线性代数特征值与特征向量.ppt

在数学和工程技术的许多领域，如微分方程、运动稳定性、振动、自动控制、多体系统动力学、航空、航天等等，常常遇到矩阵的相似对角化问题。而解决这一问题的重要工具就是特征值与特征向量。为此，本章从介绍特征值与特征向量的概念和计算开始，进而讨论矩阵与对角形矩阵相似的条件，最后介绍相关的应用问题。,第五章 特征值与特征向量,一.特征值与特征向量的定义和求法,5.1 特征值与特征向量,注意:1.只有方阵才有特征值与特征向量;2.特征向量必须是非零向量，而特征值不一定非零。,下面讨论特征值和特征向量的解法：,式 子 可写成以下线性方程组,如果 是方程组的非零解，则有 是 的根。,反之，如果有 是 的根，方程组有非零解。,是 的特征值 的特征向量，是 的特征根。,综上，可得矩阵 的特征值与特征向量的求法：,（1)写出矩阵 的特征多项式，它的全部根就是矩阵 的全部特征值;,(2)设 是矩阵 的全部互异的特征值.将 的每个互异的特征值 分别代入特征方程组，得,分别求出它们的基础解系,这就是特征值 所对应的线性无关的特征向量。,非零线性组合,是 的属于特征值 的全部特征向量，其中 为任意常数。,例1 设,求A的特征值与特征向量,解,当 时解方程组（-I-A)X=0,得基础解系为：,例2 证明：若 是矩阵A的特征值，是A的属于的特征向量，则,证,显然单位矩阵的特征值全是1；零矩阵的特征值全是0；上（下）三角阵的特征值是它的全部主对角元。,矩阵 的全部特征值的集合常称为 的谱。,二、特征值和特征向量的性质,设，易见，它的特征多项式是关于 的 次多项式，不妨设为,即,考虑上式左端行列式的展开式，它除了,这一项含有 个形如 的因式外，其余各项最多含有 个这样的因式。于是 只能由（5.1.6)产生。比较（5.1.5)两端的系数，得,在式（5.1.5)中，令，得,另外,根据多项式理论，次多项式 在复数域上有 个根，不妨设为，又由于 的首项系数，于是有,比较 和，得,于是可得特征值的重要性质:,由 易见，矩阵 可逆的充要条件是它的所有特征值都不为零。,矩阵 的主对角线上的所有元素之和 称为矩阵 的迹，记作。于是，性质 又可写成,还可证明，特征值和特征向量还有如下性质：,并可证明，的属于特征值 的全部特征向量，再添加零向量，便可以组成一个子空间，称之为 的属于特征值 的特征子空间，记为。不难看出，正是特征方程组 的解空间。,若 都是矩阵 的属于 特征值 的特征向量，则其非零线性组合,也是A的属于特征值 的特征向量。,若 是矩阵 的特征值，是 的属于特征值 的特征向量，则有,是矩阵 的特征值（其中 为正整数）；,是矩阵 的特征值（其中 为任意常数）；,是 的特征值（这里 是关于 的多项式函数）;,当 可逆时，是 的特征值；并且 仍是矩阵 的分别对应于特征值 的特征向量；,例 已知n阶可逆方阵A的全部特征值为 求 的全部特征值及,解 由特征值的性质知，又已知 可逆，从而 的全部特征值为 由伴随矩阵的性质知，当 可逆时，从而有,于是，由上述性质 中的 知，的全部特征向量值为,于是,三.矩阵的相似,定义 设A、B是两个n阶矩阵。若存在n阶可逆矩阵P，使得则称相似于，记作，称为由到的相似变换矩阵。,相似矩阵具有如下性质：,显然，若，则,另外，可以证明，相似矩阵还有以下性质：,为任意数。,其中 均为 阶矩阵，为 阶,可逆矩阵。特别地，当 时，有,（4）若 A B，则 f(A)f(B)，这里 为任一多项式函数。,其证明如下：,设,则,由 A B 可知，存在可逆矩阵，使得,于是,即得 f(A)f(B)。,若，则，其证明如下,由 可知，存在可逆矩阵，使得,于是,由上易见，若，则矩阵，有相同的谱。,若，则,其证明如下：,由 可知，存在可逆矩阵,取,显然 可逆，且,于是有,因此,例.3设 是矩阵的属于特征值 的特征向量。证明：是矩阵的对应于特征值 的一个特征向量。,证 由已知可得,于是,又由 得，故结论成立。,解 1）先求得,于是,2）由上式得,两端同时求 次幂，得,思考题,思考题解答,.矩阵的相似对角化,一.矩阵可对角化的条件,不妨假设 阶方阵 可相似于对角阵，即存在可逆矩阵，使得,或,令,并将之代入上式，得,即,从而有,由 可逆知,且线性无关从而 是 的 个线性无关的特征向量，是 的 个特征值。,反之，若 阶方阵 有 个线性无关的特征向量，不妨设为，则存在相应的特征值，使得,此时，令,显然 可逆，且有,综上，有如下结论,定理阶方阵可相似对角化的充要条件是有个线性无关的特征向量。,与 相对应的对角阵的主对角元正好是 的全部特征值，并且 的顺序与 的顺序相对应.,相似变换矩阵 由 的 个线性无关的特征向量作为列构成，即,不唯一，因为,1）特征向量不唯一；,2)的顺序随 的顺序改变而改变。,根据定理5.2.1，阶方阵 的相似对角化问题就转化为 是否有 个线性无关的特征向量的问题.,定理.阶方阵的属于不同特征值的特征向量是线性无关的。,设,上式两端同时左乘A，得,由于 上式可变为,由式 减式 的 倍，消去，得,根据归纳假设，线性无关。于是,已知，所以必有,综上，结论对一切正整数都成立。,推论若阶方阵有n个互异的特征值（即特征多项式无重根），则可相似对角化。,定理设 是阶方阵的个互异的特征值，是属于特征值 的线性无关的特征向量,则由所有这些特征向量（共 个）构成的向量组,是线性无关的。,由定理 和 知，对 阶方阵 来说，只要属于它的各个互异特征值的特征向量的总数不少于,就可以相似对角化。那么，对它的特征值 来说，属于它的线性无关的特征向量最多有多少个？,由.1 知，特征值 对应的全部特征向量正好是特征方程组 的全部非零解。因此，的属于特征值 的线性无关的特征向量最多有 个。,这个数就是特征方程组 解空间的维数，也即特征子空间 的维数，称之为特征值 的几何重数，记为。,另外，有,被称为特征值 的代数重数，且有,设A的互异特征值,对应的几何重数分别为。于是A 的线性无关的特征向量最多有 个。A可相似对角化当且仅当,定理.2.4 阶方阵的任一特征值 的几何重数 不大于它的代数重数。,特别地，对于单特征值，其几何重数等于代数重数。,由定理 可得,同时，由上面已知，A 可相似对角化当且仅当,于是有,定理 设 是阶方阵A的全部互异的特征值，和 分别是特征值 的代数重数和几何重数，i=1，2，,s，则A可相似对角化的充要条件是=，i=1，2，s,二 相似对角化的方法,求出 的全部互异的特征值,前面讨论了 阶矩阵可相似对角化的条件，下面给出求相似对角阵及变换矩阵的方法和步骤：,对每个特征值,求特征矩阵 的秩，并判断 的几何重数 是否等于它的代数重数。只要,的一组基础解系,有一个不相等，就不可以相似对角化；否则 可以相似对角化。,当 可以对角化时，对每个特征值,求方程组,则有,令,其中有 个。,例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？,解,解之得基础解系,求得基础解系,解之得基础解系,故 不能化为对角矩阵.,解,解之得基础解系,所以 可对角化.,注意,即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应,则,从而有,三、小结,相似矩阵 相似是矩阵之间的一种关系，它具有很多良好的性质，除了课堂内介绍的以外，还有：,相似变换与相似变换矩阵,这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种运算，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对角矩阵的运算,相似变换是对方阵进行的一种运算，它把A变成，而可逆矩阵 称为进行这一变换的相似变换矩阵,思考题,思考题解答,.实对称矩阵的相似对角化,一.实对称矩阵的特征值和特征向量.,二.实对称矩阵的相似对角化。,定理1实对称矩阵的特征值为实数.,证明,一.实对称矩阵的特征值和特征向量.,于是有,两式相减，得,定理实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量是正交的。,证 设,于是,二、实对称矩阵的相似对角化,定理设 是 n 阶实对称矩阵 A的任一特征值，p，q 分别为它的代数重数和几何重数，则,定理对任一阶实对称矩阵，存在阶正交矩阵，使得,其中 为矩阵的全部特征值。,由此定理知，实对称矩阵一定可以相似对角化，而且有,根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为：,2.,1.,解,例 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵，使 为对角阵.,(1)第一步 求 的特征值,解之得基础解系,解之得基础解系,解之得基础解系,第三步 将特征向量正交化,第四步 将特征向量单位化,于是得正交阵,例 设3阶实对称矩阵A的特征值为1，4，-2，矩阵A对应的特征值1和4的特征向量分别为,（1）求A的特征值-2的特征向量；,（2）求A。,解 设A的特征值-2的特征向量是,因此，A的特征值-2的全部特征向量为,求得其一组基础解系：,（2）取,同时,从而,例5.3.3 已知 为实对称矩阵，且 证明：存在正交矩阵，使得,证 由 知 和 有相同的特征值，设为,根据定理5.3.4，对 和 分别存在正交矩阵 和,使得,从而有,其中 由正交矩阵的性质知，为正交矩阵。,取，于是有,思考题,思考题解答,应用,一.求解线性方程组,例求解线性微分方程组,解 令,则方程组 可表示成矩阵形式,假设 可以相似对角化，即存在可逆矩阵,使得,其中 为 的全部特征值。于是令,即,其中,将式 代入式，得,在上式两端同时左乘,得,即,将上式积分得,其中 为积分常数。将式 代入式，可得,其中 为矩阵 的第 列，也是 的对应于特征值 的特征向量，,另外，对于 阶线性齐次常系数微分方程,可令,于是，可得与方程 同解的方程组,其中,式 可写成矩阵形式,于是这类微分方程可以归结为等价的线性微分方程组，然后再利用特征值和特征向量求解。,解 令,例求解微分方程,于是，式 可变为等价的方程组,即,其中,于是由例可知，,可求得 的特征值为，对应的特征向量分别为,从而,其中 为任意常数。,二.过程,例 某超市为了提高自己的经营、服务水平，年末对附近一个小区的居民作了市场调查。结果表明，该小区有的居民使用该超市提供的日用品，而且在这些老顾客中，有的人表示，来年仍将继续使用该超市提供的日用品；同时，在尚未使用过该超市提供的日用品的被调查中，有的人表示，来年将使用该超市提供的日用品。问：照此趋势，年后，在这个小区中，有多少比例的居民使用该超市提供的日用品？,这个例子从数学角度看可以抽象出一个数学模型，即一个有限状态的系统。它每一时刻处在一个确定的状态，并随着时间的流逝从一个状态转移为另一个状态，每一状态的概率只与前一个状态相关。这样的一种连续过程被称为Markov过程。,一般地假设系统共有n种可能的状态，分别记为1,2,n,在某个观察期间，它的状态为j，而在下一个观察期间，它的状态i为的概率为，称之为转移概率。它不随时间而变化，且有,称矩阵 为转移矩阵。由系统的初始状态可以构造一个 元向量称之为状态向量，记为，年后的状态向量记为，于是有,时，有,由上式易见,要求出,关键是求。当 可相似对角化，即存在可逆矩阵，使得,对于例系统共有两种状态：使用和不使用，分别记为1和2，于是有,下面求。先求 的特征值及对应的特征向量。,取,于是,于是，特征值为。对应的特征向量分别为,从而,由上可知，当 时,第三步将每一个特征值代入相应的特征方程组，求出基础解系，即得该特征值的特征向量,一、特征值与特征向量的求法,第一步计算的特征多项式；,第二步求出特征多项式的全部根，即得的全部特征值；,解第一步计算的特征多项式,第三步求出的全部特征向量,解,二、已知的特征值，求与相关 矩阵的特征值,解,三、求方阵的特征多项式,解,四、关于特征值的其它问题,方法一,方法二,方法三,解,五、判断方阵可否对角化,解(1)可对角化的充分条件是有个互异的特征值下面求出的所有特征值,解第一步求A的特征值由,六、利用正交变换将实对称矩阵化为对角阵,第五章测试题,一、填空题,二、计算题,三、证明题,测试题答案,