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大学数学辅导讲义稿,贺家顺2001-9-7,2001春开放教育计算机专科第二学期,总目录,前言辅导进度第一章 多元函数的微积分辅导提纲第二章 矩阵辅导提纲第三章 线性方程组辅导提纲第四章 随机事件与概率辅导提纲第五章 随机变量及其数字特征辅导提纲第六章 统计推断辅导提纲总复习提纲,前言,相信自己的能力，提高学习信心；加强自学，降低依赖心；抓住重点，突破难点；注意学习方法，联系前面所学知识，化“厚”为“薄”，多看多练；结合生产、生活，深入书中，其乐无穷。,辅导进度表,第一章辅导提纲（1）,一、学习重点：1、求偏导数、全微分的方法；复合函数的微分法和求隐函数的偏导数的方法；用拉格朗日乘数法求条件极值的方法。2、直角坐标系、极坐标系下二重积分的计算方法3、曲顶柱体的体积和曲面围成的空间的体积的求法。,第一章辅导提纲（2）,二、注意二元函数的微积分和一元函数微积分的联系、区别 注意二元函数的微积分和一元函数微积分联系起来，会达到事半功倍的学习效果，但也要几点区别，不能一概而论；要善于把二元函数的微积分化为一元函数微积分。二元函数的微积分和一元函数微积分联系、区别如下表：,第二章 矩阵辅导提纲,矩阵及矩阵的运算；逆矩阵和求法；方阵行列式及计算方法；线性方程组的克莱姆法则；矩阵的秩和矩阵的秩的大小判定；分块矩阵和运算,一、矩阵的概念和几种运算1、矩阵的概念A）矩阵、元素和表示；B）n阶矩阵、主对角线、次对角线；C）零矩阵、字母O表示；负矩阵；单位矩阵方阵D）同型矩阵,矩阵及矩阵的运算,二、矩阵的运算1、矩阵相等；2、矩阵的加法；3、数与矩阵的乘法；4、矩阵的乘法；5、矩阵的转置；三、几种特殊的矩阵（方阵）A）数量矩阵；B）对角矩阵；C）三角矩阵；D）对称矩阵；（乘不封闭）,矩阵及矩阵的运算,N阶矩阵的行列式,n阶矩阵的行列式的定义；展开；n阶矩阵的行列式的性质；3、5、7、2推论n阶矩阵的行列式的计算；（二三阶、高阶）方阵行列式定理。NO119,第三章 线性方程组辅导主要内容,求线性方程组的一般解的高斯消元法；向量的线性运算；齐次线性方程组的通解的求法；非线性方程组的通解的求法。,第三章 线性方程组1,一、高斯消元法1、基本概念和定理1）线性方程的一般形式和矩阵表示：不全为零 时，称（*）为非齐次线性方程组；时，称（*）齐次线性方程组。*,*,如,如,第三章 线性方程组2,矩阵表达式：设,则（*）简写为：,为增广矩阵,A为 系数矩阵；X为未知数矩阵；B为右端矩阵,（*）为,第三章 线性方程组3,2）基本定理：P185定理3.1。意义：利用初等行变换把增广矩阵A|B化为阶梯矩阵简化线性方程组的求解过程。2、例题与练习例1：求下列线性方程组的（通）解解法1：1x-1=2,初等解法得 x=1,y=2。解法2：因为系数矩阵 用克莱姆法则：,第三章 线性方程组4,解法3：高斯消元法,最后矩阵相当于方程组,注：1）对增广矩阵的初等行变换过程线性方程同解变形过程 2）可根据最后一个矩阵直接写出结果,第三章 线性方程组5,例题2：求下列线性方程组的（通）解,注：不能用克莱姆法则,解1：即x+y=1,有2-1个自由未知量，一般解为x=1-y,令y=k,通解为x=1-k，y=k（k为任意实数）。,解2：高斯消元法,也可写作：,第三章 线性方程组6,例3：求下列线性方程组的（通）解,解法1：得 0=-1，无解,解法2：,无解,注：例1、2线性方程组称为相容线性方程组；例3为不相容线性方程组。另外，高斯消元法比克莱姆法则更具有通用性。,第三章 线性方程组7,例4：求下列线性方程组的（通）解,解：,有三个独立的方程，五个未知量，因而有5-3=2个自由未知量，一般解为：,第三章 线性方程组8,(令 x4=k1,x5=k2),矩阵表示式由来后面详讲,第三章 线性方程组9,二、n维向量及相关定理1、把二维、三维向量推广到n维P195（定义、表示、分量）2、n维向量的线性运算,设,为两个同维向量，则,n维向量和,的矩阵本质相同；一个矩阵可看作若干个列（行）向量组成。,第三章 线性方程组10,3、相关定义、定理：1）线性组合（表出）的概念（P198）2）线性表出的充要条件、组合系数的求法（P199及P200例4）例4设,（以下略）,3）向量组的线性相关性和无关性定义、判定定理（不全为零、全为零）,4）向量组的极大无关组与向量组的秩的概念和求法、常用线性无关组,注：1)向量组的秩=矩阵的秩2)由于初等行变换不改变向量组线性相关性，极大无关组由主元不为零组成（可构成上三角矩阵）,第三章 线性方程组11,三、齐次线性方程组（*）解的结构,1、预备知识：线性方程（*）组相容性定理；解的个数定理。P218、P219,2、齐次线性方程组（*）解的结构,1）平凡解、非平凡解及有关结论P224,2）解的结构基础解系的线性组合、通解,3、齐次线性方程组（*）解的非平凡解的求法（P225）,例：求下面齐次线性方程组的解的通解,第三章 线性方程组12,解：,由此可见 x4x5为自由元。于是令x4=1,x5=0和x4=0,x5=1,得解向量,原方程组的通解为,第三章 线性方程组13,三、非齐次线性方程组（*）解的结构,1、有关结论：P230,2、解的结构（无穷解时）通解=（*）特解+齐次线性方程组（*）通解,3、（*）通解求法,例4：求下列线性方程组的（通）解,第三章 线性方程组14,解：,因为系数矩阵的秩=增广矩阵的秩=35，所以原方程组有无穷解，且有2 个自由变元 x4,x5。令x4=x5=0，和x4=1,x5=0和x4=0,x5=1,可得 1个特解和相应齐次线性方程组的基础解系,通解为,第三章 线性方程组15,作业：P202 No.1 No.3P209 No.1 No.7P217 No.1(1)No.2P223 No.6P234 No.1,第三篇概率论与数理统计,学习的意义学习内容：第四章：随机事件与概率古典实用的概率论；（古典、与贝努里概型貌 的概率第五章：随机变量及数字特征用随机变量刻划随机事件；研究概率。第六章：统计推断用样本（的数字）特征推断总体（的数字）特征,第四章随机事件与概率4-1,一、基本概念随机现象与随机事件 1）随机现象及统计规律 2）随机试验及特点：为研究随机的统计规律，表示：E；三个特点 3）随机事件及特点：基本事件（样本点）：随机试验中，每一可能发生的不能再分解的 基本结果。表示：样本空间：U 随机事件：U的子集。表示：A、B、C、D。如：U=1，2，3，4，5，6，A=出现三点=3，B=出现3点或4点=3，4，C=出现偶数点=2，4，6等，是U的子集为随机事件。,第四章随机事件与概率4-2,事件的关系和运算(重点是把事件符号化，利于后面的计算）1）事件的包含和相等：2）事件的和：A+B 3）事件积：AB（和包含不同）？4）事件的差：A-B 5）互不相容事件：（互斥事件）6）对立事件：（和互斥事件不同）7）完备事件组：两两互不相容且和是必然事件,第四章随机事件与概率4-3,概率及其性质1）频数、频率、概率的稳定性、概率：P（A）2）概率的性质 频率 完全可加性：两两互不相容，则,第四章随机事件与概率4-4,二、古典概型及概率的计算 1）古典概型：试验结果个数有限；试验结果出现的可能性相同；基本事件互不相容。2）古典概型的概率的计算：P（A）=简单算法：P270 例2、例3、例4（1）排列组合算法：例4（2）（3）概率的运算及法则：复杂事件的概率 简单事件概率,1）,2）,3）,4）,5）若A1，A 2，A3 构成完备事件组：P295,第四章随机事件与概率4-5,三、贝努里概型及概率的计算事件的独立性：P（A|B）=P（A）两事件独立 P（AB）=P（A）P（B）贝努里概型：若 试验E：结果只有两个；在相同条件下独立的重复n次；n 次 试验中 事件A恰好发生k次的概率：例题：P291 例6,第五章随机变量及数字特征5-1,一、随机变量（函数）及分布、期望、方差;二、常用随机变量的分布三、二维随机变量及其联合分布、期望、方差、；,第五章随机变量及数字特征5-2,一、随机变量及其分布 1、随机变量的概念及和事件的关系#取值是随机，事前并不知道取到哪一个值；#所取的每一个值，都对应于某一事件；#所取的每一个值的概率大小是确定的。例题1：掷一骰子，A=出现1点，B=出现2点，C=出现3点 F=出现6点，G=出现2点或出现3点，H=出现1点或出现2 点或出现3点；X表示掷此骰子出现的点数，则X可能的取值为 1，2，3，4，5，6是随机的且 所以,X可能的取值是有限个或可数个离散型随机变量,第五章随机变量及数字特征5-3,例题2：P309例题3连续型随机变量（非离散型随机变量中常见的一种）2、随机变量的分布：取值规律,例题3：例题1的随机变量X的分布列,第五章随机变量及数字特征5-4,二、分布函数：（累加概率）,例题4:例题1的分布函数是：,第五章随机变量及数字特征5-5,三、随机变量的函数的分布 1、概念：对 于例题1中的中随机变量X，设 Y是X的函数，Y也是随机变量 2、随机变量的函数的分布：例题 6：例题1中，设Y=2X+1，求随机变量X的函数Y的分布。解：X的可能取值为：1，2，3，4，5，6。所以Y的可能取值为3，5，7，9，11，13。且 例题 7：书P318例题 11、例题 12,第五章随机变量及数字特征5-6,四、随机变量的数字特征及性质,方差的简化计算公式及性质：例8：P324 例3、4、5和P325的性质,第五章随机变量及数字特征5-7,五、几种常用的分布及数字特征 1、离散型,第五章随机变量及数字特征5-8,2、连续型,第五章随机变量及数字特征5-9,3、正态分布 1）密度函数#图象：#性质：P332#适用：#标准正态分布：密度函数：分布函数：性质：3原则：,第五章随机变量及数字特征5-9,六、二维随机变量 1、联合概率分布、联合分布密度函数、联合分布函数 2、二维随机变量的独立性 3、二维随机变量的函数的期望和方差公式：（主要是 Z=X+Y Z=XY）#E（X+Y）=E（X）+E（Y）#D(X+Y)=D(X)+D(Y)-2 EX-E(X)Y-E(Y)#若X，Y相互独立，则E（XY）=E（X）E（Y）#若X，Y相互独立，则D（X+Y）=D（X）+D（Y）4、协方差和相关系数#协方差：cov(X,Y)=EX-E(X)Y-E(Y)=E(XY)-E(X)E(Y)#若X，Y相互独立，则cov(X,Y)=0 5、相关系数#相关系数|越接近 1 X与Y越接近线性关系。,第六章统计推断6-1,主要内容：由样本的数字特征对总体的数字特征进行估计和（一定概率下）的推断一、矩估计、最大似然估计二、用区间估计正态总体期望的置信区间三、单正态总体均值和方差的（显著性）检验,第六章统计推断6-2,一、数理统计的基本概念#总体和样本#样本均值和样本方差#统计量：一个含有样本值x1,x 2,x3 的式子，且不含未知量#统计量分布（抽样分布）：设x1，x 2，x3，xn是来自 正态总体 的一组样本，则：,第六章统计推断6-3,二、参数的点估计 1、矩估计法#原理：总体矩=相应的样本矩 2、最大似然估计#原理方法：求使似然函数值为最大时的参数 例：P383例4 3、参数估计的无偏性和有效性#若参数 的估计量 满足：,第六章统计推断6-4,三、正态总体参数的区间估计1、原理：点估计可信度？在一定的概率（置信度）保证下的区间（置信区间）估计更可靠！2、正态总体的数学期望估计#已知方差#未知方差,第六章统计推断6-5,3、正态总体的方差点估计（了解）#原理方法：,第六章统计推断6-6,四、假设检验：对样本与总体产生的误差作出判断（条件？随机？）基本思想：在假设H0成立的条件下，求出接受域（区间），样本的统计量落在接受域就说H0，否则H0的反面成立。主要正态总体介绍U和T检验法。1、U检验法（总体方差已知，检验数学期望）例1：P403例22、T检验法（总体方差不知，检验数学期望）例2：P403例53、X2检验法（总体数学期望不知检验方差）例3：P408例7,第六章统计推断6-7,作业：P373 练习6。12，3，4P388 5 7 P397 5P41023,