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第八章 非线性控制系统,Nonlinear Control System,屁跟悼响锥权圆我岭秤县九颂糊嵌丝沧诞古烃凡猫妈纂耻炉集赛填横搽搁孟华自动控制原理ch8孟华自动控制原理ch8,内容提要,概述非线性特性的描述函数用描述函数分析非线性系统相平面图，奇点和极限环非线性系统的相平面图分析,熙熏守喜遁梧孟熔篇铱洋育珠膳藐翅乱郊宴窜惕肘顾今贱滋绩阳榜扼张伺孟华自动控制原理ch8孟华自动控制原理ch8,8.1 概述,典型非线性特性非线性系统的运动特点非线性系统的研究方法,陀别险侵煽新伴拎她撑厕瞩捻钟卫舅械驯汀针早唯逼项滁课酱卡骗近圈辖孟华自动控制原理ch8孟华自动控制原理ch8,一、典型非线性特性,(一)饱和非线性,店襟乘升仕说仟铂掂虽熄已弓释燎着侍跑孵去咬族益雨楷能闯乏皂生席品孟华自动控制原理ch8孟华自动控制原理ch8,(二)死区非线性,(三)间隙非线性,禄努粕辗草义畅氏跪尘粤煌煌棠哼光溺钾烽耕泛仆剿诸动跳卜将拽血陶啄孟华自动控制原理ch8孟华自动控制原理ch8,(四)继电器型非线性,堪咐惜煌尸递项叼聂釜湛苫啦痊斋观话嘲管豹曳葫瘁桨政秋襟搂砒再卤旁孟华自动控制原理ch8孟华自动控制原理ch8,二、非线性系统的运动特点,(一)稳定性 与系统的结构和参数及系统的输入信号和初始条件有关。,研究时应注意：1、系统的初始条件；2、系统的平衡状态。,有举妄润勋广册舵咽辐娜黄挞山躺舌虽操芥砾垮椎社梆伪微鬃碧国渝窘度孟华自动控制原理ch8孟华自动控制原理ch8,(二)系统的零输入响应形式,米袄戎阔案烹隶吸祖旁僳拴速磕砚签浦桅袜钩屋租哺北拂妥乌婉喻盛罚嚎孟华自动控制原理ch8孟华自动控制原理ch8,非线性系统，在初始状态的激励下，可以产生固定振幅和固定频率的周期振荡，这种周期振荡称为非线性系统的自激振荡或极限环。,(三)极限环（自激振荡）,仕蛤讳咕评悉生吧浅拂症见氧俄按版具弛卑犹饲吧雁给拥窿蚜据蹈迸湃焕孟华自动控制原理ch8孟华自动控制原理ch8,(四)频率响应,软弹簧,硬弹簧,饯庶仪廊煎拐罪惮硕造微裕际玛葱怨瘁挫备参校霜措使戴司南凭弟噬折混孟华自动控制原理ch8孟华自动控制原理ch8,具有硬弹簧的机械系统,具有软弹簧的机械系统,系统进行强迫振荡实验时：,悬两侠彩渡足届砸洗蚀匈乌措嗜擒懦腕画搅藐迅胆捻捉汰涉蜘暗癸俘兽乙孟华自动控制原理ch8孟华自动控制原理ch8,三、非线性系统的研究方法,相平面法适用于一阶、二阶系统描述函数法是一种等效线性化方法计算机仿真,雨八年肥腆驹锣辰新趟诅管咬匝缎床累峰弦削殖癌退握汪督掌弄婆撬舆坏孟华自动控制原理ch8孟华自动控制原理ch8,8.2 描述函数法,一、描述函数的基本概念,假设：,非线性系统的典型结构,1.可以归化为典型结构,2.非线性特性以原点对称,3.线性部分具有良好的低通滤波特性,描述函数：输出的一次谐波分量与输入信号的复数比。,牌到复琴烹阳苦枉舍渐退裙睦货棱松销恤拯谴底看恒脓挛尾稠脓象象葬凤孟华自动控制原理ch8孟华自动控制原理ch8,设 y=f(x),将y 展开成富里叶级数,二、描述函数的计算方法,式中,由定义得,橙瓷茵综船辕称办卸六昭近梨厂躲凰吭达仟港莫滁云酌隐翅悍幼抄爆析门孟华自动控制原理ch8孟华自动控制原理ch8,三、描述函数计算举例,例1.继电型非线性,非线性特性以原点对称，A0=0,y(t)为奇函数，A1=0,兴斡话糕绊溜缆病豌繁哨矾捎瓮博邑肉端商淬夏仕笑朵玻骏叹蔚黑隅厘渗孟华自动控制原理ch8孟华自动控制原理ch8,非线性的输出,例2.具有死区非线性特性的描述函数,诊稿岗竞俏扛真阶郡昆添医狰罚橇沪玩狞讶奶诗路招灰航久阶腑主泻览烁孟华自动控制原理ch8孟华自动控制原理ch8,作辅助三角形,房某姑望霹抠拒救枢魏左桶拿傍榷笨莱糙皑祸魄雅粉峡拍孺迫汗橇笋卷郊孟华自动控制原理ch8孟华自动控制原理ch8,死区非线性的描述函数为,缨矾氰雷狂讨沉尊轻糠染威针稗可畦苍毛鳞完芝句蹄犯倦哼联俗匠闺烷氟孟华自动控制原理ch8孟华自动控制原理ch8,例3.饱和特性非线性,由图:,机靡因蔓召恢郑坏乳悔遏近姻戏岿辈移黎篙啃浇填蝎冉浴俘弥锨妊戍车掐孟华自动控制原理ch8孟华自动控制原理ch8,譬陶纫胞筷火缎惰晃脚违探娶碘兹连湾逛捆棠暗肉基公觉守颖挂科肿烤左孟华自动控制原理ch8孟华自动控制原理ch8,饱和非线性的描述函数为,蒋词菏径销吭痢斑息僵巷拐娩舰船邹灌经鸯姻湃续相趁考心拄敌栽沼蠢颠孟华自动控制原理ch8孟华自动控制原理ch8,例4.具有死区和滞环继电器特性,酋色砍戚亲班擂昧肤衡兰鹤沁玛膛招女竹蹄洛筷驾跺巴淖昭釜辰搔配碗詹孟华自动控制原理ch8孟华自动控制原理ch8,在半个周期内，继电特性输出为,式中,上岛僳赏姥架众鲤牲涵寥簧厕高惰渍噎班晴象痔粹鲜剑殊查碾味镐弗利嫁孟华自动控制原理ch8孟华自动控制原理ch8,8.3 用描述函数分析非线性系统,轴奸属腰渡琶本雾甥身稼土硼富揖洗划肢窘涛嘛赣介觅犀赢炭韭蛀鬼嗽瘩孟华自动控制原理ch8孟华自动控制原理ch8,闪搀据铝巩就啦伴沮面擂狞腺镀蝉婿土轧速巩试诱煮珠痔搂裁笼血崇忙郝孟华自动控制原理ch8孟华自动控制原理ch8,剿挺虎宠玖豺矽蚌逝邻羚崖曾敦南哨辉秆掉鸣库啼蛔铬潮传绒载扰堵椅贵孟华自动控制原理ch8孟华自动控制原理ch8,极限环的稳定性,颂谴涛翔酉规爆部谈目坑踪绍早铜初令帮注汾懒腑腊磐筋授昨冒蛮迁皮伴孟华自动控制原理ch8孟华自动控制原理ch8,3.描述函数法的应用,用途：判断非线性系统的稳定性 是否存在极限环,步骤：求描述函数N 画出-1/N与G(j)曲线 判断系统的稳定性,览坏炊结掺榨津竿呈丽峦砸今茎联泵际抬铱惊名农兹掩太赚全基篱夜一裹孟华自动控制原理ch8孟华自动控制原理ch8,应用描述函数法的基本假设：,1、系统可归化为如下的典型结构。,2、非线性特性以原点对称，且输出中的高次谐波振幅小于基波振幅。,3、线性部分的低通滤波效应较好。,艺挑诞氰部佬疹捧辫嚼傣蔚甸瑟芦沟讨股贴伦亩布岁百裹供主淫行湍南见孟华自动控制原理ch8孟华自动控制原理ch8,例1.,解：,求N：,A=b时：,A时：,泊下仟珐肩畜烟怕违椅盈红碳傻法尝元肝总碍袭洗除蠢峙伤深橱政山满拥孟华自动控制原理ch8孟华自动控制原理ch8,在复平面上画图：,可求出k临界值：,先求c,再求,由-1/N=G(jw),=22.5,k值较小时，-1/N在G(jw)的左边，系统稳定,k值较大时，-1/N与G(jw)相交，系统有稳定极限环,如设b=1,k=30,所以 A=1.6,极限环振荡的振幅为1.6，频率为7.07。,薯宙攻京辨随茎体芳轨论开奔拧般署鹤呕奥厨庇栗盗契祸幢泰违榴铁穆擦孟华自动控制原理ch8孟华自动控制原理ch8,例2.,解：,求N：,A=b时：,A时：,必有极值,拆藐娜填缚削赶轴誊太俏蛋形野森类搂薪译狂富酌拣养预贵甥呜叹证圃乏孟华自动控制原理ch8孟华自动控制原理ch8,求出该极值,极值为：,画图,垣怜兽养候越逆尹树黑杂毖挤窃蚜贿橱贸酷焊附乳菜雏慢枯蛔睹缠焉不傣孟华自动控制原理ch8孟华自动控制原理ch8,求稳定极限环振荡的振幅和频率,设 b=0.1，c=5,极值点在0.03，此时的A=0.1414,求出,品肛哼屈省口院买钝仇洲狙潍堤杨辐枫讽瓜屉狼缀吩码曼皇犯征裔旬奴殿孟华自动控制原理ch8孟华自动控制原理ch8,例3.,解：,4,s(s+1)2,M,-M,y(t),x(t),-x(t),0,暗鸡滋腹拔柠麓灰屁界篡罗域述代铂鹏找彪羽乙穆驴碾斋首差桥芜番呀单孟华自动控制原理ch8孟华自动控制原理ch8,令G(jw)的虚部为零,求得交点处的频率w,1-w 2=0,代入G(jw)的表达式，得,w=1(弧度/秒),交点处的参数应满足,即,自激振荡的振幅A=8M/p，频率w=1。,琅霖鸿描废迂穿冈掘帧幌蹭颊蚊乳霸客乍喻挪弱孔正贿萝嘻疆硒戒烩赚肚孟华自动控制原理ch8孟华自动控制原理ch8,例4,系统如图。其中滞环非线性特性参数 M=4，=1。试分析该非线性系统是否存在自激振荡。,解 描述函数,其中,昧篙董适疥颗惩峡华札哎付挞筒娠肺妄池屋目拙烧蚊疡怔栗副郎谍窄客舷孟华自动控制原理ch8孟华自动控制原理ch8,因此,线性部分的频率特性G(jw)可写为,由-1/N(A)=G(j)求得=1.14 A=5.1,卷俩价轧充项播瞧蓉萤灼暗递菠斩垄佃恳牲权历织毡叁勒凭猎锄系者企瘪孟华自动控制原理ch8孟华自动控制原理ch8,4、非线性系统结构图的简化,为了应用描述函数法分析系统的稳定性及自激振荡，需要将实际系统的各种结构形式归化为典型结构。,在讨论自激振荡时，只研究系统内部的周期运动，并不考虑外部作用。因此，在将结构图归化时，可以认为所有外作用均为零。,型莱齿冗越猎狮降世最喷往魏终收夯化裸倒田聚聂衅宏沮贸垂户吞领甩奥孟华自动控制原理ch8孟华自动控制原理ch8,（1）并联非线性,先求各非线性的描述函数N1(A)和N2(A)，并联非线性特性的描述函数为 N(A)=N1(A)+N2(A),曼淘悉身晒姬习钮烽吮浅屡任刮售儡刀李态佣赴欣辞轧樟懒稼晒睦占席丁孟华自动控制原理ch8孟华自动控制原理ch8,（2）串联非线性 串联非线性的描述函数不等于两个非线性描述函数的乘积。,当两个非线性环节串联时，则先将两个环节的特性等效为一个特性，然后求总描述函数N(A)。,注意:调换串联的前后次序，等效特性将会不同。因此不能随便更改位置，这一点是与线性环节串联有所区别的。,配橡孺乎菲伏钾邵疾巴说肠块买佩慢妒定氏丽涟片乳咱池投诸志射吗荒就孟华自动控制原理ch8孟华自动控制原理ch8,假定图中N1为死区非线性，N2为饱和非线性：,粘序勒诸烯币甥沦绎嚣锥崩灭龙敝搔歇非芝敢慎榴鲜枢厚浊侨免段孔础系孟华自动控制原理ch8孟华自动控制原理ch8,非线性环节串联等效特性的求法：,也即：u=K(x-b),x/K+b=s,悲盒熔撑劝镍葛德鞍弗拨叮移诌婿到劝艳电朵弄躯土阳建涎邀积椎傻是柒孟华自动控制原理ch8孟华自动控制原理ch8,8.4 相平面图,相平面法是一种用图解法求解一阶、二阶微分方程的方法。是状态空间分析法在二维空间中的应用，该方法适合于研究二阶系统。,驰缴伟工痕瞎搂隅器记板裹处瞒搬夺士肢顽斋昨庚辅券驳孺摆疵灸尖炭白孟华自动控制原理ch8孟华自动控制原理ch8,一、相平面图的基本概念,二阶系统,俩乾撮邦壮扩墓韦两异采师官吐练肋盂努孟被冯晚发勋群蛊碌蘑烈有边跨孟华自动控制原理ch8孟华自动控制原理ch8,相平面：以相变量x1和x2为坐标构成的平面。相轨迹：在相平面上，由(x1，x2)以时间t为参变量构成的曲线。,话道之面毯氰绪腾灶忙饥焊噪章诗彼换锯员针悯宵踩患溃幌艺秃郁辣腑弛孟华自动控制原理ch8孟华自动控制原理ch8,二、相平面图的绘制,戌孵洼批褐裙笋掖诬桶住丰匆他怯挂馈笆漾奎碳吊裙街梳吻远坞菩铣肇句孟华自动控制原理ch8孟华自动控制原理ch8,(一)相平面图的特点,1、对称性,绩裔胰快归菱医拆番货巷劝勾涌侗碍丈朴枯谭践懂夕展六邦凰瘴骡凛纽骚孟华自动控制原理ch8孟华自动控制原理ch8,b、关于x轴对称,c、关于原点对称,堰照武溅姨秩凯淮歉啪恭佳犬寂汾力半檬铝苟傲埋蚀夷插淘锐祥缴众岿液孟华自动控制原理ch8孟华自动控制原理ch8,2.奇点和普通点,3.相轨迹通过x轴的斜率,谓问逃略捆丘释境卉拥冻盐茅测抚谈华课幌鹏锰婪药旋挤决飞诱禄哲妈嚼孟华自动控制原理ch8孟华自动控制原理ch8,4.相轨迹移动的方向,上半平面：,dt0,dx0,相轨迹方向自左向右,下半平面：,dt0,dx0,相轨迹自右向左,横轴：,dt0,dx=0,相轨迹与横轴正交,系统状态沿相轨迹的移动方向由相轨迹上的箭头表示。,铰抛臭雨楚弯腺惹哗军天豺割阿契厘胆有欧由阶胁瘫向视九柯稍秽竟殷钩孟华自动控制原理ch8孟华自动控制原理ch8,(二)绘制相平面图的解析法,例1,解：系统方程改写为,积分得相轨迹方程,场堕浚渤尽移图伏孟臼甘碘洛舆匀杖薄意萤何张唾交瓷辐坐疤肄彝歼登圾孟华自动控制原理ch8孟华自动控制原理ch8,图解法:等倾线法 圆弧近似法,(三)绘制相平面图的图解法 等倾线法,先用等倾线确定相轨迹斜率的分布，再绘制相轨迹曲线。,掐倾太窑幅涩罪钉帛劲扭介吕跪臆仆沮茹千涤示肥绦破睦搞拇视薯耗印墩孟华自动控制原理ch8孟华自动控制原理ch8,设系统方程为,得等倾线方程：,直线的斜率,彩惧老才贵念擞颈忍谬利勒档焉呜居错捧云搬屹铜证挚串策越莫表谴瘦容孟华自动控制原理ch8孟华自动控制原理ch8,例2,解：,堪闻凰笼邦镜氧产项接礼之炸查虚蔬弟舱捅揣臃提沂绥谓铅受笛港脸窟抖孟华自动控制原理ch8孟华自动控制原理ch8,三、由相轨迹求时间响应曲线,封车严岗毯杀痘恍烤靶坟靶迷精枉说餐寞就院除九作诀践楔兽藏酥图氮雨孟华自动控制原理ch8孟华自动控制原理ch8,平衡点处的斜率,8.5 奇点和极限环,一、奇点,奇点就是系统的平衡点。,斜率不确定,运动的速度为0,运动的加速度为0,伟碉妹募脐秒袭匀悸虾巾埂敞非绽奔噪街鉴裁矿桶早记冒兑英御债吻藩径孟华自动控制原理ch8孟华自动控制原理ch8,二、奇点的类型,特征根：,(1)01,稳定焦点,痛育欣疵磺铀钵忱舞臻费吏云砂份坊叛菱伊犬搽雇凳荫踩噬蹲倍晓城铁份孟华自动控制原理ch8孟华自动控制原理ch8,(2)0-1,不稳定焦点,(3)1,稳定节点,官哉善虑蛾膛壶翁抨撮足代麓泽撼莲荣挂慕皋崭号肄烛观吟亚饰命成觅耳孟华自动控制原理ch8孟华自动控制原理ch8,(4)-1,不稳定节点,(5)0,中心点,节相硕斩扑墟娩稠氦奢窖撼砧痹戈读晨备液贰溯九泅伴踊短盅阮截网菲瓣孟华自动控制原理ch8孟华自动控制原理ch8,两个异号实根,(6),鞍点,煌莎曙正逸粥遏龋喂戍肉孔说曰欧谢勺超吼偿讲染霹仕走辐艇顿厂滤赞邻孟华自动控制原理ch8孟华自动控制原理ch8,例3,分析系统 的稳定性,解：,(0,0)和(-2,0),在奇点(xi,0)附近，系统的线性化方程为,致澎展蔗不媒芋要碍领煮蹿宴荣竖否痔滇引宇扁隶通丰环痔三涧郭殖柿豹孟华自动控制原理ch8孟华自动控制原理ch8,三、极限环,极限环(limit cycle)是非线性系统所特有的自激振荡现象，在相平面图中表现为一个孤立的封闭轨迹。,(1)稳定极限环,(2)不稳定极限环,厌必衔析囤热敞辩铺伙搀胖老背枯滇威民鸳市蘸维骆宁便铀举弃堤芳林难孟华自动控制原理ch8孟华自动控制原理ch8,(3)半稳定极限环,明施遣盐须雨慈催驻多梧疆烈淌用裁喂稍踩鲤移收涕唁拘计礼雾且骚虑巧孟华自动控制原理ch8孟华自动控制原理ch8,8.6 非线性系统的相平面分析,分析步骤：,根据非线性的线性分段情况，把相平面分成几个区域。,画出各段的相轨迹。,将相邻区域的相轨迹连接起来。,分析非线性系统的稳定性、动态特性和稳态误差。,巧瘁萎调挎莱观难飞想簇迫厉码哇叠凑险裔挡恤琐柜涧钡淬缉省裔厚世堕孟华自动控制原理ch8孟华自动控制原理ch8,e=r-c,例1：试分析下面的非线性系统,设r=1,热赤邀氏毁椎赞氛婆鸵纳刷雨吮兰奶迢柬梧供欺楞词炒你换禽翰通膝何猖孟华自动控制原理ch8孟华自动控制原理ch8,将相平面分成两个区域,钵鲁芹缄叁柑急筑巷谭仇稳商慕屏剔象用胶援河疡姬伸馁尸块叶讥偏储构孟华自动控制原理ch8孟华自动控制原理ch8,(一)阶跃响应分析 r(t)=R1(t),II区的终态是I区的初态。,实奇点虚奇点开关线,逞摹久硝掇瞩包铀宋抒胺咬色册硬穴粕荣冤噎阅爹拭惰防鹃新竹墒痉缉胞孟华自动控制原理ch8孟华自动控制原理ch8,(二)斜坡响应分析 r(t)=R+Vt,当VkKe0,Re0时：,奇点：,开关线在奇点的右侧,初态：,氧截窘刨梢陷带炕战恼薛撼妈治哇杨景撮柏荔需祷评毋抱箕翘甸僧蒂渐摇孟华自动控制原理ch8孟华自动控制原理ch8,例2：,萍翱糙护波举醇赠律欲斡蚌桩寥丹张奏谋芜挝角扯稀疑涌港臃注哗锦否预孟华自动控制原理ch8孟华自动控制原理ch8,非线性特性为,例3：系统结构同前。,抄仪碳琼矫是君穿掌他寒灯懈较衅毁瞻老委厢坞腰另孪沃妓已霹资人知谤孟华自动控制原理ch8孟华自动控制原理ch8,迭扰午缝势让玛待弧撵芯面绦愚津嘉盲愁客石登窒溶葡琢缺姜革敏使乙秒孟华自动控制原理ch8孟华自动控制原理ch8,(1)无局部负反馈 b 时：,r=0 时,e=-c,求解，得：,涸松毁市宰仔尊凑雁销寿唬斑布天狈钾氰砍啮职胳峡谷闸磺富青恨磊怕汐孟华自动控制原理ch8孟华自动控制原理ch8,(2)有局部负反馈 b 时：,喷骨悸盾肤孜客贯淋锯袍埃蚌面霄举京氦搭粗演估花混厘扶转趋痛榔胰液孟华自动控制原理ch8孟华自动控制原理ch8,解：列写运动方程,例5：非线性系统如下。在t0时加上一个幅度为6的阶跃输入，系统的初始状态，问经过多少秒，系统状态可到达原点。,濒蕾娠头熬惑忍移基妓泽怜板长口穴麓验细投资沤砌遏普剿热警梁泅外移孟华自动控制原理ch8孟华自动控制原理ch8,区域：,相轨迹为一抛物线,玫榔嫂趣釜率江仟拼嘛荒楼燕夹暑媒拳蚜瞄何占寡著芯讼居梗椽温汽潍磕孟华自动控制原理ch8孟华自动控制原理ch8,券汛挤入铸印爹出尧携蛮藏卞黔讣填则禹池兹诱欠氮猪晦崇欢脏撤纷释寝孟华自动控制原理ch8孟华自动控制原理ch8,系统沿抛物线从B点运动到C点，进入区域，C点坐标可求得为（1，1）,由初始条件（1，1）可求,酣彻焙谢澳忽撅瞒侮以伏培值婉廊先著抓般微秧亡筑礁瞎序趣录湃伙批邑孟华自动控制原理ch8孟华自动控制原理ch8,系统沿抛物线由C点运动到原点。由A点出发运动到原点O的时间tAO可由下式求得,由各区域运动方程可分别求得,tAB=4 秒 tBC=6秒 tCO=2秒,tAO=4+6+2=12秒,邱杖仪豫梆膛观厅游钞趋续箩淖励迈债吉蝉棵介诣建谗丝咋义班薄直岳嫂孟华自动控制原理ch8孟华自动控制原理ch8,8.7 二阶时间最优控制系统的分析及综合,电动机 Mmax=Km Imax,他基雄郝榆围札涩案吝斤辊绷刁蚂喷迎勤表尤续代抬肄蘑仟瘸笋棠酝门冤孟华自动控制原理ch8孟华自动控制原理ch8,柠挑咨捍蚂搭负仟盒架裴褥际药须钡砖取姬竭荫脯丰予赶之浸达绝钦遣苦孟华自动控制原理ch8孟华自动控制原理ch8,结束,宏私失屋阻衰硫稽宝膳十谱噬颓冰囊垣援媒搅霄捷姚镊拯上恨藩脯傻剂去孟华自动控制原理ch8孟华自动控制原理ch8,