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数学文化研究的几个案例,浙江师范大学教师教育学院 朱哲,数学文化研究的几个案例,数学文化：浙江师范大学数学教育研究的一个关键词数学文化的两个载体：数学思想方法、数学史案例一：由韦达定理引发的方程求根公式的数学之旅案例二：一节基于数学史的教学案例:正四棱台体积公式案例三：余弦定理可以怎么教中学教师可以多写写教学案例的文章案例四：圆锥曲线的三个教学设计,数学文化研究的几个案例,数学文化：浙江师范大学数学教育研究的一个关键词数学文化的两个载体：数学思想方法、数学史案例一：由韦达定理引发的方程求根公式的数学之旅案例二：一节基于数学史的教学案例:正四棱台体积公式案例三：余弦定理可以怎么教中学教师可以多写写教学案例的文章案例四：圆锥曲线的三个教学设计,张维忠教授简介,张维忠博士，1964年12月生于甘肃省天水市。1986年7月毕业于西北师范大学数学系，获理学学士学位；1992年、1997年于西北师范大学获教育学硕士、博士学位。曾任西北师范大学教育学院副教授；现为浙江师范大学数理学院教授，数学教育研究所所长，硕士生导师，浙江省高等学校中青年学科带头人。兼任全国高师数学教育研究会常务理事，数学教育学报编委、浙江师范大学中学教研（数学）主编。主要从事数学课程与教学论的研究与教学工作。,张维忠教授简介,代表性专著数学文化与数学课程文化视野中的数学与数学课程的重建1999年9月由上海教育出版社出版，并于2000年获浙江省教育厅哲学社会科学优秀成果奖一等奖；2002年又获浙江省第十届哲学社会科学优秀成果著作类三等奖。已主持完成全国教育科学“九五”规划重点课题1项，于2000年6月通过鉴定；目前正在主持全国教育科学“十五”规划教育部重点课题“文化传统与数学教育现代化”（DHA010276）的研究。,张维忠教授简介,曾单独或与他人合作出版学术专著3部，在教育研究、课程教材教法、比较教育研究、数学教育学报等学术刊物发表论文80余篇。主持完成的科研课题曾获省哲学社会科学优秀成果奖三等奖2项，省高等学校哲学社会科学优秀成果奖一等奖3项，二等奖1项。曾为研究生和本科生开设课程论、数学教学论、数学方法论、数学与文化和数学教育哲学等课程。,张维忠教授的三本专著,数学 文化与数学课程 上海教育出版社 1999 文化视野中的数学与数学教育 人民教育出版社 2005文化传统与数学教育现代化 北京大学出版社 2006,数学文化研究的几个案例,数学文化：浙江师范大学数学教育研究的一个关键词数学文化的两个载体：数学思想方法、数学史案例一：由韦达定理引发的方程求根公式的数学之旅案例二：一节基于数学史的教学案例:正四棱台体积公式案例三：余弦定理可以怎么教中学教师可以多写写教学案例的文章案例四：圆锥曲线的三个教学设计,数学文化研究的几个案例,数学文化：浙江师范大学数学教育研究的一个关键词数学文化的两个载体：数学思想方法、数学史案例一：由韦达定理引发的方程求根公式的数学之旅案例二：一节基于数学史的教学案例:正四棱台体积公式案例三：余弦定理可以怎么教中学教师可以多写写教学案例的文章案例四：圆锥曲线的三个教学设计,案例一：由韦达定理引发的方程求根公式的数学之旅,一元三次方程的韦达定理,用韦达定理解一元二次方程,能不能由三次方程的韦达公式来求它的求根公式？,历史上三次方程求根公式方法,历史上四次方程求根公式方法,迁移一,迁移二,反思,回过头看整个过程，笔者觉得，这是师生二人一起经历了一次奇妙的数学之旅。在这个过程中，对数学的兴趣，对知识的渴求，使学生全身心地投入其中。虽然也经历了挫折和失败，最后的结果也未必很有实用价值（他得到的一元二次方程新解法就没多大实用价值），但是，整个过程表现出的发现问题的意识和解决问题的方法，对学生来讲是一笔十分珍贵的财富。所以，作为教师，应该保护学生的好奇心，并适时地引导学生进行探索。,数学文化研究的几个案例,数学文化：浙江师范大学数学教育研究的一个关键词数学文化的两个载体：数学思想方法、数学史案例一：由韦达定理引发的方程求根公式的数学之旅案例二：一节基于数学史的教学案例:正四棱台体积公式案例三：余弦定理可以怎么教中学教师可以多写写教学案例的文章案例四：圆锥曲线的三个教学设计,案例二：一节基于数学史的教学案例:正四棱台体积公式,引言,对中西古代数学文化的深入研究，特别是这种历史的挖掘，目的还是为了指向现实、着眼于未来。本文给出的一则基于数学史的教学案例，正是笔者设想的在数学教育中通过数学史的渗透，在传统与现代之间架起一座桥梁，从而实现数学教育的现代化。,1 教学案例 1.1提出问题 1.2类比、猜想、实验 1.3推导公式 1.4展示成果 1.5教师总结2 案例简析,1.1提出问题,师：我们已经学过了棱锥，我手上拿着的是一个正四棱锥的模型。如果我们在它顶部截去一个小的正四棱锥，就得到一个正四棱台（模型演示）。假如这个正四棱台下底面正方形边长为a，上底面边长为b，高为h，那么它的体积该如何表示呢？今天我们就来研究这个问题。生1：既然正四棱台可以由一个大的正四棱锥截去一个小的正四棱锥得到，我就可以通过大正四棱锥体积减去小正四棱锥体积来求。,1.2类比、猜想、实验,123,1.3推导公式,1.4展示成果1,1.4展示成果2,1.4展示成果3,1.5教师总结,案例简析,1台体及其体积公式这块内容背后所蕴涵的思维价值远远大于这个公式本身的实用价值。2教师能认识到平淡的教学内容背后也隐含着波澜壮阔的教学过程。3让学生从多角度思考问题，用多种方法来解决问题。4引入了实验。5数学史知识的渗透。,数学史知识的渗透,不仅介绍了这个公式的最早记载，同时在教学过程中隐含了对不同文化背景下的数学的比较。多元文化背景下的数学教育让学生欣赏各种数学，而不管它是否属于自己的传统文化：包含各种文化根源的数学可以让学生形成丰富的体验，明白其他文化所做的伟大贡献。这种教育意义已经超出了数学课的目标，但这确实是数学可以给予的。,进一步的工作,中学教研（数学）2005（6）,数学文化研究的几个案例,数学文化：浙江师范大学数学教育研究的一个关键词数学文化的两个载体：数学思想方法、数学史案例一：由韦达定理引发的方程求根公式的数学之旅案例二：一节基于数学史的教学案例:正四棱台体积公式案例三：余弦定理可以怎么教中学教师可以多写写教学案例的文章案例四：圆锥曲线的三个教学设计,案例三：余弦定理可以怎么教,网址,数学传播：HPM通讯：http:/math.ntnu.edu.tw/horng/letter/hpmletter.htm,数学文化研究的几个案例,数学文化：浙江师范大学数学教育研究的一个关键词数学文化的两个载体：数学思想方法、数学史案例一：由韦达定理引发的方程求根公式的数学之旅案例二：一节基于数学史的教学案例:正四棱台体积公式案例三：余弦定理可以怎么教中学教师可以多写写教学案例的文章案例四：圆锥曲线的三个教学设计,教学案例：适合中学教师写作,特点具体、实在、有用。连接实践与理论的桥梁。中学教师可以写，也能写好的文章形式。,教学案例：适合中学教师写作,模式 引言 教学过程 案例分析（反思）结尾,教学案例：适合中学教师写作,要求有一定先进理论的指导，教学过程设计新颖，必要的理论分析和自我反省，对中学教学有一定借鉴意义。,教学案例：适合中学教师写作,推荐书目数学教育个案学习李士锜、李俊 华东师范大学出版社中学数学课例分析罗增儒 陕西师范大学出版社,推荐书店,枫林晚（浙江师范大学新校门口大街、丽泽花园营业房。）杭州书林教育书店（浙江大学西溪校区门口。）九章书店（北京海淀）,教学案例：适合中学教师写作,一些杂志,一些案例文章,朱哲,张维忠.中国古代数学思想方法在数学课堂教学中的渗透.中学数学杂志(初中),2003(1).朱哲,陈良照.“等比数列前n项和”教学设计及其分析.中学教研(数学),2003(7).刘智强,朱哲.圆锥曲线概念教学重新设计.数学教学,2003(10).朱哲,张维忠.一节基于数学史的教学案例:正四棱台体积公式.中学数学教学参考,2004(3).朱哲,张维忠.算24点引发的思考.中学数学教学参考,2004(10).,朱哲.余弦定理一则体现数学联系与历史的教学案例.数学通讯,2005(17).朱哲.由韦达定理引发的方程求根公式的数学之旅.数学传播,2006(2).(第30卷第2期总第118期).朱哲.弦图及其在数学教学中的应用.数学教学,2006(11).朱哲.“两角和与差的三角函数”的一个教学设计.数学传播,2008(3).(第32卷第3期总第127期).,数学文化研究的几个案例,数学文化：浙江师范大学数学教育研究的一个关键词数学文化的两个载体：数学思想方法、数学史案例一：由韦达定理引发的方程求根公式的数学之旅案例二：一节基于数学史的教学案例:正四棱台体积公式案例三：余弦定理可以怎么教中学教师可以多写写教学案例的文章案例四：圆锥曲线的三个教学设计,案例四：圆锥曲线的三个教学设计,设计1：圆锥曲线椭圆的传统教学,1 引出课题：汽车油罐的横截面的轮廓，行星和卫星运行的轨迹等。2 探讨椭圆的本质特征，给椭圆下定义：教师利用两个图钉，一条一定长的细线，一根粉笔，在小黑板上演示一个椭圆的过程；要求学生注意观察该画图过程，思考椭圆与圆有那些相同与不同的特征。3 根据椭圆定义，推导椭圆的标准方程。4 例题讲解和练习5 小结,对设计1的反思,这一内容通常以椭圆的机械画法引入。也有教师先讲海尔波普彗星的现象，或者拿出一个圆锥模型让学生观察截面的形状，再由机械画法引出椭圆的定义以及焦点的概念。这样的教学，教师直接地、生硬地把概念“抛”给了学生。尤其是“焦点”，更象是“从天而降”；而焦点之所以为焦点，学生却是不明所以。当前，我们倡导“转换教师的教学观念、改变学生的学习方式”这一教与学的新理念，就是要使学生成为学习的主体，把教学真正建立在学生自己探索、思考、理解的基础上。换言之，就是要给学生独立探索的时间，给他们自由想象的空间，让他们有机会经历数学知识发生、发展的全过程。在这一观念指导下，教师和专家共同设计了新颖的案例2。,设计2：圆锥曲线椭圆的创新教学,1问题：“椭圆”两字让你想到了什么？或者说椭圆与圆有什么关系？（压扁的圆、拉长的圆、倾斜的圆）2问题：椭圆怎么画？圆可以用圆规，因为它是到定点距离等于定长的点的集合。那么，椭圆又会有什么性质呢？3动画演示：“压”圆成椭圆，圆心“弹开”，半径“分成”两条,设计2：圆锥曲线椭圆的创新教学,4观察：椭圆两条“半径”与圆的半径有什么关系？（相等）5动画：两条“半径”与椭圆的交点移到其它位置。6猜想：这两条长短不同的“半径”与圆半径有什么关系？（和为半径的两倍）7画图：利用猜想画图（实则是椭圆的机械画法），也可用几何画板演示这一过程。8形成定义：由学生来概括椭圆的定义，教师根据其回答适当补充。9解决问题：根据定义，求椭圆方程。,对设计2的反思,设计2有几个优点：一是由直观引入。以圆为知识基础，抓住椭圆与圆的关系，直观、形象、生动。二是椭圆的定义不是教师给出的，而是学生自己在通过观察、猜测、并画图检验的过程中概括出来的。但也存在着问题，比如说对于焦点的定义，不但没能让学生知其然且知其所以然，反而让学生错误地认为焦点是由圆的圆心分开而来的。另外，假如说学生事先预习了课本，已经知道了椭圆的定义，轻松答出问题2的正确回答，那教师该如何处理呢？接下来的动画演示、探索猜想、概念形成还有意义吗？无论教师事先设计的教学过程多么巧妙，可学生一旦预习过，那么所谓的在课堂上展现的探索过程，往往成为师生共同进行的一次表演。对学生而言，倒象是在观看一个已知奥秘的魔术，或者阅读一本早知结果的侦探小说。在现有教材情况下，如何来解决呢？,对设计2的反思,对于这些问题，专家和教师一起进行了深入的思考，最后找到一种方法：对教材进行深加工。教师认真探讨学生的认知水平，仔细分析教材，深入挖掘数学内部的联系。在此基础上，对教材内容进行重新编排，设计出一个既以教材内容为基础的，又不同于教材编排顺序的教学设计。以此为蓝本，发现式、探究性的教学得以顺利地展开。圆锥曲线中的三种曲线，哪种学生最熟悉？毫无疑问，是抛物线。因为他们对二次函数及其图象是熟知的，而ykx2（k0）这类函数图象即是抛物线的一种。可以把抛物线提到椭圆、双曲线之前来学习；而课前不必预报下节课的内容，也不要求学生预习（当然，很有可能有些学生去预习了椭圆）。由此，专家和教师共同设计了设计3；在教学之后，又对其进行了理论分析。,设计3：圆锥曲线抛物线的创新教学,1活动：折纸。在纸片2厘米处设置一点，如图示方法，将纸折20到30次，形成一系列折痕，它们整体地勾画出一条曲线的轮廓。2观察、猜想：众多折痕围出一条抛物线。3建立坐标系，画图，发现与y1/4x2很接近。4几何画板动态演示折纸过程及抛物线。,设计3：圆锥曲线抛物线的创新教学,5活动：画三条平行于y 轴的直线，折纸，发现1:其反射线经过y 轴上一定点。6几何画板演示这一过程。7概念形成：焦点（一组平行于y 轴的直线经抛物线反射后汇聚到焦点，由焦点出发的直线经抛物线反射后成一组平行线）。8发现2:抛物线上的点到焦点的距离等于到纸边的距离。定义准线。,设计3：圆锥曲线抛物线的创新教学,9形成定义：（学生概括，教师补充）平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。记e=MF/ML，且e1（ML为抛物线上一点M到直线l的距离）。10求抛物线标准方程（分四种情况。11探究e值的改变，引出问题：抛物线e1，那么，当0e1以及e1时，轨迹又如何呢？（引出下一课题：椭圆和双曲线）,对设计3的反思,（1）要在教材的深加工上下工夫（2）数学教学应有利于学生的再创造（3）数学教学应有利于学生学会数学化,THE END,
