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,5.2 理想单色平面光波在晶体中的传播(The transmission of ideal nonochrome planar lightwave in crystals),光在晶体中传播的解析法描述(analytic description of transmission of light in crystals),光在晶体中传播的几何法描述(Geometric description of transmission of light in crystals),光在晶体中传播的解析法描述,根据光的电磁理论，光在晶体中的传播特性仍然由麦克斯韦方程组描述。,1.麦克斯韦方程组,均匀、不导电、非磁性的各向异性介质(晶体)中，若没有自由电荷存在，麦克斯韦方程组为,我们只讨论单色平面光波在晶体中的传播特性。,1)单色平面光波在晶体中的传播特性,(1)晶体中光电磁波的结构,式中，,设晶体中传播的单色平面光波为,对于这样一种光波，在进行公式运算时，可以以-i 代替，以(in/c)k 代换算符。,经过运算，(17)式(20)式变为,(1)晶体中光电磁波的结构,由这些关系式可以看出：,(1)晶体中光电磁波的结构,D 垂直于 H 和 k，H 垂直于 E 和 k，所以 H垂直于 E、D、k，因此，E、D、k 在垂直于 H 的同一平面内。,(1)晶体中光电磁波的结构,由能流密度的定义,可见，H 垂直于 E 和 s(能流方向上的单位矢量)，故 E、D、s、k 同在一个平面上。,(1)晶体中光电磁波的结构,可以得到一个重要结论：在晶体中，光的能量传播方向通常与光波法线方向不同。,(2)能量密度,根据电磁能量密度公式及(23)式、(24)式，有,(2)能量密度,总电磁能量密度为,对于各向同性介质，因 s 与 k 同方向，所以有,(3)相速度和光线速度,相速度 vp 是光波等相位面的传播速度，其表示式为,(3)相速度和光线速度,光线速度 vr 是单色光波能量的传播速度，其方向为能流密度(玻印亭矢量)的方向 s，大小等于单位时间内流过垂直于能流方向上的一个单位面积的能量除以能量密度，即,(3)相速度和光线速度,由(27)式(30)式可以得到,单色平面光波的相速度是其光线速度在波阵面法线方向上的投影。,(3)相速度和光线速度,在一般情况下，光在晶体中的相速度和光线速度分离,其大小和方向均不相同。对于各向同性介质，单色平面光波的相速度也即是光线速度。,2)光波在晶体中传播持性的描述,(1)晶体光学的基本方程,由麦克斯韦方程组出发，将(23)式和(24)式的H 消去,可以得到,(1)晶体光学的基本方程,再利用矢量恒等式,变换为,(1)晶体光学的基本方程,方括号Ek(kE)实际上表示 E 在垂直于 k(即平行于D)方向上的分量，记为。,(1)晶体光学的基本方程,(32)式可以写成,(1)晶体光学的基本方程,我们还可以将(32)式、(33)式写成另外一种形式。,因为,所以,(1)晶体光学的基本方程,根据折射率的定义,可以在形式上定义“光线折射率”(或射线折射率、能流折射率)nr：,(1)晶体光学的基本方程,由此可将(34)式表示为,(1)晶体光学的基本方程,或,(1)晶体光学的基本方程,(1)晶体光学的基本方程,(32)、(33)和(36)、(37)式给出了沿某一k(s)方向传播的光波电场E(D)与晶体特性n(nr)的关系，因而是描述晶体光学性质的基本方程。,(2)菲涅耳方程,为了考察晶体的光学特性，我们选取主轴坐标系，因而物质方程为,(2)菲涅耳方程,波法线菲涅耳方程(波法线方程),将基本方程(32)式写成分量形式,并代入 Di Ei 关系，经过整理可得,将(39)式代入后，得到,波法线菲涅耳方程(波法线方程),由于 Dk0，所以有,描述了在晶体中传播的光波法线方向 k 与相应的折射率n 和晶体的主介电张量 之间的关系。,波法线菲涅耳方程(波法线方程),波法线菲涅耳方程(波法线方程),(40)式还可表示为另外一种形式根据 pc/n，可以定义三个描述晶体光学性质的主速度：,波法线菲涅耳方程(波法线方程),它们实际上分别是光波场沿三个主轴方向 x1、x 2、x3 的相速度。由此可将(40)式变换为,上式描述了在晶体中传播的光波法线方向 k 与相应的相速度P 和晶体的主速度1、2、3 之间的关系。,波法线菲涅耳方程(波法线方程),通常将(40)式和(41)式称为波法线菲涅耳方程。,由波法线菲涅耳方程可见，对于一定的晶体，光的折射率(或相速度)随光波方向 k 变化。,波法线菲涅耳方程(波法线方程),这种沿不同方向传播的光波具有不同的折射率(或相速度)的特性，即是晶体的光学各向异性。,它们是 n2 或 p2 的二次方程，一般有两个独立的实根 n、n 或 p、p，因而，对应每一个波法线方向 k，有两个具有不同的折射率或不同的相速度的光波。,波法线菲涅耳方程(波法线方程),在由(40)式、(41)式得到与每一个波法线方向 k 相应的折射率或相速度后，为了确定与波法线方向 k 相应的光波 D 和 E 的振动方向，可将(38)式展开,波法线菲涅耳方程(波法线方程),将由(40)式解出的两个折射率值 n 和 n 分别代入(42)式，即可求出相应的两组比值 和，从而可以定出与 n 和 n 分别对应的 E 和 E 方向。,波法线菲涅耳方程(波法线方程),由物质方程的分量关系，求出相应的两组比值 和，从而可以定出与 n 和 n 分别对应的 D 和 D 的方向。,波法线菲涅耳方程(波法线方程),由于相应于 E、E 及D、D 比值均为实数，所以 E 和 D 都是线偏振的。,波法线菲涅耳方程(波法线方程),当 Ex、Ey 二分量的相位差 时，椭圆退化为一条直线，称为线偏振光。此时有,进而可以证明，相应于每一个波法线方向 k 的两个独立折射率 n 和 n 的电位移矢量 D 和 D 相互垂直。证明过程如下：,波法线菲涅耳方程(波法线方程),上式方括号中的第一、三、五项之和为零，第二、四、六项之和也为零。,波法线菲涅耳方程(波法线方程),对应于晶体中每一给定的波法线方向 k，只允许有两个特定振动方向的线偏振光传播，它们的D 矢量相互垂直，具有不同的折射率或相速度。,因此，,波法线菲涅耳方程(波法线方程),由于 E、D、s、k 四矢量共面，以及 Es，所以这两个线偏振光有不同的光线方向(s 和 s)和光线速度(vr 和 vr)。,波法线菲涅耳方程(波法线方程),光线菲涅耳方程(光线方程),上面讨论的波法线菲涅耳方程确定了在给定的某个波法线方向 k 上，特许的两个线偏振光的折射率和偏振态。,光线菲涅耳方程(光线方程),类似地，也可以得到确定相应于光线方向为 s 的两个特许线偏振光的光线速度和偏振态的方程光线菲涅耳方程。,光线菲涅耳方程(光线方程),或,(43)式和(44)式描述了在晶体中传播的光线方向 s 与相应的光线折射 nr、光线速度 r 和晶体的光学参量、主速度 1、2、3 之间的关系。,光线菲涅耳方程(光线方程),类似得出如下结论：在给定的晶体中，相应于每一个光线方向 s，只允许有两个特定振动方向的线偏振光传播，这两个光的 E 矢量相互垂直。,光线菲涅耳方程(光线方程),注意到(32)式和(37)式在形式上的相似性，可以得到如下两行对应的变量,光线菲涅耳方程(光线方程),将式中的各量用(45)关系中另一行对应的量代替，就可以得到相应的另一个有效的关系式。,光线菲涅耳方程(光线方程),应用这一规则，(43)式和(44)式可以由(40)式和(41)式直接通过变量代换得出。,
