材料力学教学课件材料力学(i)第八章.ppt

1,第八章 组合变形及连接部分的计算,2,8-1 概 述,构件在荷载的作用下如发生两种或两种以上基本形式的变形，且几种变形所对应的应力（和变形）属于同一数量级，则构件的变形称为组合变形（combined deformation）。,.组合变形,烟囱（图a）有侧向荷载（风荷，地震力）时发生弯压组合变形。,第八章 组合变形及连接部分的计算,3,齿轮传动轴（图b）发生弯曲与扭转组合变形（两个相互垂直平面内的弯曲加扭转）。,第八章 组合变形及连接部分的计算,吊车立柱（图c）受偏心压缩，发生弯压组合变形。,4,两个平面内的弯曲(图d)由于计算构件横截面上应力及横截面位移时，需要把两个平面弯曲的效应加以组合，故归于组合变形。,第八章 组合变形及连接部分的计算,5,对于组合变形下的构件，在线性弹性范围内且小变形的条件下，可应用叠加原理将各基本形式变形下的内力、应力或位移进行叠加。,在具体计算中，究竟先按内力叠加（按矢量法则叠加）再计算应力和位移，还是先计算各基本形式变形下的应力或位移然后叠加，须视情况而定。,6,.连接件的实用计算,螺栓连接（图a）中，螺栓主要受剪切及挤压（局部压缩）。,第八章 组合变形及连接部分的计算,连接件（螺栓、铆钉、键等）以及构件在与它们连接处实际变形情况复杂。,7,键连接（图b）中，键主要受剪切及挤压。,第八章 组合变形及连接部分的计算,8,第八章 组合变形及连接部分的计算,工程计算中常按连接件和构件在连接处可能产生的破坏情况，作一些简化的计算假设（例如认为螺栓和铆钉的受剪面上切应力均匀分布）得出名义应力（nominal stress）,然后与根据在相同或类似变形情况下的破坏试验结果所确定的相应许用应力比较，从而进行强度计算。这就是所谓工程实用计算法（engineering method of practical analysis）。,9,8-2 双对称截面梁在两个相互垂直平面内的弯曲,具有双对称截面的梁，它在任何一个纵向对称面内弯曲时均为平面弯曲。,第八章 组合变形及连接部分的计算,故具有双对称截面的梁在两个纵向对称面内同时承受横向外力作用时，在线性弹性且小变形情况下，可以分别按平面弯曲计算每一弯曲情况下横截面上的应力和位移，然后叠加。,10,二、两相互垂直平面内的弯曲的组合,在屏幕平面内绕 z 轴弯：,Iz:对中性轴的惯性矩,y:到中性轴的距离,P,平面弯曲,y,z,中性轴,y,Mz,z,荷载作用面,11,在垂直于屏幕平面内绕 y 轴弯,P,中性轴,荷载作用面,y,z,y,My,z,12,1.外力分解(使每个力单独作用时，仅发生基本变形),Py=P cos,Pz=P sin,y,L,P,x,z,x,13,2.分别计算各基本变形的内力、应力,内力：x截面,(上拉、下压),(后拉、前压),y,L,P,x,z,x,Pz,Py,14,可不定义弯矩的符号，标明弯曲方向,M=P(lx)总弯矩,Qy=Py=P cos,Qz=Pz=P sin,组合变形时，通常忽略弯曲剪应力。,15,应力,Mz:,My:,Mz,z,y,z,y,D1,D2,My,D1,D2,16,3.叠加,由于两种基本变形横截面上只有正应力，于是“加”成了代数和。,截面上任意点应力：,对第一象限的任意C点(yc0,zc0),My,Mz,z,y,D1,D2,C,17,4.强度计算,危险截面 x=0,危险点 D1最大拉应力，D2点最大压应力,危险点应力状态 单向应力状态,(数值相等),强度条件：max,(D1是单向拉伸，D2是单向压缩),My,Mz,z,y,D1,D2,C,18,点D1(y1,z1),显然,强度条件：,19,5.中性轴(零应力线),不失一般性，令第一象限的点的应力为零即可得到中性轴方程.,y0,z0为中性轴上的点,Mz,My,z,y,c(y,z),20,可见中性轴为一条过截面形心的直线，它与z轴的夹角为：,当Iz Iy时，即中性轴不再垂直于荷载作用面。,Mz,My,z,y,中性轴,荷载作用,或写成,21,做与中性轴平行的直线与截面相切的点(D1，D2)即为最大拉应力和最大压应力点。将这些点的坐标(y,z)代入应力公式，即可求得最大正应力。,D1,D2,Mz,My,z,y,中性轴,荷载作用面,22,6.变形,Py引起的自由端的绕度,Pz引起的自由端的绕度,y,z,fy,fz,23,当Iz Iy时，即位移不再发生在荷载作用面。因而不属于平面弯曲。,y,z,f,fy,fz,24,xy面内y方向的力引起Mz,xz面内z方向的力引起My,合弯矩M=My+Mz仍在对称面内，于是总是可以用平面弯曲的公式来进行应力计算，不过此时中性轴已不是y轴或 z轴。,z,y,对于Iz=Iy的截面(如圆形截面),25,如求a点应力,M:合弯矩,I:对中性的惯性矩,d:a点到中性轴的矩离。,My,Mz,M,z,y,d,a,中性轴,26,第八章 组合变形及连接部分的计算,图示悬臂梁 x 截面上的弯矩和任意点C处的正应力为：,由于水平外力F1 由于竖直外力F2,弯曲正应力,弯 矩 My(x)=F1 x Mz(x)=F2(x-a),27,这里弯矩的正负号系根据图b所示，由右手螺旋法则按它们的矢量其指向是否与y轴和z轴的指向一致来确定的。在F1和F2共同作用下x 截面上C 点处的正应力为,第八章 组合变形及连接部分的计算,28,利用上式固然可求算x 截面上任意点处的弯曲正应力，但对于图中所示那类横截面没有外棱角的梁，由于My 单独作用下最大正应力的作用点和Mz 单独作用下最大正应力的作用点不相重合，所以还不好判定在My和Mz共同作用下最大正应力的作用点及其值。,第八章 组合变形及连接部分的计算,29,注意到在F1 作用下x 截面绕中性轴y 转动，在F2 作用下x 截面绕中性轴z 转动,可见在F1和F2共同作用下，x 截面必定绕通过y 轴与z 轴交点的另一个轴转动，这个轴就是梁在两个相互垂直平面内同时弯曲时的中性轴，其上坐标为y，z的任意点处弯曲正应力为零。,第八章 组合变形及连接部分的计算,30,故有中性轴的方程：,中性轴与y轴的夹角q（图a）为,第八章 组合变形及连接部分的计算,其中j 角为合成弯矩 与y的夹角。,31,第八章 组合变形及连接部分的计算,这就表明，只要 IyIz，中性轴的方向就不与合成弯矩M的矢量重合，亦即合成弯矩M 所在的纵向面不与中性轴垂直，或者说，梁的弯曲方向不与合成弯矩M 所在的纵向面重合。正因为这样，通常把这类弯曲称为斜弯曲（oblique bending）。,32,确定中性轴的方向后，作平行于中性轴的两直线，分别与横截面的周边相切，这两个切点（图a中的点D1，D2）就是该截面上拉应力和压应力为最大的点。从而可分别计算水平和竖直平面内弯曲时这两点的应力，然后叠加。,第八章 组合变形及连接部分的计算,33,(c),对于如图c所示横截面具有外棱角的梁，求任何横截面上最大拉应力和最大压应力时，可直接按两个平面弯曲判定这些应力所在点的位置，而无需定出中性轴的方向角q。,工程计算中对于实体截面的梁在斜弯曲情况下，通常不考虑剪力引起的切应力。,34,对于图示悬臂梁，试问：,4.该梁自由端的挠度（大小和方向）如何计算？,2.在固定端处梁的中性轴又大致在什么方向？,3.在固定端和F2作用截面之间，梁的中性轴的方向是否随横截 面位置变化？,1.外力F2作用截面处梁的中性轴在什么方向？,思考:,第八章 组合变形及连接部分的计算,35,例题8-1 图示20a号工字钢悬臂梁（图a）上的均布荷载集度为q(N/m)，集中荷载为。试求梁的许可荷载集度q。已知：a=1 m;20a号工字钢：Wz=23710-6 m3，Wy=31.510-6 m3；钢的许用弯曲正应力s=160 MPa。,第八章 组合变形及连接部分的计算,36,(),解：,1.将集中荷载F 沿梁的横截面的两个对称轴分解为,(),37,2.作梁的计算简图（图b），并分别作水平弯曲和竖直弯曲的弯矩图My 图和Mz 图（图c,d）。,第八章 组合变形及连接部分的计算,38,3.确定此梁的危险截面。A截面上My最大，MyA=0.642 qa2,该截面上Mz虽不是最大，但因工字钢WyWz，故A截面是可能的危险截面。D 截面上Mz 最大：,故D 截面也是可能的危险面。为确定危险截面，需比较A截面和D 截面上的最大弯曲正应力。,MzD=0.456 qa2，,MyD=0.444 qa2，,且,39,第八章 组合变形及连接部分的计算,由于，可见A截面为危险截面。危险点在A截面上的外棱角D1和D2处。,40,根据强度条件，有（21.510-3)q 160106 Pa,4.求许可荷载集度q。,于是有 q=7.44103 N/m=7.44 kN/m,从而得,第八章 组合变形及连接部分的计算,41,8-2+平面弯曲的条件,82中讨论的是具有双对称截面的梁在两个相互垂直的纵向对称面内同时发生弯曲的情况，其实质就是两个相互垂直的纵向面内平面弯曲的组合。,第八章 组合变形及连接部分的计算,42,现在的问题是，如果梁的横截面只有一个对称轴（图a）而荷载作用在与对称轴垂直的方向,或者横截面根本就没有对称轴（图b）,那么还会发生平面弯曲吗？,荷载沿什么方向的形心轴时才会发生平面弯曲呢？,这就要分析梁发生平面弯曲的条件。,43,横截面如图a所示无对称轴的梁，如果横截面绕形心轴z转动发生平面弯曲，则根据平面假设，横截面上的正应力在与z轴垂直的y轴方向按线性规律变化（图b），即；,而这些正应力不应构成对y轴的力矩，故应有，亦即应有,第八章 组合变形及连接部分的计算,44,第八章 组合变形及连接部分的计算,由此可知，如果梁发生平面弯曲而z轴为中性轴，则必须满足,换句话说，如果梁上的荷载所产生的弯矩作用在包含满足 的y轴的那个纵向面内，则与之垂直的形心轴z就是中性轴，梁发生平面弯曲。,反之如果荷载产生的弯矩作用在包含z轴的纵向面内，亦发生平面弯曲。,45,称为横截面对于一对相互垂直轴y,z的惯性积（product of inertia）,用Iyz表示。,第八章 组合变形及连接部分的计算,而满足Iyz=0 且通过横截面形心的一对正交轴（y轴和z轴）称为形心主惯性轴（principal centroidal axis of inertia）。,横截面对于形心主惯性轴的惯性矩则称为形心主惯性矩(principal centroidal moment of inertia)。,46,显然当梁的横截面具有一个对称轴时，这个对称轴和它垂直的形心轴都是形心主惯性轴，外力产生的弯矩作用在包含其中任何一根轴的纵向面内时梁都发生平面弯曲。,下节讲述对于没有对称轴的截面确定主惯性轴和主惯性矩的相关问题。,第八章 组合变形及连接部分的计算,47,-4 惯性矩和惯性积的转轴公式 截面的主惯性轴和主惯性矩,在下面的分析中为使结果具有普遍性，坐标轴的原点O并不要求必须是形心C。此外，坐标轴按所用教材的附录I标为x轴和y轴。,第八章 组合变形及连接部分的计算,48,.惯性矩和惯性积的转轴公式,第八章 组合变形及连接部分的计算,图示任意形状的截面，其面积A以及对于坐标轴x，y的惯性矩Ix，Iy和惯性积Ixy为已知，现在来求截面对于绕原点O旋转a 角（以逆时针为正）后的坐标轴x1y1的惯性矩,和惯性积。,49,第八章 组合变形及连接部分的计算,由图可见，截面上任一微面积dA在x,y和x1,y1两个坐标系中坐标的关系为,于是有,50,利用三角函数,由上式得,（a）,同理，根据,有,（b）,（c）,第八章 组合变形及连接部分的计算,式(a),(b),(c)就是惯性矩和惯性积的转轴公式。,51,1.截面对于任何轴的惯性矩是否总是正值？截面对于相互垂直的一对轴的惯性积是否可能是负值？,思考:,2.将惯性矩的转轴公式(a)和(b)相加可得到什么结论？这又意味着什么？,3.试利用 从基本概念上论证(2)中的问题。,第八章 组合变形及连接部分的计算,52,.截面的主惯性轴和主惯性矩,有,第八章 组合变形及连接部分的计算,截面对于通过任意点O的主惯性轴x0，y0的方向角，只需利用惯性积的转轴公式令 便可导出。由,53,以此代入惯性矩的转轴公式即得主惯性矩的计算公式：,第八章 组合变形及连接部分的计算,根据上式利用三角函数关系将 和 写为,54,（c）,与7-2中关于平面应力状态下求a 斜截面上正应力和切应力的公式完全相似：,（7-1）,（7-2）,第八章 组合变形及连接部分的计算,注意到惯性矩的转轴公式(a)和惯性积的转轴公式(c):,（a）,55,(Ix,Ixy),而惯性矩转轴公式(b)所示 的表达式实际上只需在 的表达式(a)中以(a+90)代替a 即得，这与求sa+90也完全相似。因此惯性矩和惯性积的转轴公式也可用与应力圆类似的一个圆惯性圆来表达。上述计算主惯性轴方向角和主惯性矩值的公式也就可根据惯性圆上的几何关系来记忆。,由惯性圆显然可见，主惯性矩 和 就是截面对于通过同一点的所有轴的惯性矩中的极大值Imax和极小值Imin。,56,第八章 组合变形及连接部分的计算,在确定截面的形心主惯性轴位置和计算形心主惯性矩时，须先确定截面的形心C的位置，并取一对通过形心而相互垂直的轴xC,yC作为参考轴，计算出，然后求主惯性轴的方向角a0和主惯性矩 和。,57,1.试根据惯性积的转轴公式判断是否任何形心轴都是形心主惯性轴？,思考:对于正方形截面:,2.试根据惯性矩的转轴公式判断截面对于任何形心轴的惯性矩的值是否都是相等的？,第八章 组合变形及连接部分的计算,58,对于由若干基本几何图形组成的截面(例如图中所示者)，在求,和 时需要应用惯性矩和惯性积的平行移轴公式。前已在第四章中讲述了惯性矩的平行移轴公式及其应用。下面讲述惯性积的平行移轴公式。,第八章 组合变形及连接部分的计算,59,.惯性积的平行移轴公式(参见教材附录I3),图示任意形状的截面对于坐标轴x,y的惯性积Ixy可以由截面对分别平行于x,y轴的形心轴xC，yC的惯性积IxC yC，以及截面形心C在x,y坐标系中的坐标 求出如下：,第八章 组合变形及连接部分的计算,60,这就是惯性积的平行移轴公式。应该注意的是：(1)公式中的IxC yC必须是截面对于一对形心轴的惯性积；(2)公式中的a，b是指截面形心在平行移动后的坐标系x，y中的坐标，它是有正负的。,第八章 组合变形及连接部分的计算,61,例题-7 试确定图示不等边L形截面的形心主惯性轴的方向，并计算截面的形心主惯性矩。截面形心C的位置已示于图中。,第八章 组合变形及连接部分的计算,62,矩形的形心在参考坐标系xC,yC中的坐标为 a=15 mm,bI=20 mm矩形的形心在参考坐标系中的坐标为 a=-25 mm,b=-35 mm,解：1.取与截面周边平行的形心轴xC，yC作为参考轴。将截面分为，两个矩形(如图所示)A=1 200 mm2,A=700 mm2,第八章 组合变形及连接部分的计算,63,第八章 组合变形及连接部分的计算,2.利用平行移轴公式求截面的,和,64,由于通过矩形和各自形心而平行于xC，yC的轴是它们各自的对称轴，故上式在计算中每一矩形对于其一对相互垂直的形心轴的惯性积为零。,第八章 组合变形及连接部分的计算,65,3.确定截面的形心主惯性轴 xC0，yC0 的方向,第八章 组合变形及连接部分的计算,从所示惯性圆可见，2ao180,且为逆时针转向，于是由tan2a0=1.093 和 2a0=180+47.6=227.6，而a0=113.8。图中据此示出了形心主轴 xC0 和 yC0。,66,I,xy,第八章 组合变形及连接部分的计算,67,4.该截面的形心主惯性矩为,第八章 组合变形及连接部分的计算,68,83 拉伸(压缩)与弯曲的组合变形,.横向力与轴向力共同作用,图a为由两根槽钢组成的杆件，受横向力F和轴向力Ft作用时的计算简图，该杆件发生弯曲与拉伸的组合变形。,第八章 组合变形及连接部分的计算,69,轴向拉力会因杆件有弯曲变形而产生附加弯矩，但它与横向力产生的弯矩总是相反的，故在工程计算中对于弯一拉组合变形的构件可不计轴向拉力产生的弯矩而偏于安全地应用叠加原理来计算杆中的应力。,第八章 组合变形及连接部分的计算,70,至于发生弯曲与压缩组合变形的杆件，轴向压力引起的附加弯矩与横向力产生的弯矩为同向，故只有杆的弯曲刚度相当大（大刚度杆）且在线弹性范围内工作时才可应用叠加原理。,第八章 组合变形及连接部分的计算,71,图a所示发生弯一拉组合变形的杆件，跨中截面为危险截面，其上的内力为FN=Ft，。该横截面上与轴力FN对应的拉伸正应力st为均匀分布(图b)，而与最大弯矩Mmax对应的弯曲正应力在上、下边缘处(图c)，其绝对值,第八章 组合变形及连接部分的计算,。,72,在FN 和Mmax共同作用下，危险截面上正应力沿高度的变化随sb和st的值的相对大小可能有图d,e,f 三种情况。危险截面上的最大正应力是拉应力：,注意到危险截面最大拉应力作用点（危险点）处为单向应力状态，故可把st,max直接与材料的许用正应力进行比较来建立强度条件。,第八章 组合变形及连接部分的计算,73,例题 82 图a所示折杆ACB由钢管焊成，A和B处铰支,C 处作用有集中荷载F=10 kN。试求此折杆危险截面上的最大拉应力和最大压应力。已知钢管的外直径D=140 mm，壁厚d=10 mm。,解：1.约束力FA=FB=5 kN。折杆的受力图如图b。,第八章 组合变形及连接部分的计算,74,根据对称性，只需分析折杆的一半，例如AC杆；将约束力FA分解为FAx=3 kN和FAy=4 kN后可知，AC 杆的危险截面为m-m(图b)，其上的内力为,FN=-FAx=-3 kN,Mmax=FAy2=8 kNm,第八章 组合变形及连接部分的计算,可见此杆产生弯一压组合变形。现按大刚度杆来计算应力。,75,2.AC杆危险截面m-m上的最大拉应力st,max和最大压应力sc,max分别在下边缘f点处和上边缘g点处(图b)：,（a）,3.根据钢管的横截面尺寸算得：,或,第八章 组合变形及连接部分的计算,76,4.将FN 和Mmax以及A和W的值代入式(a)得,注意，在弯一压组合变形情况下，|sc,max|st,max,故对于拉、压许用应力相等的情况，建立强度条件时应以|sc,max|与许用正应力进行比较。倘若材料的许用拉应力st小于许用压应力sc，则应将st,max和|sc,max|分别与 st和 sc比较。,第八章 组合变形及连接部分的计算,77,II、偏心压缩,外力特点：外力平行轴线，但与轴线不重合。,o,P,A(yP,zP),z,y,x,78,1.外力简化,将P力向形心简化,0,A(yP,zP),z,y,x,P,My=PyP,x,于是得到一个与原力系静力等效的力系：与轴线重合的压力P和两个作用在互相正交的纵向对称面内的力偶My,Mz。,My=PzP,79,轴向压力P 引起轴向压缩,My 引起绕 y 轴转动的平面弯曲,Mz 引起绕 z 轴转动的平面弯曲,偏心压缩是轴向压缩与两个互相正交平面内的弯曲的组合变形。,当杆的比较矩而粗的杆，可按叠加原理求解。,80,2.内力分析,对任意横截面，显然有,FN=P,My=PzP(左拉，右压),Mz=PyP(前拉，后压),N，My，Mz 不是 x 的函数，即任意横截面上的内力为常数。,MZ,N,z,y,My,x,x,81,3.应力计算,由于FN，My，Mz单独作用时，引起的横截面上的应力均为正应力，因此，由叠加原理，FN，My，Mz共同作用时引起的应力，应是单独作用时的应力的叠加。由于均为正应力，因此为代数和。,对横截面上任意点：,对第一象限的点E(y,z),MZ,N,z,E(y,z),y,My,x,x,82,对矩形截面，很容易判断最大压应力发生在D1点，最大拉应力(如果有的话)发生在D2点，显然D1点应力绝对值将大于D2点应力的绝对值。,MZ,N,z,y,D1,D2,My,x,x,4.强度条件 max,83,第八章 组合变形及连接部分的计算,b=0.4m,a=0.2m,A,B,C,D,y,z,x,P=100KN,0.05m,例：图示结构，求底截面上A，B，C，D四点的正应力，以及最大拉应力和最大压应力.,解：外力简化,yP=0.05m,zP=0.2m,P=100kN,mz=PyP=1000.05=5kNm,my=PzP=1000.2=20kNm,84,内力计算,底截面上：,My=my=20kNm(前拉，后压),Mz=mz=5kNm(左拉，右压),FN=P=100 kN,b=0.4m,a=0.2m,A,B,C,D,y,z,x,P,My,Mz,截面有关几何容量：,A=ab=0.240.4=0.08m2,85,b=0.4m,a=0.2m,A,B,C,D,y,z,x,（c）max=6.87MPa,（t）max=4.37MPa,86,5.中性轴(零应力线),不失一般性。我们令第一象限的点的应力为零。,引入惯性半径：,令,中性轴方程：,87,显然中性轴为一条直线，作中性轴的平行线与截面相切D1，D2即为最大拉应力和最大压应力所在的点。,(零应力线),D2,D1,y,z,中性轴,o,88,89,.偏心拉伸(压缩),偏心拉伸或偏心压缩是指外力的作用线与直杆的轴线平行但不重合的情况。,图a所示等直杆受偏心距为e的偏心拉力F作用，杆的横截面的形心主惯性轴为y轴和z轴。,90,(1)偏心拉(压)杆横截面上的内力和应力,将偏心拉力F向其作用截面的形心O1简化为轴向拉力F和力偶矩Fe，再将该力偶矩分解为对形心主惯性轴y和z的分量Mey和Mez(图b及图c)：,第八章 组合变形及连接部分的计算,Mey=Fe sina=FzF,Mez=Fe cosa=FyF,91,由于Mey和Mez作用在包含形心主惯性轴的纵向面内，故引起的都是平面弯曲。可见偏心拉伸（压缩）实为轴向拉伸（压缩）与平面弯曲的组合，且当杆的弯曲刚度相当大时可认为各横截面上的内力相同。,第八章 组合变形及连接部分的计算,92,图c所示任意横截面nn上的内力为,FN=F,My=Mey=FzF,Mz=Mez=FyF,横截面上任意点C(y,z)处的正应力为,（b）,第八章 组合变形及连接部分的计算,93,在工程计算中，为了便于分析一些问题，常把惯性矩Iy和Iz写作如下形式：,上列式中的iy和iz分别称为截面对于y轴和z轴的惯性半径(radius of gyration)，其单位为m或mm；它们也是只与截面形状和尺寸有关的几何量截面的几何性质。于是式(b)亦可写作,（c）,上式是一个平面方程，它表明偏心拉伸时杆的横截面上的正应力按直线规律变化。,第八章 组合变形及连接部分的计算,94,现在来确定横截面绕着转动的中性轴的位置。设中性轴上任意点的坐标为y0，z0，以此代入式(c)并令s=0可得中性轴的方程,(2)偏心拉(压)杆横截面上中性轴的位置,可见，偏心拉伸时中性轴为一条不通过横截面形心的直线（图a）。,第八章 组合变形及连接部分的计算,95,而中性轴在形心主惯性轴y，z上的截距（图b）为,或,第八章 组合变形及连接部分的计算,由此还可知，中性轴与偏心拉力作用点位于截面形心的相对两侧。,96,中性轴与z轴的夹角b 的正切为,式中的角a 为偏心拉力作用点与截面形心的连线(亦即力偶矩Fe作用的纵向面）和y轴之间的夹角。,第八章 组合变形及连接部分的计算,97,由此式可知：,1.若偏心拉力作用在形心主惯性轴y上(即tana=0)或者作用在形心主惯性轴z上,则恒有tanb=tana,即中性轴垂直于力偶矩Fe所在的纵向面；,第八章 组合变形及连接部分的计算,2.当偏心拉力不作用在任何一根形心主惯性轴而tana 0,tana 90时，只要横截面的形心主惯性矩IzIy，则中性轴就不与力偶矩Fe所在的纵向面垂直。,98,(3)横截面上危险点的位置,对于没有外棱角的截面，为找出横截面上危险点的位置，可在确定中性轴位置后作平行于中性轴的直线使与横截面周边相切(图b)，切点D1和D2分别就是最大拉应力和最大压应力的作用点，根据它们的坐标即可确定最大拉应力和最大压应力的值。,第八章 组合变形及连接部分的计算,横截面有外棱角的杆件受偏心拉伸时，危险点必定在横截面的外棱角处。,(b),99,它们叠加后的应力则如图d，图中还示出了中性轴的位置。,第八章 组合变形及连接部分的计算,例如，矩形截面杆受偏心拉力F作用时,其横截面上分别对应于轴力F，弯矩My=FzF和Mz=FyF的正应力变化规律如图a，b，c所示；,100,由此式还可以看出，如果偏心距e(亦即yF,zF)较小，则横截面上就可能不出现压应力，亦即中性轴不与横截面相交。,最大拉应力st,max和最大压应力sc,max 作用在外棱角D1和D2处，其值为,第八章 组合变形及连接部分的计算,101,例题 试求图示杆件横截面上的最大拉应力和最大压应力。外力F与杆件的轴线平行。,解：轴向外力F未通过横截面形心，故杆件受偏心拉伸。,第八章 组合变形及连接部分的计算,102,1.确定横截面形心的具体位置,横截面的形心C必落在对称轴z上，只需计算形心距参考轴y1的距离(图a)。,103,该截面的形心主惯性矩Iy可利用惯性矩平行移轴公式可知为,形心主惯性矩Iz则为,第八章 组合变形及连接部分的计算,2.确定形心主惯性轴，并求形心主惯性矩,由于包含对称轴在内并通过形心的一对相互垂直的轴就是形心主惯性轴，故图b中的y轴和z轴为形心主惯性轴。,104,3.计算横截面上的内力,FN=F，My=F2a，Mz=F2a,第八章 组合变形及连接部分的计算,105,4.确定最大拉应力和最大压应力作用点位置并计算应力值,杆的横截面上的点D1处(图b)，对应于FN的为拉应力，对应于My和Mz的是各自最大的拉应力，可见该点为st,max的作用点。横截面上点D2处，除对应于FN的是与其它点处等值的拉应力外，对应于My和Mz的则是各自最大的压应力，可见该点为sc,max 的作用点。,第八章 组合变形及连接部分的计算,106,.截面核心,土建工程中的混凝土或砖、石偏心受压柱，往往不允许横截面上出现拉应力。这就要求偏心压力只能作用在横截面形心附近的某个范围内；这个范围称之为截面核心（core of section）。,第八章 组合变形及连接部分的计算,要使偏心压力作用下杆件横截面上不出现拉应力，那么中性轴就不能与横截面相交，一般情况下充其量只能与横截面的周边相切，而在截面的凹入部分则是与周边外接。截面核心的边界正是利用中性轴与周边相切和外接时偏心压力作用点的位置来确定的。,107,图中所示任意形状的截面，y轴和z轴为其形心主惯性轴。,第八章 组合变形及连接部分的计算,为确定截面核心的边界(图中的封闭曲线1-2-3-4-5-1)，可作一系列与截面周边相切和外接的直线把它们视为中性轴。,108,得出每一与圆边相切或外接的直线（中性轴）所对应的偏心压力作用点的位置，亦即截面核心边界上相应点的坐标ryi,rzi,第八章 组合变形及连接部分的计算,根据这些直线中每一直线在y轴和z 轴上的截距ayi和azi即可由前面已讲过的中性轴在形心主惯性轴上截距的计算公式,109,连接这些点所得封闭曲线其包围的范围就是截面核心。应该注意的是，截面核心的每一边界点与对应的截面周边上的切线和外接的直线（中性轴）总是位于截面形心的相对两侧。,第八章 组合变形及连接部分的计算,110,(1)圆截面的截面核心：,圆截面对圆心（形心）O是极对称的，因而其截面核心的边界必然也是一个圆心为O的圆。作一条如图所示与截面周边相切的直线，它在形心主惯性轴y和z上的截距为,而对于圆截面有,从而,111,这就是截面核心边界上点1的坐标。以O为圆心，以d/8为半径所作的圆其包围的范围就是圆形截面的截面核心。,第八章 组合变形及连接部分的计算,112,一个外直径为D，内直径为D/2的空心圆截面，试检验该截面的：,2.该截面核心为半径等于 的圆。,思考:,1.对于形心主惯性轴的惯性半径为,第八章 组合变形及连接部分的计算,113,(2)矩形截面的截面核心,图中y轴和z轴为矩形截面的形心主惯性轴。对于这两根轴的惯性半径iy和iz的平方为,第八章 组合变形及连接部分的计算,作与周边相切的直线,，将它们视为中性轴，根据它们在形心主惯性轴 y,z上的截距便可求得截面核心边界上的相应点1，2，3，4。,114,现以计算与周边上切线相应的核心边界点1的坐标ry1，rz1例作具体计算：,截距,核心边界点坐标,对应于周边上其他三条切线的截面核心边界点的坐标可类似地求得，并也已标注以图中。,第八章 组合变形及连接部分的计算,115,现在的问题是,确定截面核心边界上的四个点1，2，3，4后，相邻各点之间应如何连接。,实际上这就是说，当与截面相切的直线（中性轴）绕截面周边上一点旋转至下一条与周边相切的直线时，偏心压力的作用点按什么轨迹移动。现以切线绕B点旋转至切线时的情况来说明。,116,前面已讲过，杆件偏心受力时横截面上中性轴的方程为,当中性轴绕一点B转动时，位于中性轴上的B点的坐标yB，zB 不变，亦即上式中的y0，z0在此情况下为定值yB，zB，而偏心压力的作用点yF，zF在移动，将上式改写为,第八章 组合变形及连接部分的计算,显然，这是关于yF，zF的直线方程。,117,这表明，当截面周边的切线（中性轴）绕周边上的点转动时，相应的偏心压力的作用点亦即截面核心的边界点沿直线移动。,第八章 组合变形及连接部分的计算,于是在确定截面核心边界上的点1，2，3，4后，顺次以直线连接这些点所得到的菱形便是矩形截面的截面核心。该菱形的对角线长度分别为h/3和b/3(如图所示)。,118,例题 84 试确定图示T形截面的截面核心。图中y,z轴为形心主轴。已知：截面积A=0.6 m2；惯性矩Iy=4810-3 m4,Iz=27.510-3 m4；惯性半径的平方 以及,。,解:对于周边有凹入部分的截面，例如槽形截面、T形截面等，确定截面核心边界点所对应的中性轴仍然不应与截面相交，也就是在周边的凹入部分只能以外接直线作为中性轴。,第八章 组合变形及连接部分的计算,119,图中的6条直线,便是用以确定该T形截面核心边界点1,2,6的中性轴；根据它们各自在形心主惯性轴上的截距计算所得核心边界的结果如下表所示：,第八章 组合变形及连接部分的计算,120,注意到直线（中性轴），中顺次编号的相邻直线都是由前一直线绕定点转动到后一直线，故把核心边界点1，2，6，顺次连以直线便可得到截面核心的边界。,第八章 组合变形及连接部分的计算,121,8-4 扭转和弯曲的组合变形,机械中的许多构件在工作时往往发生扭转与弯曲的组合变形，而且它们多半是实心或空心圆截面杆，图中所示传动轴便是一种典型的情况。土建工程中发生扭弯组合变形的杆件往往是非圆截面的。,第八章 组合变形及连接部分的计算,122,本节讲述圆截面杆发生扭弯组合变形时的强度计算。,图a所示由塑性材料制造的曲拐在铅垂外力作用下，其AB杆的受力图如图b所示。该杆为直径为d 的圆截面杆。,第八章 组合变形及连接部分的计算,123,图c，d示出了AB杆的弯矩图（M 图）和扭矩图（T图）。由于扭弯组合变形情况下不考虑剪力对强度的影响，故未示出剪力图（FS图）。该AB杆的危险截面为固定端处的A截面。,第八章 组合变形及连接部分的计算,124,危险截面上弯曲正应力在与中性轴C3C4垂直方向的变化如图e，扭转切应力沿直径C3C4和C1C2的变化如图f。,第八章 组合变形及连接部分的计算,由此可知危险截面上的危险点为C1和C2。由于杆的材料是拉压许用应力相等的塑性材料，C1和C2两点的危险程度相同，故只需对其中的一个点作强度计算即可。,125,围绕点C1以杆的横截面、径向纵截面和切向纵截面取出单元体，其各面上的应力如图g所示，而,第八章 组合变形及连接部分的计算,126,点C1处于平面应力状态，其三个主应力为,按第三强度理论作强度计算，相当应力为,(a),按第四强度理论作强度计算，相当应力为,(b),第八章 组合变形及连接部分的计算,强度条件为,或,127,究竟按哪个强度理论计算相当应力，在不同设计规范中并不一致。注意到发生扭弯变形的圆截面杆，其危险截面上危险点处：,为便于工程应用，将上式代入式（a），（b）可得：,第八章 组合变形及连接部分的计算,式中，M和T分别为危险截面上的弯矩和扭矩，W为圆截面的弯曲截面系数。,128,需要注意的是，以上所述对于传动轴的强度计算是静力强度计算，只能用于传动轴的初步设计，此时s 的值取得也比较低。事实上，传动轴由于转动，危险截面任何一点处的弯曲正应力是随轴的转动交替变化的。这种应力称为交变应力（alternating stress），工程设计中对于在交变应力下工作的构件另有计算准则。,第八章 组合变形及连接部分的计算,129,例题 85 图a所示钢制实心圆轴其两个齿轮上作用有切向力和径向力，齿轮C 的节圆（齿轮上传递切向力的点构成的圆）直径dC=400 mm,齿轮D的节圆直径dD=200 mm。已知许用应力 s=100 MPa。试按第四强度理论求轴的直径。,第八章 组合变形及连接部分的计算,130,1.作该传动轴的受力图（图b），并作弯矩图Mz图和My图（图c,d）及扭矩图T 图（图e）。,解：,第八章 组合变形及连接部分的计算,131,2.由于圆截面的任何形心轴均为形心主惯性轴，且惯性矩相同，故可将同一截面上的弯矩Mz和My按矢量相加。,第八章 组合变形及连接部分的计算,例如，B截面上的弯矩MzB和MyB（图f）按矢量相加所得的总弯矩MB（图g）为：,132,由Mz图和My图可知，B截面上的总弯矩最大，并且由扭矩图可见B截面上的扭矩与CD段其它横截面上相同，TB-1000 Nm，于是判定横截面B为危险截面。,第八章 组合变形及连接部分的计算,133,3.根据MB和TB按第四强度理论建立的强度条件为,第八章 组合变形及连接部分的计算,即,亦即,于是得,134,8-5 连接件的实用计算法,图a所示螺栓连接主要有三种可能的破坏：,.螺栓被剪断（参见图b和图c）；,.螺栓和钢板因在接触面上受压而发生挤压破坏（螺栓被压扁，钢板在螺栓孔处被压皱）（图d）；,.钢板在螺栓孔削弱的截面处全面发生塑性变形。,第八章 组合变形及连接部分的计算,实用计算法中便是针对这些可能的破坏作近似计算的。,135,(1)剪切的实用计算,在实用计算中，认为连接件的剪切面（图b，c）上各点处切应力相等，即剪切面上的名义切应力为,式中，FS为剪切面上的剪力，As为剪切面的面积。,其中的许用应力则是通过同一材料的试件在类似变形情况下的试验（称为直接试验）测得的破坏剪力也按名义切应力算得极限切应力除以安全因数确定。,第八章 组合变形及连接部分的计算,强度条件,136,(2)挤压的实用计算,在实用计算中，连接件与被连接件之间的挤压应力（bearing stress）是按某些假定进行计算的。,第八章 组合变形及连接部分的计算,对于螺栓连接和铆钉连接，挤压面是半个圆柱形面（图b），挤压面上挤压应力沿半圆周的变化如图c所示，而最大挤压应力sbs的值大致等于把挤压力Fbs除以实际挤压面（接触面）在直径面上的投影。,137,第八章 组合变形及连接部分的计算,故取名义挤压应力为,式中，d 为挤压面高度，d 为螺栓或铆钉的直径。,138,挤压强度条件为,其中的许用挤压应力sbs也是通过直接试验，由挤压破坏时的挤压力按名义挤压应力的公式算得的极限挤压应力除以安全因数确定的。,第八章 组合变形及连接部分的计算,应该注意，挤压应力是连接件与被连接件之间的相互作用，因而当两者的材料不同时，应校核许用挤压应力较低的连接件或被连接件。工程上为便于维修，常采用挤压强度较低的材料制作连接件。,139,(3)拉伸的实用计算,螺栓连接和铆钉连接中，被连接件由于钉孔的削弱，其拉伸强度应以钉孔中心所在横截面为依据；在实用计算中并且不考虑钉孔引起的应力集中。被连接件的拉伸强度条件为,式中：FN为检验强度的钉孔中心