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电磁场与电磁波,第五章 时变电磁场,主讲：薛春华,静电场,恒定磁场,静电场和恒定磁场都不随时间变化，因而电场和磁场是各自独立的,5.1 法拉第电磁感应定律,5.1 法拉第电磁感应定律,时变电磁场：当电荷或电流随时间变化时，它们产生的电场和磁场也随时间变化，且时变电场可以产生磁场，时变磁场可以产生电场，电场和磁场相互关联，密不可分。在时变电磁场的研究中，最基础的就是法拉第电磁感应定律。,闭合回路中的磁通量发生变化,在闭合回路中产生感应电流,5.1 法拉第电磁感应定律,电磁感应现象：1831年，法拉第实验发现，当穿过线圈所包围面积S的磁通量发生变化时，线圈回路中将产生感应电动势。感应电动势在闭合回路中产生感应电流。,电磁感应现象,5.1 法拉第电磁感应定律,电磁感应现象,5.1 法拉第电磁感应定律,闭合回路中的磁通量发生变化,在闭合回路中产生感应电流,感应电流自身产生磁场,感应电流自身产生的磁场总是阻碍原磁场的变化,5.1 法拉第电磁感应定律,楞次定律：1833年，楞次提出了感应电流方向的确定法则（即楞次定律）。他指出，闭合回路中所出现的感应电流的方向，总是使其所激发的磁场，去阻碍引起感应电流的磁通量的变化。,用楞次定律判断感应电流方向,闭合回路中向下的磁通量在增加感应电流所产生的磁场方向应该向上根据右手螺旋定则，感应电流方向为逆时针方向,5.1 法拉第电磁感应定律,楞次定律是能量守恒定律的一种表现,维持滑杆运动必须外加一个力，此过程为外力克服安培力做功转化为焦耳热.,5.1 法拉第电磁感应定律,5.1 法拉第电磁感应定律,法拉第电磁感应定律：当穿过闭合回路所围面积的磁通量发生变化时，回路中会产生感应电动势，且感应电动势与磁通量对时间的变化率成正比。其数学表达式为E 为感应电动势，方向可依楞次定律判定。,5.1 法拉第电磁感应定律,由于电流的热损耗，导体内必须存在非保守场以维持电流。感应电动势可以用导体内的非保守电场Ein来定义如果空间同时还存在由静止电荷产生的保守电场Ec，则总电场E为两者之和，即E=Ec+Ein。那么有所以有引起与闭合回路铰链的磁通发生变化的原因可以是磁感应强度B随时间的变化，也可以是闭合回路自身的运动(大小、形状、位置的变化)。,5.1 法拉第电磁感应定律,如果线圈不发生变化，则穿过线圈回路的磁通变化只可能是由于磁场随时间变化而引起的，该式可写为应用斯托克斯定理，得到即这表明，时变电场不再是无旋场，且变化的磁场激发电场。,5.2 位移电流,变化的电场会产生磁场恒定磁场中的安培定律用于时变场时会出现矛盾，因此麦克斯韦提出了位移电流的假说，对安培定律做了修正,5.2 位移电流,设一个电容器与时变电源相连，外加电源电压随时间上升或下降，表征由电源送至每一极板上的电荷量q在变化。电荷的变化形成随时间变化的电流，该时变电流i(t)必然在此区域内建立时变磁场。选择一个闭合路径C,包围电容器外的开曲面S，如图所示。,5.2 位移电流,由安培定律得但若考虑同一路径C所包围的包含电容器极板的另一个开曲面S，由于电容器内传导电流等于零，故二者出现了矛盾,5.2 位移电流,上述矛盾导致麦克斯韦断言，电容器中必然有电流存在。由于这种电流并非由传导产生，他认为，在电容器的两极板间存在着另一种电流，这种电流由电容器极板间变化的电场产生，因为对于S和S构成的闭合面，应用电流连续性方程，有即,5.2 位移电流,一般来说，空间同时存在传导电流和位移电流，所以，安培定律的修正形式为微分形式为对安培定律的修正是麦克斯韦最重大的贡献之一,5.3 麦克斯韦方程及边界条件,麦克斯韦方程,5.3 麦克斯韦方程及边界条件,麦克斯韦方程的物理意义时变电场是有旋有散的，因此电力线可以是闭合的，也可以是不闭合的。时变磁场则无散有旋，因此磁力线总是闭合的。闭合的电力线和磁力线相交链，不闭合的电力线从正电荷出发，终止于负电荷。而闭合的磁力线要么与电流相交链，要么与电力线相交链。,5.3 麦克斯韦方程及边界条件,麦克斯韦方程的物理意义在没有电荷也没有电流的无源区域中，时变电场和时变磁场都是有旋无散的，电力线和磁力线相互交链，自行闭合，即变化的电场产生变化的磁场，变化的磁场也会激起变化的电场。正是由于电场与磁场之间的相互激发、相互转化，形成了电磁波动，使电磁能量以有限的速度向远处传播出去，即电磁波。光波就是一种电磁波。,5.3 麦克斯韦方程及边界条件,麦克斯韦方程的限定形式在线性、均匀、各向同性介质中，,5.3 麦克斯韦方程及边界条件,麦克斯韦方程的边界条件在时变电磁场中，实际问题所涉及的场域中往往会有几种不同的媒质。两种不同媒质的分界面上各场量所满足的方程即边界条件，可以用积分形式的麦克斯韦方程导出。结果证明：时变场的边界条件与静态场的完全相同。,5.3 麦克斯韦方程及边界条件,麦克斯韦方程的边界条件标量形式和矢量形式,5.3 麦克斯韦方程及边界条件,麦克斯韦方程的边界条件若两种媒质均为理想介质，则边界面上不存在面电荷和面电流，边界条件简化为,若两种媒质中，1为理想介质，2为理想导体，由于理想导体内部不存在电磁场，即所有场量为零。则边界条件简化为,5.3 麦克斯韦方程及边界条件,在无初值的时变场条件下，法向分量的边界条件已含于切向分量的边界条件之中，即只有两个切向分量的边界条件是独立的。因此，在解电磁场边值问题中只需考虑两个切向分量的边界条件。,5.3 麦克斯韦方程及边界条件,在两导体平板（z=0和z=d）之间的空气中传播的电磁波(见右图)，已知其电场强度，式中，kx为常数。试求：（1）磁场强度H；（2）这个电磁场满足的边界条件如何？并求两导体表面的电流密度JS。,5.4 坡印廷定理与坡印廷矢量,在普通物理学中，我们已经知道，电场、磁场都具有能量，能量分布在整个场中。电场中的电场能量密度we满足磁场中的磁场能量密度wm满足,5.4 坡印廷定理与坡印廷矢量,因此在体积为V的电磁场空间内的总能量为,5.4 坡印廷定理与坡印廷矢量,在时变电磁场中，由于传导电流的存在，可能存在能量的（热）损耗。此外，时变电磁场的能量是流动的，可能存在能量的流失。单位时间内体积V内，能量的减少=能量的损耗+能量的流失坡印廷定理描述了时变电磁场中的能量守恒定律,5.4 坡印廷定理与坡印廷矢量,为了研究时变电磁场中的能量守恒，我们从传导电流造成的能量损耗开始。设电磁场在一有耗的导电媒质中，媒质的电导率为，电场会在此有耗导电媒质中引起传导电流J=E，则传导电流在体积V内引起的功率损耗满足焦耳定律,5.4 坡印廷定理与坡印廷矢量,将麦克斯韦方程代入，得到,5.4 坡印廷定理与坡印廷矢量,即两边作体积分，得,5.4 坡印廷定理与坡印廷矢量,左边应用散度定理，得到该式即为坡印廷定理,5.4 坡印廷定理与坡印廷矢量,对于线性，均匀，各向同性介质，有,5.4 坡印廷定理与坡印廷矢量,所以坡印廷定理可以重写为或,电磁总能量的减少,能量热损耗,能量流失,5.4 坡印廷定理与坡印廷矢量,坡印廷定理的物理意义左边表示体积V中电磁能量随时间的减少率右边第一项表示体积V中的热损耗功率(单位时间内以热能形式损耗在体积V中的能量)。根据能量守恒定理，右边第二项必定代表单位时间内穿过体积V的表面S流出体积V的电磁能量。因此，该面积分表示单位时间内流出包围体积V的表面S的总电磁能量。由此可见，EH可解释为通过S面上单位面积的电磁功率。,5.4 坡印廷定理与坡印廷矢量,坡印廷矢量定义为也称为能流密度矢量，表示该点功率流的方向E,H,S三者之间满足右手螺旋关系,5.4 坡印廷定理与坡印廷矢量,如果闭合面为理想导电壁，则能量没有流失，有这说明，体积V内传导电流所消耗的功率完全由电磁能量提供如果体积V内的媒质不导电，那么W=const，体积V内只存在电场和磁场能量的相互转换，称为理想空腔的电磁振荡。,5.4 坡印廷定理与坡印廷矢量,在恒定电流的空间中，电磁场的总能量恒定不变，所以坡印廷定理可改写为该式表明，在无源区域中，单位时间通过闭合曲面流入体积V内的能量等于体积V内的热损耗。,例 试求一段半径为b，电导率为，载有直流电流I的长直导线表面的坡印廷矢量，并验证坡印廷定理。解：如图一段长度为l的长直导线，其轴线与圆柱坐标系的z轴重合，直流电流将均匀分布在导线表面上，于是有,坡印廷定理验证,5.4 坡印廷定理与坡印廷矢量,在导线表面，,5.4 坡印廷定理与坡印廷矢量,5.4 坡印廷定理与坡印廷矢量,因此，导线表面的坡印廷矢量其方向处处垂直导线的表面。将坡印廷矢量沿导线段表面积分，有,5.4 坡印廷定理与坡印廷矢量,例 一同轴线的内导体半径为a，外导体半径为b，内、外导体间为空气，内、外导体均为理想导体，载有直流电流I，内、外导体间的电压为U。求同轴线的传输功率和能流密度矢量。,5.4 坡印廷定理与坡印廷矢量,解：恒定电流产生的电场计算方法同静电场。假定内导线的电荷密度分布是l，根据高斯定理，即,5.4 坡印廷定理与坡印廷矢量,解：内外导体间的电压为即,5.4 坡印廷定理与坡印廷矢量,解：所以电场强度重写为,5.4 坡印廷定理与坡印廷矢量,解：磁场强度可根据安培环路定律可以求出：,5.4 坡印廷定理与坡印廷矢量,解：坡印廷矢量为上式说明电磁能量沿z轴方向流动，由电源向负载传输。,5.4 坡印廷定理与坡印廷矢量,解：通过同轴线内、外导体间任一横截面的功率为,5.4 坡印廷定理与坡印廷矢量,解：结论一：沿同轴线传输的功率等于电压与电流的乘积，这与电路理论中的结果一致。结论二：同轴线在传输能量时，功率全部从内外导体间的空间通过，导体本身并不传输能量。,5.4 坡印廷定理与坡印廷矢量,解：之前研究的是理想导体。如果不是理想导体，设导体的导电率为，则在内导体的内部也会存在电场：,5.4 坡印廷定理与坡印廷矢量,解：根据电场的切向分量连续的边界条件，在内导体表面附近的区域中，存在电场的切向分量,5.4 坡印廷定理与坡印廷矢量,解：因此坡印廷矢量还存在一个沿径向进入内导体内的分量,5.4 坡印廷定理与坡印廷矢量,解：进入内导体单位长度的功率为（即为焦耳热损耗功率）,5.4 坡印廷定理与坡印廷矢量,场的互能量（以电场为例）如果线性，均匀，各向同性介质中同时存在两个电场E1和E2，则合成场的电场能量密度为,5.4 坡印廷定理与坡印廷矢量,场的互能量（以电场为例）第三项为两个电场相互作用的互能量密度。互能量记为实际上，互能量就是将两个电场系统的场源从无穷远处移动到现在所处位置时外力所做的功。,5.4 坡印廷定理与坡印廷矢量,时变电磁场的唯一性原理在一个有限的区域V内，如果t=0时的电场强度和磁场强度的初始值已知，并且t0时边界面上电场强度或磁场强度的切向分量已知，那么在t0时区域V内的电磁场就唯一的确定了,5.5 电磁场的位函数及其方程,在静态场中我们引入电位和磁矢位函数，使电场和磁场的分析很大程度的简化在时变电磁场中我们也可以同样引入一些辅助的位函数使分析问题简化,5.5 电磁场的位函数及其方程,静态场和时变电磁场中电场和磁场的对比：静态场中，电场是保守场或称无旋场，但时变电磁场中，电场是有旋场；静态场和时变电磁场中，磁场总是有旋无散的。基于这个共同点，我们从磁场开始。,5.5 电磁场的位函数及其方程,首先，对磁通密度B，可以用动态磁矢位A的旋度来表示：代入麦克斯韦方程得到,5.5 电磁场的位函数及其方程,一个旋度为零的矢量场可以用一个标量函数的梯度来表示，即我们把称为动态电标位,5.5 电磁场的位函数及其方程,现在我们针对动态磁矢位和动态电标位进行分析首先变换麦克斯韦方程：然后把磁场和电场的表达式代入：,5.5 电磁场的位函数及其方程,利用矢量恒等式：得到：,5.5 电磁场的位函数及其方程,定义洛伦兹规范（类似库仑规范）：得到：,5.5 电磁场的位函数及其方程,现在回到电场的表达式，两边取散度，得到：利用电场的散度方程，以及洛伦兹规范，得到即,5.5 电磁场的位函数及其方程,这两个方程称为动态位函数的波动方程，也称达朗贝尔方程,5.6 时谐电磁场,时变电磁场电场和磁场都随时间变化。时变电磁场中，最重要的类型是时谐电磁场如果场源以一定的角频率随时间作正弦（或余弦）变化，那么产生的电磁场也以相同的角频率随时间作正弦（或余弦）变化。单一频率的时谐电磁场也叫单频场、稳态场（因为频率不发生变化）任意的时变电磁场都可以通过傅里叶级数展开为不同频率的电磁场的叠加。所以，分析时谐电磁场获得单频下的稳态响应是分析所有时变电磁场的基础。,5.6 时谐电磁场,时谐电磁场的相量表示法（也称复数表示法）在电路理论中，随时间作正弦（或余弦）变化的电压和电流可以用相量来表示。而时谐电磁场中，电磁场也随时间作正弦（或余弦）变化，所以也可以用相量来表示。,5.6 时谐电磁场,时谐电磁场的表达式各分量表达式为其中，Exm,Eym,Ezm分别为各坐标分量的振幅，x,y,z则是各坐标分量的相位,5.6 时谐电磁场,我们希望把时间因子和空间因子独立开来利用复数与三角函数的关系：x方向的电场分量可以重写为其中 是复数，称为电场强度在x方向的复振幅,5.6 时谐电磁场,我们希望把时间因子和空间因子独立开来类似有电场强度矢量可以重写为,5.6 时谐电磁场,我们希望把时间因子和空间因子独立开来其中 称为电场强度的复振幅矢量，它只是空间坐标的函数，与时间t无关。称为时间因子，它反映了电场强度随时间变化的规律。,5.6 时谐电磁场,对于其他场量，也可以写成相量表达式：只要已知场量的复振幅分量，将其乘以时间因子，再取实部就可得到场量的瞬时值表达式,5.6 时谐电磁场,为了区分时变表达式和相量表达式，我们通常在时变表达式中的变量添加时间t。并且为了方便，表示复数的符号“”均省略。下标m也省略。常量的相量表达式可以重写为,5.6 时谐电磁场,例 将下列用复数形式表示的场矢量变换成瞬时值，或作相反的变换。,5.6 时谐电磁场,复数表达式的对时间的偏导数,5.6 时谐电磁场,麦克斯韦方程的相量形式在复数运算中，对复数的微分和积分运算是分别对其实部和虚部进行的，并不改变其实部和虚部的性质。比如，对麦克斯韦方程（1）有,5.6 时谐电磁场,麦克斯韦方程的相量形式由时间的任意性，得即和时变的麦克斯韦方程相比较：可以发现，相当于仅仅对时间因子作微分。即,记为,5.6 时谐电磁场,总之，麦克斯韦方程的相量形式可写为也称频域的麦克斯韦方程,5.6 时谐电磁场,线性、均匀、各向同性介质中的频域麦克斯韦方程,5.6 时谐电磁场,关于时间因子（更多）对比电场的两种表达方式,5.6 时谐电磁场,关于时间因子（更多）因此，时间因子的不同形式会导致频域麦克斯韦方程的不同,5.6 时谐电磁场,复坡印廷矢量及平均坡印廷矢量对于时谐电磁场，电场强度和磁场强度可写为,5.6 时谐电磁场,复坡印廷矢量及平均坡印廷矢量从而坡印廷矢量的瞬时值为,5.6 时谐电磁场,复坡印廷矢量及平均坡印廷矢量它在一个周期T=2/内的平均值为,5.6 时谐电磁场,复坡印廷矢量及平均坡印廷矢量,瞬时坡印廷矢量,复坡印廷矢量,平均坡印廷矢量,5.6 时谐电磁场,例 已知无源(=0,J=0)的自由空间中，时变电磁场的电场强度复矢量式中k、E0为常数。求：（1）磁场强度复矢量；（2）坡印廷矢量的瞬时值；（3）平均坡印廷矢量。,5.7 波动方程,正如前面所述，时变电磁场的时变电场和时变磁场相互激励、相互转化，使电磁场以电磁波的形式传播出去。电磁波是电磁场运动的一种重要形式。下面我们讨论线性、均匀、各向同性的无源媒质中电磁场波动规律的波动方程。,5.7 波动方程,对于线性、均匀、各向同性的无源媒质，设介电常数为，磁导率为，电导率为。麦克斯韦方程为,5.7 波动方程,对方程（2）求旋度，得利用矢量恒等式得到,5.7 波动方程,类似的，对方程（1）求旋度，得利用矢量恒等式得到,5.7 波动方程,线性、均匀、各向同性的无源媒质中，波动方程为等式右边，一阶项的存在表明电磁波在导电媒质中的传播是衰减的（有能量损耗），因此导电媒质也称有耗媒质,5.7 波动方程,当媒质为完全电介质或无损媒质，即媒质的导电率 时，波动方程变为也称为时变亥姆霍兹方程，它表明电磁场在无损媒质中的传播是不衰减的。,5.7 波动方程,考虑时谐电磁场，时间因子为，因而有代入波动方程，得到称为亥姆霍兹方程。时变电磁场在空间中以波的形式传播，即电磁波。电磁波的传播规律由波动方程来约束。,