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,微積分第九版,方程式的圖形,2.2,2.2 方程式的圖形,學習目標手繪方程式的圖形。求方程式圖形的 x 截距和 y 截距。寫出圓方程式的標準式。求兩個圖形的交點。用數學模型做為現實生活問題的模型並解之。,第二章函數、圖形與極限,P.2-10,方程式的圖形,在 2.1 節用座標系統圖形顯示兩個數量的關係，這些圖形為座標平面上點的集合(參考 2.1 節範例 2)。,第二章函數、圖形與極限,P.2-10,兩個數量的關係常以方程式來表示。例如，華氏與攝氏溫度的關係可表示成方程式在本節，可學到描繪此類方程式圖形的步驟。方程式的圖形(graph)就是這個方程式所有解的點集合。,方程式的圖形,第二章函數、圖形與極限,P.2-10,範例 1描繪方程式的圖形,描繪 y 7 3x 的圖形。,第二章函數、圖形與極限,P.2-10,範例 1描繪方程式的圖形（解）,描繪方程式圖形的最簡單方法就是繪點法，也就是找出方程式幾個解點，連同其值製成一個表格，如下所示。例如，當 x 0 時y 7 3(0)7所以(0,7)為圖形上的一個解點。,第二章函數、圖形與極限,P.2-10,範例 1描繪方程式的圖形（解）,從表可知，(0,7)、(1,4)、(2,1)、(3,2)及(4,5)是方程式的解點，將這些點描繪出之後，可看出它們是在一條直線上，如圖 2.14所示。所以方程式的圖形就是通過這五個點的直線。,第二章函數、圖形與極限,P.2-10 圖2.14,學習提示,雖然將圖 2.14 的圖形視為 y 7 3x 的圖形，實際上這只是圖形的一部分。完整的圖形應該是延伸到這一頁外面的直線。,第二章函數、圖形與極限,P.2-10,檢查站 1,描繪 y 2x 1 的圖形。,第二章函數、圖形與極限,P.2-10,範例 2描繪方程式的圖形,描繪 y x2 2 的圖形。,第二章函數、圖形與極限,P.2-11,範例 2描繪方程式的圖形（解）,首先製作表格，如下所示。接著，畫出表中的點，如圖 2.15(a)所示。最後，以平滑曲線將各點連接起來，如圖 2.15(b)所示。,第二章函數、圖形與極限,P.2-11,範例 2描繪方程式的圖形（解）,第二章函數、圖形與極限,P.2-11 圖2.15,方程式的圖型,範例 2 中的圖形為拋物線(parabola)。每一個二次方程式y=ax2+bx+c,a 0的圖形都是拋物線。如果a 0，則拋物線開口向上，如圖 2.15(a)；如果 a 0，則拋物線的開口向下。,第二章函數、圖形與極限,P.2-11,檢查站 2,描繪 y x2 4 的圖形。,第二章函數、圖形與極限,P.2-11,方程式的圖形,範例 1 和範例 2 所示的繪點技巧雖然是很容易使用的，但是有一些缺點：如果解點太少，可能會使方程式的圖形不是正確的圖形。例如，該如何連接在圖 2.16 中的四個點？在沒有更多資訊之下，圖 2.17 中的三個圖形都是合理的。,第二章函數、圖形與極限,P.2-11,方程式的圖形,第二章函數、圖形與極限,P.2-11 圖2.16,方程式的圖形,第二章函數、圖形與極限,P.2-11 圖2.17,代數技巧,求截距時就是要求解方程式。有關求解方程式之技巧的複習，可參考本章的代數複習。,第二章函數、圖形與極限,P.2-11,圖形的截距,含有零的解點，不管是 x 座標或 y 座標，都很容易求得。因為這些點是圖形與 x 軸或 y 軸的交點，所以稱為截距(intercepts)。有些書是用點(a,0)的 x 座標來表示 x 截距而不是點本身。除非有區分的必要，否則將用截距這個名稱來表示點或座標。,第二章函數、圖形與極限,P.2-12,圖形的截距,一個圖形可能沒有截距或有數個截距，如圖 2.18 所示。,第二章函數、圖形與極限,P.2-12 圖2.17,範例 3求 x 和 y 截距,求 y x3 4x 圖形的 x 和 y 截距。,第二章函數、圖形與極限,P.2-12,範例 3求 x 和 y 截距（解）,要求 x 截距，先令 y 0，然後求 x 的解 x34x0令y0 x(x24)0提出單項公因式 x(x2)(x2)0因式分解 x0,2 或 2 求 x 的解因為這個方程式有三個解，因此圖型有三個 x 截距。(0,0),(2,0)(2,0)x 截距,第二章函數、圖形與極限,P.2-12,範例 3求 x 和 y 截距（解）,要求 y 截距，先令 x 0，然後求 y 的解，這樣做會得到yx34x034(0)0這個方程式只有一個解，所以圖形有一個 y 截距。(0,0)y 截距(參考圖 2.19。),第二章函數、圖形與極限,P.2-12,範例 3求 x 和 y 截距（解）,第二章函數、圖形與極限,P.2-12 圖2.19,檢查站 3,求 y x2 2x 3圖形的 x 和 y 截距。,第二章函數、圖形與極限,P.2-12,圓,讀者將由本書學會從方程式辨識幾種類型的圖形。例如，y ax2 bx c，a 0 的二次方程式之圖形是拋物線(參考範例2)，另一容易辨識的是圓(circle)的方程式。,第二章函數、圖形與極限,P.2-13,圓,考慮如圖 2.20 的圓。一點(x,y)在圓上的條件為若且唯若它與圓心(h,k)的距離是 r。由距離公式可得，將方程式的兩邊平方，即可得到圓方程式的標準式(standard form of the equation of a circle)。,第二章函數、圖形與極限,P.2-13,圓,第二章函數、圖形與極限,P.2-13 圖2.20,圓,第二章函數、圖形與極限,P.2-13,範例 4求圓的方程式,已知點(3,4)在圓心為(1,2)的圓上，求此圓方程式的標準式。,第二章函數、圖形與極限,P.2-13,範例 4求圓的方程式（解）,圓的半徑等於(1,2)和(3,4)之間的距離。,第二章函數、圖形與極限,P.2-13,範例 4求圓的方程式（解）,用(h,k)=(1,2)及 r，則圓方程式的標準式為如圖 2.21 所示,第二章函數、圖形與極限,P.2-13,範例 4求圓的方程式（解）,第二章函數、圖形與極限,P.2-13 圖 2.21,檢查站 4,已知點(1,5)在圓心為(2,1)的圓上，求此圓方程式的標準式。,第二章函數、圖形與極限,P.2-13,交點,兩個圖形的交點(point of intersection)就是這兩個圖形共同的解點。例如，圖 2.22 所示，方程式 y x2 3 和 y x 1 的圖形有兩個交點：(2,1)和(1,2)。求交點時，先令兩方程式的 y 值相等，然後解方程式 x2 3 x 1 以求 x 值。,第二章函數、圖形與極限,P.2-14 圖2.22,交點,交點常見的商業應用就是損益平衡分析(break-even analysis)。一種新產品的行銷一般都需要一筆期初投資。當售出的量足夠使總收入抵銷總成本時，產品的銷售就達到損益平衡點(break-even point)。以 C 來表示生產 x 單位產品的總成本(total cost)，以 R 表示銷售 x 單位產品的總收入(total revenue)。令 C 等於 R 再求解 x 值就可得損益平衡點。,第二章函數、圖形與極限,P.2-14,範例 5求損益平衡點,某家公司生產一種產品的單位成本為$0.65，而單位售價為$1.20，生產此產品的期初投資為$10,000。如果賣出 18,000 單位的產品，這家公司會損益平衡嗎？要售出多少單位才能損益平衡？,第二章函數、圖形與極限,P.2-14,範例 6求損益平衡點（解）,生產 x 單位產品的總成本為 C 0.65x 10,000成本方程式售出 x 單位的總收入為 R 1.2x收入方程式令成本等於收入，解出 x 值以求得損益平衡點。,第二章函數、圖形與極限,P.2-14,範例 6求損益平衡點（解）,所以如果只售出 18,000 單位，這家公司不會收支平衡，須售出18,182 單位才可收支平衡，由圖 2.23 可看出結果。,第二章函數、圖形與極限,P.2-14,範例 6求損益平衡點（解）,第二章函數、圖形與極限,P.2-14 圖2.23,檢查站 5,在範例 5 中，如果產品的單位售價是$1.45，則公司須售出多少單位才能損益平衡？,第二章函數、圖形與極限,P.2-14,交點,經濟學家用來分析市場的兩種應用是供給與需求方程式。供給方程式(supply equation)表示一種產品的價格 p 和它的供給量 x 之間的關係，供給方程式的圖形稱為供給曲線(supply curve)(參考圖2.24)。典型的供給曲線是上升的，因為生產者會想在單價較高的時候賣出較多的產品。,第二章函數、圖形與極限,P.2-15,交點,第二章函數、圖形與極限,P.2-15 圖2.24,交點,需求方程式(demand equation)表示一種產品的單價 p 和它的需求量 x 之間的關係，需求方程式的圖形稱為需求曲線(demand curve)(參考圖 2.25)。典型的需求曲線傾向於單價增加時需求量就減少。,第二章函數、圖形與極限,P.2-15,交點,第二章函數、圖形與極限,P.2-15 圖2.25,交點,在理想的情況下，如果沒有其他因素影響市場的話，產量應該會固定在供給曲線和需求曲線的交點，這個點稱為平衡點(equilibrium point)，平衡點的 x 座標稱為平衡數量(equilibrium quantity)，而 p 座標稱為平衡價格(equilibrium price)(參考圖 2.26)。只要令需求方程式等於供給方程式再求解 x，即可得平衡點。,第二章函數、圖形與極限,P.2-15,交點,第二章函數、圖形與極限,P.2-15 圖2.26,範例 6求平衡點,電子書閱讀器的需求和供給方程式分別為 p=195 5.8x 需求方程式 p=150+3.2x 供給方程式其中 p 表示單價(美元)，而 x 表示數量(百萬)，求市場的平衡點。,第二章函數、圖形與極限,P.2-15,範例 6求平衡點（解）,令需求方程式等於供給方程式。195 5.8x=150+3.2x 令方程式相等 45 5.8x=3.2x 等號兩邊各減 150 45=9x 等號兩邊各加 5.8x 5=x 等號兩邊各除以 9所以平衡點發生在需求與供給皆為 5 百萬單位時(參考圖 2.27)。此時的價格可由代入 x 5 到任一方程式而求得。,第二章函數、圖形與極限,P.2-15,範例 7求平衡點（解）,例如，代入需求方程式可得 p 195 5.8(5)195 29$166代入 x5 到供給方程式也會得到同樣的價格。p 150+3.2(5)150+16$166,第二章函數、圖形與極限,P.2-15 圖2.27,檢查站 6,藍光影碟播放機的需求與供給方程式分別為 p 136 3.5x 和 p 112 2.5x，其中 p 表示單價(美元)，而 x 表示數量(百萬)，求市場的平衡點。,第二章函數、圖形與極限,P.2-15,數學模型,本書將可看到很多使用方程式做為現實生活問題的數學模型(mathematical models)的例子。在發展用來表示實際資料的數學模型時，應該朝向兩個(通常是互相牴觸的)目標準確和簡易。,第二章函數、圖形與極限,P.2-16,範例 7數學模型的使用,下表顯示從 2005 到 2009 年 Dillard Tree 和 99 Cents Only Stores 公司的年營業額(百萬美元)。在 2009 年，Value Line 預測 2010 年兩家公司年營業額分別為$5770(百萬)和$1430(百萬)。這些預測是如何得到的？(資料來源：Dillard Tree 和 99 Cents Only Stores 公司),第二章函數、圖形與極限,P.2-16,範例 7數學模型的使用（解）,這些預測是用過去的營收來推測未來的營業額所得到的。過去的營收用一個方程式來做模型，而這個方程式是由一種統計學的最小平方迴歸分析方法所得到的。S=10.764t2+284.3t+1757.3,5 t 9 Dillard Tree S=3.486t2+134.94t+430.4,5 t 9 99 Cents Only Stores,第二章函數、圖形與極限,P.2-16,範例 7數學模型的使用（解）,用 t 10 表示 2010 年，則可推測 2010 年的營業額為 S=10.764(10)2+284.31(10)+1757.3 5676.8 Dillard TreeS=3.486(10)2+134.94(10)+430.4 1431.2 99 Cents Only Stores這兩個預測值非常接近 Value Line 的預測，兩個模型的圖形顯示在圖 2.28。,第二章函數、圖形與極限,P.2-16,範例 7數學模型的使用（解）,第二章函數、圖形與極限,P.2-16 圖2.28,檢查站 7,下表顯示從 2005 到 2009 年 BJs Wholesale Club的年營業額，在 2009年夏天，Value Line 預測 2010 年 BJs Wholesale Club年營業額為$11,150(百萬)，此預測與下列模型的預測如何比較？(資料來源：BJs Wholesale Club公司)S 17.393t2 845.59t 4097.7,5 t 9,第二章函數、圖形與極限,P.2-16,數學模型,若要評估模型的準確度，可將實際值與模型的預測值做比較。試著對範例 7 的每一個模型做同樣的事情。,第二章函數、圖形與極限,P.2-17,數學模型,微積分的內容大都以數學模型之圖形的變化為中心，圖 2.29 顯示六個基本代數方程式的圖形，熟悉這些圖形將有助於建立數學模型，從而加以應用。,第二章函數、圖形與極限,P.2-17,數學模型,第二章函數、圖形與極限,P.2-17 圖2.29,總結(2.2節),1.如何手繪方程式的圖形，參考範例 1 和 2。2.如何求一個圖形的 x 截距和 y 截距，參考範例 3。3.圓的方程式的標準型的定義，參考範例 4。4.如何求兩個方程式的圖形的交點，參考範例 5。5.損益平衡點的分析，參考範例 5。6.供給方程式和需求方程式，參考範例 6。7.數學模型，參考範例 7。,第二章函數、圖形與極限,P.2-14,