圆内接四边形及四点共圆.docx

内接四边形及四点共圆-教学案侑答案）编辑整理:尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们 对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（圆内接四边形及四点共圆- 教学案（有答案）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反 馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以 下为圆内接四边形及四点共圆-教学案（有答案）的全部内容。圆内接四边形及四点共圆-教学案（有答案）圆内接四边形与四点共圆（选学）教案设计引言：圆内接四边形和四点共圆之间有着非常密切的联系，这是因为顺次连结共圆四点就 成为圆内接四边形.实际上，在许多题目的已知条件中，并没有给出圆，这时就需要通过证明 四点共圆，把实际存在的圆找出来，然后再借助圆的性质得到要证明的结论.确定四点共圆的办法有哪些呢？思路一:用圆的定义：到某定点的距离相等的所有点共圆。-若连在四边形的三边的中垂 线相交于一点，那么这个四边形的四个顶点共圆。（这三边的中垂线的交点就是圆心）。产生原因：圆的定义：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合。基本模型：AO二BO二CO二DO。 A、B、C、D 四点共圆（0 为圆心）思路二：从被证共圆的四点中选出三点作一个圆，然后证另一个点也在这个圆上，即可 证明这四点共圆.- 要证多点共圆，一般也可以根据题目条件先证四点共圆，再证其他点也 在这个圆上。思路三：运用有关性质和定理： 对角互补，四点共圆:对角互补的四边形的四个顶点共圆。产生原因：圆内接四边形的对角互补.基本模型:匕4+ZD = 1800（或ZB+ZD = 180）。 A、B、C、D 四点共圆 张角相等，四点共圆：线段同侧两点与这条线段两个端点连线的夹角相等，则这两个点 和线段的两个端点共四个点共圆。产生原因:在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等。方法指导：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧， 若能证明其顶角（即：张角）相等（同弧所对的圆周角相等），从而即可肯定这四点共圆.。A、B、C、D四点共圆 同斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆，其斜边为圆的直径。 产生原因：直径所对的圆周角是直角。r.CZC = ZD = 900。 A、B、C、D 四点共圆 外角等于内对角，四点共圆：有一个外角等于其内对角的四边形的四个顶点共圆。产生原因：圆内接四边形的外角等于内对角。基本模型：ZECD-ZB。A、B、C、D四点共圆 用相交弦定理或切割线定理的逆定理：把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积 相等，即可肯定这四点共圆。（相交弦定理的逆定理）产生原因：相交弦定理。基本模型：DABE=CDE。 A、B、C、D 四点共圆把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成 的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四点也共圆.（割线定理的逆定理）产生原因:割线定理。基本模型：E DEAEBEDEC。A、B、C、D 四点共圆二、新课探究 例1、如图,AD、BE、CF是锐角MBC的三条高，H为垂心.（1）图中共有多少组四点共圆?（2）求证:分析:圆内接四边形及四点共圆-教学案（有答案）Nil C 1 ）舍 H 的英 fl 顼 I. K|.段肌HSUP 兄上一不?, fi 佝也 n ：.诅，L'J B,r,E,C : C,D,FtA 1 .4、E.D,B.所以共右§组.（2 > 31.为 L.£F,.4 NUM 圆一故 ZJMJF.ZA只 I 均为 4 M 玖*I .山.1L |：如 故 2EDC = £4一以lij 4E D F =占 EDC闩等角的余角树等知4W = ZADF.山姑地C 2 ）知脱角AAJCVM心日为ADEF的内心一H七个点中，能组成练习：锐角 ABC的三条高AD、BE、CF交于H,在A、B、C、D、E、F、四点共圆的组数是（）A、4组 B、5组 C、6组 D、7组分析：解：如图以AH为斜边的两个直角三角形四个顶点共回3、K H、E）, 以日曲斜边的两个直角三角形四个顼点共回（玦K再D）, 以匚H为斜边的两个直角三角形四个顶点共圆匚E K E）,以M为斜边的两个直角三角形四个顶点共圆黔队B）, 以E匚为斜边的两个直角三角形四个顶点共UCB. F. K C）, 以AC为斜边的两个直角三角形四个顶点共回也F,匚）, 共6组.故选匚.延长CA至D，CE的延长线交例2、已知ABC为等腰直角三角形，ZC为直角，以AD为直径作圆，连BD与圆O交于点E，连CE，BD圆O于另一点F，那么cF的值等于。分析：1'2理由：解:如图.连接AEAF , DF,AD为直径jZ/lEB=ZAEB= ZACB=90b j'A. C.乱E四点共圆，.ZA£F=ZABD又.ZG=ZAIB j.Aajcm Aadb ,.BD_AD''CF-AF '- NFAD=/FED= ZEEC=ZBAC=45D在斑心F中I端哉底FAD京。卡 故答案加<2 .教师小结：在四点共圆的题目的已知条件中，通常没有给出圆，这时就需要通过证明四点共 圆，把存在的圆找出来，然后再借助圆的性质进行相应的推导。练习：（2011湖北武汉中考题改编）如图,在菱形ABCD中,AB=BD，点E，F分别在AB，AD上，且学习参考资料分享圆内接四边形及四点共圆-教学案（有答案）AE=DF.连接BF与DE相交于点G,连接CG与BD相交于点H,则四边形BCDG的面积（记作：S四边形BCDG）与边CG的关系是.分析：S四边形BCDG=7 CG2理由：VZBGE=ZBDG+ZDBF=ZBDG+ZGDF=60°=ZBCD,.点B、C、D、G四点共圆，./BGC=/BDC=60° , ZDGC=ZDBC=60°.过点C作CM±GB于M, CN±GD于N./BGC=/DGC=60°。则CBM丝CDN(HL).,S四边形BCDG S四边形CMGN， S四边形CMG CMG°1卫./CGM=60°, .GM=2CG, CM二E CG,11 M13.S、冲2Scm2x2 x 2 CGx CG二旨 CG2°例3拥如图，锐角ABC中，A 60。，且0、I、H分别为ABC的外心、内心和垂心。求 证：0I=IH.分析:连结 AO、AI、OC、IC、HC。易-2Z4 Y心- 120、在BC的同倒，.B,OJ,HrC五点共圆.因为/为内心*所以匕心=£睥 又A4庭为等腰三角形'故匕= 町-Z4W）二虹町-2及 = 9。' -项7二占匚3乩EP AABO = Z.CHH 由一得ZORH =再由EQJH五点共圆*得O! = IH.AAAAAAAAAAaa练习：如图，四边形1 2 3 4内接于一圆， 1 2 3的内心是/ 1， 2 3 4的内心是/ 2， A3 A4 A1的内心是1 3。919 cIII求证：（1）A2、I1、I2、A3 四点共圆；（2）/ 1 2 3=90°。分析:=| C ZA2AlA34-ZA1Jk2k?4-ZA2A3A1 ） +§巴闻%=9甘 +§£岭j圆内接四边形及四点共圆-教学案（有答案）证明：【1）如图,连搂1由,f w妇和I冉,弓是%的内心, Zl1A.1延长 I双四边形A1岭妇外援圆于F则ZA2I1A3=ZA2I1 P+ZPI1A3= Zl1A1A2+Zl1A2A1 + ZI1k1A3+ZIlA3A1同理匕心与柘=9Q° +*£为妇又-.四边形七%内接于一回. j_-j-j A-|J二匕上与，.、1广乌、七四点共底:C 2 5又连搂工叭4则由（1）知' Ir %、料四点共圆，-.ZILSO0 -ZI1A3=18O"-捉恤%同SI3I2A3=180d -匕七妇与二1日。° -捉呻蚤,.-.11=360° - （） =|t灼十七吗）二霍。.三、反馈训练如图，O是RtAABC斜边AB的中点，CH±AB于H,延长CH至D,使得CH=DH, F为CO上 任意一点，过B作BE±AF于E，连接DE交BC于G.求证：ZCAF=ZCDE；分析:证明：连接即，VAAB匚是Et三角玲，BE±AF .ZEEA=ZACB=90nE BC, 口四点共圆且AB是此圆直径， 又.TH±AS j CK=DK>-口在此圆上.L4 E j C > D, E五点共同， .ZCAF=CDE ；四、课外拓展1、已知ABC中，ZACB=90°,AB边上的高线CH与ABC的两条内角平分线AM、BN分别交于P、Q两点，PM、QN的中点分别为E、F，求证:EFAB。旺明：连敏艮TH是心就的平分线，.ZA£N=ZCBNj又*H_L疝，.ZCQN=ZEQH=On -ZJLBU=90n -ZCBff=ZCO ,I.'.CQ=NC .尺F是目剧中点,.CF±QN,.ZCFE=gOn =ZCHB ,此F、H"四点共屈.又 NFEH=/FBC,.'.FC=FH，.点F在如的中垂段上，同理可证，点E在CH的中垂编上,.EF±CH,又 AB_LCH.EF/AE .2、如图所示，I为AABC的内心，求证：ABIC的外心O与A、B、C四点共圆。证明:连接口玖SL 0C 由口是外心JDZIOC=2ZIBC . 由工是肉心如匕捋匚二N工工EC .从而 ZIOC=ZATC .同理 ZIOBZAC .而 Zl+ZiBC+ZJiCB=lBOD , 故 ZB0C+ZA=18OD 于是、琢A. C四点共圆.3、如图，BD, CE是ABC的两条高,F和G分别是DE和BC的中点，O是ABC的外心.求证:AOFG。证明：如图，值接印和GE,/ZBDC=ZBEC=9On j B(J=LC >.-.i)g=|bc=eg ,又.'DF=EF,.IF±BE j延长口 ADE于H / ZBDC=ZBEC=9OnC> E. D 四点共圆，ZDEB=ZDCB=|ZAOB ,即 ZAEH=|ZAOB>又.'OA=OB，.ZEAH=ZBAO=SOn -jZAOB j ZEWZAEH=9aD j 于是,AD±DE j即口虹LM题单1、若一个圆经过梯形ABCD的四个顶点，则这个梯形是 梯形。学习参考资料分享答案：90° 理由：S : V AAIC 中，虹工第°，网 _LE 匚，EE_LAC,.点A、E、D、E在以辎为直径的©O_t :过点A作8口的切瓣AF交览的延妖我EC于点F,则AF1AB .点H是三角形捋匚的垂心j.-.ZHCA=ZCAF C政直批平行j内诺角相等）；JI V ZJAf=ZFAC+ZC AB=gO",.ZBAC+ZHEA=20b .故答案是；时-.3、如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于O点，E，F,G，H分别是AB，BC，CD,DA的中点，求证:E，F，G，H四个点在以O为圆心的同一个圆上。分析:解：-圆经过梯形帽的四个顶点P.Zk+ZC=1BOB ,-'ADZ/EC,.k+ZB=180n i.匕片匕匚. 梯形此CD是等腰梯形.故答案为:等腰.2、如图，已知 ABC 中，ZBAC90° , AD±BC,BE±AC，且 AD、BE 交于点 H,连接 CH，则ZACH+ZBAE=。（提示：过A作O的切线交BC的延长线于点F.）分析：藤:度接DE，OF，DG, 0M.四边形蛔匚D为差形I.AE=EC=CD=D&,且BD±AC .- E. L G盼别为AB、EC. CD. DA的中点，.CiE司F小肚CiH=§AEE. L &职点在以口为回心，加为半径的圆上.4、如图，正方形ABCD的中心为O，面积为1989cm2。P为正方形内一点，且ZOPB=450,PA:PB=5:14.则 PB=.(提示：连结 OA、OB)分析：42cm。理由：解：逐接OA j 0B >.'正方形岫匚D的中心为口匕口亢二45 ° jZ0AS=ZorB=45° j Z0BA=45" .二DF, 4 E四点共同，.Zm=ZAOB=lSOn -45" -45 ° 二知 °在 D捋中由勾媵定理得:FA2+PE2=B2=1989 j由于FA : PB=S : 14设，FB=14k，C 5ji ) 2+ C 14k) 2=1989 n解彳旱:虾3，.PB=14x=42 .故答案为:42cm .5、(2011山东济南中考压轴题)如图，点C为线段AB上任意一点(不与点A、B重合)，分别 以AC、BC为一腰在AB的同侧作等腰。和左BCE，CA = CD，CB = CE，ZACD与ZBCE都是锐 角，且ZACD=ZBCE，连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N，AE与BD交于点P，连接 CP.(1) 求证：ACEMDCB;(2) 请你判断ACM与DPM的形状有何关系并说明理由；.(3)求证：ZAPC=ZBPCo分析：解：(1) 证：-/ZACD=ZBCE, /.ZACE=ZDCBo又.CA = CD, CE =CB, /.AACEADCB(ASA)o(2) AACMADPMo 理由如下：/AACEADCB, /.ZCAE=ZCDB,即 ZCAM=ZPDM。又'/ZCMA=ZPMD, /.AACMADPMo(3) 证：'/ZCAE=ZCDB,二点 A、C、P、D 四点共圆。/.ZAPC=ZADCo同理，ZBPC=ZBECo又、等腰 ACD 和BCE, CA = CD,CB = CE, ZACD=ZBCE,/.ZADC= ZBECo/.ZAPC=ZBPC.