张量分析ppt课件张量分析课件第三章3二阶张量特征值与特征方向.ppt

3.4 二阶张量特征值、特征方向,二阶张量A实现 V到V的线性变换（这种变换通过二阶张量,与矢量的点乘实现）。对给定的二阶张量A,V中是否存在,这样的矢量u使得A点乘u所得到的矢量 A u方向与 u相同，,而大小发生变化。这类问题称为二阶张量的特征值问题。,设A为给定的二阶张量。那么A的特征值问题归结为u V,，使得：,（3.4-1）,（3.4-2）,若（3.4-1）的u存在，则称u是 A的右特征矢量；是 A的,右特征值；若（3.4-2）的u存在，则称u是 A的左特征矢量,；是 A的左特征值。,缨罗拄枢典砒员整恰笺拣界冻危过试瘦号任珊阻喷孺敢恨阎祟伐弯藐递涟【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向,设V中标准正交坐标系为 i1,i2,i3。则二阶张量 A和矢量,u可表示为：,可分别写成：,或,（3.4-3）,（3.4-4）,（3.3-3）和（3.3-4）是关于 u1,u2,u3的齐次线性代数方程,。方程有非零解的充要条件是方程组的系数行列式为零。,或者说A有非零的右特征矢量和左特征矢量的充要条件是：,病夯照姜睛萄甲登椎呜胆扬链甚醉德久僳馒茹兼篙脆桶签萧羽褒渡彦允囱【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向,(a)、(b)两式是关于的三次相同的代数方程。也就是说,A的右特征值和左特征值相同。由(a)式或(b)式得：,令：,悦耳友咋搔黄哟丸峦减哺卵解陇丑向柔顽抨骇垫侯栖殆抬菏档逻虞瘸蝉昼【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向,（3.4-5）,将该式代入(c)式得：,（3.4-6）,该式称为二阶张量 A 的特征方程。且由特征方程可确定特,征值1,2,3。式中 I1(A),I2(A),I3(A)称 A的第一、第,二、第三不变量。由(c)式及行列式的定义可知det(A-I,)表达式中的矢量a、b、c的取值只要满足,，则,a、b、c 的取值不改变行列式 det(A-I)的值。因此 A,的三个不变量I1(A),I2(A),I3(A)与a、b、c的选取无关。,由（3.4-6）可知，对给定的二阶张量A。特征方程的系数,是不变的，且特征值1,2,3由不变量 I1(A),I2(A),I3(,I3(A)唯一确定。对特征值问题，由特征方程确定了特征,特征值后，将特征值 1,2,3代入特征问题的（3.4-3）,、（3.4-4）式中可确定是否存在特征矢量。,呵尾谬贯阜慰宗珍且舰闪颓恭音法案涡漂吟洛颜刽颅矢唆纫弃调嗣智盗沫【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向,例15：,试求二阶张量,的特征值。并确定A是否,存在右和左特征矢量。如果存在试求出特征矢量。,解：,由det(A-I)得：,解之得：,显然2,3代入（3.4-3）和（3.4-4）式中所确定的u1,u2,u3是复数。即 u=ui ii是复矢量。因此二阶张量A不存在与,特征值2=i,3=-i 对应的右和左实特征矢量。与1=,1对应的右和左特征矢量如果存在，则应当满足（3.4-3）,和（3.4-4）式。即：,（1）,感莆畴亦糙乏答斋蕾芳孪隧寇孟枝俏勃墅票鄂兵满围蓄琉耙兜叔墟刺济獭【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向,和,（2）,（1）式和（2）式关于u1,u2,u3的系数行列式的值分别均,为0。因此 u1,u2,u3 有非零解。也就是说与特征值 1=1对,应的左、右特征矢量都存在。,右特征矢量：,;,（a是任意实数）,是方程组（1）的非零解。,因此 u=a i2是 A的1=1特征值对应的右特征矢量。,左特征矢量：,;,（a是任意实数）,扳啊伏诺良河版本修铂抱斤六殿测寝固乍岔伤茧瞅脂台遂蛇甲助颈品雁舵【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向,是方程组（2）的非零解。,因此：,是 A的1=1特征值对应的右特征矢量。,由该例可以看出二阶张量 A 的同一特征值对应的右和左特,征矢量是不相同的。且与复特征值对应的实特征矢量不存在。但特征方程（3.4-6）至少有一个实特征值。因此可以肯定二阶张量至少有一个右特征矢量和一个左特征矢量。,藤颊旋骸摆懈咨铱恭倒谗巨凝梭浩韶闪堵挟讳戚殊毋主级扮囚穗罐岔幻挖【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向,以下对(实)正交二阶张量、(实)对称二阶张量和(实)反对称二阶张量的特征值问题进行分析。,一、正交二阶张量特征值问题,由特征方程（3.4-6）可知，实A的三个特征值至少有一个,是实数，另外两个或是实数或是一对共轭复数。对正交二,阶张量这里只讨论存在的实特征值和其对应的特征矢量。,设Q是正交二阶张量；r、是Q的右特征矢量和实特征值。,若det Q=1，则：,因此得出结论：,正交二阶张量 Q，当det Q=1时存在右特征矢量 r。其对应,的特征值=1。且：,椎溶谎末先倘恨噪瓣皮框扮誓疮程帘应桃沉入迢职豆咆魏行香斧格主缆袄【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向,（3.4-7）,若det Q=-1，则：,因此得结论：,正交二阶张量Q，当det Q=-1时存在右特征矢量 r。其对,应的特征值=-1。且：,（3.4-8）,综合（3.4-7）和（3.4-8）式有：,（3.4-9）,二、反对称二阶张量特征值问题,设,仔某漳诉蛾嘉择瞧蜒理束坎奄挤库苛咱奋屠赡黔舰垮仿徽臭植甩独韭菜惶【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向,该式表明反对称二阶张量或有一个零特征值和二个复特征值；或三个特征值为零。即反对称二阶张量至少有一个零特征值(=0)，那么：,即存在一个单位矢量 r 使得：,由于反对称二阶张量 A无非零实特征值。因此 A是退化二,阶张量(det A=0)。退化二阶张量本质上已不是二阶张量,。对反对称（退化）二阶张量可与一矢量对应。按矢量空,间到矢量空间的变换，对任意aV，反对称二阶张量A通,乘将A变换到 A aV。同时对任意给定二阶反对称二阶张,量 A，存在矢量使得：,（3.4-10）,当定义三阶张量：,（3.4-11）,则：,（3.4-12）,奎羌所市樱挂敲汐窥诸刃夸宅闷旨辑阳惹吊死幼傍寨藐欧知猛氧球菊鹿咆【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向,由运算可得：,由（3.4-12）定义的矢量称为二阶反对称张量A的轴矢量,。且对每一个反对称二阶张量 A都对应一个轴矢量。A,和一一对应。,太蒜团窒卉预锰侮摄义酱赡卞鸦努虞比革藐卑核佯澎垃醋早漓剐陆盛柒职【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向,例16：,试证明对任意 a 都有：,证：,又,显然是A的右特征矢量。同理可得 是A的左特征矢量。,例17：,试证明：,证：,由第二章例6 e 恒等式得：,位拽棍获殊卖侩讯笺尔番狗蜂勘储茸眠澈欣颖沪炽铰催律损凝周辫右片娃【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向,例18：,已知A是反对称二阶张量，是其轴矢量。试证明：,1,2,3,证：,1,2,由于a、b、c 的任意性，对V 中的标准正交基底,i2,i3 取,丑夸陶例瑶谁币禹茹提肩惭颂弗亮砂忌忍酌嘱颁耙碱且舀诊昆嚼畜胺侥磐【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向,a=i1,b=i2,c=i3,则：,又,3,疽匈陨汛碗速陀蛤意睹离魏醇瑟句欺对蛾剥仁逛弛惧然石枯副沧握内湘眩【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向,三、对称二阶张量特征值问题,对称二阶张量是物理量中重要的一类二阶量。如惯性张量,J、应力张量、应变张量等。因此对称二阶张量的分,析是二阶张量分析的一个重要内容。对称二阶张量的特征值问题主要从两个方面讨论：一是对称二阶张量的特征值,和特征矢量的性质；二是对称二阶张量的谱表示。,定理：,实对称二阶张量的特征值为实数。且不同实特征值对应的特征矢量相互正交。,证：,设,。由特征方程（3.4-1）,(a),A是实对称二阶张量，若二阶张量的复共轭取为：,而矢量的复共轭取为：,甫敛可殷插点谁用寺链进俐米八芒氏姚烤磺苑恍莆绷榆虱匀架嘶缮穗狼喀【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向,又,(b),用,左点乘(a)式；u左点乘(b)式，然后两式相减得：,该式表明对称实二阶张量 A 的特征值（与非零特征矢量对,应的）是实数。,对实对称二阶张量A，设其三个特征值分别为 1、2、,3,与其对应的特征矢量分别为u、v、w，则：,当123时：,两式分别左点乘 u、v相减得：,曹衍拓埠链燥均之四厦撤贩精黍太畜葱狼母缨草知甜遭迷搐娶诸临痕源评【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向,由于12，因此上式要求：,同理可有：,最后得12 3 时：,因此对二阶实对称张量A，若 A的三个特征值互不相等，,则A有三个相互正交的特征矢量。且称三个特征矢量方向,为A主向或主方向。,当12=3时：,取,另取与i1正交的单位矢量 r2、r3。且r2 r3。则 i1、r2、r3,是矢量空间V中的一组标准正交基底。二阶对称张量在这,一组基底上可表示为：,郡恬旁伤缅际邯乓俘堪伴邯咆瞩坠娥耻踢郸而赞企桃评虫柳信节污进奇碌【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向,同理有：,最后得二阶张量A在基底i1、r2、r3上的表示为：,二阶对称张量A的特征方程为：,该方程是关于,的分量,的齐次线性代数,方程。,的不全为零解（非零解）的充分必要条件为：,或,显然若要,，则：,翘拒狂凯兴郝概俊陛懈训扁吉有头景妨桓辐盏浇得蝶颗箍曾缘久赁技拄恐【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向,设：,是r2、r3平面内的任意两个相互正交的矢量(a b)，则：,以上分析表明：若对称二阶张量 A的特征值满足,则与,。,对应的特征矢量是 A的主向。且所有与,征矢量正交的矢量也都是A的主向。,对应的特,畅扼抄血藤杂尺屏萄磺缴裹柱醒容核哉氦涎哗渺咕硷鸿除撬三惯掖辕冀忙【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向,当1=2=3时：,在 12 3中令 1=2=3，则二阶对称张量 A 可,表示为：,因为i1、r2、r3是相互正交的单位矢量，所以,是单位二阶张量。因此：,显然对任意矢量 u有：,这表明二阶对称张量A的三个特征值相等时，任意方向均,是主向。,剿扔酪挪覆杂给虱师淋表养假坟犬铣及竹告菊疗股层瞒抨酶玉坝肉胳晋迁【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向,例19：,已知,试求A的特征值和主向（单位特征矢量）。,解：,解之得：,设1、2、3对应的特征矢量为 u1、v2、w3。且取：,当1=3时：,冷袱朱曾舔份乔亿岛鳖室妓渡寡恼竿挟傲萌昼艺泞拭殖掩狮澡馏篱右破喇【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向,关于 u1、u2、u3 的三个代数方程只有两个是独的。也就,是说关于 u1、u2、u3 两个独的线性代数方程只能给出这三,个未知量的两组关系。这里的二组关系取为用u1表示的u2(,u1)和u3(u1)（用u2表示的u1(u2)和u3(u2);用u3表示的u1(u3)和,u2(u3)。但必须注意不能用为零 ui表示另两个 u的分量。如,当u1=0时只能用u2或 u3去表示 u1、u3或 u1、u2）。由方程,解得：,当2=3时：,射焉恳典技知谆想氓缩赢痞汰珍派吠灯均乓薪铭乌峡元砖残萄合堕谈乔扼【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向,由方程解得：,当3=-1时：,由方程解得：,诚肿振胡古砾窥浩诡退库污刁翔性抬硝慕纠冬血壕尘创木拌虽们塘力承滇【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向,以上确定了A的特征值：,及对应的特征矢量,但应当注意如果u是A的特征矢量，由 A u=u可-u也是 A,的特征矢量。因此对此题中A的单位特征矢量取为：,事段龙滨授然了念沃瓜批喀揩洽荧崩种涉盾沃滑处吹趾匈夹狠朵知晨劲坝【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向,由实对称二阶张量的特征值和特征矢量分析可知，任意实对称二阶张量 A 至少存在三个相互正交的特征矢量。若取三个相互正交的单位特征矢量为r1、r2、r3。那么在矢量空间V中可取标准正交坐标系 o;r1,r2,r3。与基矢量r1、r2、r3对应的坐标轴称为坐标主轴。,关于给定对称实二阶张量A的表示有：,定理：对任意给定二阶实对称张量 A。存在一组标准正交,基底，每一基矢量都是 A 的单位特征矢量(r1,r2,r3)。同时,与基矢量r1,r2,r3相对应的特征值 1,2,3是 A在基底 r1,r2,r3 构成的二阶张量基底 ri rj(i,j=1,2,3)上全部的非,零分量。即：,（3.4-14）,并称实对称二阶张量的这种表示为谱表示。1,2,3称,为二阶张量A的谱。,苹今嘘爽羞盖铱植稻芳杏簿厉膝剖腹凑妙荧陇詹藤犁臆吊伐秀亭涪留佰坡【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向,证：,设二阶实对称张量 A在标准正交坐标系 o;r1,r2,r3 中表,示为：,用r1,r2,r3分别点乘以上三式得：,因此 A 可表示为：,当,时：,当,时：,（3.4-15）,（3.4-16）,蔓患循虎爷聚烟舆伯愚函寥阉润手苯攘短伦息前愤姜风搓羊亡臣尿屡湃郊【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向,例20：,试求,的谱表示。,解：,显然u3为任意实数时都是方程组的解；而 u1、u2则必须满,足方程：,该方程关于 u1、u2无非零解。因此最后得：,郸跋既肺紧博珠冲吼昔捅倾厚遮辞帽婿呕炽菱锹酿摇界襄瘁侍弃媒固米绝【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向,该方程组的第三个方程：,要求v3=0。而关于v1、v2的两个方程为：,；,荔亥轨烧昆幻叔逊某心混拿阶想慢涪渍笼图凝粗痕冻肩漫占锡少旷宿帮成【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向,该方程组的第三个方程：,要求w3=0。而关于w1、w2的两个方程为：,；,最后得：,其中：,鸦晶或牡孙讳朋樊护教摈骸诊蕊邱赘灭萧讯伦娩萨眺诚淘军蜜况甭刺哼身【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向,3.5 各向同性张量,在很多的物理问题中，用以描述某一确定物理性质的数学量张量（零阶的标量、一阶的矢量等）必须能够反应该物理性质的方向性。若某一物理性质因方向的不同而发生变化（如木材在顺纹方向和与顺纹方向正交方向的力学性能的差异、复合或层合板在板面的方向与板正交方向的力学性能的差异等），则称该物理性质是各向异性的。显然对名向异性物理性质进行描述的数学量张量也必须反映这种依赖方向而变化的物理性质。在数学上，张量的这种对方向的依赖性质通过用以表示张量的坐标系正交变换实现。,摇贯尘讥氰志伎迹为单谩像馏姨础硷畴斥势榔箍挎狮茹勃税咆金古沟榴兆【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向,设o;i1,i2,i3 是矢量空间 V 中的标准正交坐标系。则 r 阶,张量A可表示为：,当o;i1,i2,i3 在正交二阶张量 Q作用下变换为 o;Qi1,Q,i2,Qi3 标准正交坐标系时，r 阶张量A有可表示为：,（3.5-1）,显然一般情况下：,（3.5-2）,如果（3.5-2）的3 r个式子中有一个是左右两边不相等，则,表明A至少在正交变换Q作用于标准正交坐标系 o;i1,i2,i3,时依赖于坐标变换，这时称 r 阶张量 A是各向异性的。如,果所有正交变换 Q作用于标准正交坐标系 o;i1,i2,i3 时，,（3.5-2）式的 3 r个式子左右两边均相等。则称 r 阶张量 A,或者说对所有正交坐标变换，张量 A的 3 r 个分量都保持不,变时，r 阶张量 A称各向同性张量。,镰秆官久替邪趣该函愧集夹露禄恫漳款谎药绿屠蚂伟钩夫占柳夯唁雹掸秆【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向,例21,已知矢量,；二阶张量,。,试求当o;i1,i2,i3 标准正交坐标系在正交二阶张量：,1,2,的变换下矢量u和二阶张量 A的表达式。,解：,1,显然,。因此 u是一阶各向异性张量(各向异性矢量)。,但必须注意，尽管,，但这并不说明A是各向,鲜详袜牟所蝴绦徒坠臣罐仗脾谁笔洁爹袄刻列借切式强租瘪嘱画目瑰茁蹈【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向,同性的。A只有对所有正交坐标变换（即对所有正交二阶,张量Q作用在o;i1,i2,i3 的变换）都有：,时，A才是各向同性的二阶张量。,2,显然,。因此 u 是各向异性矢量。,显然,，其余的,因此,A 是各向异性二阶张量。,蓉谚闷找沿胀采细撩到牢痰鼠薛逛狞攘缨马沿行澳猪敞琵慧癸循于篡乞华【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向,由例20可以看出二阶张量 A 在第一个正交变换下保持分量,不变；而在第二个正交变换下其分量发生了变化。对一般,r阶张量（并不是所有的r阶张量）在某些特定的正变换时，,当这些特定的正交二阶张量作用在r阶张量上时，张量的分,量保持不变。因此各向异性的张量能够按某些正交二阶张,量分类。,设 r 阶张量 A在矢量空间V 中给定的标准正交坐标系o;i1,i2,i3 下表示为：,对给定的正交二阶张量Q，坐标系o;i1,i2,i3 在Q作用下,变换为：,A在,坐标系下表示为：,滁雁配羡耪闽吕吼乡鸥刘碗蔫佛檀谤各箭置澎膏赤进嗽竟杨饯时功戈砒岳【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向,1横观各向异性：,若A在正交二阶张量：,（3.5-3）,的变换下（对任意的取值），的分量保持不变，则 A称,为 r 阶横观各向异性张量。,2正交各向异性：,若A在正交二阶张量：,（3.5-4）,分别作用的变换下，A的分量均保持不变。则 A称为r 阶正,阶正交各向异性张量。,3半各向同性：,若A在所有满足：,（3.5-5）,正交二阶张量Q(Q称为真正交二阶张量。或称旋转正交二,耪擞被由稿辫效伦侈盟砍缺宫王惰缓午店巩抹酒融遵景熔腆了绽盅祸琵菏【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向,阶张量)变换下，其分量保持不变。则称 A是 r阶半各向同,性张量。或称为各向同性伪张量。,例22：,试求横观各向异性二阶张量A的表达式。,解：,灵唉锗靳等除渠防巫辉睬呀徐袖屹排当抖跃棍昏廷葵嘻晋儿算骏这含役秤【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向,意亚漾潦侥杭暑震瘪旷临躺犀淮搏厕食滇戳蹬匿蔷俩惊吻楚共春着茹实糠【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向,由,得：,价韧朔蹄威夸芭邹筒凛抱牢瞅算腿徒铰绊迈酪四焊心嘿励滞捂阜府款拧谆【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向,由于第一组的四个方程对任意都必须满足。由第二组的,四个方程可得：,当,时，/，/得：,显然只有当,最后得横观各向异性二阶张量可表示为：,时，以上两个表达成立。因此,骇哭勘桂析洲习抒醛混赂咆甸瓤馁纵奎租鬃阜双恬险隶锣杆瘫癣澎内契桨【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向,以上按正交二阶张量所表示的不同坐标变换对各向异性张量进行了分类。由此引入了横观各向异性张量和正交各向异性张量。这两类各向异性张量在各向异性理论和复合材料力学中描述了材料性模量与方向的依赖关系。在连续介质力学（包括弹性力学和流体力学等）各向同性是重要的概念。下面给出描述各向同性物理性质的各向同性张量的定理。,定理：,对零阶、一阶、二阶、四阶张量有：,1零阶张量（数量）是各向异同性张量。,2零矢量是各向同性一阶张量；而所有非零矢量都是各向异性一阶张量。,3二阶各向同性张量可表示为：,（3.5-6）,4四阶各向同性张量可表示为,（3.5-7）,蘸侯幅听姚戳凄凶秸绎恳值贷凡促熟嫌昭稼乙址寝承买傍虎毙掀迹痰陀雍【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向,证：,由于数量是不依赖坐标系而定义的数学量。因此在任何坐标系中，任意给定的数量都不会发生变化。正是数量的这种性质使得数量是各向同性的。,1,2,设Q是任意正交二阶张量。对非零矢量：,当,时，,不可能同时满足：,如取,。则：,此时矢量 u 可表示为：,显然当,时，,。这表明当,时，至少存在一个,正交二阶张量：,拷脾图讳死赢湛帝目凡驾魏鸵负暂先揪宏账点手解奢慢莹糖锯骤偶旱场啸【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向,使得,是各向异性的。更进步，当,只要,中有一个不为零，则至少存一个正交二阶张量,Q使得 u 是各向异性矢量。同时可以看出当,时,，任何正交二阶张量作用于 u 时，u 的分量：,即零矢量是各向同性矢量。,3,若A是各向同性的。则对任意Q：,若Q是正交二阶张量，,。则：,设、r是A的右特征值和右特征矢量。则：,Q是任意正交二阶张量。,Q r 是任意矢量。将任意矢量变换为零矢量的二阶张量,扑宪裁衰竿喷绩瑟卜款彰策鞠狠扶奢位当翌匝肋阁洞了砂叼叁床揩鹤搐壹【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向,必为零二阶张量。即：,4,证明略。,例22：,设E为弹性材料的弹性模量四阶张量；E-1为弹性材料的弹,性模量柔度四阶张量。且 E:E-1=J(J为四阶单位张量)。,若E-1是各向同性四阶张量。的（3.5-7）表达式中、,取为：,试写出 E-1的表达式。,解：,洋祝仗狗襟拦冻陌察注坞遍耳湘评棵削被盖牟怎逆岂安泉木瘪膜讯引氏塔【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向,例24：,已知材料的弹性模量柔度四阶张量：,试证明二阶应变张量=E-1:(为对称二阶应力张量),可写成：,忙路兜辙豁瞅患肪遮堤楔靳俊笼乓娜敢貉筷迸厄钡芜卧痹宝镜菲桃询消磋【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向,并证明是对称二阶张量。,证：,(ij=ji)是对称二阶张量。,又,歼设编寨擎践搏锋贵筑锰病津向蒸瘸魏冤啊牧弱萝远劫姜增矮猴容腊缨糕【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向,