D91二重积分概念2计算.ppt

2012.3,D9_1二重积分概念_2计算,第1页 总72页,总习题8,17.求平面,和柱面x2y21的交线上与xy平面距离最短的点,解 设M(x y z)为平面和柱面的交线上的一点 则M到xOy平面,的距离为d(x y z)|z|,问题在于求函数f(x y z)|z|2z2在约束条件,和x2y21下的最小值,作辅助函数,令,解方程组得,因为可能的极值点只有,这一个 所以这个点就是所求之点,2012.3,D9_1二重积分概念_2计算,第2页 总72页,第九章,重 积 分,一元函数积分学,多元函数积分学,重积分,曲线积分,曲面积分,第一节,二重积分的概念与性质,一、引例,二、二重积分的定义与可积性,三、二重积分的性质,四、曲顶柱体体积的计算,二、利用极坐标计算二重积分,2012.3,D9_1二重积分概念_2计算,第3页 总72页,解法:类似定积分解决问题的思想:,一、引例,1.曲顶柱体的体积,给定曲顶柱体:,底：xoy 面上的闭区域 D,顶:连续曲面,侧面：以 D 的边界为准线,母线平行于 z 轴的柱面,求其体积.,“大化小,常代变,近似和,求 极限”,2012.3,D9_1二重积分概念_2计算,第4页 总72页,1)“大化小”,用任意曲线网分D为 n 个区域,以它们为底把曲顶柱体分为 n 个,2)“常代变”,在每个,3)“近似和”,则,中任取一点,小曲顶柱体,2012.3,D9_1二重积分概念_2计算,第5页 总72页,4)“取极限”,令,2012.3,D9_1二重积分概念_2计算,第6页 总72页,2.平面薄片的质量,有一个平面薄片,在 xoy 平面上占有区域 D,计算该薄片的质量 M.,度为,设D 的面积为,则,若,非常数,仍可用,其面密,“大化小,常代变,近似和,求 极限”,解决.,1)“大化小”,用任意曲线网分D 为 n 个小区域,相应把薄片也分为小区域.,2012.3,D9_1二重积分概念_2计算,第7页 总72页,2)“常代变”,中任取一点,3)“近似和”,4)“取极限”,则第 k 小块的质量,2012.3,D9_1二重积分概念_2计算,第8页 总72页,两个问题的共性：,(1)解决问题的步骤相同,(2)所求量的结构式相同,“大化小,常代变,近似和,取极限”,曲顶柱体体积:,平面薄片的质量:,2012.3,D9_1二重积分概念_2计算,第9页 总72页,二、二重积分的定义及可积性,定义:,将区域 D 任意分成 n 个小区域,任取一点,若存在一个常数 I,使,可积,在D上的二重积分.,积分和,是定义在有界区域 D上的有界函数,2012.3,D9_1二重积分概念_2计算,第10页 总72页,引例1中曲顶柱体体积:,引例2中平面薄板的质量:,如果 在D上可积,也常,二重积分记作,这时,分区域D,因此面积元素,可用平行坐标轴的直线来划,记作,2012.3,D9_1二重积分概念_2计算,第11页 总72页,二重积分存在定理:,若函数,定理2.,(证明略),定理1.,在D上可积.,限个点或有限个光滑曲线外都连续,积.,在有界闭区域 D上连续,则,若有界函数,在有界闭区域 D 上除去有,例如,在D:,上二重积分存在;,在D 上,二重积分不存在.,2012.3,D9_1二重积分概念_2计算,第12页 总72页,三、二重积分的性质,(k 为常数),为D 的面积,则,2012.3,D9_1二重积分概念_2计算,第13页 总72页,特别,由于,则,5.若在D上,6.设,D 的面积为,则有,2012.3,D9_1二重积分概念_2计算,第14页 总72页,7.(二重积分的中值定理),证:由性质6 可知,由连续函数介值定理,至少有一点,在闭区域D上,为D 的面积,则至少存在一点,使,使,连续,因此,2012.3,D9_1二重积分概念_2计算,第15页 总72页,例1.比较下列积分的大小:,其中,解:积分域 D 的边界为圆周,它与 x 轴交于点(1,0),而域 D 位,从而,于直线的上方,故在 D 上,2012.3,D9_1二重积分概念_2计算,第16页 总72页,例2.判断积分,的正负号.,解:分积分域为,则,原式=,猜想结果为负 但不好估计.,舍去此项,2012.3,D9_1二重积分概念_2计算,第17页 总72页,例3.估计下列积分之值,解:D 的面积为,由于,积分性质5,即:1.96 I 2,2012.3,D9_1二重积分概念_2计算,第18页 总72页,8.设函数,D 位于 x 轴上方的部分为D1,当区域关于 y 轴对称,函数关于变量 x 有奇偶性时,仍,在 D 上,在闭区域上连续,域D 关于x 轴对称,则,则,有类似结果.,在第一象限部分,则有,再如,2012.3,D9_1二重积分概念_2计算,第19页 总72页,四、曲顶柱体体积的计算,设曲顶柱的底为,任取,平面,故曲顶柱体体积为,截面积为,截柱体的,2012.3,D9_1二重积分概念_2计算,第20页 总72页,同样,曲顶柱的底为,则其体积可按如下两次积分计算,2012.3,D9_1二重积分概念_2计算,第21页 总72页,例4.求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积.,解:设两个直圆柱方程为,利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为,则所求体积为,2012.3,D9_1二重积分概念_2计算,第22页 总72页,a,a,4.,2012.3,D9_1二重积分概念_2计算,第23页 总72页,a,a,a,a,D,.,.,.,.,.,.,.,4.,2012.3,D9_1二重积分概念_2计算,第24页 总72页,被积函数相同,且非负,思考与练习,解:,由它们的积分域范围可知,1.比较下列积分值的大小关系:,2012.3,D9_1二重积分概念_2计算,第25页 总72页,2.设D 是第二象限的一个有界闭域,且 0 y 1,则,的大小顺序为(),提示:因 0 y 1,故,故在D上有,2012.3,D9_1二重积分概念_2计算,第26页 总72页,3.计算,解:,2012.3,D9_1二重积分概念_2计算,第27页 总72页,4.证明:,其中D 为,解:利用题中 x,y 位置的对称性,有,又 D 的面积为 1,故结论成立.,2012.3,D9_1二重积分概念_2计算,第28页 总72页,备用题,1.估计,的值,其中 D 为,解:被积函数,D 的面积,的最大值,的最小值,2012.3,D9_1二重积分概念_2计算,第29页 总72页,2.判断,的正负.,解：,当,时，,故,又当,时，,于是,2012.3,D9_1二重积分概念_2计算,第30页 总72页,内容小结,1.二重积分的定义,2.二重积分的性质,(与定积分性质相似),3.曲顶柱体体积的计算,二次积分法,2012.3,D9_1二重积分概念_2计算,第31页 总72页,作业 D9_1二重积分概念,计算P78 2,4(1,2,3),5(1,4)P95 1(1,2,4),2012.3,D9_1二重积分概念_2计算,第32页 总72页,112教学计划,12学时,2012.3,D9_1二重积分概念_2计算,第33页 总72页,第九章,第二节,二重积分的计算法,一、利用直角坐标计算二重积分,二、利用极坐标计算二重积分,*三、二重积分的换元法,2012.3,D9_1二重积分概念_2计算,第34页 总72页,一、利用直角坐标计算二重积分,且在D上连续时,由曲顶柱体体积的计算可知,若D为 X 型区域,则,若D为Y 型区域,则,2012.3,D9_1二重积分概念_2计算,第35页 总72页,当被积函数,均非负,在D上变号时,因此上面讨论的累次积分法仍然有效.,由于,2012.3,D9_1二重积分概念_2计算,第36页 总72页,说明:(1)若积分区域既是X型区域又是Y 型区域,为计算方便,可选择积分序,必要时还可以交换积分序.,则有,(2)若积分域较复杂,可将它分成若干,X-型域或Y-型域,则,2012.3,D9_1二重积分概念_2计算,第37页 总72页,例1.计算,其中D 是直线 y1,x2,及,yx 所围的闭区域.,解法1.将D看作X型区域,则,解法2.将D看作Y型区域,则,2012.3,D9_1二重积分概念_2计算,第38页 总72页,例2.计算,其中D 是抛物线,所围成的闭区域.,解:为计算简便,先对 x 后对 y 积分,及直线,则,2012.3,D9_1二重积分概念_2计算,第39页 总72页,例2.计算,其中D 是抛物线,所围成的闭区域.,解:如果 先对 y后对x积分,及直线,则,2012.3,D9_1二重积分概念_2计算,第40页 总72页,例3.计算,其中D 是直线,所围成的闭区域.,解:由被积函数可知,因此取D 为X 型域:,先对 x 积分不行,说明:有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.,2012.3,D9_1二重积分概念_2计算,第41页 总72页,例4.交换下列积分顺序,解:积分域由两部分组成:,视为Y型区域,则,2012.3,D9_1二重积分概念_2计算,第42页 总72页,D:x+y=1,x y=1，x=0 所围,1,1,1,先对 y 积分,.,y=1 x,y=x 1,.,10.将二重积分化成二次积分,2012.3,D9_1二重积分概念_2计算,第43页 总72页,D:x+y=1,x y=1，x=0 所围,1,1,1,先对 y 积分,.,先对 x 积分,D1,D2,.,x=1 y,x=y+1,（不分块儿行吗？）,10.将二重积分化成二次积分,.,2012.3,D9_1二重积分概念_2计算,第44页 总72页,D:由四条直线:x=3，x=5,3x 2y+4=0,3x 2y+1=0 共同围成的区域,3,5,5,8,3x 2y+4=0,3x 2y+1=0,D,.,D1,D2,D3,先对y积分,先对x积分,.,.,（需分块）,.,.,（需分块）,11.将二重积分化成二次积分,2012.3,D9_1二重积分概念_2计算,第45页 总72页,D:,.,.,1,1,y=x,y=x2,.,12.将二重积分换序,2012.3,D9_1二重积分概念_2计算,第46页 总72页,D:,.,.,a,a,.,.,.,.,x=y,13.将二重积分换序,分,2012.3,D9_1二重积分概念_2计算,第47页 总72页,例5.计算,其中D 由,所围成.,解:令,(如图所示),显然,2012.3,D9_1二重积分概念_2计算,第48页 总72页,一 先对x积分,.,.,.,.,14.(练习)将二重积分化成二次积分,2012.3,D9_1二重积分概念_2计算,第49页 总72页,二 先对 y 积分,y,y,x,o,a,b,y,x,o,a,b,D,D,D,.,.,.,.,14.(练习)将二重积分化成二次积分,.,2012.3,D9_1二重积分概念_2计算,第50页 总72页,二.利用极坐标计算二重积分,2012.3,D9_1二重积分概念_2计算,第51页 总72页,15.为什么引用极坐标计算二重积分,2,1,D,D1,D2,D3,D4,D:,.,怎么计算？,需使用极坐标系！,此题用直角系算麻烦,必须把D分块儿!,2012.3,D9_1二重积分概念_2计算,第52页 总72页,极坐标系下的面积元素,将,变换到极坐标系,0,D,用坐标线:=常数；r=常数 分割区域 D,i,ri,ri+1,.,.,.,.,.,.,16.利用极坐标计算二重积分,i,i,i+i,I=,ri,r,.,.,2012.3,D9_1二重积分概念_2计算,第53页 总72页,17.怎样利用极坐标计算二重积分(1),极点不在区域 D 的内部,0,A,B,F,E,D,D:,r,r,2012.3,D9_1二重积分概念_2计算,第54页 总72页,17.怎样利用极坐标计算二重积分(1),0,A,B,F,E,D,D:,.,极点不在区域 D 的内部,r,标,2012.3,D9_1二重积分概念_2计算,第55页 总72页,17.怎样利用极坐标计算二重积分(1),0,A,B,F,E,D,D:,.,步骤：1 从D的图形找出 r,上、下限；2 化被积函数为极坐标形式；3 面积元素dxdy化为rdrd,.,极点不在区域 D 的内部,r,2012.3,D9_1二重积分概念_2计算,第56页 总72页,极点位于区域 D 的内部,0,D,r,D:,18.怎样利用极坐标计算二重积分(2),r,2012.3,D9_1二重积分概念_2计算,第57页 总72页,D:,D,0,18.怎样利用极坐标计算二重积分(2),.,极点位于区域 D 的内部,r,2012.3,D9_1二重积分概念_2计算,第58页 总72页,D:,.,D,0,步骤：1 从D的图形找出 r,上、下限；2 化被积函数为极坐标形式；3 面积元素dxdy化为rdrd,18.怎样利用极坐标计算二重积分(2),极点位于区域 D 的内部,r,2012.3,D9_1二重积分概念_2计算,第59页 总72页,若 f 1 则可求得D 的面积,思考:下列各图中域 D 分别与 x,y 轴相切于原点,试,答:,问 的变化范围是什么?,(1),(2),2012.3,D9_1二重积分概念_2计算,第60页 总72页,2a,.,.,解,19.,.,2012.3,D9_1二重积分概念_2计算,第61页 总72页,此题用直角系算麻烦，需使用极坐标系！,2,1,D,D:,变换到极坐标系,.,.,20.,计算,D:=1和=2 围成,2012.3,D9_1二重积分概念_2计算,第62页 总72页,例6.计算,其中,解:在极坐标系下,原式,的原函数不是初等函数,故本题无法用直角,由于,故,坐标计算.,2012.3,D9_1二重积分概念_2计算,第63页 总72页,注:,利用例6可得到一个在概率论与数理统计及工程上,非常有用的反常积分公式,事实上,当D 为 R2 时,利用例6的结果,得,故式成立.,2012.3,D9_1二重积分概念_2计算,第64页 总72页,2R,区域边界：,x=0,即 r=2Rsin,r=2Rsin,21.,2012.3,D9_1二重积分概念_2计算,第65页 总72页,1,2,y=x,D,.,.,.,22.,2012.3,D9_1二重积分概念_2计算,第66页 总72页,4,r=4 cos,r=8 cos,8,D,1,2,23.,计算,y=2x,x=y,2012.3,D9_1二重积分概念_2计算,第67页 总72页,0,y,x,r=8 cos,D,4,8,.,r=4 cos,2,1,23.,.,计算,I=,2012.3,D9_1二重积分概念_2计算,第68页 总72页,例7.求球体,被圆柱面,所截得的(含在柱面内的)立体的体积.,解:设,由对称性可知,2012.3,D9_1二重积分概念_2计算,第69页 总72页,P96,12.化下列二次积分为极坐标形式的二次积分,解 积分区域D如图所示 并且,2012.3,D9_1二重积分概念_2计算,第70页 总72页,P96,12.化下列二次积分为极坐标形式的二次积分,解 积分区域D如图所示 并且,2012.3,D9_1二重积分概念_2计算,第71页 总72页,内容小结,(1)二重积分化为累次积分的方法,直角坐标系情形:,若积分区域为,则,若积分区域为,则,2012.3,D9_1二重积分概念_2计算,第72页 总72页,则,(2)一般换元公式,且,则,极坐标系情形:若积分区域为,在变换,下,2012.3,D9_1二重积分概念_2计算,第73页 总72页,(3)计算步骤及注意事项,画出积分域,选择坐标系,确定积分序,写出积分限,计算要简便,域边界应尽量多为坐标线,被积函数关于坐标变量易分离,积分域分块要少,累次积好算为妙,图示法,不等式,(先积一条线,后扫积分域),充分利用对称性,应用换元公式,2012.3,D9_1二重积分概念_2计算,第74页 总72页,思考与练习,1.设,且,求,提示:,交换积分顺序后,x,y互换,2012.3,D9_1二重积分概念_2计算,第75页 总72页,解：,原式,备用题,1.给定,改变积分的次序.,2012.3,D9_1二重积分概念_2计算,第76页 总72页,2.计算,其中D 为由圆,所围成的,及直线,解：,平面闭区域.,2012.3,D9_1二重积分概念_2计算,第77页 总72页,2012.3,D9_1二重积分概念_2计算,第78页 总72页,2012.3,D9_1二重积分概念_2计算,第79页 总72页,作业,P95 二重积分计算 直角坐标1(2,4);2(3,4);5;6(2,4);15(1,4);,P96 二重积分计算 极坐标11(2,4);12(1,3);13(3,4);14(2,3);,