计算旋转体体积的“柱壳法”.ppt

,柱 壳 法 Shell Method,柱壳法 是计算 xOy 坐标面上的图形绕 y 轴旋转所得旋转体的体积的公式。美国的微积分教材一般都有这个公式的介绍（他们叫Shell Method）。柱壳法的思路是将旋转体分成很多很薄的柱壳，然后利用定积分将这些柱壳的体积累积起来，得到旋转体的体积。柱壳法的方便之处：虽然图形是绕 y 轴旋转，但是柱壳法却是沿 x 轴积分。这样做有时会给我们的计算带来极大的便利。,设,由曲线 y=f(x),y=0,x=a,x=b 所围成的曲边梯形绕 y 轴旋转一周，得一旋转体。,求旋转体的体积 V。,用以下方法求体积元素：,体积元素是一层柱壳的体积的近似值,柱壳,柱壳半径,柱壳的高度,柱壳的厚度,体积元素是一层柱壳的体积的近似值,柱壳法,柱壳法示意图,柱壳法示意图动画,例,求,与 x 轴所围成的图形分别绕 x 轴和 y 轴所得的旋转体的体积。,同济大学高等数学（第六版）286页20题。,用“圆片法”求绕 x 轴的旋转体体积：,用“柱壳法”求绕 y 轴的旋转体体积：,例,求摆线,与 x 轴所围成的图形绕 y 轴所得的旋转体的体积。,用“柱壳法”求图形绕 y 轴所得的旋转体的体积。,附：国内外微积分教材有关“柱壳法”的介绍,Volumes by Cylindrical Shells,美国微积分教材有关“柱壳法”的介绍,同济大学高等数学（第六版）286页在一道习题中要求学生推导“柱壳法”。,