二次函数总复习[初中数学讲课教案PPT课件].ppt

,课题：二次函数复习,图象与性质,交点情况,解析式的确定,应 用,一、图象与性质,二 次 函 数,二次函数知识要点,0,ax2+bx+c,2,1、二次函数的定义：形如“y=（a、b、c为常数，a）”的函数叫二次函数。即，自变量x的最高次项为 次。,2、二次函数的解析式有三种形式：一般式为；顶点式为。其中，顶点坐标是（），对称轴是；交点式为。其中x1，x2分别是抛物线与x轴两交点的横坐标。,yax2bxc,ya(x-h)2k,h,k,xh的直线,ya(xx1)(xx2),3、图象的平移规律：,正上左，负下右；位变形不变。,对于抛物线y=a(x-h)2+k的平移有以下规律：,(1)、平移不改变 a 的值；(2)、若沿x轴方向左右平移，不改变 a,k 的值；(3)、若沿y轴方向上下平移，不改变a,h 的值。,4、,5、对于二次函数y=ax2+bx+c（a0），a决定图象的。当a0时，开口向，当a0 或c0呢？a、b共同决定对称轴，当a、b同号，对称轴在y轴的 侧，当a、b异号呢？当b=0呢？,二次函数知识要点,开口方向,上,下,左,y,纵,原,1、二次函数 y=x2-8x+12图象的开口向,对称轴是，顶点坐标为。,小练习：,直线x=4,(4,）,上,2、二次函数y=-3(x-1)5的图象开口向，对称轴是，当x=时 函数有最 值为。当x 时，y随x的增大而增大。,下,直线x=1,1,1,大,5,4、函数 的顶点坐标是，对称轴。,3、抛物线 向上平移2个单位，向左平移3个单位，所得解析式是。,开口方向，,当x 时，y随x的增大而增大,当x 时，y随x的增大而减小,当x 时，y有最大值或最小最，最大或最小值是。,抛物线与x轴交点坐标为，,抛物线与y 轴的交点坐标为。,A,C,x,y,o,A,C,x,y,o,B,B,5、根据下列图象确定二次函数y=ax2+bx+c中a,b,c的符号。,(1)a0;b0;c0,(2)a0;b0;c0,例 题,(3)当x0时，y随x的增大而减小.,例2：已知二次函数y=x2-x+c。求它的图象的开口方向、顶点坐标和对称轴；c取何值时，顶点在x轴上？若此函数的图象过原点，求此函数的解析式，并判断x取何值时y随x的增大而减小。,例 题,解：函数y X2X C中，a10，,此抛物线的开口向上。,根据顶点的坐标公式x 时，y,顶点坐标是（，）。对称轴是x。,例 题,(1)直线 x=2，（2，-9）,(2)A（1，0）B（5，0）C（0，5）,(3)27,例4 已知二次函数 的图象与 x 轴交 于A、B两点，与 y 轴交于C点，顶点为D点.（1）求出抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）求出A、B、C的坐标；（3）求 DAB的面积.,例题解答,例 题,例4 已知抛物线 与 x 轴交于点A（1,0）和B（3，0），与 y 轴交于点C，C在 y 轴的正半轴上，SABC为8.（1）求这个二次函数的解析式；（2）若抛 物线的顶点为D，直线CD交 x 轴于E.则x 轴 上的抛物 线上是否存在点P，使 SPBE=15？,1、抛物线 如图所示，试确定 下列各式的符号：,a _0(2)b _0(3)c _0(4)a+b+c _0(5)ab+c _0,练习,2、抛物线 和直线 可以在同一直角坐标系中的是（）,A,练习,3、已知抛物线 y=2x2+2x4，则它的对称轴为_，顶点为_，与x轴的两交点坐标为_，与y轴的交点坐标为_。,（0,4）,练习,4、已知抛物线y=ax2+bx+c开口向下，并且经过A（0，1），M（2，-3）两点。若抛物线的对称轴是直线x=-1，求此抛物线的解析式。若抛物线的对称轴在y轴的左侧，求a的取值范围。,归纳小结：,抛物线的对称轴、顶点最值的求法：,二 次 函 数,抛物线与x轴、y轴的交点求法：二次函数图象的画法（五点法）,（1）配方法；（2）公式法,对于抛物线y=a(x-h)2+k的平移有以下规律：,(1)、平移不改变 a 的值；(2)、若沿x轴方向左右平移，不改变 a,k 的值；(3)、若沿y轴方向上下平移，不改变a,h 的值。,课后练习：,1抛物线y=x2的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位，则所得抛物线的解析式为（）A.y=x2+2x2 B.y=x2+2x+1C.y=x22x1 D.y=x22x+1,2已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如右图所示，则一次函数y=ax+bc 的图象不经过（）,A第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限,课后练习：,3、已知以x为自变量的二次函数y=(m2)x2+m2m2的图象经过原点，则m=，当x 时y随x增大而减小.,4、函数y=2x27x+3顶点坐标为.,5、抛物线y=x2+bx+c的顶点为（2，3），则b=，c=.,6、如果抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=2，且开口方向，形状与抛物线y=x2相同，且过原点，那么a=，b=，c=.,7如图二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A、B、C三点，（1）观察图象，写出A、B、C三点的坐标，并求出抛物线解析式，（2）求此抛物线的顶点坐标和对称轴（3）观察图象，当x取何值时，y0?,y,x,A,B,O,-1,4,5,C,课后练习：,8、已知二次函数y=(m22)x24mx+n的图象关于直线x=2对称，且它的最高点在直线y=x+1上.（1）求此二次函数的解析式；（2）若此抛物线的开口方向不变，顶点在直线y=x+1上移动到点M时，图象与x轴交于A、B两点，且SABM=8，求此时的二次函数的解析式。,课后练习：,二、抛物线与坐标轴的交点情况,二 次 函 数,二次函数知识要点,6、对于二次函数y=ax2+bx+c（a0），=b2-4ac。当0时,抛物线与x轴有 个交点，这两个交点的横坐标是方程ax2+bx+c=0的两个不相等的根。当=0时,抛物线与x轴有 个交点。这时方程ax2+bx+c=0有两个 的根。当0时，抛物线与x轴 交点。这时方程ax2+bx+c=0根的情况。,两,一,无,没有实数根,相等,1、抛物线y=x2-2x-3与x轴分别交于A、B两点，则AB的长为.,练一练,2、直线y=3x+2与抛物线y=x2x+3的交点有 个，交点坐标为。,3、抛物线y=x2+bx+4与x轴只有一个交点则b=。,4,一,(-1,5),4或-4,4二次函数y=x2-2(m+1)x+4m的图象与x轴（）A、没有交点 B、只有一个交点C、只有两个交点 D、至少有一个交点,练一练,D,5、已知二次函数 y=kx27x7的图象与x轴 有交点，则k的取值范围是(),B,二 次 函 数,练一练,例 题,1、已知抛物线y=x2+ax+a-2.(1)证明:此抛物线与x轴总有两个不同的交点;(2)求这两个交点间的距离(用关于a的表达式来表达);(3)a取何值时,两点间的距离最小?,例 题,2、已知二次函数y=-x2+(m-2)x+m+1，（1）试说明：不论m取任何实数，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点；（2）m为何值时，这两个交点都在原点的左侧？（3）若这个二次函数的图象与x轴有两个交点A(x1,0)、B(x2,0),且x10 x2,OA=OB，求m的值。,3、已知抛物线yax2(b1)x2.（1）若抛物线经过点（1,4）、（1,2）,求此抛物线的解析式;(2)若此抛物线与直线yx有两个不同的交点P、Q,且点P、Q关于原点对称.求b的值;请在横线上填上一个符合条件的a的值：a,并在此条件下画出该函数的图象.,例 题,例 题,4、巳知：抛物线(1)求证；不论m取何值，抛物线与x轴必有两个交点，并且有一个交点是A(2，0)；(2)设抛物线与x轴的另一个交点为B，AB的长为d，求d与m之间的函数关系式；(3)设d=10，P(a，b)为抛物线上一点：当A是直角三角形时，求b的值；,练习：,1、抛物线y=x2-（2m-1）x-6m与x轴交于（x1，0）和（x2，0）两点，已知x1x2=x1+x2+49，要使抛物线经过原点，应将它向右平移 个单位。,2、抛物线y=x2+x+c与x轴的两个交点坐标分别为(x1,0)，(x2,0)，若x12+x22=3，那么c值为，抛物线的对称轴为,3、一条抛物线开口向下，并且与x轴的交点一个在点A（1，0）的左边，一个在点A（1，0）的右边，而与y轴的交点在x轴下方，写出一个满足条件的抛物线的函数关系式,4、已知二次函数y=-x2+(m-2)x+3(m+1)的图象如图所示（1）当m-4时，说明这个二次函数的图象与x轴必有两个交点；（2）求m的取值范围；（3）在（2）的情况下，若OAOB=6，求C点坐标；,O,练习：,5、已知二次函数y=kx2+(2k-1)x-1与x轴交点的横坐标为x1、x2（x1x2），则对于下列结论：当x2时，y1；当xx2时，y0；方程kx2+(2k-1)x-1=0有两个不相等的实数根x1、x2；x1-1，x2-1；，其中所有正确的结论是（只需填写序号）,归纳小结：,二 次 函 数,抛物线y=ax2+bx+c(a0)与x轴的两交点A、B的横坐标x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根。,1若抛物线y=ax2+bx+c的所有点都在x轴下方，则必有（）A、a0,b2-4ac0;B、a0,b2-4ac 0;C、a0,b2-4ac0 D、a0,b2-4ac0.,课后练习：,2、已知抛物线=x2+2mx+m-7与x轴的两个交点在点（1，0）两旁，则关于x的方程x2+（m+1）x+m2+5=0的根的情况是（）（A）有两个正根（B）有两个负数根（C）有一正根和一个负根（D）无实数根。,课后练习：,4、设 是抛物线 与X轴的交点的横坐标，求 的值。,5、二次函数 的图象与X轴交于A、B两点，交Y轴于点C，顶点为D，则SABC=,SABD=。,3、已知抛物线 与x轴的两个交点间的距离等于4,那么a=。,6、已知抛物线yx2mxm2.（1）若抛物线与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB，试求m 的值；（2）设C为抛物线与y轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M、N，并且 MNC的面积等于27，试求m的值,课后练习：,7、已知抛物线 交，交y轴的正半轴于C点，且。（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在与抛物线只有一个公共点C的直线。如果存在，求符合条件的直线的表达式；如果不存在，请说明理由,课后练习：,二 次 函 数,三、解析式的确定,回 顾,1、已知函数类型，求函数解析式的基本方法是：。,2、二次函数的表达式有三种：（1）一般式：；（2）顶点式：；（3）交点式：。,待定系数法,Y=ax2+bx+c(a0),Y=a(x-h)2+k(a0),Y=a(x-x1)(x-x2)(a0),例1.选择最优解法，求下列二次函数解析式,已知二次函数的图象过点(1,6)、(1，2)和(2，3)已知二次函数当x=1时，有最大值6，且其图象过点(2，8)已知抛物线与x轴交于点A(1，0)、B(1，0)并经过点M(0，1),1）设二次函数的解析式为,2）设二次函数的解析式为,3）设二次函数的解析式为,解题策略：,例2、已知二次函数y=ax2+bx+c，当x=3时，函数取得最大值10，且它的图象在x轴上截得的弦长为4，试求二次函数的关系式,例3、已知：抛物线 y=ax+bx+c（a0）与x轴交于点A（1，0）和点B，点B 在点A的右侧，与y轴交于点C（0，2），如图。（1）请说明abc是正数还是负数。（2）若OCA=CBO，求此抛物线的解析式。,A,B,O,C,议一议想一想,例4、已知抛物线C1的解析式是yx22xm，抛物线C2与抛 物线C1关于y轴对称。(1)求抛物线C2的解析式；,C2的解析式为：y(x1)21m x22xm.,C1,C2,（1,1m）,（1,1m）,议一议想一想,例4 已知抛物线C1的解析式是yx22xm，抛物线C2与抛 物线C1关于y轴对称。(1)求抛物线C2的解析式；(2)当m为何值时,抛物线C1、C2与x轴有四个不同的交点；,由抛物线C1与x轴有两个交点，得10，即(2)24（1）m0，得m1 由抛物线C2与x轴有两个交点，得20，即(2)24（1）m0，得m1,当m=0时，C1、C2与x轴有一公共交点(0，0)，因此m0 综上所述m1且m0。,议一议想一想,例4 已知抛物线C1的解析式是yx22xm，抛物线C2与抛 物线C1关于y轴对称。(1)求抛物线C2的解析式；(2)当m为何值时,抛物线C1、C2与x轴有四个不同的交点；(3)若抛物线C1与x轴两交点为A、B（点A在点B的左侧），抛物线C2与x轴的两交点为C、D（点C在点D的左侧）,请你猜想ACBD的值，并验证你的结论。,解：设抛物线C1、C2与x轴的交点分别A(x1,0)、B(x2,0)、C(x3,0)、D(x4,0),则 ACBD x3x1 x4x2(x3x4)(x1x2)，,于是 ACx3x1，BDx4x2，,x1x22，x3x42，,ACBD 4。,有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：甲：对称轴是直线x=4；乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3请写出满足上述全部特点的一个二次函数的关系式,议一议,例5、某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，如图所示，大门地面宽AB=4m，顶部C离地面高度为44m现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面28m，装货宽度为24m请判断这辆汽车能否顺利通过大门,1、已知二次函数 的图象经过点（1，0），（0，-2），（2，3）。求解析式。,2、二次函数当x=3时，y有最大值-1，且图象过（0，-3）点，求此二次函数解析式。,3、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴是直线x=2，图象与x轴的两个交点间的距离等于2，且图象经过点（4，3）。求这个二次函数解析式。,练 习,练 习,4、二次函数的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,如图所示,AC=,BC=，ACB=90,求二次函数图象的关系式.,5、如图，某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8m，两侧距地面4m高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6m，则校门的高为多少m？（精确到0.1m，水泥建筑物厚度忽略不计）.,归纳小结：,1、用待定系数法求二次函数解析式的一般步骤：,（1）根据条件设出合理的表达式；（2）将已知条件转化为方程或方程组，求出待定系数的值；（3）写出函数解析式。,2、二次函数的三种表达式：,（1）一般式：；（2）顶点式：；（3）交点式：。,Y=ax2+bx+c(a0),Y=a(x-h)2+k(a0),Y=a(x-x1)(x-x2)(a0),课后训练：,1、求出下列对应的二次函数的关系式（1）已知抛物线的对称轴为直线x=2,且通过点（1，4）和（5，0）（2）已知抛物线的顶点为（3，-2），且与x轴两交点间的距离为4,2、已知二次函数的图象与一次函数的图象有两个公共点P（2，m）、Q（n，-8），如果抛物线的对称轴是x=-1，求该二次函数的关系式,课后训练：,4抛物线y=x2+2mx+n过点（2，4），且其顶点在直线y=2x+1上，求此二次函数的关系式。,3已知二次函数，当x=3时，函数取得最大值10，且它的图象在x轴上截得的弦长为4，试求二次函数的关系式,5、如图抛物线与直线都经过坐标轴的正半轴上A(4,0)，B两点，该抛物线的对称轴x=1，与x轴交于点C,且ABC=90,求：(1)直线AB的解析式；(2)抛物线的解析式。,课后训练：,6、已知二次函数y=(m22)x24mx+n的图象关于直线x=2对称，且它的最高点在直线y=x+1上.（1）求此二次函数的解析式；（2）若此抛物线的开口方向不变，顶点在直线y=x+1上移动到点M时，图象与x轴交于A、B两点，且SABM=8，求此时的二次函数的解析式.,课后训练：,7、如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A点坐标为(8,0)，B点坐标为(2,0)，以AB的中点P为圆心，AB为直径作P与y轴的负半轴交于点C.(1)求图象经过A、B、C三点的抛物线的解析式；(2)设M点为(1)中抛物线的顶点，求出顶点M的坐标和直线MC的解析式；(3)判定(2)中的直线MC与P的位置关系，并说明理由.,课后训练：,四、二次函数的应用,二 次 函 数,某市近年来经济发展速度很快，根据统计：该市国内生产总值1990年为8.6亿元人民币，1995年为10.4亿元人民币，2000年为12.9亿元人民币.经论证：上述数据适合一个二次函数关系，请你根据这个函数关系，预测2005年该市国内生产总值将达到多少？,引例,函数应用题的解题模型,二 次 函 数,例1、如图所示，某建筑工地准备利用一面旧墙建一个长方形储料场，新建墙的总长为30米。（1）如图，设长方形的一条边长为x米，则另一条边长为多少米？（2）设长方形的面积为y平方米，写出 y与x之间的关系式。（3）若要使长方形的面积为72平方米，x应取多少米？,x,例2、国家对某种产品的税收标准原定每销售元需缴税元（即税率为），台洲经济开发区某工厂计划销售这种产品吨，每吨元。国家为了减轻工人负担，将税收调整为每元缴税（）元（即税率为（），这样工厂扩大了生产，实际销售比原计划增加。(1)写出调整后税款（元）与的函数关系式，指出的取值范围；(2)要使调整后税款等于原计划税款（销售吨，税率为）的，求的值,某旅社有100张床位，每床每晚收费10元时，客床可全部租出若每床每晚收费提高2元，则减少10张床位租出；若每床每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出以每次提高2元的这种方法变化下去为了投资少而获利大，每床每晚应提高（）A、4元或6元 B、4元 C、6元 D、8元,练习1,某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了扩大销售，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出2件。问每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？最大盈利为多少？,练习2,o,（1）求拱顶离桥面的高度。,（2）若拱顶离水面的高度为27米，求桥的跨度。,例3、有一个抛物线形的拱形桥，建立如图所示的直角坐标系后，抛物线的解析式为 y x21。,例4.,改革开放后，不少农村用上自动喷灌设备，如图所示，设水管AB高出地面1.5m，在B处有一个自动旋转的喷头。一瞬间，喷出水流呈抛物线状，喷头B与水流最高点C的连线与水平面成45角，水流最高点C比喷头高出2m，在所建的坐标系中，求水流的落地点D到A点的距离是多少米。,作CFAD于F，作BECF于E，连结BC，易知OF=BE=CE=2，EF=OB=1.5，CF=2+1.5=3.5，B(0,1.5)，C(2,3.5).,设所求抛物线的解析式为：y=a(x2)2+3.5,当x=0时，y=1.5，即a(02)2+3.5=1.5,，,(舍)，,二 次 函 数,某幢建筑物，从10米高的窗口A用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直，如图建立平面直角坐标系）如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面 米，求水流落地点B离墙的距离OB是多少米？,O,x,y,A,B,M,顶点坐标（1，）,过点（0，10）,解析式：,令y=0,x=-1,x=3,OB=3米,练习3,O,y,A,B,某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线，在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面米，入水处距池边的距离为5米，同时，运动员在距水面5米以前，必须完成规定的翻腾动作并调整好入水姿势，否则就会出现失误。,（1）求这条抛物线的解析式；,（2在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为米，问此次跳水会不会失误？并能过计算说明理由？,10m,3m,跳台支柱,练习4,某瓜果基地市场部为指导该基地某种蔬菜的生产和销售，对今年这种蔬菜上市后的市场售价和生产成本进行了预测，提供了两方面的信息（如甲乙两图）。其中生产成本六月份最低。甲图的图象是线段，乙图的图象是抛物线。,月份,月份,练习5,请根据图象提供的信息说明解决下列问题：（1）在三月份出售这种蔬菜，每千克的收益是多少？（2）哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？最大收益是多少？,月份,月份,B,分析：AGH CEF 吗？DHE BFG吗？,SDHE=SBFG,SAHEG=SECF,所以，S=S矩形=2SDHE-2SAGH,自变量x的取值范围是：,解得，0 x6,（2）令S=4x，得，4x=-2x2+14x,练习1：如图，已知正方形ABCD的边长为4，E是BC上的 点，F是CD上的点，且EC=AF，EC=x，AEF的 面积为y。（1）求y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；（2）画出函数的图象。,例6、把长为20的铁丝弯成半径为R的一个扇形，（1）试写出扇形面积S与半径R的函数关系式；（2）求扇形的半径R的取值范围；（3）当R为 多长时，扇形的面积最大，其最大面积是多少？,（2）根据实际意义，扇形 的半径和弧长必须是正数。,（3）因为a=10，所以S有最大值。当R=5时，S 最大值=25,R0 20-2R0,解得，0R10,例7、如图，在梯形ABCD中，AB/DC，ADAB，已知 AB=6，CD=4，AD=2，现在梯形内作一内接矩形 AEFG，使E在AB上，F在BC上，G在AD上。（1）设EF=x，试求矩形AEFG的面积S关于x的函数 关系式；（2）画出函数S的图象；（3）当x为 何值时，S有最大值？并求出S的最大值。,练习2：在ABC中AB=4，AC=6，BC=2，P是AC上与A，C不重合的一动点，过P，B，C的O交AB于D，设PA=x，PC+PD=y，求y与x的函数关系式，并确定x的范围；P在AC上何处时函数y有最小值，最小值是多少？求当y取最小值时的面积。B D C A P,