控制系统的状态空间描述.ppt

第1章 动力学系统的状态空间描述,1.1 控制系统状态空间描述常用的基本概念 1.2 状态空间表达式的结构图1.3 根据系统的物理机理建立状态空间表达式1.4 根据系统输入输出关系建立状态空间描述1.5 状态空间标准形的表达式1.6 状态空间的等价变换1.7 从状态空间描述求传递函数(阵)1.8 非线性和离散系统的状态空间描述,1.1 控制系统状态空间描述常用的基本概念,1动力学系统：一个能贮存输入信息的系统 称为动力学系统。,式(1.1-1)为一代数方程，它表明此系统的行为可以由输出与输入之间的瞬间关系来确定，与系统的过去历史无关。,例1.1-1 设有图1.1所示系统。教材P7,对电感电路系统，输入为u(t),输出为i(t)，其输入输出关系为：,在该电路中，由于包含了一个储能元件电感，它有存储信息的能力，才使得系统的未来行为受过去历史的影响，因而必须引入一个量（状态变量）来概括这种影响。,定义 动态系统的状态向量（简称状态），是指足以完全地描述系统时域行为的一个最小的变量组。该变量组中的每一个变量称为状态变量。（教材 P8）,2状态变量,系统在任何时刻t的状态变量组（状态），实际上是以某种有效的方式，充分地、既不多也不少地概括和存储了与系统过去历史有关的信息，这些附加信息与未来的输入变量一道，就能确定系统未来的行为，由此可见状态变量组的重要性。,状态变量组完全表征系统运动状态的最小个数的一组变量。表示符号：x1(t),x2(t),xn(t)注：状态变量的选取不具有唯一性；状态变量不一定在物理上可测；尽可能选取容易测量的量作为状态变量。,3状态向量,若系统有n个状态变量x1(t),x2(t),xn(t)，以这n个状态变量为分量组成的向量称为状态向量，如：,4状态空间,以n个状态变量x1(t),x2(t),xn(t)为坐标构成的n维欧氏空间称为状态空间。,5状态轨线 系统在任意时刻t的状态,在状态空间中用一点来表示。随着时间的推移，系统的状态在变化，并在状态空间中描绘出一条轨迹。这种系统状态向量在状态空间中随时间变化的轨迹为状态轨迹（线）。,6状态方程 描述系统状态变量与输入变量之间关系的一阶微分方程组（连续时间系统）。一般表达式：,7输出方程 描述系统输出变量与系统状态变量和输入变量之间关系的代数方程（连续时间系统）。一般表达式：,8状态空间表达式,状态方程输出方程,(1)一般表达式：,(2)线性系统状态空间表达式：,(3)线性定常系统状态空间表达式：,1.2 线性系统状态空间表达式的结构图,一.状态空间表达式结构图绘制步骤 画出所有积分器；积分器的个数等于状态变量数，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量。根据状态方程和输出方程，画出相应的加法器和 比例器；用箭头将这些元件连接起来。,举例:,例1.4-1 画出下列微分方程的状态变量图,设：,练习已知系统状态空间描述如下，画出下列状态方程的状态变量图,解：写成矩阵形式,反之，已知系统的状态变量图，也能列写系统的状态方程。,由控制系统的结构图建立状态空间表达式,将系统结构图模型转化为状态空间表达式，一般有下列三个步骤：,第一步：将系统结构图各环节等效变换分解，使得整个系统只有标准积分器（1/s）、比例器（k）及加法器组成;,第二步：将分解后的每个标准积分器（1/s）的输出作为一个独立的状态变量xi，积分器的输入端就是状态变量的一阶导数dxi/dt。,第三步：根据调整过的结构图中各信号的关系，可以写出每个状态变量的一阶微分方程，从而写出系统的状态方程。根据指定的输出变量，还可以从结构图写出系统的输出方程。,【例1.4-2】某控制系统的结构图如图所示，试求出其动态方程。,解:,写成矩阵向量形式,【例1.4-3】求如图所示系统的动态方程。,解:1.第一次等效变换,2.由标准积分器组成的等效方块图,1.3 根据系统的物理机理建立状态空间表达式,1.根据系统机理建立状态空间表达式步骤：1)选择系统中一个“线性无关极大变量组”作为状态变量组。通常可选为各个储能元件（如电路中电容和电感）的相应变量（如电容的端电压和流经电感的电流）。,)根据系统的物理学定律（基尔荷夫定律、牛顿定律）组成系统的原始方程。,)通过原始方程的计算和整理，导出等式左端为状态导数，右端为状态x线性项和输入u线性项相加的“状态方程”，以及等式左端为输出y，右端为状态x线性项和输入u线性项相加的“输出方程”,常见的储能元件及其状态变量选取参考,例1 试列写如图所示RLC的电路方程，建立系统的状态空间表达式。,解：,1.设状态变量为：,2.根据基尔荷夫定律组成系统的原始方程。,)通过原始方程的计算和整理，导出状态方程和输出 方程。,由前面的（1）式,得：,输出方程：,简记为：,由此可见：1.系统的状态空间表达式不具有唯一性；2.同一系统的不同状态空间表达式之间存在某 种线性变换关系。,P为非奇异变换矩阵,例2弹簧-质量-阻尼系统,2.根据牛顿定律组成系统的原始方程。,.通过原始方程的计算和整理，导出状态方程和输出方程。,1.设状态变量为:,系统状态空间矩阵表达式：,例3直流电动机系统,设状态变量建立原始方程：,3.整理状态方程和输出方程：,对于如图所示的机械阻尼运动系统，已知系统的微分方程：,练习一：,分别写出系统以f为输入，以y1和y2为输出的状态空间表达式,进一步理解状态空间表达式的非惟一性。,令状态变量,令状态变量,1.4 根据系统微分方程或传递函数建立状态空 间表达式,一微分方程中不含输入函数导数项,若已知,及 时的输入u(t),则系统在 时的行为就可以唯一确定。因此，可以选取如下一组状态变量：,状态方程：,输出方程：,系统的状态空间表达式为：,例:,状态空间表达式:,二微分方程中包含输入函数导数项,方法一：选取如下一组状态变量：,该方法的推导过程比较烦琐,为了简化推导过程,以三阶系统为例,采用从特殊到一般的方法.,选取如下一组状态变量：,状态空间表达式矩阵形式,例1.3-1已知系统微分方程如下，试列写状态空间表达式:,解：对照式（1.3.8）微分方程各项系数,系统的状态空间表达式：,推广到n维情况,练习:,已知系统微分方程如下，试列写状态空间表达式。,解:由式(1.3.16)得:,1.5 状态空间标准形的表达式,1.可控标准型2.可观测标准型3.对角标准形（并联分解）4.若当标准型5.模态标准形,把式（1.5.2）写成,令：,(1)可控标准型,解：采用能控标准型实现，根据式（1.5.8）及(1.5.9)可得：,例1.5-1 已知系统微分方程如下，试列写状态空间表达式。,说明：对于同一个外部模型，由于系统内部的状态变量的选取 不同，系统的内部描述（状态方程）将有很多种不同的形式。,例1.5-2 设系统的微分方程为，试求其状态空间表达式。,解：这是一种常用的结构，系统的，在这种情况下，公式（1.5.8）及（1.5.9）简化为：,公式(1.5.8)及(1.5.9-1)要求记住并熟练应用,例1.5-3 设系统的微分方程为，试求其状态空间表达式。,例1.5-4 教材P 83 1.6 列写如下微分方程的状态空间表达式（2）,解：将原方程化为标准形式,设给定系统的微分方程为：,令：,（2）可观测标准型,令：,令：,上式称为系统的能观性实现，其模拟框图如教材P25,公式(1.5.11-1)要求记住并熟练应用,当系统分子阶次小于分母阶次mn，即 b0=0。,例1.5-5 设系统的微分方程为，试求其可观测状态空间表达式。,解：由公式,得可观测状态空间表达式:,推广上述方法到n阶线性系统：,作业 P83 1.7(2),公式(1.5.14)要求记住并熟练应用,(3)对角标准形（又称并联分解法）,例1.5-7 已知系统传递函数如下，试用并联分解法画出该传递函数的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。,解：将传递函数分解为如下形式：,作业 P83 1.8(1)-(2),假如以上方程中，分母多项式中含有重根的情况。对此，必须将前面的对角标准形修改为约当标准形。,(4)约当标准形,例1.5-8 已知系统传递函数如下，试用部分分式法求其状态空间表达式。,解：系统的特征方程为：,(6)模态标准形,当矩阵A的特征值出现共轭复数时，如：,其对角标准型：,的系数矩阵中都含有复数，会给绘制系统的结构图带来麻烦，而且复数的物理意义也不清晰，为了避免此类情况，可以将A化为模态标准型。,模态标准形,其中：,例1.5-9 将下列系统矩阵A化为模态标准型。,解：矩阵A的特征值为,解得：,当矩阵A同时具有实根和共轭复数的特征值时，其标准型为模态标准型模块和对角标准型模块的组合。,例1.5-10 将下列系统矩阵A化为标准型。,解：矩阵A的特征值为,解得：,1.6 状态空间的等价变换,1.什么是状态空间的等价变换2.系统的特征值和特征向量3.将状态方程化为对角标准型4.将状态方程化为约当标准型,描述同一系统的不同状态向量之间有什么关系？同一系统的不同形式的状态空间表达式是否可以相互转换？是否能得到系统状态空间表达式的标准型？,描述同一系统的不同状态变量,状态向量 的变换，称为状态的线性变换或等价变换，其实质是状态空间的基底变换，也就是坐标变换。,（1）状态空间的等价变换,状态线性变换后，其状态空间表达式也发生变换。设线性定常系统的状态空间表达式为：,将（1.6.2）式代入（1.6.1）式,式（1.6.4）式是以为状态变量 的状态空间表达式，它和（1.6.1）描述的是同一线性系统，具有相同的维数，称它们为状态空间表达式的线性变换（等价变换）。,如何把某一形式的状态空间表达式化为对角标准型或若当标准型？,教材P32 例1.9,例1.6-1 设系统的状态空间表达式为,若取变换阵P为,怎样构成变换矩阵P？,1系统的特征值,特征方程,特征方程的根 称为系统的特征值,（2）系统的特征值和特征向量,例1.6-2 系统矩阵如下，试求其特征值和特征向量。,（2）求系统的特征向量,1计算对应于 的特征向量,2.计算对应于 的特征向量,按定义：,得：,3系统特征值的不变性,为了证明线性变换下的特征值不变性，必须证明 和 的特征多项式相同。,结论：非奇异变换不改变系统的特征多项式和特征值。,由于乘积的行列式等于各行列式的积,怎样构成变换矩阵P？,（1）定理1.1对于线性定常系统,若A的特征值 互异,则必存在非奇异变换阵P,经过 或 的变换,可将状态方程化为对角标准型,即,（3）将状态方程化为对角标准形,（2）若A阵为nn维友矩阵,且具有相异特征值，则下列范德蒙(Vandermonde)矩阵P可使A对角化。,例1.6-3 系统状态空间表达式如下,试化为 对角标准型。,例1.6-4 已知状态方程的A,B阵如下，求A的模态标准形及其变换后的状态方程。（教材 P48 例1.16）,解：矩阵A的特征值为,解得：,当矩阵A同时具有实根和共轭复数的特征值时，其标准型为模态标准型模块和对角标准型模块的组合。,例1.6-5 将下列系统矩阵A化为标准型。,解：矩阵A的特征值为,解得：,(3)设A阵为m重实数特征值1，其余为（n-m）个互不相同实数特征值，但在求解时仍有m个独立实特征向量 则仍可使A化为对角阵。,例 教材P42-43,作业 P83 1.10(1)1.14,例 教材P 43,怎样化A阵为若当阵？,1 设A阵为m重实数特征值，其余为（n-m）个互不相同实数特征值，但在求解 时,独立实特征向量P1的个数为1（一种最简单的情况），则能使A阵化为约当阵J。,（4）将状态方程化为若当(Jordan)标准形,下面确定将矩阵A化为约当标准型的变换阵P,例1.6-6 教材P 43,解：(1)先求A阵的特征值：,P1的独立特征向量数=1 2，所以系统A阵虽不能化对角阵，但能化为约当阵J,用MATLAB计算P-1。程序：P=1,0,5;0,1,3;0,0,1;A=1,1,2;0,1,3;0,0,2;Q=inv(P)J=Q*A*P,（2）求变换阵P,2如果系统矩阵设为友矩阵，即：,则将A化为约当标准型矩阵的变换阵P为：,且A阵为m重实数特征值，其余为（n-m）个互不相同实数特征值，但在求解 时,独立实特征向量P1的个数为1，,例1.6-7 教材P46-47试将下列状态空间表达式化为约当标准型。,（2）求变换阵P,（3）计算：,作业 P84 1.11(1),要求记住并能熟练应用公式（1.7.7）,1.7 从状态空间表达式求传递函数(阵),例1.7-1 已知系统的状态空间描述如下,求,这是 例1.3.1 的结果，原题给出的是微分方程,解：根据公式(1.7.7),先求出,例1.7-2 教材P54-P55 例1.20,非奇异变换不改变系统的传递函数,同一系统的状态空间描述，通过非奇异变换后，会有许多不同的结构形式，但是它们的传递函数阵G(s)却是相同的，即非奇异变换不改变系统输入输出的特性。,证：,作业 P84 1.16,1.8 非线性和离散系统的状态空间描述(1)非线性系统的状态空间描述,状态空间表达式的线性化,非线性系统线性化实例,(2)离散系统的状态空间描述,在连续系统中，状态空间描述的数学表达式为：,显然，在离散时间系统中，状态空间描述的数学表达式应具有如下形式：,【例1.8-1】设某线性离散系统的差分方程为：,试求其状态空间表达式。,解:与连续系统类似,选择离散系统输出y及其各阶差分为状态变量，即选,写成矩阵形式：,作业,P83 1.7-（1）P83 1.8-（1）并联分解法P83 1.10-（2）P84 1.11-（1）P85 1.16,