对数幅频特性、相频特性分别是串联 典型环节的对数幅频 特性、相频特性相加,1、开环BODE绘制原则,5-3 开环系统的典型环节分解和频率特性曲线,系统可看成三个环节串联：一个比例环节、两个惯性环节,5-3 开环系统的典型环节分解和频率特性曲线,系统相频特性通过表达式计算描点,分析：系统开环传函由三个典型环节组成，其对数幅频特性 的近似特性由三段组成；转折处频率就是两个惯性环节的转折频率（=1/T）；经过一个惯性环节转折频率后，对数幅频特性的近似特性的斜率增加-20dB/dec;,5-3 开环系统的典型环节分解和频率特性曲线,2、绘制系统开环对数幅频特性的近似特性的步骤：,求出各环节的转折频率。,画高度为20lgK的直线，从01（最小的转折频率）作为系统对数幅频特性近似特性的低频段。,在1后，斜率变为-20dB/dec,因为该转折处频率是惯性环节的转折频率（振荡环节则-40dB/dec)，随的增加，每经过一个转折频率，幅频特性的斜率改变一次。,系统相频特性通过表达式计算描点,5-3 开环系统的典型环节分解和频率特性曲线,5-3 开环系统的典型环节分解和频率特性曲线,解：该系统由5个典型环节组成：,1、比例环节 K=4 20lgK=12dB,3、惯性环节 转折频率 1=1/2=0.5(1/sec)幅频特性经过1斜率增加-20dB/dec；相频特性 为0-45-90,4、一阶微分环节 转折频率 2=1/0.5=2（1/sec）幅频特性经过2斜率增加+20dB/dec；相频特性 为0+45+90,2、积分环节 幅频特性-20lg 是一条过=1，斜率-20dB/dec 的直线 相频特性-90,5、振荡环节 转折频率 3=1/0.125=8（1/sec）幅频特性经过3斜率增加-40dB/dec 相频特性为0-90-180 2T=0.05=0.2幅频特性应修正20lg2=8dB,-60dB/dec,L(),2=2,1=0.5,12dB,-20dB/dec,-20dB/dec,-40dB/dec,(),=0.2 3 附近幅值应修正,增加8dB,3=8,准备坐标：频率范围：最小 1=0.5，最大 3=8；横坐标 范围大约从0.05 到 80,w-f(w)0.5-1221.6-1292-1278-19110-237,3、一般近似对数幅频特性的特点：（1）最左端直线斜率为（2）的分贝值，最左端直线或其延长线的分贝值为20 lgK。（3）最左端直线（或其延长线）与零分贝线的交点频率（4）在交接频率=1/T()处，L()曲线斜率发生改变，改变的多少取决于典型环节的类型。,补例2 试绘制以下传递函数的对数幅频曲线,5-3 开环系统的典型环节分解和频率特性曲线,解：,（1）,（2）绘制最左端的直线：斜率-20dB/dec 直线，在 过17.5(dB)这一点的直线。,5-3 开环系统的典型环节分解和频率特性曲线,（3）根据各环节的交接频率绘制近似对数幅频特性。,（4）修正近似的对数幅频特性。,5-3 开环系统的典型环节分解和频率特性曲线,4、最小相位系统和非最小相位系统最小相位系统：系统稳定，而且在右半 s 平面没有零点。否则就是非最小相位系统。,举例：,5-3 开环系统的典型环节分解和频率特性曲线,对于最小相位系统：幅频特性与相频特性具有一一对应关系；而非最小相位系统没有这样的关系。已知最小相位系统的幅频特性就可以直接写出系统的传递函数。,补例3：已知最小相位系统的开环对数幅频特性如图所示，试确定系统开环传递函数。,系统开环传递函数：,5-3 开环系统的典型环节分解和频率特性曲线,二 系统频率特性极坐标图（奈奎斯特曲线）的绘制,典型环节频率特性极坐标图的大致走向（所在象限）,按照各个典型环节频率特性在各个频率下的大小迭加而成。它是一条大致的曲线，需要准确的地方，如：和负实轴相交的地方，才需要准确计算,2、概略绘制开环幅相曲线的方法举例例1、某零型反馈控制系统，系统开环传递函数,试概略绘制系统的开环幅相曲线。,5-3 开环系统的典型环节分解和频率特性曲线,与虚轴的交点：,若包含 n 个惯性环节:,每增加一个惯性环节,起始点不变,终点仍在原点，只是相角切入角-90;此时,频率特性曲线与负实轴会有交点,应准确求出:令虚部为零,得到代入实部便得,5-3 开环系统的典型环节分解和频率特性曲线,与例2区别仅多了一个积分环节,由于=0+时，惯性环节的相角有很小的负值，所以，曲线在=0+处应在第三象限,随的增加，幅值减小，相角滞后越大，变化趋势如图。（从使用角度，不必准确）,=幅值为零，相角为3*（-90）。,最关心的是相角-180时的幅值。,II型系统包含两个积分环节，例如,起点与终点：,开环传递函数含有积分环节时的开环幅相曲线,5-3 开环系统的典型环节分解和频率特性曲线,当包含一阶微分环节，这时的幅相曲线也可能出现凹凸，例如：,起点与终点：,若T1大于其它时间常数，幅相曲线如图所示，与实轴、虚轴的交点可以用对应的实部、虚部表达式求出。,5-3 开环系统的典型环节分解和频率特性曲线,基本规律：设,（1）（2）（3）幅相曲线与实轴、虚轴的交点求取。（4）不包含一阶微分环节，包含一阶微分环节的幅相曲线。,5-3 开环系统的典型环节分解和频率特性曲线,0型,III型,II型,I型,5-3 开环系统的典型环节分解和频率特性曲线,含不同个数积分环节时的奈氏曲线,系统奈奎斯特曲线（开环频率特性极坐标图）的绘制要点：,“0”型系统：奈氏曲线从实轴（幅值=K处）开始,奈氏曲线在=0 到 0+的变化随系统的不同而差别很大：,“I”型系统：奈氏曲线从实轴（幅值=处）开始，=0+就转过-90到负虚轴附近；是在第三或第四象限，应比较=0+时各零点的相角之和与各极点相角之和哪个大，前者大则在第四象限，否则第三象限,“II”型系统：奈氏曲线也是从实轴（幅值=处）开始，=0+就转过-180到负实轴；是在第二或第三象限，也是比较=0+时各零点的相角之和与各极点相角之和，前者大则第三象限，否则第二象限,nm:奈氏曲线终止在原点（=），切入方向根据零、极点确定,即：N(-90)+M(90),求奈氏曲线与实轴的交点：令虚部为零，得到代入实部而得,5-3 开环系统的典型环节分解和频率特性曲线,5-3 系统开环频率特性的绘制小结：,绘制系统开环对数频率特性曲线（Bode图）：有两张图，都是按典型环节相加，开环对数幅频特性曲线通常可以使用近似特性，绘制时根据传递系数、环节的转折频率和斜率一步就可以画出,绘制系统频率特性极坐标图（奈奎斯特曲线）：抓住曲线头尾的特征，曲线与实轴的交点计算而得,相关作业P215：5-5；5-6；5-11(1)、(2)5-12(1)、(2),5-3 开环系统的典型环节分解和频率特性曲线,5-4 频率域稳定判据,频域稳定判据：奈奎斯特稳定判据和对数稳定判据频域稳定判据的特点：利用开环频率特性曲线判断闭环系统稳定性可研究系统参数和结构改变对稳定性的影响研究包含延迟环节系统的稳定性奈氏判据可推广到某些非线性系统的稳定性奈氏判据的理论基础是复变函数的幅角定理。,稳定性判据回顾：,劳斯稳定判据：根据特征方程的系数及劳斯表 判断系统的稳定性,根轨迹法：根据特征方程的根随系统参量变化的轨迹 判断系统的稳定性,奈奎斯特稳定判据：根据系统的开环频率特性 判断闭环系统的稳定性。,奈奎斯特稳定判据的数学基础：映射定理,5-4 频率域稳定判据,一、映射定理（幅角定理）设有一复变函数为,式中，s+j为复变量，F(s)为复变函数,记F(s)U+jV。,如果在s 平面画一条封闭曲线,并使其不通过F(s)的任一零、极点,则在F(s)平面上必有一条对应的映射曲线,如图5-24所示。,（1）,5-4 频率域稳定判据,图5-24 s平面与F(s)平面的映射关系,5-4 频率域稳定判据,若在s平面上的封闭曲线是沿着顺时针方向运动的,则在F(s)平面上的映射曲线的运动方向可能是顺时针的,也可能是逆时针的,这取决于F(s)函数的特性。我们感兴趣的不是映射曲线的形状,而是它包围坐标原点的次数和运动方向,因为这两者与系统的稳定性密切相关。,根据式(1)，复变函数F(s)的相角可表示为,5-4 频率域稳定判据,假定在s平面上的封闭曲线包围了F(s)的一个零点z1，而其他零极点都位于封闭曲线之外,则当s沿着s平面上的封闭曲线顺时针方向移动一周时,向量(s z1)的相角变化-2 弧度,而其他各相量的相角变化为零。这意味着在F(s)平面上的映射曲线沿顺时针方向围绕着原点旋转一周,也就是向量F(s)的相角变化了-2弧度,如图5-25所示。若s平面上的封闭曲线包围着F(s)的Z个零点,则在F(s)平面上的映射曲线将按顺时针方向围绕着坐标原点旋转Z周。,5-4 频率域稳定判据,图 5-25 封闭曲线包围z1时的映射情况,5-4 频率域稳定判据,用类似分析方法可以推论,若s平面上的封闭曲线包围了F(s)的P个极点,则当s沿着s平面上的封闭曲线顺时针移动一周时,在F(s)平面上的映射曲线将按逆时针方向围绕着原点旋转P周。综上所述,映射定理可以归纳如下:映射定理 设s平面上的封闭曲线包围了复变函数F(s)的P个极点和Z个零点,并且此曲线不经过F(s)的任一零点和极点,则当复变量s 沿封闭曲线顺时针方向移动一周时,在F(s)平面上的映射曲线按逆时针方向包围坐标原点（P-Z）周。,5-4 频率域稳定判据,二、奈奎斯特稳定判据设系统的开环传递函数为,mn,则系统的特征方程为,5-4 频率域稳定判据,结论：*（1）辅助函数的零点是闭环传递函数的极点 辅助函数的极点是开环传递函数的极点（2）辅助函数的零、极点个数相同（3）F(s)与G(s)H(s)在复平面上的几何关系,5-4 频率域稳定判据,为了判断闭环系统的稳定性,需要检验F(s)是否有位于s 平面右半部的零点。为此可以选择一条包围整个s平面右半部的按顺时针方向运动的封闭曲线,通常称为奈奎斯特回线,简称奈氏回线,如图5-26所示。,5-4 频率域稳定判据,图 5-26 奈氏回线,奈奎斯特稳定判据 如果在s平面上,s沿着奈氏回线顺时针方向移动一周时,在F(s)平面上的映射曲线F围绕坐标原点按逆时针方向旋转圈数R=P-Z=0周（P为开环传函位于s平面右半部极点的个数，Z为闭环极点个数）时,则系统是稳定的。根据系统闭环特征方程：G(s)H(s)=F(s)-1 F(s)的映射曲线F围绕原点运动的情况,相当于系统开环传函G(s)H(s)的封闭曲线GH围绕着(1,j0)点的运动情况,如图5-27所示。,5-4 频率域稳定判据,图 5-27 奈氏回线映射在F(s)平面和G(s)H(s)平面上,5-4 频率域稳定判据,结论：闭环系统稳定的充要条件是Z=P-R=0，即R=P。即：GH逆时针包围（-1，j0）点的圈数=右半s平面开环极点数。,映射曲线GH的绘制方法:令sj代入G(s)H(s),得到开环频率特性G(j)H(j),然后绘制从变化到 的开环频率特性奈氏图,就构成了完整的映射曲线GH。,5-4 频率域稳定判据,半映射曲线GH:从0变化到 的开环频率特性奈氏图,称半映射曲线(从-0的开环频率特性与GH关于实轴对称)。,2、奈奎斯特判据的实用形式之一（1）当特征方程有纯虚根，闭环系统临界稳定时，奈奎斯特曲线GH曲线过（-1，j0）点，此时圈数R是不定的。,（3）若，则系统闭环不稳定，在右半s平面上闭环特征根的个数 Z=P-R。,补例1 设单位反馈系统试用奈氏判据判定闭环系统的稳定性。,（2）若P=0，即系统开环稳定时，闭环系统稳定的充要条件是：奈氏曲线不包围（-1，j0)点，Z=R=0。,5-4 频率域稳定判据,解：（1）绘制 的曲线。,系统是闭环稳定的。,（2）用奈氏判据判定闭环系统的稳定性,5-4 频率域稳定判据,补例2 具有单位反馈的非最小相位系统,试分析闭环系统的稳定性。,解：（1）绘制奈氏曲线,（2）若R=P=1，则系统闭环稳定。这就要求 K1；当 K=1系统是临界稳定。,5-4 频率域稳定判据,（1）绘制 的半闭合曲线GH，设N+为GH在（-1，j0）点左侧逆时针穿越负实轴的次数，N-为GH在（-1，j0）点左侧顺时针穿越负实轴的次数，则闭环稳定的条件是：,（2）对于 型系统的奈氏曲线：,补画一条半径为无穷大，逆时针方向绕行 的圆弧，这样可得完整的 部分（半闭合）奈氏曲线。,3、奈氏判据的实用形式之二,5-4 频率域稳定判据,补例3 设单位反馈系统，其开环传递函数,试用奈氏判据判断系统稳定性。,解：开环幅相大致曲线如图所示,曲线顺时针包围（-1，j0）点一圈，N=-1。P=0，Z=P-2N=2。闭环系统不稳定，且s右半平面极点个数为2。,5-4 频率域稳定判据,课本上的例子与相关习题,P196 图5-32P197 例5-8利用奈氏判据确定参数的稳定范围,P2165-13、5-14（作业）5-155-16（选作）,5-4 频率域稳定判据,1、特点：对数判据是奈氏稳定判据在半对数坐标系中的推广：Z=P-R，关键是在对数频率特性图上如何确定 N。2、确定开环幅相曲线与Bode图的对应关系：,二、对数频率稳定判据,（1）奈氏图的单位圆对应伯德图的零分贝线；（2）奈氏图的负实轴对应伯德图的-线；（3）正穿越自下而上穿越线：N+；负穿越自上而下穿越 线：N-；,5-4 频率域稳定判据,已知开环系统在右半s平面的极点数P，开环对数幅频特性为正值的所有频率范围内(c)，对数相频曲线对-180o线的正、负穿越之差，则闭环系统稳定的条件是,3、对数频率稳定判据的描述,P 200 例5-10：图5-35,两种分析方法：利用奈氏判据利用对数判据,5-4 频率域稳定判据,当开环传递函数包括积分环节时，在对数相频特性上要补画 这一段频率变化范围的相角变化曲线。,例如,系统闭环不稳定。,5-4 频率域稳定判据,对于开环稳定的系统(P=0)，若在L()0的频段内，()穿越-180线的次数(正穿越与负穿越之差)为0，则闭环系统稳定;否则闭环系统不稳定。,补例 系统开环传递函数为试用对数稳定判据判断其稳定性。,5-4 频率域稳定判据,5-4 频率域稳定判据,P=0,而在L()0的频段内,相频特性()不穿越180线(N=0),故Z=0,即闭环系统稳定。,4、条件稳定系统的概念考察图5-35系统的奈氏曲线（P=0）,（1）开环增益K增加到足够大：,系统闭环不稳定。,(3)开环增益适当：N=N+-N-=0，Z=0：系统闭环稳定,5-4 频率域稳定判据,对数判据相关作业,P217：5-17；5-18（选）,5-4 频率域稳定判据,5.5 稳定裕度,时域（t）,系统相对稳定性和动态性能,稳定边界 稳定程度,频域（w）,稳定程度,虚轴,阻尼比 x,到(-1,j0)的距离,(-1,j0),稳定裕度,(开环频率指标),复域（s）,根轨迹增益K*,知识回顾、奈氏曲线和Bode图的对应关系,Bode图零分贝线，对应奈氏曲线的单位圆,增益为零时的频率称幅值穿越（截止）频率,相角=-180时的频率称相角穿越频率,对应点,5.5 稳定裕度,一、相对稳定性和稳定裕度的概念,例如：某最小相位系统的奈氏图如右：,由图可知：,1、若P=0，则该系统是 稳定的(N=0),2、该系统最简的传函是：,3、增加K值，在K=Kf时，曲线通过（-1,j0）点，这时系统处于临界稳定,可见：曲线在(-1,j0)点右侧穿越负实轴，系统稳定，离该点越远相对越稳定,4、增加K值时,曲线往 左扩 张,KKf时包围(-1,j0)点，使系统不稳定,KKf,5.5 稳定裕度,相对稳定性用两个参数来衡量：,1)在=c处，|G(j)|=1,若系统稳定 g=180+(jc)应0,2)在=g处，(j)=-180,若系统稳定 Kg=1/A(g)应1,g 称为相角稳定裕度（g 越大相对稳定性越好）Kg称为幅值稳定裕度（Kg越大相对稳定性越好）,幅值穿越频率,相角穿越频率,相对稳定性是用两个参数来衡量的，稳定性度大，必须两个参数都要大,5.5 稳定裕度,稳定裕度在Bode图中的描述,因为，在对数幅频特 性图中，纵坐标是用对数增益刻度，所以，幅值稳定裕度Kg表示为：h=-20lg(1/A()因此，和Kg一致，h 越大，则相对稳定裕度就越大,上图系统 0,h1,闭环是稳定的,5.5 稳定裕度,系统闭环不稳定时：0,h1,K，相频特性不变，幅频特性下移，导致wc就有可能得到0,h1使系统稳定。（P202例5-12、P204例5-14可作为例证）,如果：减少系统的增益K，稳定性将如何变化？,h,5.5 稳定裕度,教材上的例子：例5-12:利用定义求解稳态裕量例5-13：典型二阶系统相角裕量的计算结论：相位裕量只与阻尼比有关，是的增函数。所以，越大，越大，系统超调量越小，动态平稳性越好。频域性能指标与时域指标之间有关联？一致性？例5-14：利用伯德图确定稳态裕量结论：1、适当减小开环增益K，可以增大相角裕度（但同时系统稳态精度变差），所以必须兼顾。2、伯德第一定理：对于最小相位系统，当相角裕度在4570之间时，则要求对数幅频曲线在截止频率处的斜率-20 dB/dec。,二、稳定裕度的计算,5.5 稳定裕度,二、稳定裕度的计算(补例),解法I：由幅相曲线求,(1)令,试根得,5.5 稳定裕度,(2.1)令,可得,5.5 稳定裕度,(2.2)将G(jw)分解为实部、虚部形式,令,得,代入实部,5.5 稳定裕度,解法II：由Bode图求,5.5 稳定裕度,解.作L(w)求,5.5 稳定裕度,求wg,整理得,解出,利用开环频率特性分析系统的性能,三频段理论,三频段理论并没有提供设计系统的具体步骤，但它给出了调整系统结构改善系统性能的原则和方向,5.5 稳定裕度,利用开环频率特性分析系统的性能,关于三频段理论的说明：各频段分界线没有明确的划分标准；与无线电学科中的“低”、“中”、“高”频概 念不同；不能用是否以-20dB/dec过0dB线作为判定 闭环系统是否稳定的标准；只适用于单位反馈的最小相位系统。,5.5 稳定裕度,课程小结,稳定裕度的概念,(开环频率指标),稳定裕度的定义,稳定裕度计算方法,的几何意义,截止频率,相角裕度,穿越频率,幅值裕度,的物理意义,5.5 稳定裕度,本次课程作业(P218)5 21，5 22 5-23(选）,5.5 稳定裕度,5-6 闭环系统的频域性能指标,闭环频域指标及其物理意义闭环指标和开环指标间的关系频域指标和时域指标间的关系,一、闭环频域指标,研究闭环频率特性的必要性,（1）闭环频率特性的一些特征量在实际工程中应用十分广泛；,（2）通过实验方法很容易得到系统的闭环频率特性；,(3)通过闭环频率特性可以估算系统的性能指标。,5-6 闭环系统的频域性能指标,对于单位反馈系统，闭环和开环系统频率特性的关系,对于一般系统的闭环和开环系统频率特性的关系,求得不同频率对应的闭环幅值和相角后，就可得闭环频率特性，画出闭环频率特性曲线。在工程上常用等M和等N圆图或尼柯尔斯图线，直接由单位反馈系统的开环频率特性曲线绘制闭环频率曲线。,5-6 闭环系统的频域性能指标,闭环频率特性指标,闭环频率特性,(1)零频幅值,下降到0.707 对应的频率值,系统带宽,代表阶跃响应时的稳态精度M0=1时，ess=0.,Mr代表动态平稳性,带宽代表系统对输入信号的复现能力和抗高频干扰性能,5-6 闭环系统的频域性能指标,（1）一阶系统,一阶系统的性能,Ts与b的关系？,5-6 闭环系统的频域性能指标,5-6 闭环系统的频域性能指标,（2）欠阻尼二阶系统,二阶系统闭环频率特性：,二阶系统闭环频率特性曲线,5-6 闭环系统的频域性能指标,5-6 闭环系统的频域性能指标,与 的关系?,5-6 闭环系统的频域性能指标,开环系统截止频率c与闭环系统带宽BW的大致关系？,系统的频率特性放宽若干倍，单位阶跃响应就加快若干倍。,注意：带宽越大，对高频噪声衰减越弱，抗高频干扰能力越差，因此应折中考虑带宽的选择。,5-6 闭环系统的频域性能指标,频率尺度与时间尺度的反比性质:闭环系统带宽BW与响应速度成反比，即BW越大，Ts、Tr越小，快速性越好。,近似关系：,二、开环、闭环频率特性的性能指标之间的关系,相位裕量与Mr一致，反映系统的动态稳定性。越大，Mr越小，则相对稳定性越好；c与b一致，反映系统的快速性。c与b越大，响应速度越快。,5-6 闭环系统的频域性能指标,（5-118）,g越大奈氏曲线离（-1j0）点越远，相对稳定性越好。,5-6 闭环系统的频域性能指标,例证：二阶系统,5-6 闭环系统的频域性能指标,三、系统频、时域指标的关系总结1、时域与开环频域之间动态性能指标的关系,系统动态性能主要取决于开环对数幅频特性的中频段。对一、二阶系统来说，不同域中的指标转换有严格的数学关系。而高阶系统的关系比较复杂，工程上常常用近似公式或曲线来表达它们之间的联系。,主要讨论、与c、之间的关系,1)二阶系统,5-6 闭环系统的频域性能指标,（a）与之间的关系,阻尼比越大，相应的相角裕度就越大。,5-6 闭环系统的频域性能指标,又因为,与的关系是通过中间参数相联系的。对于二阶系统来说，越小，越大；为使二阶系统不至于振荡得太厉害以及调节时间太长，一般取：300 700。,5-6 闭环系统的频域性能指标,（b）与 之间的关系,可见，确定以后，截止频率c大的系统，调节时间 ts 短，呈反比关系（c 反映了快速性）。,5-6 闭环系统的频域性能指标,2)、高阶系统没有准确的关系式，通常用以下经验公式近似估算：,一般上述估算得到的结果偏保守，实际性能比估算结果要好。,5-6 闭环系统的频域性能指标,2、时域动态指标与闭环频域指标的关系 主要研究、ts与Mr、r、b之间的关系（1）二阶系统 1）与Mr的关系 一定时，Mr与p互为增函数。越大，Mr 越小，超调p 越小，平稳性越好。,5-6 闭环系统的频域性能指标,2）与b的关系 b与Mr均与 有关。对于给定的（或谐振峰值Mr），ts与b成反比。b大，则ts也小，系统的快速性好。,5-6 闭环系统的频域性能指标,估算时域指标方法：（1）从开环对数频率特性曲线确定相角裕度（2）根据 查对应的（3）由 查图3-13得；由 求,5-6 闭环系统的频域性能指标,本次作业：P218：5-21、5-22、5-24（1、2）,稳 定 性是系统工作的前提，稳态特性反映了系统稳定后的精度，动态特性反映了系统响应的快速性。不同域中性能指标的形式各不相同：1时域指标：超调量p、稳态误差ess、调整时间t s、及峰值时间tp、上升时间tr等。2频域指标：（以对数频率特性为例）开环：截止频率c、相位裕量r及增益裕量 hg等。闭环：谐振峰值Mr、谐振频率r及带宽b等。,小结：不同域中性能指标的意义,5-6 闭环系统的频域性能指标,5-6 闭环系统的频域性能指标,小结：不同域中性能指标的意义,本章课程小结,用频域分析方法估算系统的动态性能,P164,实验测试,稳定性,稳定裕度,闭环频率 特征量,