第1章系统的状态空间法.ppt

绪 论,一、现代控制理论的性质及发展,控制理论研究的问题：如何改进系统的动态性能，达到所需的性能指标。,控制系统中两个重要的概念：1、反馈的概念 2、最优控制的概念,控制理论发展的三个时期：,1、经典控制理论时期（二十世纪3050年代）,研究对象主要是线性系统，以拉氏变换为数学工具。,较好的解决了单输入单输出反馈控制问题。,2、现代控制理论时期（二十世纪5070年代）,研究对象为多变量、非线性、时变、离散系统。,以线性代数和微分方程为主要的数学工具，以状态空间法为基础，分析和设计控制系统。,3、大系统理论和智能控制理论时期（二十世纪70年代至今）,二、现代控制理论基础主要内容,1、线性系统理论,2、系统辨识,3、最优控制,4、最优估计,5、自适应控制,1、线性系统理论,建立系统的状态方程，系统的响应特性，系统的稳定性，能控性，能观测性，状态反馈，状态观测器,2、系统辨识,包括结构辨识和参数辨识,3、最优控制,通过观测一个系统的输入输出关系来确定其数学模型的方法。,在已知系统状态方程、初始条件及某些约束条件下，寻找一个最优控制量，使系统的状态或输出在控制向量作用下，使某一指标达到最优值。,4、最优估计,在通讯工程中，接受到的信号为：,Y（t）=S（t）+（t）,有用信号,干扰躁声,5、自适应控制,自适应控制一般分为两类：模型参考自适应控制，自校正自适应控制。,当控制对象的结构或参数随环境条件的变化而有大的变化时，为了保证控制系统在整个控制过程中都满足某一最优准则，则最优控制器的参数就要随之加以调节，这类控制为自适应控制。,四、本课程主要内容,1、状态空间法,2、动态分析,3、能控性与能观测性,三、控制理论的应用,航天与航空、电机械、化工、冶金、交通、医疗,4、结构分解与实现,5、稳定性分析,6、状态反馈,7、最优控制,8、最小值原理,五、参考书,1、现代控制理论基础机械工业出版社 常春馨编,2、现代控制理论基础北京工业大学出版社 谢克明编,3、现代控制理论机械工业出版社 刘豹编,4、现代控制理论基础电子工业出版社 尤昌德编,第1章 控制系统的状态空间表达式,1.1 概述,1.2 控制系统的状态空间表达式,1.3 状态空间表达式的建立,1.4 状态方程的线性变换,1.5 系统的传递函数阵,1.6 离散系统的状态空间表达式,1.7 时变系统和非线性系统的状 态空间表达式,1.1 概述,古典控制理论是基于传递函数来分析与设计系统。,现代控制理论是建立在状态空间法基础上。,1.2 控制系统的状态空间表达式,1.2.1 基本概念,1、系统的状态：系统运动信息的集合，表示系统 过去、现在、将来的运动状况。,2、系统的状态变量：唯一确定系统状态的一组独立变量。能够完全描述系统时域行为的最小变量组。状态变量的选取不唯一。,1.2.1 基本概念,3、状态矢量：以n个状态变量为分量，构成一个n维矢量。,4、状态空间：以n个状态变量为坐标轴所构成的空间，称为n维状态空间。,5、状态方程：状态变量的一阶导数与输入变量及状态变量的关系式。,一阶微分方程,6、输出方程：输出变量与输入变量及状态变量的关系式。,1.2.1 基本概念,代数方程,7、状态空间表达式：状态方程和输出方程。,1.2.2 控制系统状态空间表达式,例：某机械运动系统的物理模型，它是一个弹簧质量阻尼系统，试建立输入的外力u(t)，输出为位移 y(t)的状态空间表达式。,y1=f1(x1 x2 u1 u2),K：弹性系数,f：阻尼系数,1.2.2 控制系统状态空间表达式,解：系统的运动方程：,系统的状态变量：x1=y,u,y,系统的状态方程：,系统的输出方程：,y=x1,1.2.2 控制系统状态空间表达式,u,y,矩阵形式：,y=x1,简写为：,1.2.2 控制系统状态空间表达式,多输入多输出线性定常系统：,1.2.2 控制系统状态空间表达式,1.2.3 控制系统状态空间的一般表达式,1.2.4 线性系统状态空间表达式的模拟结构图和 信号流图,B,D,C,A,U(t),Y(t),DU,AX,CX,比例器,加法器,积分器,1、结构图,BU,X,1.2.4 线性系统状态空间表达式的模拟结构图和 信号流图,例：线性系统的状态空间表达式为,解：这是一个三阶系统，需3个积分器,例：线性系统的状态方程为,解：这是一个三阶系统，需3个积分器,x1,+,2、信号流图,将上例中的结构图用信号流图表示,2、信号流图,将上例中的结构图用信号流图表示,1.3 状态空间表达式的建立,1.3.1由系统方框图建立状态空间表达式,例：试建立系统的状态空间表达式,解：将惯性环节变为积分环节,1.3.1由系统方框图建立状态空间表达式,解：将惯性环节变为积分环节,1.3.1 由系统方框图建立状态空间表达式,1.3.1 由系统方框图建立状态空间表达式,y=x1,1.3.1 由系统方框图建立状态空间表达式,例：含有零点,1.3.2 由系统的工作机理建立状态空间表达式,例：由RLC组成的系统如图，u为输入变量，y为输出变 量，试建立它的状态空间表达式。,解：u=uR+uL+uC,1.3.2 由系统的工作机理建立状态空间表达式,例：试建立图中所示的机械旋转运动的状态空间表 达式。设转动惯量为J。,B,K,T,B：粘性阻尼系数。K：扭转轴的刚性系数。,T：施加于扭转轴上的力矩。：转动的角度。,解：设扭转轴的转动角度及其角速度为状态变量。,u=T,根据牛顿定律：,1.3.2 由系统的工作机理建立状态空间表达式,例：试建立图中所示的机械旋转运动的状态空间表 达式。设转动惯量为J。,B,K,T,B：粘性阻尼系数。K：扭转轴的刚性系数。,T：施加于扭转轴上的力矩。：转动的角度。,解：设扭转轴的转动角度及其角速度为状态变量。,1.3.3 由系统的微分方程建立状态空间表达式,1、输入函数不包含导数项时,设系统的微分方程：,变换为：,令：,x1=y,xn1=y（n2）,xn=y（n1）,系统状态方程：,1.3.3 由系统的微分方程建立状态空间表达式,1、输入函数不包含导数项时,系统状态方程：,y=x1,y=x1,1.3.3 由系统的微分方程建立状态空间表达式,2、输入函数包含导数项时,设系统的微分方程：,状态空间表达式,选择待定系数c1、c2、c3使状态方程中不含导数项,2、输入函数包含导数项时,将上式展开：,求c1、c2、c3,2、输入函数包含导数项时,令：,y=x1+c0u（1）,a1（3）+a2（2）+a3（1）+（4）,即：,2、输入函数包含导数项时,比较系数得：,c0=b0,c1=b1a1c0,c2=b2a1c1 a2c0,c3=b3a1c2 a2c1 a3c0,对于n阶系统：,cn=bna1cn1a2c n2 aic ni anc0,2、输入函数包含导数项时,求系统的状态变量,y=x1+c0u（1）,x1=y c0u（1）,因为：,所以：,状态变量是由y、u及它的各价导数组成。,解：c0=0,b0=0,c1=b1a1c0=140=1,c2=b2a1c1 a2c0=1 41=3,c3=b3a1c2 a2c1 a3c0=3 4（3）21=13,y=x1,作业：1-1试求系统的模拟结构图，并建立状态空间表达式。,u,y,+,1 T2S+1,+,1-2 将y+2y+4y+6y=2u变换为状态空间表达式。,1-3 将,变换为状态空间表达式。,1-3 试建立图中所示的机械旋转运动的状态空间表 达式。设转动惯量为J。,B,K,T,B：粘性阻尼系数。K：扭转轴的刚性系数。,T：施加于扭转轴上的力矩。：转动的角度。,1.3.4 由系统传递函数建立状态空间表达式,已知系统的传递函数,=G(S)+d,化为真分式：,输出与输入之间的直接传递关系,首先讨论G(S),1.3.4 由系统传递函数建立状态空间表达式,G(S)=,1、G(S)特征方程的n个极点互异,用部分分式法,S1、S2、Sn：特征方程的极点,k1、k2、kn：待定系数,因为 ki=,1.3.4 由系统传递函数建立状态空间表达式,设第i个状态变量的拉氏变换为,(SSi)xi(S)=U(S),Sxi(S)=Sixi(S)+U(S),由拉氏反 变换得状态方程：,1.3.4 由系统传递函数建立状态空间表达式,求输出方程：,=k1x1(S)+k2x2(S)+knxn(S),y(t)=k1x1(t)+k2x2(t)+knxn(t),y(t)=k1x1(t)+k2x2(t)+knxn(t)+du,计入d的影响,1.3.4 由系统传递函数建立状态空间表达式,矩阵形式：,y(t)=k1x1(t)+k2x2(t)+knxn(t)+du,对角线标准形,+du,1.3.4 由系统传递函数建立状态空间表达式,信号流图：,y(t)=k1x1(t)+k2x2(t)+knxn(t)+du,u,1,1,1,1,1,1,y,d,例：已知系统传递函数为：,G(S)=,试用部分分式法写出状态空间表达式。,解：由 S3+7S2+14S+8=0,求得：S1=1、S2=2、S3=4,1.3.4 由系统传递函数建立状态空间表达式,2、G(S)特征方程有相重极点,设系统有5个特征根：S1、S1、S1、S4、S5。,重极点系数：,单极点系数：,m：重极点的个数,1.3.4 由系统传递函数建立状态空间表达式,2、G(S)特征方程有相重极点,设状态变量的拉氏变换为,则：,1.3.4 由系统传递函数建立状态空间表达式,2、G(S)特征方程有相重极点,整理后得：,Sx1(S)=S1x1(S)+x2(S),Sx2(S)=S1x2(S)+x3(S),Sx3(S)=S1x3(S)+U(S),Sx4(S)=S4x4(S)+U(S),Sx5(S)=S5x5(S)+U(S),1.3.4 由系统传递函数建立状态空间表达式,2、G(S)特征方程有相重极点,取拉氏反 变换，得系统状态方程：,Sx1(S)=S1x1(S)+x2(S),Sx2(S)=S1x2(S)+x3(S),Sx3(S)=S1x3(S)+U(S),Sx4(S)=S4x4(S)+U(S),Sx5(S)=S5x5(S)+U(S),1.3.4 由系统传递函数建立状态空间表达式,2、G(S)特征方程有相重极点,系统状态方程：,约当标准形,2、G(S)特征方程有相重极点,=k11x1(S)+k12x2(S)+k13x3(S)+k4x4(S)+k5x5(S),求输出方程：,1.3.4 由系统传递函数建立状态空间表达式,2、G(S)特征方程有相重极点,Y(S)=k11x1(S)+k12x2(S)+k13x3(S)+k4x4(S)+k5x5(S),y(t)=k11x1(t)+k12x2(t)+k13x3(t)+k4x4(t)+k5x5(t),系统输出方程：,1.3.4 由系统传递函数建立状态空间表达式,y(t)=k11x1(t)+k12x2(t)+k13x2(t)+k4x4(t)+k5x5(t),信号流图：,例：已知系统传递函数为：,G(S)=,试用部分分式法写出状态空间表达式。,解：由 S3+7S2+16S+12=0,求得：S1=2、S2=2、S3=3,(S+2)2(S+3)=0,S2,信号流图或结构图？,作业,1-4 已知系统传递函数为：,试用部分分式法写出状态空间表达式，画出系统的模拟结构图或信号流图。,1.3.1 由系统方框图建立状态空间表达式,1.3.2 由系统的工作机理建立状态空间表达式,1.3.3 由系统的微分方程建立状态空间表达式,1.3.4 由系统传递函数建立状态空间表达式,1.4 状态方程的线性变换,特征矢量线性变换法，把状态方程化为对角线标准形或约当标准形。,1.4.1 系统状态的线性变换,设：X=x1 x2 x3 xnT,它们之间的线性变换：,P：nn非奇异变换阵,1.4.1 系统状态的线性变换,1.4.2 系统的特征值,1、特征值及特征矢量,AP=P,A的特征值,P AP=0,(I A)P=0,有非零解的必要条件：,|I A|=0,A的特征方程,1.4.2 系统的特征值,|I A|=n+a1 n1+a n1+a n,求得A的特征值：1、2、n,Api=ipi,对应于i的一个特征矢量,由全部所对应的特征矢量：,P=p1 p2 pi pn,线性变换阵,2、特征值不变性,特征多项式,经线性变换后，其特征值不变。,|I A|,2、特征值不变性,对于,对于,1.4.3 化状态方程为对角线标准形,设,，若A的特征值1、2、n互异，,则必存在非奇异变换阵P，使其进行X=PX的变换后，其,状态方程,将为对角线标准形，即,且,P=p1 p2 pi pn,A的特征值：1、2、n,特征矢量：,p1 p2 pi pn,证明,证明：,若Pi是对应于i的一个特征矢量,则必满足(iI A)pi=0,Ap2=2p2,Api=ipi,Ap1=1p1,证明：,Ap2=2p2,Api=ipi,Ap1=1p1,Api=ipi,Apn=npn,写成矩阵形式：,Ap1 Ap2 Api Apn,=1p1 2p2 ipi npn,Ap1 p2 pi pn=1p1 2p2 ipi npn,AP=p1 p2 pi pn,1.4.3 化状态方程为对角线标准形,证毕,例：试将状态方程,变换为对角线标准形。,解：(1)求系统特征值,|I A|=,|I A|,=3+6 2+11+6=0,(+1)(+2)(+3)=0,(2)求特征矢量,对应于1=1 的特征矢量为p1，,Ap1=1p1,可以看出：p21=0,p11=p31,令 p11=1 p31=1,求得：1=1、2=2、3=3,同理，将 2=2、3=3分别代入,Ap2=2p2,Ap3=3p3,求得：,变换阵P=p1 p2 p3=,1.4.4 化状态方程为约当标准形,当A有相重特征值时；1、A的线性独立特征矢量数等于它的阶数n，这时A仍可以化为对角线标准形；,2、A的线性独立特征矢量数小于它的阶数n，这时A不能化为对角线标准形，只能化为约当标准形；,1.4.4 化状态方程为约当标准形,例：,A=,对应特征值：1=1、2=1、3=2,对应于1=1 的特征矢量为p1，,显然1I A 的秩是1，p1有两个独立的解，对应两个独立的特征矢量，即,1.4.4 化状态方程为约当标准形,对应于3=3 的特征矢量为p3，,1.4.4 化状态方程为约当标准形,若：,A=,对应特征值：1=1、2=1、3=2,但rank1I A=2，独立的特征矢量只有一个。,约当标准形：,1.4.4 化状态方程为约当标准形,设A是55的方阵，其特征值为1、1、1、4和5，存在一个变换阵Q，使得,J=Q1AQ,A的约当标准形J由三个约当块组成。若 1 只有一个独立的特征矢量，则,J=Q1AQ=,1.4.4 化状态方程为约当标准形,J=Q1AQ=,若 1 有两个独立的特征矢量，则,若 1 有三个独立的特征矢量，则,J=Q1AQ=,1.4.4 化状态方程为约当标准形,设 1 有一个独立的特征矢量，求Q。,J=Q1AQ,Q J=AQ,令,=Q1 Q2 Q3 Q4 Q5,Q1 Q2 Q3 Q4 Q5,=A Q1 Q2 Q3 Q4 Q5,1.4.4 化状态方程为约当标准形,Q1 Q2 Q3 Q4 Q5,=A Q1 Q2 Q3 Q4 Q5,将上式展开得：,1 Q1=A Q1,Q1+1 Q2=A Q2,Q2+1 Q3=A Q3,5Q5=A Q5,4 Q4=A Q4,（1 IA）Q1=0,（1 IA）Q2=Q1,（1 IA）Q3=Q2,（4 IA）Q4=0,（5 IA）Q5=0,Q1、Q4、Q5为独立特征矢量，Q2、Q3为非独立特征矢量,1.4.4 化状态方程为约当标准形,（1 IA）Q1=0,（1 IA）Q2=Q1,（1 IA）Q3=Q2,（4 IA）Q4=0,（5 IA）Q5=0,解此方程组得变换阵Q,解：(1)求系统特征值,|I A|=,=(1)2(2),1.4.4 化状态方程为约当标准形,|I A|=(1)2(2),求得：1=1、2=1、3=2,将1=1 代入（1 IA）Q1=0中,rank1I A=2，独立的特征矢量只有一个。,任取q11=1,解得q21=3/7，q31=5/7,再将Q1代入（1 IA）Q2=Q1中,rank2I A=2，独立的特征矢量只有一个。,任取q12=1,解得q22=22/49，q32=46/49,再将Q1代入（1 IA）Q2=Q1中,要保证Q阵非奇异,将3=2代入（3 IA）Q3=0中,rank2I A=2，独立的特征矢量只有一个。,令q13=2，则q23=1，q33=2,作业,1-5 已知,试化为标准形并求其传递函数。,1.5 系统的传递函数阵,1.5.1 传递函数阵的概念,当初始条件为零时,Y1(S)=G11(S)U1(S)+G12(S)U2(S),Y2(S)=G21(S)U1(S)+G22(S)U2(S),双输入双输出,1.5.1 传递函数阵的概念,Y1(S)=G11(S)U1(S)+G12(S)U2(S),Y2(S)=G21(S)U1(S)+G22(S)U2(S),简记为：Y(S)=G(S)U(S),n个输入n个输出,分离式控制,1.5.2 闭环系统的传递函数阵,Y(S)=G0(S)E(S)=G0(S)U(S)F(S),G0(S),H(S),E(S),F(S),U(S),Y(S),=G0(S)U(S)H(S)Y(S),I+G0(S)H(S)Y(S)=G0(S)U(S),Y(S)=I+G0(S)H(S)1 G0(S)U(S),闭环传递函数阵：G(S)=I+G0(S)H(S)1 G0(S),1.5.3 由状态空间表达式求传递函数阵,X：n维，,Y：m维，,U：r维，,对上式取拉氏变换,SX(S)X(0)=AX(S)+BU(S),X(0)=0,Y(S)=CX(S)+DU(S),SX(S)=AX(S)+BU(S),X(S)=SIA1BU(S),Y(S)=CSIA1B+D U(S),传递函数阵：G（S）=CSIA1B+D,例：已知系统的状态空间表达式为,x1=x2+u1,x2=x3+2u1u2,x3=6x111x26x3+2u2,y1=x1 x2,y2=2x1+x2 x3 试求其传递函数阵。,解：,G（S）=CSIA1B+D,1.5.4 传递函数阵的不变性,对状态方程进行线性变换后，其对应的传递函数阵不变.,证明：G(S):原系统的传递函数阵,G(S)=CSIA1B+D,设P是非奇异变换阵，由于,=CPS P1PP1AP1 P1B+D,=CPP1(S IA)P1 P1B+D,=CP P1 S IA 1 PP1B+D,=C S IA 1 B+D,1.5.5 组合系统的状态空间表达式与 传递函数阵,1、子系统的并联联结,设子系统S1、S2分别为n1、n2维，其组合系统的示意图,Y(t),组合系统,Y=Y1+Y2=C1X1+D1U+C2X2+D2U,传递函数阵：,G1(S)=C1SIA11B1+D1,G2(S)=C2SIA21B2+D2,G(S)=CSIA1B+D,1、子系统的并联联结,传递函数阵：,G1(S)=C1SIA11B1+D1,G2(S)=C2SIA21B2+D2,G(S)=CSIA1B+D,=C1SIA11B1+C2SIA21B2+D1+D2,=C1SIA11B1+D1+C2SIA21B2+D2,G(S)=G1(S)+G2(S),1、子系统的并联联结,1.5.5 组合系统的状态空间表达式与 传递函数阵,2、子系统的串联联结,Y2=C2X2+D2(C1X1+D1U)=C2X2+D2C1X1+D2D1U,1.5.5 组合系统的状态空间表达式与传递函数阵,2、子系统的串联联结,Y2=C2X2+D2(C1X1+D1U)=C2X2+D2C1X1+D2D1U,2、子系统的串联联结,Y2=C2X2+D2C1X1+D2D1U,传递函数阵：,G(S)=CSIA1B+D,2、子系统的串联联结,G(S)=C2SIA21B2+D2 C1SIA11B1+D1,G(S)=G 2(S)G1(S),3、子系统的反馈联结,Y(t),Y1=C1X1=Y,Y2=C2X2,3、子系统的反馈联结,X1=A1X1+B1U1=A1X1+B1(UC2X2)=A1X1B1C2X2+B1U,Y1=C1X1=Y,G1(S)=C1SIA11B1=G0(S),G2(S)=C2SIA21B2=H(S),G(S)=CSIA1B,传递函数阵：,G(S)=I+G0(S)H(S)1G0(S),作业,1-6 设子系统S1、S2的状态空间表达式分别为,求并联系统的状态空间表达式及它的传递函数。,1.6 离散系统的状态空间表达式,X(k+1)T=G(kT)X(kT)+H(kT)u(kT)(1),Y(kT)=C(kT)X(kT)+D(kT)u(kT)(2),T:采样周期。,(1)式是一阶差分方程组,(2)式是代数方程组,离散系统的状态空间表达式由系统的高阶差分方程或脉冲传递函数获得。,1.7 时变系统和非线性系统的状 态空间表达式,一、线性时变系统,二、非线性系统,本章结束！,