四章微分方程建模.ppt

第四章 微分方程建模,在许多实际问题中，当直接导出变量之间的函数关系较为困难，但导出包含未知函数的导数或微分的关系式较为容易时，可用建立微分方程模型的方法来研究该问题，,本节将通过一些最简单的实例来说明微分方程建模的一般方法。在连续变量问题的研究中，微分方程是十分常用的数学工具之一。,4.1 微分方程的几个简单实例,例1（理想单摆运动）建立理想单摆运动满足的微分方程，并得出理想单摆运动的周期公式。,从图3-1中不难看出，小球所受的合力为mgsin，根据牛顿第二定律可得：,这是理想单摆应满足的运动方程,（3.1）是一个两阶非线性方程，不易求解。当很小时，sin，此时，可考察（3.1）的近似线性方程：,由此即可得出,（4.1）的近似方程,例2 一个半径为Rcm的半球形容器内开始时盛满了水，但由于其底部一个面积为Scm2的小孔在t=0时刻被打开，水被不断放出。问：容器中的水被放完总共需要多少时间？,解:以容器的底部O点为 原点，取坐标系如图3.3所示。令h(t)为t时刻容器中水的高度，现建立h(t)满足的微分方程。,设水从小孔流出的速度为v(t)，由力学定律，在不计水的内部磨擦力和表面张力的假定下，有：,因体积守衡，又可得：,易见：,故有：,这是可分离变量的一阶微分方程，得,为了保持自然资料的合理开发与利用，人类必须保持并控制生态平衡，甚至必须控制人类自身的增长。本节将建立几个简单的单种群增长模型，以简略分析一下这方面的问题。一般生态系统的分析可以通过一些简单模型的复合来研究，大家若有兴趣可以根据生态系统的特征自行建立相应的模型。,美丽的大自然,种群的数量本应取离散值，但由于种群数量一般较大，为建立微分方程模型，可将种群数量看作连续变量，甚至允许它为可微变量，由此引起的误差将是十分微小的。,离散化为连续，方便研究,4.2 Malthus模型与Logistic模型,模型1 马尔萨斯（Malthus）模型,马尔萨斯在分析人口出生与死亡情况的资料后发现，人口净增长率r基本上是一常数，（r=b-d,b为出生率，d为死亡率），既：,马尔萨斯模型的一个显著特点：种群数量翻一番所需的时间是固定的。,Malthus模型实际上只有在群体总数不太大时才合理，到总数增大时，生物群体的各成员之间由于有限的生存空间，有限的自然资源及食物等原因，就可能发生生存竞争等现象。,所以Malthus模型假设的人口净增长率不可能始终保持常数，它应当与人口数量有关。,模型2 Logistic模型,人口净增长率应当与人口数量有关，即：r=r(N),r(N)是未知函数，但根据实际背景，它无法用拟合方法来求。,为了得出一个有实际意义的模型，我们不妨采用一下工程师原则。工程师们在建立实际问题的数学模型时，总是采用尽可能简单的方法。,r(N)最简单的形式是常数，此时得到的就是马尔萨斯模型。对马尔萨斯模型的最简单的改进就是引进一次项（竞争项）,(4.9)式还有另一解释，由于空间和资源都是有限的，不可能供养无限增长的种群个体，当种群数量过多时，由于人均资源占有率的下降及环境恶化、疾病增多等原因，出生率将降低而死亡率却会提高。设环境能供养的种群数量的上界为K（近似地将K看成常数），N表示当前的种群数量，K-N恰为环境还能供养的种群数量，（4.9）指出，种群增长率与两者的乘积成正比，正好符合统计规律，得到了实验结果的支持，这就是（4.9）也被称为统计筹算律的原因。,图4-5,对（4.9）分离变量：,两边积分并整理得：,令N(0)=N0，求得：,N(t)的图形请看图4.5,大量实验资料表明用Logistic模型来描述种群的增长，效果还是相当不错的。例如，高斯把5只草履虫放进一个盛有0.5cm3营养液的小试管，他发现，开始时草履虫以每天230.9%的速率增长，此后增长速度不断减慢，到第五天达到最大量375个，实验数据与r=2.309，a=0.006157，N(0)=5的Logistic曲线：几乎完全吻合，见图3.6。,图4-6,Malthus模型和Logistic模型的总结,Malthus模型和Logistic模型均为对微分方程（4.7）所作的模拟近似方程。前一模型假设了种群增长率r为一常数，（r被称为该种群的内禀增长率）。后一模型则假设环境只能供养一定数量的种群，从而引入了一个竞争项。,用模拟近似法建立微分方程来研究实际问题时必须对求得的解进行检验，看其是否与实际情况相符或基本相符。相符性越好则模拟得越好，否则就得找出不相符的主要原因，对模型进行修改。,Malthus模型与Logistic模型虽然都是为了研究种群数量的增长情况而建立的，但它们也可用来研究其他实际问题，只要这些实际问题的数学模型有相同的微分方程即可，下面我们来看两个较为有趣的实例。,例5 新产品的推广,经济学家和社会学家一直很关心新产品的推销速度问题。怎样建立一个数学模型来描述它，并由此析出一些有用的结果以指导生产呢？以下是第二次世界大战后日本家电业界建立的电饭包销售模型。,设需求量有一个上界，并记此上界为K，记t时刻已销售出的电饭包数量为x(t)，则尚未使用的人数大致为Kx(t)，于是由统计筹算律：,记比例系数为k，则x(t)满足：,此方程即Logistic模型，解为：,对x(t)求一阶、两阶导数：,容易看出，x(t)0，即x(t)单调增加。,在销出量小于最大需求量的一半时，销售速度是不断增大的，销出量达到最大需求量的一半时，该产品最为畅销，接着销售速度将开始下降。,所以初期应采取小批量生产并加以广告宣传；从有20%用户到有80%用户这段时期，应该大批量生产；后期则应适时转产，这样做可以取得较高的经济效果。,4.3 药物在体内的分布,何为房室系统？,在用微分方程研究实际问题时，人们常常采用一种叫“房室系统”的观点来考察问题。根据研究对象的特征或研究的不同精度要求，我们把研究对象看成一个整体（单房室系统）或将其剖分成若干个相互存在着某种联系的部分（多房室系统）。,房室具有以下特征：它由考察对象均匀分布而成，（注：考察对象一般并非均匀分布，这里采用了一种简化方法一集中参数法）；房室中考察对象的数量或浓度（密度）的变化率与外部环境有关，这种关系被称为“交换”且交换满足着总量守衡。在本节中，我们将用房室系统的方法来研究药物在体内的分布。在下一节中，我们将用多房室系统的方法来研究另一问题。两者都很简单，意图在于介绍建模方法。,药物的分解与排泄（输出）速率通常被认为是与药物当前的浓度成正比的，即：,药物分布的单房室模型,单房室模型是最简单的模型，它假设：体内药物在任一时刻都是均匀分布的，设t时刻体内药物的总量为x(t)；系统处于一种动态平衡中，即成立着关系式：,药物的输入规律与给药的方式有关。下面，我们来研究一下在几种常见的给药方式下体内药体的变化规律。,情况1 快速静脉注射,与放射性物质类似，医学上将血浆药物浓度衰减一半所需的时间称为药物的血浆半衰期：,情况2 恒速静脉点滴,易见：,对于多次点滴，设点滴时间为T1，两次点滴之间的间隔时间设为T2，则在第一次点滴结束时病人体内的药物浓度可由上式得出。其后T2时间内为情况1。故：,类似可讨论以后各次点滴时的情况，区别只在初值上的不同。第二次点滴起，患者 体内的初始药物浓度不为零。,情况3 口服药或肌注,口服药或肌肉注射时，药物的吸收方式与点滴时不同，药物虽然瞬间进入了体内，但它一般都集中与身体的某一部位，靠其表面与肌体接触而逐步被吸收。设药物被吸收的速率与存量药物的数量成正比，记比例系数为K1，即若记t时刻残留药物量为y(t)，则y满足：,因而：,解得：,从而药物浓度：,通常情况下，总有k1k（药物未吸收完前，输入速率通常总大于分解与排泄速率），但也有例外的可能（与药物性质及机体对该药物的吸收、分解能力有关）。当k1k时，体内药物量均很小，这种情况在医学上被称为触发翻转（flip-flop）。当k1=k时，对固定的t，令kk1取极限（应用罗比达法则），可得出在这种情况下的血药浓度为：,所以,图4-9给出了上述三种情况下体内血药浓度的变化曲线。容易看出，快速静脉注射能使血药浓度立即达到峰值，常用于急救等紧急情况；口服、肌注与点滴也有一定的差异，主要表现在血药浓度的峰值出现在不同的时刻，血药的有效浓度保持时间也不尽相同，（注：为达到治疗目的，血药浓度应达到某一有效浓度，并使之维持一特定的时间长度）。,图4-9,我们已求得三种常见给药方式下的血药浓度C(t)，当然也容易求得血药浓度的峰值及出现峰值的时间，因而，也不难根据不同疾病的治疗要求找出最佳治疗方案。,上述研究是将机体看成一个均匀分布的同质单元，故被称单房室模型，但机体事实上并不是这样。药物进入血液，通过血液循环药物被带到身体的各个部位，又通过交换进入各个器官。因此，要建立更接近实际情况的数学模型就必须正视机体部位之间的差异及相互之间的关联关系，这就需要多房室系统模型。,图4-10表示的是一种常见的两房室模型，其间的k12表示由室I渗透到室II的变化率前的系数，而k21则表示由室II返回室I的变化率前的系数，它们刻划了两室间的内在联系，其值应当用实验测定，使之尽可能地接近实际情况。,当差异较大的部分较多时，可以类似建立多房室系统，即N房室系统,4.4 传染病模型,传染病是人类的大敌，通过疾病传播过程中若干重要因素之间的联系建立微分方程加以讨论，研究传染病流行的规律并找出控制疾病流行的方法显然是一件十分有意义的工作。在本节中，我们将主要用多房室系统的观点来看待传染病的流行，并建立起相应的多房室模型。,医生们发现，在一个民族或地区，当某种传染病流传时，波及到的总人数大体上保持为一个常数。即既非所有人都会得病也非毫无规律，两次流行（同种疾病）的波及人数不会相差太大。如何解释这一现象呢？试用建模方法来加以证明。,问题的提出：,设某地区共有n+1人，最初时刻共有i人得病，t时刻已感染（infective）的病人数为i(t)，假定每一已感染者在单位时间内将疾病传播给k个人（k称为该疾病的传染强度），且设此疾病既不导致死亡也不会康复,模型1,此模型即Malthus模型，它大体上反映了传染病流行初期的病人增长情况，在医学上有一定的参考价值，但随着时间的推移，将越来越偏离实际情况。,已感染者与尚未感染者之间存在着明显的区别，有必要将人群划分成已感染者与尚未感染的易感染，对每一类中的个体则不加任何区分，来建立两房室系统。,模型2,记t时刻的病人数与易感染人数（susceptible）分别为i(t)与s(t)，初始时刻的病人数为 i。根据病人不死也不会康复的假设及（竞争项）统计筹算律，,其中：,统计结果显示，(4.17)预报结果比(4.15)更接近实际情况。医学上称曲线 为传染病曲线，并称 最大值时刻t1为此传染病的流行高峰。,模型2仍有不足之处，它无法解释医生们发现的现象，且当时间趋与无穷时，模型预测最终所有人都得病，与实际情况不符。,为了使模型更精确，有必要再将人群细分，建立多房室系统,（4.18）,求解过程如下：,对（3）式求导，由（1）、（2）得：,解得：,将人群划分为三类（见右图）：易感染者、已感染者和已恢复者（recovered）。分别记t时刻的三类人数为s(t)、i(t)和r(t)，则可建立下面的三房室模型：,模型3,由(1)式可得：,从而解得：,为揭示产生上述现象的原因（3.18）中的第（1）式改写成：,其中 通常是一个与疾病种类有关的较大的常数。,下面对 进行讨论，请参见右图,如果，则开始时，i(t)单增。但在i(t)增加的同时，伴随地有s(t)单减。当s(t)减少到小于等于 时，i(t)开始减小，直至此疾病在该地区消失。,鉴于在本模型中的作用，被医生们称为此疾病在该地区的阀值。的引入解释了为什么此疾病没有波及到该地区的所有人。,图4-14,综上所述，模型3指出了传染病的以下特征：,（1）当人群中有人得了某种传染病时，此疾病并不一定流传，仅当易受感染的人数与超过阀值时，疾病才会流传起来。,（2）疾病并非因缺少易感染者而停止传播，相反，是因为缺少传播者才停止传播的，否则将导致所有人得病。,（3）种群不可能因为某种传染病而绝灭。,模型检验：,医疗机构一般依据r(t)来统计疾病的波及人数，从广义上理解，r(t)为t时刻已就医而被隔离的人数，是康复还是死亡对模型并无影响。,通常情况下，传染病波及的人数占总人数的百分比不会太大，故 一般是小量。利用泰勒公式展开取前三项，有：,代入（4.20）得近似方程：,积分得：,其中：,这里双曲正切函数：,而：,图4-14（a）给出了（4.21）式曲线的图形，可用医疗单位每天实际登录数进行比较拟合得最优曲线。,图4-14（a）,图4-14（b）记录了1905年下半年至1906年上半年印度孟买瘟疫大流行期间每周死亡人数，不难看出两者有较好的一致性。,4.5 捕食系统的Volterra方程,问题背景：,意大利生物学家DAncona曾致力于鱼类种群相互制约关系的研究，在研究过程中他无意中发现了一些第一次世界大战期间地中海沿岸港口捕获的几种鱼类占捕获总量百分比的资料，从这些资料中他发现各种软骨掠肉鱼，如鲨鱼、鳐鱼等我们称之为捕食者（或食肉鱼）的一些不是很理想的鱼类占总渔获量的百分比。在 19141923年期间，意大利阜姆港收购的鱼中食肉鱼所占的比例有明显的增加：,他知道，捕获的各种鱼的比例近似地反映了地中海里各种鱼类的比例。战争期间捕鱼量大幅下降，但捕获量的下降为什么会导致鲨鱼、鳐鱼等食肉鱼比例的上升，即对捕食者有利而不是对食饵有利呢？他百思不得其解，无法解释这一现象，就去求教当时著名的意大利数学家V.Volterra，希望他能建立一个数学模型研究这一问题。,Volterra将鱼划分为两类。一类为食用鱼（食饵），数量记为x1(t)，另一类为食肉鱼（捕食者），数量记为x2(t)，并建立双房室系统模型。,1、模型建立,大海中有食用鱼生存的足够资源，可假设食用鱼独立生存将按增长率为r1的指数律增长（Malthus模型），既设：,由于捕食者的存在，食用鱼数量因而减少，设减少的速率与两者数量的乘积成正比（竞争项的统计筹算律），即：,对于食饵（Prey）系统：,对于捕食者（Predator）系统：,捕食者设其离开食饵独立存在时的死亡率为r2，即：,方程组（4.31）反映了在没有人工捕获的自然环境中食饵与捕食者之间的相互制约关系。下面我们来分析该方程组。,但食饵提供了食物，使生命得以延续。这一结果也要通过竞争来实现，再次利用统计筹算律，得到：,2、模型分析,方程组（4.31）是非线性的，不易直接求解。容易看出，该方程组共有两个平衡点，即：,：,和,解释DAncona发现的现象,引入捕捞能力系数，（01），表示单位时间内捕捞起来的鱼占总量的百分比。故Volterra方程应为：,平衡点P的位置移动到了：,由于捕捞能力系数的引入，食用鱼的平均量有了增加，而食肉鱼的平均量却有所下降，越大，平衡点的移动也越大。,食用鱼的数量反而因捕捞它而增加，真的是这样？！,P-P模型导出的结果虽非绝对直理，但在一定程度上是附合客观实际的，有着广泛的应用前景。例如，当农作物发生病虫害时，不要随随便便地使用杀虫剂，因为杀虫剂在杀死害虫的同时也可能杀死这些害虫的天敌，（害虫与其天敌构成一个双种群捕食系统），这样一来，使用杀虫剂的结果会适得其反，害虫更加猖獗了。,（3）捕鱼对食用鱼有利而对食肉鱼不利，多捕鱼（当然要在一定限度内，如r1）能使食用鱼的平均数量增加而使食肉鱼的平均数量减少。,根据P-P模型，我们可以导出以下结论：,（1）食用鱼的平均量取决于参数r1与1,（2）食用鱼繁殖率r1的减小将导致食肉鱼平均量的减小，食肉鱼捕食能力1的增大也会使自己的平均量减小；反之，食肉鱼死亡率r2的降低或食饵对食肉鱼供养效率2的提高都将导致食用鱼平均量的减少。,4.6 较一般的双种群生态系统,Volterra的模型揭示了双种群之间内在的互相制约关系，成功解释了DAncona发现的现象。然而，对捕食系统中存在周期性现象的结论，大多数生物学家并不完全赞同，因为更多的捕食系统并没有这种特征。,一个捕食系统的数学模型未必适用于另一捕食系统，捕食系统除具有共性外，往往还具有本系统特有的个性，反映在数学模型上也应当有所区别。现考察较为一般的双种群系统。,一般的双种群系统,Ki随种群不同而不同，同时也随系统状态的不同而不同，即Ki应为x1、x2的函数。Ki究竟是一个怎样的函数，我们没有更多的信息。不妨再次采用一下工程师们的原则，采用线性化方法。这样，得到下面的微分方程组：,（4.33）不仅可以用来描述捕食系统。也可以用来描述相互间存在其他关系的种群系统。,（4.33）,（4.33）式的一些说明,式中a1、b2为本种群的亲疏系数，a2、b1为两种群间的交叉亲疏系数。a2b10时，两种群间存在着相互影响，此时又可分为以下几类情况：,（i）a20，b10，共栖系统。,（ii）a20（或a20，b10），捕食系统。,（iii）a20，b10，竞争系统。,（i）（iii）构成了生态学中三个最基本的类型，种群间较为复杂的关系可以由这三种基本关系复合而成。,对于一般的生态系统，如果通过求解的微分方程来讨论常常会遇到困难。,怎样来讨论一般的生态系统,如果困难的话可以研究种群的变化率，搞清轨线的走向来了解各种群数量的最终趋势。,在研究实际课题时，数值解方法也许会用得更多。当解析解无法求得时，计算机作为强大的辅助工具发挥了它应起的作用。研究1999年美国大学生数学建模竞赛题A（小行星撞击地球）时就遇到了一个棘手的问题：如何描述南极地区的生态系统，如何定量化地研究小行星撞击地球对南级生态环境的影响？在上网查阅了南极附近的海洋生态状况后，可将南极附近的生物划分成三个部分：海藻、鳞虾和其他海洋生物。鳞虾吃海藻，其他海洋动物吃鳞虾，运用基本建模技巧建立了一个三房室系统模型。小行星的撞击会影响大气层的能见度，从而影响到海藻的生长（光合作用），进而影响到生物链中的其他生物。由于无法得到模型中的参数值（事实上，小行星撞击南极的事件并未发生过），就取了一系列不同的参数值，对不同参数值下模型的数值解进行了分析对比，研究了解对各参数变化的灵敏度，即可取得了十分有意义的结果。,4.7 分布参数法建模,前面建立的模型都用了考察对象在系统中的均匀分布假设。这种方法建模被称为集中参数法。,考虑个体差异（或分布差异）的建模方法被称为分布参数法。分布参数法用于连续变量的问题时，得到的通常都是偏微分方程，无论建模还是求解都比较困难。仅举两个简单例子，来说明这种方法的应用。,例8 人口问题的偏微分方程模型,人有年龄、性别等区别，本例中考虑到这些因素，用分布参数法来建立人口问题的数学模型。,设t时刻年龄为x的人的死亡率为d(t,x)，则有：,对（4.38）式关于x从0到A积分，得：,令：,B(t)、D(t)分别为t时刻的生育率和死亡率。则有：,若B(t)、D(t)与t无关，则可得:,例9 交通流问题,现实生活中可能吗？,车流密度和车速不可能是常数,分布参数法：,x轴表示公路，x轴正向表示车流方向。,如果采用连续模型，设u(t,x)为时刻t时车辆按x方向分布的密度，再设q(t,x)为车辆通过x点的流通率。,车辆数守恒，有：,由于安全上的原因，q是u的函数，该函数关系称为基本方程或结构方程。,利用经验公式导出基本方程。,图4-28是根据美国公路上的车辆情况而统计出来的曲线,其中u的单位是车辆数/每英里，q的单位为车辆数/每小时。图中可以看出：,（2）u增大到一定程度（达到um）时，q达到最大；u继续增大时，车辆流q将减小，这表示车辆密度太大反而会影响车辆率，使之下降，（出现堵塞）。,（1）当u的值较小时，公路利用率较低，q较小（u=0时公路是空置的，车辆率q为零）；随着u的增大，公路利用率逐渐提高，q逐渐增大。,根据美国公路实际统计：当u75辆/每英里可达到最大车辆流当u225辆/英里时，q0，即堵塞。,根据图4-28中曲线的特征，可用多种函数来拟合q=q(u)。,将Greenshields的基本方程代入（3.41），利用复合函数求导法则并注意到uf、uj均为常数，可得：,令，方程可简化为：,初值条件：,学生课外阅读 赝品的鉴定,在第二次世界大战比利时解放以后，荷兰野战军保安机关开始搜捕纳粹同谋犯。他们从一家曾向纳粹德国出卖过艺术品的公司中发现线索，于1945年5月29日以通敌罪逮捕了三流画家范梅格伦（HAVanmeegren），此人曾将17世纪荷兰名画家扬弗米尔（Jan Veermeer）的油画“捉奸”等卖给纳粹德国戈林的中间人。可是，范梅格伦在同年7月12日在牢里宣称：他从未把“捉奸”卖给戈林，而且他还说，这一幅画和众所周知的油画“在埃牟斯的门徒”以及其他四幅冒充弗米尔的油画和两幅德胡斯（17世纪荷兰画家）的油画，都是他自己的作品，这件事在当时震惊了全世界，为了证明自己是一个伪造者，他在监狱里开始伪造弗米尔的油画“耶稣在门徒们中间”，当这项工作接近完成时，范梅格伦获悉自己的通敌罪已被改为伪造罪，因此他拒绝将这幅画变陈，以免留下罪证。,为了审理这一案件，法庭组织了一个由著名化学家、物理学家和艺术史学家组成的国际专门小组查究这一事件。他们用X射线检验画布上是否曾经有过别的画。此外，他们分析了油彩中的拌料（色粉），检验油画中有没有历经岁月的迹象。科学家们终于在其中的几幅画中发现了现代颜料钴兰的痕迹，还在几幅画中检验出了20世纪初才发明的酚醛类人工树脂。根据这些证据，范梅格伦于1947年10月12日被宣告犯有伪造罪，被判刑一年。可是他在监狱中只待了两个多月就因心脏病发作，于1947年12月30日死去。,然而，事情到此并未结束，许多人还是不肯相信著名的“在埃牟斯的门徒”是范梅格伦伪造的。事实上，在此之前这幅画已经被文物鉴定家认定为真迹，并以17万美元的高价被伦布兰特学会买下。专家小组对于怀疑者的回答是：由于范梅格伦曾因他在艺术界中没有地位而十分懊恼，他下决心绘制“在埃牟斯的门徒”，来证明他高于三流画家。当创造出这样的杰作后，他的志气消退了。而且，当他看到这幅“在埃牟斯的门徒”多么容易卖掉以后，他在炮制后来的伪制品时就不太用心了。这种解释不能使怀疑者感到满意，他们要求完全科学地、确定地证明“在埃牟斯的门徒”的确是一个伪造品。这一问题一直拖了20年，直到1967年，才被卡内基梅伦（Carnegie-Mellon）大学的科学家们 基本上解决。,原理与模型,测定油画和其他岩石类材料的年龄的关键是本世纪初发现的放射性现象。,放射性现象：著名物理学家卢瑟夫在本世纪初发现，某些“放射性”元素的原子是不稳定的，并且在已知的一段时间内，有一定比例的原子自然蜕变而形成新元素的原子，且物质的放射性与所存在的物质的原子数成正比。,用N(t)表示时间t时存在的原子数,则：,用来计算半衰期T:,其解为:,与本问题相关的其他知识:,(1)艺术家们应用白铅作为颜料之一，已达两千年以上。白铅中含有微量的放射铅210，白铅是从铅矿中提炼出来的，而铅又属于铀系，其演变简图如下（删去了许多中间环节）,(2)地壳里几乎所有的岩石中均含有微量的铀。一方面，铀系中的各种放射性物质均在不断衰减，而另一方面，铀又不断地衰减，补充着其后继元素。从而，各种放射性物质（除铀以外）在岩石中处于放射性平衡中。根据世界各地抽样测量的资料，地壳中的铀在铀系中所占平均重量比约为百万分之2.7（一般含量极微）。各地采集的岩石中铀的含量差异很大，但从未发现含量高于23%的。,(3)从铅矿中提炼铅时，铅210与铅206一起被作为铅留下，而其余物质则有9095%被留在矿渣里，因而打破了原有的放射性平衡。（注：这些有关物理、地质方面的知识在建模时可向相应的专家请教。）,简化假定：,本问题建模是为了鉴定几幅不超过300年的古画，为了使模型尽可能简单，可作如下假设：,(1)由于镭的半衰期为1600年，经过300年左右，应用微分方程方法不难计算出白铅中的镭至少还有原量的90%，故可以假定，每克白铅中的镭在每分钟里的分解数是一个常数。,建模：,(1)记提炼白铅的时刻为t=0，当时每克白铅中铅210的分子数为y0，由于提炼前岩石中的铀系是处于放射性平衡的，故铀与铅的单位时间分解数相同。由此容易推算出每克白铅中铅210每分钟分解数不能大于30000个，否则铀的含量将超过4%，而这是不可能的。因为：,以上确定了每克白铅中铅分解数的上界，若画上的铅分解数大于该值，说明画是赝品；但若是小于不能断定画一定是真品。,(2)设t时刻1克白铅中铅210含量为y(t)，而镭的单位时间分解数为r（常数），则y(t)满足微分方程：,由此解得：,故：,若此画是真品，t-t0300（年）。画中每克白铅所含铅210目前的分解数y(t)及目前镭的分解数r均可用仪器测出，从而可求出y0的近似值，并利用（1）判断这样的分解数是否合理。若判断结果为不合理，则可以确定此画必是赝品，但反之不一定说明画是真品（因为估计仍是十分保守的且只能证明画的“年龄”）。,Carnegie-Mellon大学的科学家们利用上述模型对部分有疑问的油画作了鉴定，测得数据如下（见表4-1）。,