Ch4分离变量法.ppt

Autumn 2013Instructor:Y.Huang Room 721,Shangxian Building School of Mathematics&Statistics,NUIST,Partial Differential Equations,Ch4 分离变量法,正交函数系与广义Fourier级数施图姆-刘维尔特征值问题齐次方程与齐次边界条件的定解问题非齐次方程与齐次边界条件的定解问题非齐次边界条件的处理,第3章讨论了无界或半无界问题，介绍了波动方程初值问题的求解方法。本章讨论有界问题，介绍解决有界问题的有效方法分离变量法。,分离变量法来源于物理学中如下事实：,它是求解数学物理定解问题的一种最普遍最基本的方法之一，适用于解一些常见区域(如有限区间、矩形域、圆域、长方体、球面、圆柱体等)上的混合问题和边值问题。,机械振动总可以分解为具有各种频率和振幅的简谐振动的叠加；而每个简谐振动常具有 的驻波形式，即可表示成只含变量 x 的函数与只含变量 t 的函数的乘积变量分离。,成为问题的解。因此，分离变量法又称为Fourier级数法，而在讨论波动方程时也被称为驻波法。,求 和 的问题归结为求解常微分方程的边值问题(即特征值问题)，再利用初始条件确定各项中的任意常数 使 u(x,t)(比如傅里叶(Fourier)级数形式),由此得到启发，在解线性定解问题时可尝试满足齐次方程和齐次边界条件的具有变量分离形式的解的叠加,1.正交函数系与广义Fourier级数,1.1 正交函数系,三角函数系,具有正交性,即其中任何两个不同函数的乘积在区间上的积分等于零.,Def 1.设有一族定义在a,b上的函数,若满足,则称该函数系是a,b上的正交函数系，简称正交系，常记为 或,例如,函数系,为-l,l上的正交函数系。,一个函数 若积分 存在，则称 平方可积，记为,数 称为 在 中的范数。,一个正交函数系 若满足，则称 为标准正交系。,例如,函数系,为 上的标准正交系。,Def 2.设 函数系 在a,b上满足,则称该函数系在a,b上关于权函数 正交。,一个函数 若积分 存在，则称 关于权函数平方 可积。,1.2 广义Fourier级数,定理 1.设 f(x)是以 2l 为周期的函数，如在-l,l上满足,(1)连续或只有有限个第一类间断点；,(2)至多有有限个极值点，,则在-l,l上 f(x)可以展成傅里叶级数,并且当 x 是 f(x)的连续(或间断)点时，级数收敛 f(x)(或)，其中,特别地，当 f 是偶函数时，,其中,当 f 是奇函数时，,其中,定理 2.设 为定义在a,b上的一个关于权函数 平方可积的正交函数系，f(x)是a,b上的给定函数且 f(x)可表示成如下一致收敛的级数形式,其中,按照(4.2)确定系数的方法得到的级数(4.1)，称为 f(x)按关于权函数 正交的函数系 展开的广义傅里叶级数；由(4.2)确定的系数 成为广义傅里叶系数。,类似，可定义双变量正交函数系 将 f(x,y)按 展开成广义傅里叶级数,其中,2 施图姆-刘维尔(Sturm-Liouville)问题,2.1 二阶线性齐次常微分方程的求解,求解特征值问题时，常遇到二阶线性齐次常微分方程的求解问题。,对二阶常系数线性齐次常微分方程的求解问题。,可利用特征根法求解。,设(4.3)对应的特征方程 的两个根为,根据 的不同情形，有下面的结论：,当 为相等实根时，,当 为共轭复根时，,对于二阶变系数欧拉(Euler)方程,若令 可将其化为关于 t 的常系数方程,再用特征根法求解，最后用 回代，得到关于 x 的解。,当 为相异实根时，,2.2 二阶线性齐次偏微分方程问题的变量分离解,通过变量代换，二阶线性常系数齐次偏微分方程及一维情形下的线性齐次边界条件总可化为如下标准形式：,其中a,b,c,d,e,k,l都是常数，且a,b不全为零，k,l不全为零。,例如,当 a=-b 时为双曲型，a=0 或 b=0 时为抛物型，a=b 时为椭圆型；当 l=0 时为Dirichlet边界，k=0 时为Neumann边界，k,l 时为Robin边界。,下面求解其变量分离形式的非零解 u(x,y)=X(x)Y(y).,将 u 代入泛定方程，得,即,上式左端仅是 x 的函数，右端仅是 y 的函数。欲对所有变量 x,y 均相等，两端必为常数，记作,于是,即化为了两个常微分方程。,将 u 代入边界条件，有,欲求非零解 u(x,y)，应有 故需,因此，欲求解偏微分方程问题(1.4),只需：,先解常微分方程的边值问题,得到 及其对应的非零X(x);再将 代入,结合其他定解条件求解非零Y(y)。,2.3 Sturm-Liouville问题,(1)Sturm-Liouville方程,在分离变量法中，常遇到下面含参数 的二阶线性齐次常微分方程,其中 乘上适当的函数后,(4.5)可化为,事实上，将(4.5)式两端同乘以函数 有,(4.6)式可写成,比较两式，可得,从而,即,其中 是a,b中任一点。进而,方程(4.6)称为施图姆-刘维尔(Sturm-Liouville)方程，简记S-L方程，其中 为实函数。,注1.在分量变量法中遇到的常微分方程都是(4.6)(或(4.5)的特例。,例如：当 时，(4.6)变为,为保证解的存在性，假定 连续，而k(x)连续可微。,即,当 时，(4.6)变为勒让德(Legendre)方程,即,当 时，(4.6)变为n阶贝塞尔(Bessel)方程。,(2)正则与奇异,S-L方程(4.6)常分为正则和奇异两种类型。若在a,b上，则称(4.6)在(a,b)上是正则的；,当区间是无穷或半无穷时，或者当 k(x)或 在有限区间a,b的一个或两个端点处为零时，(4.6)称为在(a,b)上是奇异的。,(3)S-L特征值问题,根据 k(x)在端点 a,b 处的不同取值可给予S-L方程(4.6)相应的边界条件。,当 k(a),k(b)0 时，给予边界条件,例如勒让德方程在（0,1）上是奇异的。,其中 为实数,且 与 不同时为零,与 不同时为零.,如果还有k(a)=k(b),则可给予周期性边界条件,当 时,对端点 a 处给予自然边界条件(有界性条件),对于 的情况，或者k(a)=k(b)=0的情况，可类似地提边界条件。,S-L方程(4.6)若带上上述边界条件之一，就得到一个二阶线性常微分方程的两点边值问题，称该问题为施图姆-刘维尔问题，简称为S-L问题。,一定是它的解(平凡解)。现在要问：是否存在参数 的一些值，使得该问题有非零解？,这样的一类问题称为特征值问题(或固有值问题)，而使得S-L问题有非零解的参数 的值称为此问题的特征值(或固有值)，相应的非零解 y(x)称为是与特征值 相对应的特征函数(或固有函数)。,例1.求解特征值问题,解.对 取值的三种情形加以讨论。,(1)当 时，方程的通解是,由边界条件得,由此解得,从而 不符合非零解的要求。因此 不能小于零。,(2)当 时，方程的通解是,由边界条件得,由此解得,从而 同样，它也不是所需要的解。,(3)当 时，方程的通解是,为求非零解，设 故,从而,因此所求的特征值为,对应于 的特征函数为,其中 为任意非零常数。,注2.本例中，且,例2.求解特征值问题,解.对 取值的三种情形加以讨论。,(1)当 时，方程的通解满足,由边界条件得,由此解得 从而 不符合非零解的要求。,(2)当 时，方程的通解满足,由边界条件得 从而可得非零常数解,(3)当 时，方程的通解满足,由边界条件，得,故 且,为求非零解，设 故 从而,因此，综合情况(2)和(3)，所求的特征值为,对应于 的特征函数为,其中 为任意非零常数。,注3.本例中，且,例3.求解特征值问题,解.易知,当 时,没有非零解.,当 时，方程的通解为,由边界条件得,为求非零解，设 故,记 则上式为 其中,此方程的根(取正根)是正切曲线 与直线 的交点的横坐标，有无穷多个，依次设为,其中,对应于 的特征函数为,其中 为任意非零常数。,例4.求解特征值问题,解.易知,当 时,没有非零解.,当 时，有非零常数解,当 时，方程的通解为,由周期性边界条件，得,所以特征值和对应的特征函数为,例5.求解特征值问题,解.这是欧拉方程，可通过变换 来求解。,易知,当 时,没有非零解.,当 时，方程的通解为,原方程可化为:,由 y(1)=0，得 由 y(e)=0，得,所以特征值和对应的特征函数为,关于特征值和特征函数，有一些基本结论，是分离变量法能够进行的关键所在。,定理2.设S-L问题中对应于不同特征值 和 的特征函数 和 在a,b上连续可微，则 和 在a,b上关于权函数 正交。,推论1.区间a,b上的周期S-L问题，属于不同特征值的特征函数在a,b上关于权函数 正交。,定理3.若 则S-L问题的所有特征值都是实的，且相应的特征函数也可以取成实的。,定理4.正则但非周期的S-L问题的所有特征值都是单重的，即在允许相差一个常数因子的定义下是唯一的。,定理5.若 则S-L问题存在可列无穷多个实的特征值，按大小排列为其中 且 对应的特征函数在区间(a,b)内恰好有n个零点。特征函数的全体 构成一个完备正交系。,进一步地，若函数 f(x)在a,b上满足狄利克雷条件和S-L问题的边界条件，则 f(x)可按特征函数系 展开为广义傅里叶级数，即,其中,且等式在积分平均,如果 f(x)在a,b上有一阶连续导数和分段连续的二阶导数，则级数(4.9)a,b上绝对且一致收敛于 f(x)。,的意义下成立，其中,3 齐次方程和齐次边界条件的定解问题,3.1 波动方程的初边值问题,(1)两端固定的有界弦的自由振动,例1.考虑长为 l 的两端固定的弦，由初始位移问题 和初始速度 引起的振动问题,分析：此定解问题中泛定方程和边界条件都是线性和齐次的，可利用叠加原理。,思路：分离变量法求解：通过初值问题找出奇次方程的无穷多个变量分离形式的特解，并做这些特解的叠加(线性组合)，再利用初始条件确定叠加系数，得到原问题的解。,解：Step 1.分离变量,设定解问题有非零的变量分离形式的解 u(x,t)=X(x)T(t)，将其代入泛定方程得,或,上式左端仅是 t 的函数，右端仅是 x 的函数，要使等号对所有00成立，两端必为常数，记作,于是,因T(t)不恒为零，利用边界条件,可得,Step 2.解特征值问题,求解特征值问题,由前节可知，该问题的特征值和对应的特征函数为,Step 3.求解其它常微分方程，得特解,对于每一个 代入与 T 相关的另一个常微分方程中：,其通解为,其中 都是任意常数。,于是得到满足定解问题中的泛定方程和边界条件的变量分离特解,其中 为任意常数。,这表明特解有无穷多个，但一般来说，其中的任意一个并不一定能满足定解问题中的初始条件。,因为当t=0时，,当固定函数，而初值 和 是任意函数。因此这些特解中的任意一个，一般还不是问题的解。,Step 4.特解 的叠加,由于泛定方程和边界条件都是线性齐次的，可利用叠加原理将诸 叠加起来，得到的函数项级数,亦满足泛定方程和边界条件，只要该级数收敛且对 x,t 均二次逐项可微。,Step 5.系数 的确定,由初始条件得,这表明 分别是函数 在0,l上关于特征函数系 展开的系数(本例恰好是Fourier正弦级数的系数)。,用 分别乘以上两式，再对x在0,l上积分，并利用 在0,l上的正交性,可得,这样，该定解问题的解形式上由级数(2)给出，其系数 由上式(3)所确定。,Step 6.解的存在唯一性,以上由分离变量法和叠加原理得到的定解问题(1)的级数解(2)仅是一个形式解，因用(2)中级数表示的u(x,t)要有意义，必须(2)中的级数收敛且关于 x,t 均二次可微。,如果对初值函数 和 加上适当的光滑性条件，可以证明这个形式的解的确是一个古典解：,定理2.(古典解存在定理)若函数且满足相容性条件：则定解问题(1)存在古典解，且可由级数(2)给出，其中系数由(3)确定。,定理3.(唯一性定理)若u(x,t)是问题(1)的古典解，则它是唯一的。,注1.下面用分离变量法求解各种定解问题时，除非特别说明，一般是求形式解，不再列出古典解存在的有关条件。,例2.求定解问题,解：这个问题的级数解形式已由(2)给出,所以 与上一章行波法得到的结果一致。,(2)两端自由的有界杆的自由纵振动,例3.考虑长为l 的两端自由的均匀细杆，由初始位移 和初始速度 引起的自由纵振动问题,解：与例1不同的是，这里的边界条件是第二类的。,令u(x,t)=X(x)T(t)，代入泛定方程得,上式左端仅是t的函数，右端仅是 x 的函数，要使等号对所有00成立，两端必为常数，记作,于是,结合边界条件,得特征值问题,其特征值和对应的特征函数为,对于每一个 求解,其通解为,其中 都是任意常数。,因此得到满足定解问题中的泛定方程和边界条件的变量分离形式的特解,利用叠加原理，设所求的形式解为,其中系数由初始条件确定，即,从而得,(3)边界固定的矩形膜的自由振动*,例4.考虑长为a,宽为b的边界固定的的矩形膜，由初始位移 和初始速度 引起的自由纵振动问题,解：使用两次分离变量法。令u(x,y,t)=U(x,y)T(t),代入泛定方程，得,其中 为分离常数，于是,在设U(x,y)=X(x)Y(y),代入(5),得,结合边界条件,得特征值问题,其特征值和对应的特征函数为,类似地，得特征值问题,其特征值和对应的特征函数为,从而，得到满足(5)及齐次边界条件的解,以 代入(4)(记)，求解,其通解为,其中 都是任意常数。,因此,满足初值问题的泛定方程和边界条件。,利用叠加原理，设所求的形式解为,其中系数由初始条件确定，即,从而得,(4)边界固定的立方体中波的传播问题*,例5.考虑三维波动问题,解.类似地，可求得形式解,其中 系数,3.2 热传导方程的初边值问题,(1)一维情形,例6.考虑长为l 的均匀细杆的热传导问题,解.这是一个热传导方程的第三初边值问题。设u(x,t)=X(x)T(t),代入泛定方程，得,于是,结合边界条件,得特征值问题,其特征值和对应的特征函数为,其中 是方程 的第n个正根。,由定理可知，特征函数系 是正交的。,对于每一个 求解,其通解为,因此 满足(6)中的泛定方程和边界条件。,利用叠加原理，设所求的形式解为,其中系数由初始条件确定，即,用 乘以上式两端并利用正交性，得,(2)二维情形,例7.考虑长为a,宽为b,边界恒为零度的矩形板中的热传导问题,解.设u(x,y,t)=U(x,y)T(t),代入泛定方程，得,于是,同例4的求解，得到满足(9)及齐次边界条件的解,及其所对应的,以 代入(8),得其通解为,因此,满足泛定方程和边界条件(m,n=1,2,).,利用叠加原理，设所求的形式解为,其中系数由初始条件确定，即,从而得,例8.考虑定解问题,解.类似于例3和例7的求解，可得形式解,其中,例9.考虑定解问题,(3)三维情形*,解.类似于例5和例7的求解，可得形式解,其中,3.3 Laplace方程边值问题,(1)矩形域的Dirichlet问题*,例1.考虑长为a,宽为b的矩形平板上的温度分布的平衡状态问题,解.设u(x,y)=X(x)Y(y),代入泛定方程，得,其中f(x)是已知的连续函数且满足相容性条件f(0)=f(a)=0.,于是,结合边界条件u(0,y)=X(0)Y(y)=0及u(a,y)=X(a)Y(y)=0,得特征值问题,其特征值和对应的特征函数为,方程 的通解为,因此,满足泛定方程和边界条件.,利用叠加原理，设所求的形式解为,其中系数由初始条件确定，即,所以,解得,从而,注1.对于矩形域的一般Dirichlet问题,可利用叠加原理，将其分解为两个类似于例1的定解问题(即每个定解问题仅有一个非齐次边界条件)分别用类似于例1的方法再将两个解叠加起来即可得原定解问题的解。,(2)矩形域的Neumann问题,例2.考虑长为a,宽为b的矩形平板的Neumenn问题,解.设u(x,y)=X(x)Y(y),代入泛定方程，得,其中f(x),g(x)是已知的连续函数且满足相容性条件,结合边界条件得特征值问题,其特征值和对应的特征函数为,方程 的通解为,因此,满足泛定方程和边界条件。,利用叠加原理，设所求的形式解为,其中系数由初始条件确定，即,所以,解得,由此可得 即Neumann问题的解存在的必要条件(相容性条件)成立。,由,从而,其中 为任意常数(即定解问题的解相差一个常数)。,注2.一般地，Laplace方程的Neumann内问题,有解的必要条件是,事实上，由Gauss公式，有,注3.类似地，可求解问题,其中h(x),k(x)是已知的连续函数且满足相容性条件,(3)矩形域的Dirichlet-Neumann混合问题,例3.求解Dirichlet-Neumenn混合边值问题,解.求解过程的前面部分同例2，可设形式解为,其中f(x),g(x)是已知的连续函数。,其中系数由初始条件确定，即,所以,解得,从而,例4.考虑稳定状态下半径为a的薄圆盘的温度分布问题,(4)圆域的Dirichlet问题,解.令 则问题化为极坐标形式，并考虑到圆盘中心的温度值有限，以及 与 表示同一点，有,令 代入泛定方程，有,于是,特征值问题,的特征值和对应的特征函数为,对于每个 求解,当 时，方程为,故有,从而,当 时，方程为Euler方程，作变换 可化为,解得,进而,由 的有界性，推得,故,因此,利用叠加原理，设所求的形式解为,其中系数由边界条件 确定，即,从而,注4.Dirichlet内问题(10)的解(11)的积分形式为,称为圆域内的泊松公式。,事实上，将(12)代入(11),有,注5.对于圆域外的Dirichlet问题,类似可得其形式解为,例5.求解定解问题,解.由例4知，解的表达式为(11)且,所以,例6.求解圆域的Neumann问题,(5)圆域的Neumann问题*,其中 满足相容性条件,解.设 同Dirichlet问题，可求得泛定方程的解为,上式对r微分，有,于是,所以，定解问题的解为,注6.Neumann问题(13)的解(14)的积分形式为,注7.对于圆域外的Neumann问题,类似可得其形式解为,4 非齐次方程和齐次边界条件的定解问题,4.1 波动方程的初边值问题,例1.考虑两端固定的弦的受迫振动问题,分析一：由于泛定方程中非齐次f(x,t)的出现，若以u(x,t)=X(x)T(t)代入方程，不能实现变量分离。为此，可采用特征函数法(类比求解线性非齐次常微分方程的常数变易法)。,常数变易法回顾,对于二阶线性非齐次常微分方程,若对应的齐次方程,有通解,则该非齐次方程有特解,其中 和 可由下列方程组求得：,解.法一：特征函数法,Step 1.对应齐次问题的特征函数系,问题(1)所对应的齐次问题为,通过分离变量u(x,t)=X(x)T(t)后，得到的特征值问题为,由此解得特征函数为,Step 2.的方程和初始条件,类比常数变易法，设(1)的形式解为,则(3)满足边界条件u(0,t)=u(l,t)=0.,将(3)代入泛定方程，得,此等式的左端是右端函数f(x,t)关于变量x的Fourier正弦级数展开，故有,将(3)代入初始条件，有,于是,Step 3.的求解,用常微分方程的常数变易法求解关于 的定解问题(4)和(5)。,因齐次方程 的通解为,故设(4)的通解为,其中 由(2)确定，即,于是,从而,代入(5),得,因此,Step 4.非齐次问题的解,将(6)代入(3),得定解问题(1)的解为,其中 由(4)和(5)确定。,分析二:恰为齐次定解问题,的形式解，而 是零初始条件下非齐次问题,的形式解。可见，原非齐次定解问题(1)可由叠加原理分解为齐次定解问题(8)和零初始条件下非齐次问题(9)。,齐次定解问题(8)表示由初值引起的振动，可由分量变量法求解；零初始条件下非齐次问题(9)表示仅由强迫外力引起的振动，可由下面的齐次化原理转化为齐次问题利用分离变量法求解。,定理2.(齐次化原理)如果 是定解问题,的解，其中 是参数，则 是定解问题(9)的解。,解.法二：分离变量法+齐次化原理+叠加原理,Step 1.分离变量法求解齐次问题(8),其形式解为,其中,Step 2.齐次化原理求解零初值问题(9),令 则(10)可化为齐次方程齐次边界条件问题,由分离变量法可得,其中,由齐次化原理得,Step 3.叠加原理求解非齐次定解问题(1),由叠加原理，定解问题(1)的解为,4.2 热传导方程的初边值问题,例2.考虑内部有热源，长为l的均匀杆的热传导问题,解.法一：特征函数法,因(12)对应齐次问题的特征函数为 故可设(12)的解为,其中 为待定函数。,并设,其中,则 满足,解得,因此，定解问题(12)的解为,解.法二：分离变量法+齐次化原理+叠加原理,Step 1.分离变量法求解齐次问题(8),其形式解为,其中,Step 2.齐次化原理求解零初值问题,