数学概念的教学.ppt

数学概念的教学,案例:“平方根”概念的教学过程,2.归纳概括,明确定义.(1)概括平方根的定义,以及开平方运算的概念;(2)明确平方运算与开平方运算的互逆关系.,3.讨论归纳,建立概念.利用分类讨论思想,分析讨论正数、零、负数的平方根.,5.应用平方根概念计算:基本练习、变式练习(可用计算器).,数学教学从数学知识的形态上进行区分,大体可分为数学概念的教学、数学命题的教学和数学问题解决的教学三个部分.这种区分不是绝对的,事实上这三类教学之间有密切的联系.该案例是一节数学“概念”的教学.那么,数学概念有什么特点呢,在数学概念的教学过程中主要有哪些教学策略呢,以及如何促进学生理解和建构概念呢.,1.数学概念的特点,数学概念是建构数学理论大厦的基石,是学生进行数学思维的核心.学生在解决计算、证明、作图等具体问题中无时无刻不用到数学概念.例如:不了解直角三角形、斜边、斜边上的高、边在直线上的射影、等比中项等概念,则论证“直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上的射影的比例中项”也将变得困难.,1.1.数学概念具有高度的概括性和抽象性,数学概念是客观事物的数和形方面的本质属性的反映.它是排除一类对象的具体物质内容(如颜色、气味、重量等)以后的抽象.数学概念的抽象程度、概括程度还表现出层次性.数学概念通常用抽象的符号表示.这些符号使得数学较其他学科更加简明、清晰、准确.所以,一个数学概念通常包括五个方面:概念的名称、定义、符号、例子和属性.,1.2.数学概念具有一定的系统结构,数学发展的历史表明,数学是一个有机的整体.数学概念是随着数学知识的发展而不断发展,学习数学概念也要在数学知识体系中不断加深认识.数学课程总是把许多重要的数学概念、数学思想按螺旋上升的方式分散安排.这就是要求教师不仅要了解所教内容的意义和应用,更要经常“瞻前顾后”,适时强调该内容与其他内容的联系,促进学生不断从新的角度理解原有的知识,对认知结构进行调整和重新组织.,1.3.许多数学概念同时具有两种属性,数学概念既表现为一种动态的算法、操作过程,又表现为一种静态的结构、对象.这两种途径不仅体现了方法的不同,也代表着不同水平的思维.针对数学概念的二重性特征,在实际运用时必须根据情境的需要,灵活地改变认识的角度,有时要把某个概念当作又操作步骤的过程,有时又需将它作为一个整体性的静态的对象.,2.数学概念教与学的认知心理学基础,现行中学数学课程标准指出:数学课程不仅要考虑数学自身的特点,更应遵循学生学习数学的心理规律,强调数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上.认知心理学认为学习就是学习者原有认知结构的组织和重新组织.这就要求教师进行数学教学时,既要注意学习材料本身的意义和逻辑性,也要关注学生已有知识基础,以及学生学习数学的动机和兴趣.,2.1.学生数学学习的情感因素,认知主义心理学认为,学生的概念形成过程不是消极,被动的,而是个人积极,主动地尝试探究,发现概念的过程.没有学生的积极参与活动和思考,就不可能产生有效的学习.而参与程度与学生学习时产生的情感因素密切相关.因此,数学教学应该关注学习者的情感因素,使学生的非智力因素与智力因素协调发展.,由于数学概念在数学知识学习之先,学生认识不到学习的目的性,重要性,加之数学概念本身较为抽象,常常造成学生缺乏学习的热情.为此,教师应当为学生创设一个积极向上而又民主和谐的数学学习环境,使得他们能够在其中自主地,充满自信地学习数学,平等地交流各自的数学理解,并通过相互合作去解决所面对的问题.在教学任务的设计和安排方面,要充分考虑学生认知的需要.一般而言,好的教学任务应具有以下特征：1.它的关注点应该是数学;2.对学生而言它是富有挑战性的,但也是可达到的;3.它要求学生解释和验证他们的答案.,2.2.学生的日常经验在数学概念形成中的影响,科学概念是指定义明确的,有一定逻辑意义和体系属性的概念.对于同一个概念,学生在系统地学习科学知识之前所具有的想法被人们称为“前概念”.事实上,他们在日常的生活实践中形成了一定的数学概念.他们对现实世界中的空间形式和数量关系有自己的看法和理解.这些概念通常具有合理的成分,但不精确,有些甚至是错误的.更多的例子则表明一些日常经验可以帮助学生理解抽象的数学概念.,作为教师,我们应明确日常概念对科学概念的理解可以产生积极或消极的两种影响.事实上,学生掌握的科学概念许多都是从日常概念中发展而来的,研究学生自身的经验和概念可以使教师更好地理解他们考虑问题的办法和理由.因此,概念教学要以学生的日常概念为基础进行设计,对照科学概念,帮助学生从自发性概念中去粗取精,去伪存真,提高概念教学的效果.,2.3.新旧概念之间的不同关系及其学习类型,1.下位关系学习或类属学习.当新知识从属于学生数学认知结构中已有的,包容范围较广的知识时,则构成下位关系.这是新知识与学生已有认知结构之间的一种最为普遍的关系.从中可以看出,这种学习一般表现为通过增加条件对上位概念进行限制或补充而形成新的概念.,2.上位关系学习或总括学习.当要学习的新知识比已有知识的概括程度更高,包容范围更广,可以把一系列已有知识包容其中时,即原有的观念是从属观念,而新学习的观念是总括性观念.新旧知识之间便构成一种上下位关系,这时的学习就称为上位学习或总括学习.在上位关系学习过程中,关键是从下位概念中归纳概括出它们的共同特征.,3.并列结合学习.如果新旧知识之间既不产生下位关系,又不产生上位关系,但是新的内容与学习者已有的一些观念有某种属性或结构的相似,所以可以通过合理的组织这些潜在的已有的观念学习新知识,这种学习类型就称为并列结合学习.在实际学习中,很多新概念的学习都属于这种学习.通过并列结合学习,学生能够从貌似无关的两个事物中发现它们的某些共同的本质特征,从而获得对知识的一种全新理解.,从上述的论述中可以发现,无论哪种类型的概念学习,在教学开始时一般都需要一些先于具体的教学内容而向学生呈现的一种引导性材料,它的作用是在学生认知结构中原有的观念和新的学习任务之间建立起关联.这些材料在认知心理学中称作“先行组织者”,这种教学策略就是先行组织者策略.,3.数学概念教学的方法,学生的概念学习从本质上看就是概念获得的过程,一般来说,概念获得包括概念形成和概念同化两种方式.学生理解和掌握概念的过程实际上是掌握同类事物的共同,关键属性的过程.如果某类数学对象的关键属性主要是由学生对大量同类数学对象的不同例证进行分析、类比、猜测、联想、归纳等活动基础上,独立概括出来的,那么这种概念获得的方式就叫做概念形成.下面我们以概念形成理论为基础简述数学概念的教学过程.,概念形成的心理过程依次是:(1)感知、辨别不同事例;(2)从一类相同事例中抽出共性;(3)将这种共性与记忆中的观念相联系;(4)同已知的其他概念分化;(5)将本质属性一般化;(6)下定义.,3.1.创设情境引入数学概念,新概念的引入方式一般可分为两大类:一类是从数学概念体系的发展过程中引入新概念;另一类是从解决实际问题的需要出发引入新概念.,(1).从数学知识内部的发展需要引入,有些概念是由某一概念通过逐步推广引申而得到的.如:任意角三角函数由锐角三角函数推广而来.有的概念是由某一概念的内涵或外延进一步推广而得到的.如:高中数学“角”(象限角,任意角),“函数”(对应的观点).有的新概念的产生源于对已有概念的引申思考.如:“平方根”概念就源于开平方运算,即平方运算的逆运算.,又如:高中数学中“函数的单调性”(或“奇偶性”)概念,在引入设计中可以强调.“我们已经学习过好几种函数,有正比函数,反比例函数,一次函数,二次函数和幂函数,对每一种函数都结合图像研究了它们的具体性质,主要有定义域,值域,增减性,对称性,特殊点(例如与坐标轴的交点,最高,最低点,不变点等)等.这些函数之间有区别,但有些性质也是相同的,从这节课开始我们就来研究函数的一些共同性质.”,(2).通过新旧知识的类比引入,类比在数学教学中起着特别重要的作用.广泛用于概念的形成,证明教学和解各类习题的过程中.通过类比引入,运用类比方法也是促进学生在概念学习过程中积极思维的有效途径,因为学生一旦发现新概念同过去已知概念相似,就能推测这些概念特征的相同之处.例如,在形成立体几何基本概念的教学中,可以广泛地运用类比方法,使学生形成一对对类似概念,如圆和球体,角和二面角,平行线和平行平面,三角形和四面体,平行四边形和平行六面体等.对类似的概念进行比较,为确定共同特征和发现差异提供了可能.,(3).从实际应用的需要引入,中学数学的许多概念都有着丰富的现实背景,这不仅可以使学生了解数学的作用,而且为引入数学概念提供很好的素材.例如,负数概念可以从收入与支出,输球与赢球,盈利和亏本等实际问题引入;平均变化率概念可以从平均速度,增长率,膨胀率等实际问题引入;方差概念可以从均值相同时如何选拔参赛运动员等问题引入.,(4).从实验活动引入,数学活动不仅仅限于利用纸和笔进行运算和证明、观察、实验、尝试、猜测等活动也是数学研究的重要方式.有些数学概念就可以通过安排学生亲手实践来探索和发现.这种引入方式有助于学生了解数学概念产生的 背景和线索,加深感悟,促进对数学概念的记忆和理解.例如,小学生第一次学习整数的有余数除法的概念时,就可以采用“分豆子”的实践活动来进行.,3.2.分析、比较不同的例证,对相关属性进行概括和综合,例如,“函数单调性”的教学中,我们就可以首先举出若干函数的例子,若正比函数f(x)=2x,反比例函数f(x)=1/x,二次函数f(x)=x2,让学生观察,思考,初步得出有的“在某个区间上图像上升”,有的“在某个区间上图像下降”,并进而通过表格定量地分析自变量的增大与函数值的变化之间的规律,为学生抽象概括本质属性奠定基础.这里的例证一方面以正例为主;另一方面又要关注正例的多种变式.,3.3.从例证中概括出共同特征,以“函数的单调性”教学为例,上述函数有很多不同的性质,学生观察思考上述例证,教师可以引导学生尝试概括,从图像、函数值等不同的视角概括出“增函数”“减函数”的共同的特征.,3.4.抽象出概念的本质属性,例如“增函数”的定义是“一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果对于定义域D内的某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是增函数.此区间就叫做函数f(x)的单调增区间.”学生独立概括定义时可能出现不全面,不完善的情形,例如不注意“在某个区间上”以及“任意的”,逐步使学生形成和理解用准确的数学语言描述的概念,明确概念的内涵.,数学的符号体系和表示是数学具有意义的成就之一.掌握并运用它可以有效地发展学生数学思考和交流的能力.数学教学应该揭示符号表示的过程及其重要性,教师不仅要介绍和说明数学概念的符号表示,更要在教学中规范的使用数学符号,并且向学生强调数学符号的意义解释,加强文字语言与数学符号语言之间的互换练习.,3.5.形成概念的定义,并用符号表示数学概念,将该概念与其他有关概念进行联系和分化,使新概念与认知结构中已有的起固着点作用的相关概念建立起实质的联系.例如,学习三角函数中的“第一象限的角”这个概念以后,如果不及时与已有的“锐角”概念分化,则学生很容易把两个概念混淆.为此,本阶段教学中应注意:(1)对定义的关键词进行分析.(2)以实例(正例,反例)为载体,让学生进行辨析.防止概念理解错误的一种有效方法是举反例,反例就是与定义对象内涵不一致(扩大或缩小)的例子.(3)让学生自己举出若干实例,检验学生对概念的理解.,3.6.概念正反例证辨析,进一步明确概念内涵和外延,本质上是检验和修正概念定义的过程.通过学生解决用概念作判断的具体事例,形成用概念作判断的具体步骤.通过运用概念,使得抽象概念变成思维中的具体概念.,3.7.概念的初步应用,建立与相关概念的联系,在概念获得的过程中,很重要的是通过概念之间的关系来认识新概念,由于在这个过程中经历了新旧概念的相互作用,无论是已有的概念还是新概念在认识上都有了发展,认知心理学家把此时的概念称为“精致的概念”.在数学学习中,“精致”可以从两个方面进行:一方面是对新概念的内涵与外延进行尽量详细的“深加工”,通常表现为对各种可能的特例或变式进行剖析,分析可能发生的概念理解错误;另一方面是加强概念与概念之间关系结构的“组织”,使所学概念 与其相关的知识之间的联系明确化,从而形成一个合理有序的概念系统.,例如,学习“任意角三角函数”概念后,通过概念的“精致”引导学生认识概念的细节,并将新概念纳入到概念系统中去,使学生全面理解三角函数概念.这里包括如下内容:(1)三角函数值的符号问题;(2)终边与坐标轴重合时的三角函数值;(3)终边相同的同名三角函数值;(4)与锐角三角函数的比较;(5)从“形”的角度看三角函数三角函数线,联系的观点;(6)终边上任意一点的坐标表示的三角函数,等等.,概念同化,如果学习过程是以定义的方式直接向学生呈现概念的关键特征,实际上是新的数学概念在已有概念的基础上添加其他新的特征性质而形成,这时学生利用自己已有认知结构中已有的相关知识对新概念进行加工、改造,从而理解新概念的意义,这种获得概念的方式就叫做概念同化.设计“函数的单调性”的教学案例来进一步强化数学概念的教学.,数学概念教学案例,下面我们通过“函数的单调性”的教学案例来进一步研讨数学概念的教学。,一、教学目标,1.通过数形结合,理解函数单调性的概念,初步掌握利用函数图像和单调性定义判断证明函数单调性的方法.2.通过对函数图像学生观察、归纳单调性定义的探究,渗透数形结合数学思想方法,培养抽象概括的能力,以及数学语言的转换和表达能力;通过对函数单调性的证明,提高学生的推理论证能力.3.通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯,让学生经历从具体到抽象,从特殊到一般,从感性到理性的认知过程.,二、教学重点,函数单调性的概念、判断及证明.,三、教学难点,归纳、抽象概括函数单调性的定义,以及根据定义证明函数的单调性.,四、教学方法,教师启发讲授,学生探究学习.,五、教学辅助手段,计算机、投影仪.,六、教学过程(一)创设情境,引入课题,下图是北京市今年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图.,引导学生识图,捕捉信息,启发学生思考.,问题1:观察图形,能得到什么信息?,预案:(1)当天的最高温度、最低温度以及何时达到;(2)在某时刻的温度;(3)某些时段温度升高,某些时段温度降低.教师归纳概括:在生活中,我们关心很多数据的变化规律,了解这些数据的变化规律,对我们的生活是很有帮助的.,问题2:还能举出生活中其他数据变化情况吗?,预案:水位高低、燃油价格、股票价格等.教师归纳概括:用函数观点看,其实就是随着自变量的变化,函数值相应怎样变化,是变大还是变小.,【设计意图】由生活情境引入新课,激发兴趣.,(二)从直观到抽象,逐步建立概念,对于自变量变化时,函数值是变大还是变小,初中同学们就有了一定的认识,但是没有严格的定义,今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义.,1.借助图像,直观感知,【设计意图】引导学生进行分类描述(增函数、减函数),同时感悟函数的单调性是对定义域内某个区间而言的,是函数的局部性质.,问题4:能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数?,预案:如果函数f(x)在某个区间上随自变量x的增大,y也越来越大,我们说函数f(x)在该区间上为增函数;如果函数f(x)在某个区间上随自变量x的增大,y也越来小,我们说函数f(x)在该区间上为减函数.,教师归纳概括:这种认识是从图像的角度得到的,是对函数单调性的直观描述性.,【设计意图】从图像直观感知函数单调性,完成对函数单调性的第一次认识.,2.探究规律,理性认识,【设计意图】学生的困难是难以确定分界点的确切位置.通过讨论,使学生感受到用函数图像判读函数单调性虽然比较直观,但有时不够精确,需要结合解析式进行严密化、定量化的研究.使学生体会到用数量大小关系严格表达函数单调性的必要性.,对于学生错误的回答,引导学生分别用图形语言和文字语言行辨析,使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举,从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量.,【设计意图】把对单调性的认识由感性上升到理性认识的高度,完成对概念的第二次认识.事实上也给出了证明单调性的方法,为证明单调性做好铺垫.,3.抽象概括,形成概念,问题7:你能用准确的数学符号语言表述增函数的定义吗?师生共同探究,得出增函数严格的定义,然后学生类比得出减函数的定义.,1)单调性是对定义域内某个区间而言的,离开了定义域和相应的区间就谈不上单调性.2)对于某个具体函数的单调区间,可以是整个定义域(如一次函数)可以是定义域内某个区间(如二次函数),也可以根本不单调(如常数).3)函数在定义域内的两个区间A、B上都是增(或减)函数,一般不能认为函数在AUB上式增(或减)函数.,思考:如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数?,【设计意图】让学生由特殊到一般,从具体到抽象归纳单调性的定义,通过对判断题的辨析,加深学生对定义的理解,完成对概念的第三次认识.,(三)概念的初步应用,适当拓展,1.分析解决问题,针对学生可能出现的题,组织学生讨论、交流,2.归纳解题步骤,引导学生归纳证明函数单调性的步骤:设元、作差、变形、断号、定论.,【设计意图】初步掌握根据定义证明函数单调性的方法和步骤.等价形式进一步发展可以导数法,为用导数方法研究函数单调性埋下伏笔.,(四)归纳小结,提高认识,学生交流在本节课学习中的体会、收获、交流学习过程中的体验和感受,师生合作共同完成小结.(1)概念探究过程:直观到抽象、特殊到一般、感性到理性.(2)证明方法和步骤:设元、作差、变形、断号、定论.(3)数学思想方法和思维方法:数形结合,等价转化,类比等.,(五)布置作业,(略),