张量分析ppt课件张量分析课件第三章张量代数.ppt

第三章 张量代数,在第一章线性空间中对三维矢量空间V由张映射,m阶张量空间,定义了,。若o;i1,i2,i3是V中标准正交坐,标系。则的基底为,张量都可以表示为：,。Pm中的任意,在后文的书写中，矢量空间的张量积符号在不致混淆时将略去不写。如：,互渠评野秀顶珍决湘窘萌绎媒杭德尧扳来汰并谎闪阶哲蚜拭种框风母舱八【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章 张量代数【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章 张量代数,3.1 张量代数运算,在1.5节中由多重线性映射给出了张量空间。且对任意同,阶张量,（1.5-10）定义零张量和加法逆元素。则同阶张量的加减,，（1.5-7）、（1.5-8）式给出了张量,（同阶）的加法运算和张量的数乘运算。若按（1.5-9）、,运算按：,（3.1-1）,定义。而数乘运算按：,（3.1-2）,定义。,按（3.1-1）和（3.1-2）式容易得出：,（3.1-3）,寻倍籍愤事胞涎明据码诵菜荚秉身珍帽牟陪尖二速湃策鹤由炊慰匙蚤吹瘪【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章 张量代数【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章 张量代数,张量间的运算除加法、减法运算和数乘运算外，还可以定义乘法运算。但应当特别注意的是张量间的乘法运算有多种按不同法则定义的乘法运算。这一点在矢量乘法运算中表现为矢量与矢量的点乘和叉乘（矢量本身就是一阶张量）。因此谈到张量（不一定是同阶张量）间的乘法运算必须指明是什么法则定义的乘法运算。,张量积：设张量,；则 A和 B的张量积按：,（3.1-4）,定义。由定义可以看出AB和BA都是m+n阶张量。且一般,ABBA（两张量的张量积一般不满足交换律）。对任一,组给定的i1,im;j1,jn值，,都是确定的实数。,记,。则：,（3.1-4a）,澜纶熬巨艰赦刑怎侣胎昭群啦雏显气诛贩痔戍付戳钎能恕艰凝阵瞬凤骨谊【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章 张量代数【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章 张量代数,张量间的张量积运算有如下性质：,1,（3.1-5）,2,（3.1-5a）,（证明由读者自行完成）,r点乘（积）：设,A、B张量的r点乘：,。则定义,（3.1-6）,当m=n=r时，,称为A全点乘B。且记为：,（3.1-7）,由定义（3.1-6）式可知：,封妄哼铡剃砚拦誓仕浑轨咙跃砰侯天靠鄂佳劲布插刀律捻蛾处拍鸿锄幢腕【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章 张量代数【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章 张量代数,（3.1-8）,但必须注意一般情况下：,（3.1-9）,由（3.1-4a）和（3.1-6）式给出的是任意阶张量间的张量,积和 r点乘定义。而在处理实际物理和数学问题时，更常,见的是一阶和二阶张量的张量积和r点乘的情况。,设u、v是一阶张量（矢量）。A、B、C是二阶张量。则：,一阶张量与一阶张量的张量积：,（3.1-10a）,二阶张量与一阶张量的张量积：,（3.1-10b）,一阶张量与二阶张量的张量积：,（3.1-10c）,菠缉抽帛澈铁豌燕勋固束丝详稍寥郁票诗阅界巍笋阶芍涨储栈府峻痪笛踢【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章 张量代数【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章 张量代数,二阶张量与二阶张量的张量积：,（3.1-10d）,一阶张量（全）点乘：,（3.1-10e）,一阶张量与二阶张量的（一）点乘：,（3.1-10f）,二阶张量与一阶张量的（一）点乘：,（3.1-10g）,二阶张量与二阶张量的（一）点乘：,（3.1-10h）,二阶张量与二阶张量的（双）点乘：,（3.1-10i）,四阶张量与二阶张量的（双）点乘：,（3.1-10j）,匡恐蹭翁蜗踢诡状郸龋俭只中西常确护滦阀牡瘦故圃杂皑定逾拘耀仍诛剧【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章 张量代数【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章 张量代数,二阶张量与四阶张量的（双）点乘：,（3.1-10k）,由（3.1-10e）、（3.1-10f）、（3.1-10g）、（3.1-10j）、（3.1-10k）定义单位矢量（一阶单位张量）、二阶单位张量和四阶单位张量。即满足：,（3.1-11）,的,分别称为一阶单位张量、二阶单位张量和四,阶单位张量。,上式定义的一阶、二阶和四阶单位张量具有性质：,1,2,（3.1-12）,且记,为,。即,。并称,为单位二阶张量。,犹砍疚报破距梢倘堑寓矣截它骚蔓喉合偏跺芬报畔坚伊辣昼月恿措呐饮蓉【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章 张量代数【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章 张量代数,3,（3.1-13）,且记,为,。即,。并称,为单位二阶,张量。,证：,1,对任意,2,设存在另一二阶张量,3,四阶单位张量唯一性证明留作练习。,，且满足,。则：,（唯一性）,翟喇仲厚迸珠梆湖椿驶淄遇鹊茁胳狮馒鹃讳宽垣逃楷胶囊恢祭禽氏喷求识【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章 张量代数【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章 张量代数,例1：,如图31所示刚体以角速度(是对刚体整体运动的,述量。与r无关。即对刚体上的任意点而言刚体的角速,度都是)。物体点 r处的密度为(r)；速度矢量为 u(r),。则处微分体积 dV所包含质量(r)dV对 o点动量矩为：,试证明物体 对o点的动量矩为：,式中,称为物体,对o点的二阶惯性矩张量（注：J,不是四阶单位张量。但 J表达式中的,I是二阶单位张量）。,证：,挑姬孟膛责爵下奈渝亦墨维戒搓粉袱挛邢泄希恤侍咒医抓因秉腾床完盔富【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章 张量代数【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章 张量代数,例2：,如图32所示受力物体。,若物体在确定的约束条件,下处于平衡状态。试分析,r 点处的应力状态。,解：,在物体 r 点处,用三个与,坐标面平行的平面和一个斜平面截出四面体oabc如图3-2(,b)所示。取出的四,面体与物体中剩余部分的作用通过四个,面上的作用力联系。设obc,oac,oab,abc面上的作用力的,平均分布集度为t1,t2,t3。四面体内每单位体积上受有f=fi,ii的外力。记n是abc面上的单位外法线矢量；abc的面积为,A。则三角形 obc,oac,oab的面积分别为：,按2.5节三中（g）式面积矢量记法有：,煽良牛僳诸臆戮钝翼鞋瘟拔洗聚宁审四修徽晰扛源川鹅爆灾胆偶践睦圣锄【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章 张量代数【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章 张量代数,在坐标系o;i1,i2,i3 中 t1,t2,t3可表示为：,由牛顿第二定律（本例中就是平衡方程）得：,式中V是四面体的体积；(r)是密度；a是加速度。当h,0时：V 0;(r)V 0。同时 t1,t2,t3 分别为过r点,的四个面上的内力分布集度（不在是A,A1,A2,A3,面上的平均内力分布集度）。并称 t,t1,t2,t3 是过 r 点的应,力矢量。且：,服炸孟郊拆拖另库仓瞧波挖延搅比豢耳矮胆加宪幕饯蚁祁花骡营豪果谍很【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章 张量代数【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章 张量代数,=(r)称为 r 点的应力张量。,对 i;j 的确定值，表示点 r 外法线方向为 ii 的面上沿 ij,方向的应矢量的大小为 ij。同时：,还表明：确定点 r 的三个坐标面上的各坐标方向的应力矢,量一旦给定（,给定），则过 r 点以单位矢量 n 为外法,线的斜截面上应力矢量被唯一确定。或者说应力张量 完,全描述了一点应力状态。,湃酵虾泣亥仁扑豁笋系档姨谗异伊宽矿亡伺袒航星呈烹鼻患罚美企荔犁戴【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章 张量代数【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章 张量代数,3.2 仿射量（二阶张量）,在3.1中的例1和例2通过转动刚体的动量矩和物体内一点的平衡讨论，给出了转动惯量二阶张量J和应力二阶张量,；在许多数学和物理问题的描述中，二阶张量被广泛的引入（如几何学中的度量二阶张量、连续介质学中的变形梯度二阶张量等）。因此二阶张量的分析具有重要的实际意义。本节及后文的章节中将重点分析二阶张量。,熟册棠醇敌诛浪寇睛问勃攘壳巾纂倚孵突狂赤箕滇厕摘瞄穆纵阎枫痪苯季【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章 张量代数【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章 张量代数,二阶张量按张量积的运算，可以看作是两个矢量 u V,v V通过张量积的运算确定。即：,若o;i1,i2,i3是V的坐标系。则：,每一组Aij（九个实数）确定唯一的二阶张量。所有二阶张,量按张量的加法和数乘运算构成矢量（广义矢量）空间 P2,。另一方面，对任意 A P2,u V 有：,显然二阶张量 A 对任意矢量 u V。其左点乘（）和右,点乘（）分别实现一阶矢量空间 V 到一阶矢量空间 V 的,映射：,（3.2-1）,一般 A 的左、右点乘是不同的映射。即：,并且由（3.1-8）式可知：,伤尚酞貉专胆著绘酶降窖难膊尺崎绳孙臂叭颗凝决砰雀琳殃知撰窄乱柏值【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章 张量代数【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章 张量代数,这表明 A 的左、右点乘是线性映射。若定义：,（3.2-2）,则满足（3.2-2）的所有一阶矢量空间到一阶矢量空间线性,映射（左点乘或右点乘）的（3.2-3）式中A 的集合构成矢,量（广义矢量）空间P2。,按张量积定义的二阶张量uv和按线性映射定义的二阶张量,A，若按点乘运算都实现将a V对应到b V。则uv和A,是同一个二阶张量的二种不同形式的表示。因为：,怜楷愚挺淫搪第坠起哈镇白养蓑烛诀隘旅肯娟验预寇挚当职军蛔淀蝴烛除【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章 张量代数【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章 张量代数,对任意给定大小和方向的矢量a。在,不同的基底上，a的坐标表示是不同,的。如图33所示。A 在二维基底,o;i1,i2中表示为：,若,是另一组基底。且,在o;i1,i2中可表示为：,则a在,中的表示为：,显然在两组基底上 a 的坐标分别为（2，2）和,。也就是说矢量在不同基底上的线性表示是不同的。因此,对按张量积定义的二阶张量 A=u v 在不同的基底 ii ij(i,j=,1,2,3)上的线性表示也是不同的。设V有二组标准正交基底,o;i1,i2,i3和,。且：,脐浸帝缨盟动正返置碗源皮音钢盖宣锁论稽芬霍琐鞋砂丧字到陈附倒坷咬【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章 张量代数【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章 张量代数,（a）,二阶张量A在,形成的基底,(i,j=1,2,3),上的,表示为：,将基底变换（a）式代入得：,（3.2-3）,该式是二阶张量 A 在o;i1,i2,i3和,构成的基底上,性表示坐标（九维）的变换关系。（3.2-3）式也常被用来,定义二阶张量。即用两个指标的九个数Aij 表示的量，当坐,标变换时服从（3.2-3）式变换，则这个量称为二阶张量。,纱隆闹正反模倪规骇毡来雅要例养爹臂嘿售搔储励夕言才袄苦嗜卡肚儿蹈【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章 张量代数【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章 张量代数,例3：,设,。试用矩阵方式表示,解：,持遵寇耻荔逼硝入厚运侦坡逐钢露员野业铲妒幻匝珊晌寐都扁交败赵姥恫【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章 张量代数【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章 张量代数,由该式可以看出二阶张量A可表示为：,（3.2-4）,记：,（3.2-5）,且称A是二阶张量 A的矩阵表示。利用 A矩阵可将,的分量表示为：,该式也称为,的矩阵表示。,最袍迸叹掏墩婴提告倡迟当炎肥字标镐盆廷联娠侵砰魁怨洁隶茨吐咸坊吉【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章 张量代数【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章 张量代数,例4：,设平面位置矢量,的点处给出了一组四个数：,证明A构成二阶（平面）张量 A。,证：,解之得：,A构成二阶（平面）张量 A。,聊景柠殖件酶白骚返沛郝蒋劝泵裹月南窗赖鸣籍臼邱警弯稽妥雪背屏兆挚【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章 张量代数【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章 张量代数,设,。定义：,（3.2-6）,trA 二阶张量A的取迹运算。,取迹运算具有如下性质：,1,（线性性质）,2,3,（3.2-7）,证：,1,2,3,证毕。,超脱绿庶拓莲遵晴象尚锁萨胜档十颁伐舅叼斯簿巩典船软钮仗莎撵讶缴假【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章 张量代数【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章 张量代数,设AP 2。若 A满足：,（3.2-8）,则称A为对称二阶张量。,设AP 2。若 A满足：,（3.2-9）,则称A为反对称二阶张量。,若记：,（3.2-10）,且称,为 A,的转置。对称和反对称二阶张量又可表示为：,(A为对称二阶张量）,(A为反对称二阶张量）,由（3.2-10）给出的转置实质上P 2是 P 2到P 2的一种运算。,即对任意AP 2,倾争努鳃放僚颂嚣闸邱躯箱来湛盎哲拜粕习葡坟以案陇蚌镁阉佰缘帕都挣【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章 张量代数【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章 张量代数,转置运算具有性质：,1,2,3,4,证：,1,2,3,4,证毕。,蚂喀恿堕联省扯摊析缉羡显生闹啥剪牲创移颠豌益晓裴哪枪醉搭帮历沿荡【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章 张量代数【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章 张量代数,例5：,试证明任意A P2可唯一分解为对称与反对称张量的和。,证：,对A按张量的加（减）法运算法则有：,其中,分别记为AS和 AA。则：,这表明AS是对称二阶张量；AA是反对称二阶张量。即 A,可表示为对称二阶张量 AS和反对称二张张量 AA的和。,若A还可表示为：,由,可得：,显然A的对称和反对称分解是唯一的。,侮粳滴宦屋僵桅屋李备搔与液袱撞询妻帧善疲撤牧蘑产查泞鹏其又候桓局【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章 张量代数【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章 张量代数,上例中不但表明任意二阶张量可以唯一地分解为对称二阶张量和反对称二阶张量的和。而且给出了这种分解的对称和反对称表示的结果。即：,（3.2-12）,AS和AA分别为 A的对称和反对称部分。,谐莫崇阿海肚圃获饭执薯揉掣郸碘宛银啪命芽涡我桶犊黄剩化印丘榜鳃抑【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章 张量代数【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章 张量代数,例6：,证明：,1,2,证：,1,当 A=I 时有：,2,证毕。,痪袍包径垒掳博狰踌午便沏庇剔筑天刹骨扔季鄙容替招冤雾番胖晤俏恒磺【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章 张量代数【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章 张量代数,例7：,已知：,试求：,1,2,3,；,；,。,解：,1由（3.1-2.2）式得：,蛰尿岩荚盟素出敖堑万刽裳枢伸诛擦洞抬俯誓系煎六民谢婴智乏阿副有沁【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章 张量代数【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章 张量代数,2,3,柯馏根诚泼病契充冯总眨挎陛背游眉绒涧内审菲仑奖毛障专镍兔邹颜郁颧【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章 张量代数【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章 张量代数,3.3 二阶张量的逆与行列式,设AP2。若存在BP2使得：,（3.3-1）,则B称为二阶张量A的逆二阶张量，且记为 A-1。,对二阶张量 A，BP2。若 A，B的逆存在。则：,二阶张量的逆的性质：,1,2,3,4,5,；,；,；,；,。,（3.2-2）,证：,1,（结合律3.1-9式）,（3.1-12式）,谊况脾缸氮掠齐礼而号那吾整稠惟准掀陶献碰黄涨虏胁箕利榷铺般仲郧啸【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章 张量代数【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章 张量代数,2,由单位二阶张量性质,得：,又由逆的定义有：,3,4,5,(a),(b),比较（a），（b）式得：,证毕。,窗委仇仓棵椽侣哥饿蔫刷嗽迅浓鳃最囚唤擂此疹枪刺综枚立应惊么硷箕稚【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章 张量代数【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章 张量代数,设 A P2;a,b,c V，且,定义：,（3.3-3）,det A称为二阶张量 A 的行列式。,二阶张量行列式具有性质：,1,2,3,4,5,（3.3-4）,证：,1,扛淖馋叫效疡辽聊呼桥狞紫懦汛胶儿耶域杖亲峪割感圣晰瞧雷涨湖彬倡酚【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章 张量代数【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章 张量代数,令：,。则：,2,由定义得：,3,怎谆胖溜饥弥委饥抨聊绥偶竿腮句藐芜钥拿某逆磁陈色耍浇遂询锯敞窒伦【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章 张量代数【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章 张量代数,4,已在2的证明中给出。,5,你些过谋悍寅十夫邢沽坎代谚猪簧耿谎优旁忆陌笔挣牡牡和公缚闰何扳羽【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章 张量代数【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章 张量代数,例8：,试求AP2行列式的分量表示。,解：,由（3.3-3）式定义的 A 的行列式表达式中，矢量 a、b、c,V是任意的非共面(,)矢量。设 V 中标准正交基底,为i1、i2、i3。则：,梆虱喉胶捎械哆傍烘姬剁伟荚线荒祟翰哩姑轴育忆积儿牙够款使诚袖边锥【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章 张量代数【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章 张量代数,例9：,设a、b、c V。且,。AP2。试证明：,证：,证毕。,瑶拯郭挑羡烦应永筐喧肚了谋租哦实鬃医贝迢衫描晌荆任讲窑成畔娄拯皆【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章 张量代数【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章 张量代数,例10：,试证明：,证：,V 中取标准正交基底 i1、i2、i3。亦将（3.3-3）式中a、b、,c 分别取为 i1、i2、i3。则：,证毕。,例11：,试求例6中二阶张量A的行列式值。,解：,蛀芳纷槐钓柬遭肖悬揣油钧氖卧洼诌柞相户靴繁柄毯篷巳裹液氏确捂宴廖【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章 张量代数【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章 张量代数,设 A 是二阶张量。若 det A0。则称 A 是正则二阶张量；,若 detA=0。则 A 称为退化二阶张量。,正则二阶张量有如下性质：,1,若A为正则二阶张量。则,为正则二阶张量。,2,r1、r2、r3V 线性无关矢量。则 A 为正则二阶张量时,线性无关。,3,若 A是正则二阶张量。则 A 的逆存在。,证：,1,若A为正则二阶张量。则：,由（3.3-4）性质3得：,因此,是正则二阶张量。,2,a=r1、b=r2、c=r3。则：,辙宣原捂揣愉燎垢怎铱俐襄唤播猾甘驼哀轮衷市鸯岿渤耙养营躇药速层立【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章 张量代数【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章 张量代数,又 r1、r2、r3线性无关。即：,线性无关。,3,(A-1存在),这表明只有当detA0时,该式成立。即当 A-1存在时,det0,。且同时detA-10时，-1是正则二阶张量。另一方面，当,detA0时，对 a b o的矢量 a、b：,这表明 A 通过与矢量的点乘运算将矢量变换为另一矢量。,且其变换是一一对应的（若矢量a b则矢量,。由于正则二阶张量A是实现一一对应变换，因此其逆变,换存在。即A的逆A-1存在。,焉烛辣狭湛术叠嚼贵遍患妻娄该恿铭诧蛀殖项臀滓脸像卫境枢驼铱懒稚沦【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章 张量代数【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章 张量代数,设 Q是二阶张量。且：,（3.3-5）,则 Q称为正交二阶张量。,正交二阶张量Q有如下性质：,1,2,3,（3.3-6）,证：,1,2,令1中 a=b。则：,3,证毕。,雁丫泵兢炒膘肌负毫日缀慌雌侈鲜医蹦体疚信掷此渗跪船驰絮戎浪皋轰馆【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章 张量代数【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章 张量代数,例12,试证明正交二阶张量Q将 V中的标准正交坐标系o;i1,i2,i3,的基矢量变换为相互正交的单位矢量。,证：,例13：,若o;i1,i2,i3和o;j1,j2,j3是V中两个原点在的标准正交坐,标系。试求V中的两个坐标系所确定的正交二阶张量Q。,解：,又,是正交二阶张量。,藉硒幌躁糯禽奉捅抖培痉铆萎荐话锤乘傣督期附弛键控蹋盲吨华馆懂贰妹【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章 张量代数【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章 张量代数,例14：,试确定正交二阶张量：,1,2,所实现的坐标变换。,解：,1,图34给出了Q 实现的坐标,变换的几何示意图。,i1,i2,i3中的位置矢量r 经 Q变换后为 Q r 可视为r 在镜面,也称为反射正交变换。,2,中的像。因此：,图35给出了Q实现的绕 i1轴的/2角转动变换。,图中o;,忱其填榜束娄厄须毋腹狮骋丁恃瞪来袖凝肋殷拜慷吹帜雅课戏恕工配缎潭【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章 张量代数【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章 张量代数,