完全四点形的调和性质在初等几何证题中的应用.docx

完全四点（线）形的调和性质在初等几何证题中的应用数学学院 数学与应用数学（师范）专业2008级 杨春燕指导教师刘学文摘 要：高等几何是初等几何的延伸，它为初等几何提供了理论依据，拓展了初等几何 的解题途径，开阔了学习初等几何的视野，因此，很有必要了解高等几何在中学数学解题中 的应用。本文对高等几何中的完全四点（线）形的调和性质进行了归纳整理，并从初等几何 与高等几何之间的本质联系出发，主要讨论了完全四点（线）形的调和性质应用于初等几何 中某些证题问题的指导性作用。关键词：完全四点形；完全四线形；调和性质；初等几何Abstract： Higher geometry is that the elementaru geometry of extension, it is several for elementaru geometry provided a theory basis, expanded elementaru geometry several of solution path, spacious the elementaru geometry is several the study visual field of.Therefore, have much of necessity understand Higher geometry where the usage in high school mathematics. This text carried on to induce a sorting to the complete quadrangle（quadrilateral）s Concordance property, and several from the elementaru geometry and Higher geometry of the essence contact of set out and mainly discussed that the complete quadrangle（quadrilateral）s Concordance property is applied to elementary grade several win some functions of problems.Key words: complete quadrangle（quadrilateral）; harmomic property; elementaru geometry.1引言高等几何是高等师范院校数学与应用数学专业的一门重要基础课。由于 该课程的抽象化、逻辑化程度较深，学起来要困难一些，因此大多数高师类数学 与应用数学专业的学生都怕学这门课程，甚至认为学好了高等几何用处也不大， 于是抱着一种敷衍的态度学习高等几何，但任由这种观念传播显然对培养中 学教师是十分有害的。实际上，要成为合格的中学数学教师，教好中学数学，就 应有全面的数学素质，而高等几何对中学数学教师几何基础的培养、解题观 点的提高、思维方法的多样化等都起着重要作用，而且从逻辑上讲，高等几何是 初等几何的延伸，它为初等几何提供了理论依据，拓展了初等几何的解题途径， 丰富了初等几何的研究方法，开阔了初等几何的学习视野。比如，初等几何中的 点共线与线共点问题，是教学中的一个重点，也是一个难点，如果单纯用初等几 何的方法去解决，有时会觉得非常复杂，若采用高等几何的方法去思考问题，不 仅可为解题带来了极大的方便，也可在方法上为解决初等几何的问题开辟新的思 路。同理“交比和调和共轭”与射影几何的各部分内容密切相关，运用其概念和 有关性质，可以比较简单地解决初等几何问题，比如著名的“蝴蝶定理”用交比 来证明比较简便，基于这些原因，本文将针对利用完全四点（线）形的调和性质 在初等几何证题中的应用举出大量实例，对“高等几何”在“初等几何”中的应 用进行探讨，以引起将来要从事中学数学教学的师范类大学生的高度重视。2完全四点（线）形的概念2.1完全四点形定义1 1：平面内无三点共线的四点及其两两连线所构成的图形称为完全四 点形，记作完全四点形ABCD。定义1 1： 完全四点形含四点六线，每一点称为顶点，每一直线称为边， 不过同一顶点的两边称为对边，有三组对边，每一对对边的交点称为对角点，三 个对角点构成的三角形称为对角三点形。如图2-1中，在完全四点形ABCD中，A，B，C，D是四顶点，AB，AC， AD，BC，BD，CD分别是六边，AB与CD，BC与AD，BD与AC分别为三组 对边，Q，P，R分别为三个对角点，三角形QPR是对角三点形。2.2完全四线形定义2i：平面内无三线共点的四直线及其两两交点所构成的图形。称为完全四线形，记作完全四线形abcd。定义2 i： 完全四线形含四线六点，每一直线称为边，每一点称为顶点， 不在同一边上的两个顶点称为对顶点，共有三组对顶点，每一对对顶点的连线称 为对角线，三条对角线构成的三角形称为对角三线形。如图2-2中，在完全四线形abcd中，CH，HM，CF，GF为四边，C，H， F，G，D，M分别为六个顶点，C与D，H与F，G与M分别为三组对顶点， CD，HF，GM分别为三组对角线，三角形BAE是对角三线形。图2-2完全四线形2.3交比的定义定义3i：设a，b，c，d是在射影平面上一点列的四个不同点，则有，(c) =气(。)+ X 2(b)，(d) =出(a) + 四 2(b).我们定义此共线的四点。,d的交比（ab； cd）为:(ab；cd)=其中a , b称为基础点，c , d称为分点。定义4m在仿射平面上，共点四直线&（,）的方向数为k （i = 1，2,3,4），则，(& (1)& (2)； & (3)&(4)=(k 3 - k )(k 4 - k 2)(k 3 - k 2)(k 4 - k 1)定义5门：我们规定，当（ab； cd）= -1时，四点a，b，c，d构成调和比，并称点对a，b与点对c，d成调和共轭，-1称为调和比。3完全四点（线）形的调和性质3.1完全四点形的调和性质定理11：设s、s，是完全四点形ABCD的一对对边，它们的交点是对角点X， 若X与其它对角点的连线是t、t'，则有（ss« ttf） = -1。推论1m在完全四点形的对角三点形的一边上，三角形的两顶点，四点形的其他两边与此边的两交点，四点成调和共轭，调和比为- 1。如图 2-1 中，（QR； YZ） = -1，（PQ； XE） = -1 等。推论2m 在完全四点形的每条边上有一组调和共轭点，其中两个点是完全 四点形的顶点，一个点是对角三点形的顶点，另一个点是这个边与对角三点形的 边的交点。如图 2-1 中，（AB； YP） = -1，（AD； ER） = -1 等。3.2完全四线形的调和性质对偶地，可以得出完全四线形的调和性质。定理21：设C、D是完全四线形abcd的一对对顶点，它们的连线是对角线x，若x与完全四线形的边的交点是A、B，则有（AB； CD） = -1。推论1m在完全四线形的每个顶点上，都有一组调和线束，其中两条边是通过此点的两边，一条是通过此点的对角线，另一条是这个顶点与对角三线形另 一顶点的连线。如图 2-2 中，F（BA； CD） = -1 等。推论21：通过完全四线形的对角三线形的一顶点，三线形的两边，四线形的其他两顶点与此顶点的连线，四直线成调和共轭。如图 2-2 中，E（BA； CD） = -1 等。4应用完全四点（线）形的调和性解初等几何问题利用上述性质我们可以较为简单明了地解决许多初等几何的问题，以使得初 等几何与高等几何的学习能够融会贯通，并从中体现高等几何对初等几何的指导 作用。完全四点（线）形是初等几何中四边形的推广，这里图形只考虑点线结合关 系，为我们简化计算提供了可能。完全四点（线）形的调和性在初等几何中有着广泛的应用，是应用高等几何知 识解决初等几何问题的一条重要通道。在初等几何中有大量的问题涉及到平分线 段、平分角度、点线结合关系（线共点、点共线）、直线的平行性、比例线段等 概念。对于这类问题，可以运用完全四点（线）形的调和性，由特殊到一般，化繁 为简地加以解决，从而达到事半功倍的效果。4.1证明平分线段问题在初等几何中，证明两条线段相等是一种最常见的题型，证明的方法也有很 多：1.利用等腰三角形的判定和三线合一性质；2.利用全等三角形的性质；3.利 用线段垂直平分线，角平分线的性质；4.利用平行线等分线段定理；5.利用特殊 四边形的性质；6.利用面积；7.利用成比例线段；8.利用圆中关于等线段的定理（垂 径定理；切线长定理；在同圆或等圆中，等弧对等弦、弦心距等弦等、弦等弦心 距等）；9.利用中间量；10.利用相等线段的和差；11.利用三角函数。以上是在初等几何中解平分线段题常用的方法。有的题简单，方法单一，但 有的难题往往要综合利用证明线段相等的多种方法逐步解决，因此采用初等几何 方法证明思路较难，而完全四点（线）形的调和性却可以比较简捷地解决这些平分 线段问题。例1 如图4-1，已知四边形ABCD中，AB与CD交于E，AD与BC交于F， AC 与 EF 交于 N，BD EF，求证 EN = NF。用初等几何知识，我们只知道BD EF这一个条件，其他条件看似无用，但依 靠这一个已知条件很难证明到结论，下面考虑用完全四点形的调和性来解决。证明：如图所示，在四边形ABCD中，BD EF，设BD与EF交于，视四 边形ABCD是一个完全四点形，则MN为完全四点形ABCD的对边三点形的一条 边，由完全四点形ABCD的调和性质知（EF； NP斜=-1，所以有（EFN） = EN / FN =-1，从而N是EF的中点。所以N为EF的中点。即EN = NF。化为完全四点（线）形的问题，运用线段中点与线段所在直线上的无穷远点的调和关系以及完全四点（线）形的调和来处理。4.2证明线线平行问题初等几何中证明线线平行问题最常用的方法有：1.利用平行线传递；2.利用 角平分线传递；3.利用等积关系（或面积比）传递；4.应用相似形传递5.利用向 量。那么怎样用完全四点（线）形的调和性来进行证明呢？例2在三角形ABC的中线AD上任取一点H，延长BH交AC于E，延长CH 交AB于F求证EF BC。图4-2线线平行证明：如图4-2，设EF与BC交于点6，考察完全四点形BCEF，由完全四点形 的调和性质，有（BC； DG） = -1，即（BCD） = （BCG） = -1，而已知点D为线段BC中 点，有（BCD） = -1，从而得（BCG） = -1，故点G为直线BC上的无穷远点，即EF 与BC交于无穷远点，从而得证EF BC。因此得到，证明线线平行问题，也是运用线段中点与线段所在直线上的无穷 远点以及其完全四点（线）形的调和性处理。由前面的讨论不难看出，线段相等和线线平行之间的联系：对于同一个问题， 它们可以通过添加无穷远点和完全四点（线）形的调和性联系起来。4.3证明线共点、点共线问题完全四点形中有诸多的调和共轭线束和调和共轭点列，图2-1，完全四点形 ABCD中，三角形QPR为对角三点形。则调和共轭线束是以Q、P、R为中心的 三组线束。调和共轭点列在完全四点形的六条边及对边三点形的三条边上。正因为完全四点形有着诸多的调和共轭关系和点线结合关系，所以它可以帮 助我们解决某些初等几何中的点线结合问题。4.3.1证明线共点问题在初等几何中证明线共点的方法有：1.利用已知线段中点、内定比分点、外 定比分点的唯一性；2.利用已知四边形对角线交点的唯一性；3.利用已知点关于 定点的对称点的唯一性；4.利用三角形各心的唯一性。用调和性处理起来更为简便。例3设X、Y、Z是完全四点形ABCD的三个对角点，XZ分别交AC、BD 于L、M，证明YZ、BL、CM共点。（1）（2）图4-3-1线共点证明：如4-3-1图（1），在完全四点形ABCD中，据推论知，边AC上的四 个点A、C、Y、L是一组调和共轭点，即（AC； YL） = -1。又在完全四点形YBZL 中，设LB与YZ交于N，MN交YL于C，据推论知，边YL上的四点Y、L、C、 A 是一组调和点，即（YL； AC。= -1。由于（YL； AC。= （YL； AC），故 C 三 C'，所 以YZ、BL、CM共点于N。例4求证三角形三中线共点。已知：三角形ABC中，AD，BE，CF分别为三角形ABC的中线，求证AD， BE，CF共点。证明：如4-3-1图（2），设BE交CF于A，AO交BC于D1，由EF BC，设 F交BC于无穷远点Pg。在完全四点形AFOE中（或完全四线形ABOC中），根据 调和性质，有（BC； Dp） = -1，故D1为BC的中点，因此D和D1重合。即AD，BE , CF共点。4.3.2证明点共线问题在初等几何中证明点共线的方法有：1.利用四点共圆，在圆内主要由角相等 或互补得到共线；2.利用面积法；3.利用同一法，尽管同一法是一种间接证法， 但它却是一种很有用的证法；4.利用位似形的性质；5.利用反证法，有的几何题 利用直接证法很难，而用反证法却能很快达到预期目的。运用完全四点（线）形的调和性来解决点共线问题，就要先选取共线的四点、 共点的四条直线或者一个完全四点（线）形，然后再根据调和性质解决问题。已知：如4-3-2图（1），在三角形ABC中，ZACB外角平分线交AB于E，/BAC外角平分线BC交于F，ZABC外角平分线交AC于G，求证E，F，G三 点共线。证明：设P为内角平分线AA1，BB1，CC1的交点，AB与A1 B1，BC与B1C 1， AC与A1C分别交于E 1，F 1，G1，根据德沙定理，则E 1，F 1，G1三点共线。又ZACB 外角平分线交AB于E，ABAC外角平分线交BC于F，ZABC外角平分线交AC于 G，因此有（BA； C1E） = 1，（BC； A1F） = 1，（AC； B1G） = 1。在完全四点形 ABAB中（或完全四线形APBC中），根据调和性质有（BA； CE） = 1，因此（BA； C 1E） = （BA； C 1E1），故E和E1重合。同理F和F1重合，G和G1重合。所以E ,F，G三点共线。例6 如4-3-2图（2），已知梯形ABCQ，对角线AC、BD交于G , F、H 为AD、BC的中点，BA、CD的延长线交于E。求证E、F、G、H四点共线。证明：若E、F、G、H四点共线，则在梯形ABCD中，AD BC，两腰延 长线及对角线分别交于E，G，且EG交AD，BC分别于点F，H，因此要证E、 F、G、H四点共线，只需证F，H为AD，BC的中点。在完全四点形ABCD中，设AD与BC交与无穷远点P，根据调和性质，则有 （AD； FP=1，故（ADF） = 1，即F为AD中点。同理可证H为BC的中点。初等几何中的许多难于解决的共点线与共线点问题，利用调和性来证明，方 法较初等几何方法更简便解决起来要方便得多。由以上例题，说明处理共点、共线的问题，最常用的方法：1.把四边形视为 四点形或四线形；2.用重合法进行证明。4.4证明平分角度问题初等几何中证明角相等的方法有：1.利用全等三角形（或相似三角形）对应 角相等；2.在同圆或等圆中，等弧（或等弦）所对的圆心角和圆周角都相等；圆 内接四边形的外角与它的内对角相等；弦切角与它所夹弧对的圆周角相等。那么，用完全四点形的调和性是否也能简便地解决此类问题呢？例7在四边形ABCD中，对角线AC平分ZBAD，在CD上取一点E，BE与 AC相交于F，延长DF交BC于G，求证ZGAC = ZEAC。证明：如4-4图（1），过A作AC的垂线与BD交于S，SD交AC于T，所以 AT与AS分别是ZBAD的内、外角平分线，因此有（BD； TS） = 1。连GE交BD于 S1，GE交AC于R。在完全四点形CEFG中（或完全四线形DFBC中），根据调 和性质有（BD； TS 1） = 1，因此（BD； TS） = （BD； TS 1），所以S和S 1重合。又AC ± AS，且（GE； RS） = （BD ； TS），因此AC与AS是Z EAG的内、外角平分线，所以 ZGAC = ZEAC。Q（1）图4-4平分角度例8R，则DA是ZRDQ的内角平分线。证：如4-4图（2）,设DQ交BA于S , J在完全四点形ABDQ中（或完全四线AB 于 Q ,P是三角形ABC的高AD上任意一点,/Bp形 APBC 中），有（RS； AB） =-1 ,故 D（ RQ； BA） =-1 ,又因为 AD ± BD ,所以 DP与DB分别是ZRDQ的内、外角平分线，所以DA是ZRDQ的内角平分线。由以上两例不难看出，利用完全四点（线）形的调和性解决某些初等几何平分 角问题时，主要在于完成两个步骤：一是构造四边形，得到四条直线调和分割;二是设法建立交错二直线相互垂直关系，再用调和性证明，由此即可证明平分角 结论。4.5证明比例线段问题初等几何中证明线段成比例的方法有：1.三点定形法：利用分析的方法，由 欲证的比例式或等积式转化为比例式，寻找相似三角形，这是证明线段成比例问 题最基本的方法之一，一般是找到以四条成比例线段为边的两个三角形，再证明 这两个三角形相似；2.等量代换法：当需要证明的成比例的四条线段不能构成相 似三角形时，往往需要进行等量代换，包括“线段的代换”或利用“中间比”进 行代换；3.辅助线法：利用辅助线来转移比例是证明线段成比例的有效方法；4. 以上方法都难以解决时，把等比化成等积，更易于求解。用调和性也能证明此类题型。1例9 已知在ABCD中，点E是AB的中点，EF父AC于G , AF = -DF,2求证：AG = 1 AC.5图4-5比例线段证明：如图4-5，连BD交AC于H，过E作EE BD交AD于E'，连EG交AB 于F'，连FF'交AC于A，视AFGF为完全四点形。因E为AB中点，且EE BD，所以EE'为三角形ABD的中位线，A为EE'中 点，由初等几何知识易证 EE FF，所以AF / AE = AA/ AA”，AF = 0.5AD， AE，= 0.5AD，AAr/AA" = 2/3，在完全四点形AFGF中（或完全四线形AEGE'中）， 由定理，得（AG； AA"） = l。即（AG； 3）=些=土竺仁-AA GA AA”.（A G 2 AA"）4 114 11即AG = -AA"， 又AA"= AH = -AC，所以 AG = x AC = -AC。5 245 45由此题的证明，不难得到更一般性的结论成立。11推广：在ABCD中，E在AB上，F在AD上，AE = AB 且 AF =-AD， mn1EF 交 AC 于 G，贝U AG =AC。m + n5利用完全四点（线）形的调和性解作图问题我们知道，一直线l上的点偶P" P 2与Qi，Q 2成为调和共轭的充要条件是“ P 和P2是一个完全四点形的对角点，0和Q2是通过第三个对角点的一组对边与i的 交点”。为此，可通过完全四点形的作图来作第四调和点。例10仅用无刻度的直尺作A，B，C的第四调和点D。作法：1.过A，B各任作一直线交于点S ；2. 过C任作一直线交SA，SB分别于点P，Q ；3. 连结AQ、BP交于点R ；4. 连结SR交AB于点D，则点D为所求作的点。如果过C再任作一直线交SA，SB于点P，Q，连结AQ，BQ交于R。由A， B，C第四调和点D的唯一性可知S，R，R，D共线。如果再过A、B各任作 一直线交于点S'过C任作一直线交S'，S'分别于点PQ连结AQBP交于点R”。 由A，B，C第四调和点D的唯一性可知SR，S'R”共点于D。6结束语完全四点（线）形的调和性应用于初等几何证题中，达到了化难为易的目的， 拓展了解题思路，从这五种应用的解题方法推广到关于他们的作图，更加完善和 充实了初等几何的内容，把高等几何与初等几何更加紧密的联系了起来。当然， 除上述外，完全四点（线）形的调和性质更为广泛的应用还有待于我们进一步研究。通过前面的阐述和例题可以看出，对初等几何而言，高等几何具有鲜明的指 导性和应用性特征，对数学与应用数学专业的学生及中学数学教师来说，学好了 高等几何，处理初等几何的能力也就相应增强了，而且其几何思维水平也会得到进 一步的提升，前面的论述也一再表明，高等几何不是没有什么用处，而是对初等 几何具有重要的指导作用，只要学习和应用的人有心，积极开动脑筋，就能把高 等几何的知识很好的运用到中学数学教学中去，为解决复杂繁琐的几何难题服务， 为提高中学数学教学质量服务。参考文献：1 罗崇善，庞朝阳，田玉屏.高等几何M.北京:高等教育出版社,2007.45-62.2 廖小勇，胡如涛，袁明豪.高等几何教学及其对中学教学作用的研究J.松辽学刊，2000(3):77-88.3 李恩风.高等几何与初等几何的关系J.青海师专学报,2001 (6):53-55.4 梁林,袁丽晴，马嘉芸.高等几何中完全四点(线)形的调和性质应用于初等几何中某些性 质的初探J.楚雄师范学院学报,2002,17(3):32-33.5 赵强.浅谈高等几何对中学几何教学的指导意义J.南宁师范高等专科学校学报，2006,23(4):127-129.6 刘翠英.关于高等几何对初等几何教学指导的几个问题J.高等函授学报，2006,19(4):16-17.7 赵强,浅谈.高等几何对中学几何教学的指导意义J.南宁师范高等专科学校学 报，2006,23(4):127 - 129.8 张艳霞，邢妍.调和共轭及其应用J.保山师专学报,2008,27(5):36-38.9 杨全.用高等几何方法解决初等几何中的一些问题J.牡丹江大学学报,2008,17(9)： 111-112.