专题25 参变分离法解决导数问题.docx

专题25参变分离法解决导数问题一、单选题1.已知函数f (x)=ex-b + ax (a, b e R)，且 f (0) = L 当 x > 0 时，f (x) > xcos(x -1)恒成立，则 a 的取值范围为()A. 0,+ooB. (1 -e, +8)C. (-8,e)D. (e, +8)【答案】B【分析】由f(0)= e-b =1,可得b = 0，从而f(x) = ex + ax，从而当x > 0时，a > cos(x -1)-竺恒成立，构造函x数s(x)=竺,x G(0, +8)，可得(x) . =s(1)= e，结合x = 1时，cos(x-1)取得最大值1，从而cos(x-1)的最大值为1-e，只需a >1-e即可.x【详解】由题意，f(0)= e-b =1，解得b = 0，则 f (x) = ex + axe x则当 x > 0 时，ex + ax > xcos(x 1)，即 a > cos(x 1)恒成立，x令 s (x )=二 xe(0, +8)，则 s，(x)= xx 2当xe(0,1)时，s，(x)<0，xe(1, +8) 时，s，(x)>0所以s(x)在0,1上是减函数，在L+oo是增函数， s (x )min = s (1)= e，又因为当x = 1时，cos(x-1)取得最大值1，所以当x =1时，cos(x-1)-竺取得最大值1-ex所以a > 1 -e .故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查不等式恒成立问题，解题关键是将原不等式转化为a > cos(x-1)-竺，进而求出 xcos(X-1)-二的最大值，令其小于a即可.考查学生的逻辑推理能力，计算求解能力，属于中档题. X2.若函数f (x) = xlnx + ac没有极值点，则实数a的取值范围是()r 1)-,+8r1)r 11r1 )A.B.0,-C.-8 ,D.-,0le Jke Jk e _ke J【答案】C【分析】先对函数求导，然后结合极值存在的条件转化为函数图象交点问题，分离参数后结合导数即可求解【详解】由题意可得，ff(x) = 1 + lnX + ac = 0没有零点， 或者有唯一解(但导数在点的两侧符号相同)，1 + ln x即-a =没有交点，或者只有一个交点但交点的两侧符号相同.ex/、 1 + ln x八令 g ( x) =，X > 0ex1 i 1-ln x -1ex则 g'(X)=二令 h(x) = - - ln x -1 则 h(X)在(0, +« )上单调递减且 h (1) = 0 X所以当 0 < X < 1 时，h(x) > 0，g'(x) > 0，g (x)单调递增，当 X > 1 时，h(X) v 0，g'(x) < 0，g(X)单调递减，故当x = 1时，g(X)取得最大值g=上 e又 X 0 时，g (x) T8，X T+8 时，g (x) 0结合图象可知，-a >1即a <-.e e故选：C.【点睛】方法点睛：已知函数没有极值点，求参数值（取值范围）常用的方法：（1）分离参数法：先求导然后将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（2）数形结合法：先求导然后对导函数变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数 的图象，利用数形结合的方法求解.3.若函数f（x）=x2 + 4x+blnx在（0,村）上是减函数，则b的取值范围是（）A. (-8,-2B. (-8,-2)C. (-2, +8)D. -2, +8)【答案】A【分析】f （X） = - x 2 + 4 x + b In x在（0, +8）上是减函数等价于f'（x）< 0在（0,斗8）上恒成立，利用分离参数求解即可.【详解】 f （x） = - x 2 + 4 x + b In x在（0,斗8）上是减函数，所以f'（x）< 0在（0,斗8）上恒成立，即- bf （x） = -2x + 4 + V 0，即 b < 2x2 - 4xx 2x2 - 4x = 2（x -1）2 - 2 >-2， b <-2故选：A.【点睛】本题主要考查“分离参数”在解题中的应用、函数的定义域及利用单调性求参数的范围，属于中档题利用单 调性求参数的范围的常见方法：视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间,"上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单 调的"利用导数转化为不等式f'(x)<o或f'(x)>0恒成立问题求参数范围.4.已知函数f (x) = ex-e + x-e ( e为自然对数的底数)， g (x ) = ln x - ax - ea + 4 . 若存在实数x1, x2,使得f (x1)= g(x2)=l,且1< / < e，则实数a的最大值为 iA.兰B.C.-2ee 2 + ee【答案】C【分析】)D. 1根据f s1可求得e ¥ <。2,利用*)=1得到a=导，将问题转化为心)=宇xee,e2的最大值的求解问题，利用导数求得h(x技 从而求得结果.【详解】f (e) = e0 + e - e = 1， x = e又1<由 g (x2 ) =1，即1nIn x + 3x - ax - ea + 4 = 1，整理得：a =22In x + 3 令 h (x )=x + e -n(x + e )-(1n x + 3)e - In x - 2x eL e e 2,则 h( x )=x= 土，(x + e-e )2y = e和>=-1nx在e, e2上均为减函数，xey = In x 2 在 e, e2 上单调递减，. y= 1 - 1n e 2 = -2 < 0，xJ max即h (x) < 0在e, e2 上恒成立，h (x)在e, e2 上单调递减，In e + 3 22h (x)=h (e )=2=e，即实数a的最大值为e -故选：C.【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，解题关键是能够通过分离变量的方式将问题转化为函数最值的求解问 题，进而利用导数求得函数最值得到结果.15.设函数/ (X )= xe-ax 一在(0, +« )上有两个零点，则实数1的取值范围() xA.r2)8,B. (1,e)C.r 1 2、D.r 2)0,一I e JIe 'e Jk e J【答案】D【分析】令f(x)= 0，进行参变分离得a = 2nX (x>0)，设g (x)= 坐三(x>0)，将问题等价于y = a与g (x)在 Xx(。，+ 8)有两个交点.求导，分析导函数的正负得出函数g (x )的单调性，从而作出图象和最值，运用数形结合的思想可得选项.【详解】令 f (x)= 0，即 xe-c -j_ = 0，解得 a = 2ln x (x >0 )，设 g (x )= 2ln x (x >0 )xxx所以f (x)在(°，+ s)有两个零点等价于y = a与g (x)在(。，+ 8)有两个交点.因为g' (x )= 2 (1 - ln x ) = 0 (x >0 ) 得x = e，所以g (x)在(0，e)上单调递增，在(e，+ 8)上单调递减， x 2所以 g (x) = g (e)= e .如图所示，画出g (x)的大致图象。结合图象可知，当0 < a < -时，y = a与g (x )在(0, + 8)有两个交点，即此时f (x)在(0， + 8)有两个零 e点.A V故选：D.【点睛】本题考查根据函数的零点个数求参数的范围的问题，常采用参变分离的方法，利用导函数研究函数的单调 性和最值，运用数形结合的思想，属于较难题. ,、1)6.已知关于x的万程x2 + 2 = xlnx + k(x + 2)在,+8上有两解，则实数k的取值范围为()_2J/ 9一一B 1,+C (1,2 D (1,eA.j " 1Q 5 Jj.，。.，【答案】B【分析】一 .c 1r 1、一x 2 + 2 x ln x1利用参变量分离法可将问题转化为k =在-，+8上有两解，进而可将问题转化为函数x+2_2J一x 2 + 2 x ln x1、f (x)=与y = k在,+8)上有两个父点，利用导数研究函数/的单调性，利用数形结合x + 22即可求出实数k的取值范围.【详解】由已知可得k = x2 + 2 :ln x在 :,+8 上有两解，x+2_2J尸, 、 x2 + 2 x ln x 令 f (x)=x+21、, Jx2 + 3x 2ln x 4(x + 2)2xG k-, +8)，则问题转化为函数y = f (x)与y = k在k-, +8)上有两个交点，f(x)=(x + 2)2(2 x ln x 1)(x + 2) (x 2 + 2 x ln x)2 2 x 2 + 3 x 2 (2 x 1)(x + 2)令 g (x) = x2 + 3x 2ln x 4，贝g g (x) = 2x + 3 =xxx因为x g 1, +8)，所以g'(x) > Q恒成立，所以g(x)在1, +8)上单调递增，又g=Q 所以当 x G 1,1)时，g (x) V Q，则 f x) V Q ；当 x G 1,+8)时，g '(x)> Q，则 f (x) > Q 所以f (x)在1,1)上单调递减，在1, +8)上单调递增，h"11、4 +2 2ln2 2,9 ln29 ln2所以 f (x)min= f (1) = 1，又 f (2)= 5(4 + T)= 15 + T-+ 22七 9ln2 -所以，实数k的取值范围为1,仍+- .故选：B【点睛】本题主要考查导数在研究函数中的应用，考查函数与方程思想，关键是对参变量分离转化为两个函数图象 的交点个数使问题得以解决，属于难题.7.若函数f (x)= 2x + sin x cos x + a cos x在r上单调递增，则实数a的取值范围是()A. -1,1B. -1,3C. -3,3D. -3厂d【答案】A【分析】求导 f'(x)= 3 2sin2 x a sin x，由题意可得 f' (x )> 0 恒成立，即为 3 - 2sin2 x - a sin x > 0，设t = sinx(1 < t < 1)，即 2t2+at -3 < 0，分t = 0，0< t < 1，-1 < t < 0 三种情况，分别求得范围，可得 实数a的取值范围.【详解】由函数 f (x) = 2x + sin xcos x + a cos x 得 f' (x)= 3 - 2sin2 x - a sin x，由题意可得 f' (x)> 0 恒成立， 即为 3 - 2sin 2 x - a sin x > 0设t = sinx(-1 <t < 1)，即 2t2+at-3 < 0当t = 0时，不等式显然成立；当0<t <1时，a < 一-2t，由y =-一2t在(。，1上单调递减，可得t =】时，y = -2t取得最小值1，可 ttt得a <1一 3 _33 一当-1 <t < 0时，a > -2t，由y = - 2t在-10上单调递减，可得t = -1时，y = - 2t取得最小值-1 ttt可得a >-1综上可得实数a的取值范围是-11 故选：A.【点睛】本题考查运用导函数研究函数的单调性，由函数的单调性求参数的范围，利用参变分离的方法解决不等式的恒成立问题，属于较难题.，一一一 1 一、一 -8.若关于x的不等式(】+2) XMX豚Mm在区间，e (e为自然对数的底数)上有实数解，则实数a的最ee(e - 2)D.e(3 - e)1 2e B. e(e +1)C.大值是()A.- 1【答案】D【分析】先对(a + 2)x < x2 + aln x化简，a(x - In x) < x2 - 2x，用导数判断x-Inx在x e i,e的符号为正，可转 ex 2 2 x1x 2 2 x化为a < x lnx，在x e e，e有解，设/(x) = x lnx，利用导数求函数f(x)的最大值/(x)max，则a< f (x)max，即实数a的最大值为f (x)max.【详解】由(a + 2)x < x2 + a In x，得 a(x - In x) < x2 - 2x，令 g(x) = x In x， x e ,e e则 g'(x) = 1 -(x - In x)2令 u(x) = x + 2 2ln x， x e 1, e，则 u '(x) = 1 -ex 故u(x)在,2)递减，在(2,e递增，故u(x) > u(2) = 4 2ln 2 > 0e一 1 一-、_1、1 - 2e-e2-2e故 f(x)在,1)递减，在(1,e递增，又 f ( ) = < 0，f (e) => 0ee e + e 2e 1e2 2ee2 2e故 f (x)= f (e)=，故 a <maxe 1e 1，则 g(x)在L1)递减，在(1,e递增，则 g(x) N gT > 0xex 2 2 x1即由 a(x-Inx) < x2 -2x，得a <，x e 一,e有解，x In xe设 f (x)=则 f'(x)=x 2 2 x1-，x e 一，e x In xe(x 1)(x + 2 2ln x)(x ln x)21(2x - 2)(x - In x) - (1 )(x2 - 2x) xe2 - 2即实数a的最大值为-e 一 1故选：D.【点睛】本题考查了不等式有解的问题，并多次利用导数研究函数的单调性求最值，考查了学生的转化能力，逻辑 思维能力，运算能力，难度较大.9.已知函数f(x)= ex 一 x 一1，g(x)= ln x 一 ax -1( a > 0，e为自然对数的底数).若存在x0 £(。, + 8)，使得f(x°>g(x°)>0，则实数a的取值范围为()A.(0,1)B.r 1、0，-C.r 1 0，-D.r 1)O,二l e Jl e 2 Jl e3j【答案】C【分析】证明出当x > 0时f (x )> 0，由题意可得出女> 0使得g (x)> 0，即a < lnX-1，构造函数h (x )= lnX-1 xx利用导数求得函数y = h (x)的最大值，结合a > 0可求得实数a的取值范围.【详解】当x > 0时，f (x) =ex 一 x 一 1则 f，(x)=ex -1 > 0所以，函数y = f (x)在(0,村)上单调递增，f(x)> f(0)= 0由题意可知，3x > 0使得g (x )> °，即a <lnxz1x令 h (x)= m x '，其中 x > 0，则a < h (x) ，h (x )= 2 ；x，令 h'(x )= 0，得 x = e2，列表如下:x(0,e2)e 2(e 2, +.)h'(x )+0h (x )单调递增极大值单调递减所以，函数j=h G)的最大值为h G)=max又.a > 0,0 < a < e 2J 1 因此，实数a的取值范围是0，".V e 2 7故选：C.【点睛】本题考查利用导数研究不等式能成立问题，考查了参变量分离法的应用，考查计算能力，属于中等题10.已知函数f (x) = ex + ax 3，其中a eR，若对于任意的x，x e1，+3)，且x <x，都有x f (x )121221-x1f (x2 )< a (x1 x2)成立， 则a的取值范围是()A. 3, +3)B. 2, +8)C. (03D. (3,2 【答案】C 【分析】恒成立，构造函数h(x)二虫空，求导x由已知将原不等式等价于f (气)+ a < f °2)+a xxxex 一 ex + 3 一 ah (x) => 0在1，+3)上恒成立，运用参变分离可得选项.x 2【详解】口对于任意的 x，x e1，+3)，且 x < x，都有 x f (x ) x f (x )< a (x x )成立， 1212211212口不等式等价为虫比<恒成立，xx令h(x) = f (x) + a，则不等式等价为当x < x时，h (x )< h (x )恒成立，即函数h(x)在(L +3)上为增函数;x1212ex + ax 3 + axex ex + 3 ah(x)=，则 h (x) => 0 在1，+3)上恒成立；xx 2 xex ex + 3 a > 0 ；即 a 3 < xex ex 恒成立，令 g(x) = xex ex， g'(x) = xex > 0 g(x)在1，+3)上为增函数；口 g(x) > g(1) = 0 ； 3 aN0口 a的取值范围是(一8,3.故选：C.【点睛】本题考查构造函数，运用导函数解决不等式恒成立的问题，构造合适的函数是关键，属于较难题.11.已知函数f Q)=兰+ (m + 1)ex + 2(m c R)有两个极值点，则实数m的取值范围为()2-1八-1 八(1A._，0B. 1 ，1C. 8，_ e _e )e)【答案】BD.(0”)【分析】求导f，(x)= x + (m + 1)ex，将问题转化为f ,(x)= x + (m + 1)ex有两个不同的零点，也即是关于x的方程m-1 =-有两个不同的解，构造函数g (x)=-，求导g' (x)= 1X，分析导函数取得正负的区间， exexex从而得函数g (x)的单调性和最值，从而可得选项.【详解】函数f (x)的定义域为R，f' (x)= x + (m + 1)ex，因为函数f (x)有两个极值点，所以扩()=x + (m + 1)ex有两个不同的零点，, x故关于X的万程m 1 =有两个不同的解，ex令 g (x)=-，则 g' (x )= 1x，当 x 6(3,1)时， exexg '(x)> 0，当 x c (1,+8)时，g' (x)<0所以函数g (x)在区间(8,1)上单调递增，在区间(1,+8)上单调递减，又当 x T3 时，g (x)T3 ；当 x +8 时，g (x)T 01 一1且 x > 0, g (x) > 0 g (1)=，故 0 <m 1< ee1即一1 一一 < m < 1.e故选：B.【点睛】本题考查运用导函数研究函数的单调性、最值、极值，关键在于构造合适的函数，参变分离的方法的运用，属于中档题.12.已知函数f (x)= x3 -ax在(-1,1)上单调递减，则实数a的取值范围为()A. (1,+8)B. 3,+8)C.(-8,1D. (-8,3 【答案】B【分析】根据f '3) v 0在(-1,1)上恒成立求解.【详解】 f (x) = x3 ax， f' (x) = 3x2 a又函数f (x)在(-1,1)上单调递减，口 f'(x) = 3x2 - a < 0在(-1,1)上恒成立，即a > 3x2在(-1,1)上恒成立.当 x e (-1,1)时，0 < 3x3 < 3，口 a > 3所以实数a的取值范围是3, +8)故选：B.【点睛】本题考查根据导函数研究函数的单调性，以及不等式的恒成立问题，注意当f '3) < 03 e D)时，则函数f (x)在区间D上单调递减；而当函数f (x)在区间D上单调递减时，则有f'(x) < 0在区间D上恒成立.解题时要注意不等式是否含有等号，属于中档题.13 .对于函数f (x)，把满足f (x0 )= x0的实数x0叫做函数f (x)的不动点.设f (x)= a ln x， 若f (x )有两个不动点，则实数a的取值范围是(A.(0,e)B. (e, +8)C.(1,+8)D.(1,e)【答案】B 【分析】讨论单调性和最值，结合图象可得答案.【详解】1X/ 、 Xz A In X -1由olnx = x得i= (x>O,xl),令g(x)=,贝iJg'(W=,InxInx(In x)2g'M >。得g(x)在(6+8)单调递增，g'3) < o得g3)在(0,1)和(l,e)单调递减,所以g3)的极小值为g) = e,图象如图所示，由图可知，a e (e, +oo)时，fG)有两个不动点,【点睛】本题考查了函数新定义的应用,由导数确定函数的单调性与最值，考查了分离参数法与构造函数法的应用14.已知函数 f (x) = -ax, x e(0,+oo)/G ) /G )当X >x时，不等式 < 恒成立，则实数。的21X尤21取值范围为()A.(8,gC.(aIFD.'e<-00,2【答案】D【分析】可知函数y = g(尤)在区间(°, *°)上单调递由题意得出Xj G) < X2f (% ),构造函数g G) = c F2 ,增，可得出gr(x)=ex-2ax>Q对任意的工>。恒成立，利用参变量分离法可得出a< ,利用导数求得 2x函数在区间(o,*°)上的最小值，由此可求得实数。的取值范围. 2x【详解】函数fx)= -ax的定义域为(。,中)，当x时，尹(气)<()恒成立, X21X21即xf(x)<xf(x ),构造函数g(x) = xf(x) = e-r-ax2 贝Jg(x )< g(x ),112212所以，函数g(x)= ex -ax2在区间(0, +8)上为增函数，则g '(x)= ex - 2ax > 0对任意的x > 0恒成立，.a <竺2 x令h(x)= 2-，其中x > 0，则a < h(x七姑hh(x)= '(x-1)，当 0 < x < 1 时，h(x)< 0，此时函数 y = h(x)单调递减； 2 x 2当x> 1时，h'(x)>0，此时函数y = h(x)单调递增.所以，函数y = h的最小值为h(x). = h(1)=§，.a < 2.r e 1因此，实数a的取值范围是s，w .V2 -故选：D.【点睛】本题考查利用函数在区间上的单调性求参数，根据不等式的结构特征构造合适的函数是解题的关键，考查 分析问题和解决问题的能力，属于中等题.二、多选题A.C./ (x)在x =、; e处取得极大值2e f (2)< f (-'7)< f ( 3)成对于函数f (x)=学，下列说法正确的是()B. f (x)有两个不同的零点D.若f (x)< k 在(0,中)上恒成立，则k > 2 x 22【答案】ACD 【分析】A.先求函数的导数f' (x)= 1 为*，判断函数的单调性，判断函数的极大值；B.根据函数的解析式，直接求函数的零点；C.根据函数的单调区间，直接比较大小；D.不等式转化为k > f(x)+ £在(°，Q上恒1 ln x +1成立，即求函数g(x) = f (x)+=的最大值.x 2x 2【详解】1 - 2ln x由已知，f'(x)=:，令 f'(X) > 0 得0 v X V、je，令 f'(x) V 0 得XLe，故 f (x)在(02上单调递增，在(2 E单调递减，所以f (x)的极大值为2= 土A正确;又令f (x) = 0得InX = 0，即x = 1，f (x)只有1个零点，3不正确；即f (x)+ V k在(0, +8)上恒成立，设，令 g'(x) V 0 得 x > e-1，故 g(x)x e 2函数在(e, +8上单调递减，因为2 >寸兀> f'3 > ye，所以f(2)v f Ct)v f G)，故C正确;若f (x)vk-在(0,中)上恒成立 X 2g(X) = f (X)+1 = 5x2x22ln x 1g，=，令 g (x) > 0 得 0在(0 e-2)上单调递增，在(e-2 +8)单调递减，所以g(X)= g(e一2) = e，k > max22故D正确.故选：ACD【点睛】本题考查利用导数研究函数的性质，涉及到函数的极值、零点、不等式恒成立等问题，考查学生的逻辑推 理能力，是一道中档题.16.关于函数f(x) = aex cos x，x g (n, n) 下列说法正确的是()A. 当a = 1时，f (x)在x = 0处的切线方程为V = xB. 若函数f (x)在(n,兀)上恰有一个极值，则a = 0C. 对任意a > 0，f (x)> 0恒成立D. 当a = 1时，f (x)在(n,兀)上恰有2个零点【答案】ABD【分析】直接逐一验证选项，利用导数的几何意义求切线方程，即可判断A选项；利用分离参数法，构造新函数和 利用导数研究函数的单调性和极值、最值，即可判断BC选项；通过构造新函数，转化为两函数的交点个数 来解决零点个数问题，即可判断D选项.【详解】 解：对于A,当3 = 1 时，/G)=ex-cosx, xe(-7i,7i),所以f（O）=eo-cos0=0,故切点为（0, 0）, 则f'G)=s+sinx,所以f'(o)=eo+sin。=1,故切线斜率为 1, 所以fG）在x = 0处的切线方程为：y-0 = lx（x-0）,即> = x,故a 正确;对于B,-COSXx e (-71,71),则 /'(%)= +sinx若函数fG）在（-兀，兀）上恰有一个极值，即f'G）=。在（-兀，冗）上恰有一个解, 令广（、）=。， 艮 aex + sin x =0在（-缶兀）上恰有一个解,则q =二业在（-兀,兀）上恰有一个解，ex即y = a与gG）=观三的图象在（兀，兀）上恰有一个交点，ex,（ sin x - cos x（g lx）=, xek-7i,7ij,ex令g，G）=o,解得：七=_牙，当U "，兀时，g W>0 ,当xe时，g UJ<0,k 4 7 V 4 JV 4 4y二 gG）在-兀,-3"上单调递增，在3兀丸、（71）上单调递减，在丁，冗上单调递增,7所以极大值为g _兰=工_>0,极小值为g，=W_<0,I 4 J 普打e 4。4而 8（-丸）=。房（丸）二。活（。）=。，ex作出 g（x）=m, xe（-7i,7i） 的大致图象，如下：由图可知，当a = 0时，y = a与g (工)=-的图象在(缶兀)上恰有一个交点， ex即函数f (x )在(缶兀)上恰有一个极值，则a = 0，故B正确;对于C，要使得f (x)> 0恒成立，(n, n)上，f (x) =aex cos x > 0 恒成立，(n, n )上，cos x恒成立，1 cos x ) 即。> k ex )maxcos x sin x cos x设h(x)=， xe(n,n)，贝ijh (x)=ex，x e(n, n)令 h(x )=0兀解得：x1 =3兀x =24"(x)> 0丑、hf(x )< 0h (x)在1 n 3n Ak 4<4 )-二上单调递增，在-丁，丁 上单调递减，13兀A在丁,兀上单调递增， k 4所以极大值为h fk 4)=£ > 0口e4h (丸)=上，h (丸)=e兀e兀cos x史所以hG）=竺2在x g （-n，兀）上的最大值为h，_七=二 0 , 保（4）_jtv2所以a >时，正e 4在xG(-n,n)上，f (x)= aex -cosx>0恒成立，至即当a 二 时，f （x） 0才恒成立，正e 4所以对任意a 0，f （x） 0不恒成立，故C不正确;对于D，当a = 1 时，f(x) = ex-cosx，xg(n,n) 令 f (x )= 0，则 f (x)= ex - cos x = 0，即 e x = cos x作出函数y = ex和J = cosx的图象，可知在xg（兀,兀）内，两个图象恰有两个交点，则f （x）在（-缶兀）上恰有2个零点，故D正确.故选：ABD.【点睛】 本题考查函数和导数的综合应用，考查利用导数的几何意义求切线方程，考查分离参数法的应用和构造新 函数，以及利用导数研究函数的单调性、极值最值、零点等，考查化简运算能力和数形结合思想 三、解答题17.已知函数/ (x) = a + ln x - ax, 且f (x )<0恒成立.(1) 求实数a的值；(2) 记 h (x)=x f (x)+x，若 m e Z，且当 x e(1, +3)时，不等式 h (x)> m (x -1)恒成立，求 m 的最 大值.【答案】(1) 1 ； (2) 3.【分析】(1)由条件可得x =1是f (x)的极大值点，从而f'(1)= 0，可得答案.(2)由条件h(x)= x + xlnx，根据条件可得m V x + xlnx对任意的x > 1恒成立，令x 一 1g (x)= x+x m x (x > 1)，求出g (x)的导函数，得出g (x)单调区间，利用函数的隐零点，分析得出答案 x 一 1【详解】(1)解：f(x)的定义域是(0, +3)因为f (1)= 0，f (x) 0恒成立，所以x = 1是f (x)的极大值点，所以f(1)=0因为 f，(x)=1 - a，所以 f，(1)=1 - a = 0，所以 a = 1 x(2)依题意得，h(x)= x + xlnx，h(x)>m(x-1) x + x ln x > m(x -1)因为x > 1，所以m V x + x Yx对任意的x > 1恒成立，x 一 1x + xlnx(v)_ x-lnx一2令 g (x)= x一 (x > 1)，则 g (x)= (x-1)2令s(x)= x-lnx-2(x> 1)，则s*x) = 1 - = x_1 >0 xx所以函数s (x)在(1,+3)上单调递增.因为s(3)= 1-ln3 V 0，s(4)= 2-ln4 > 0所以方程s (x)= 0在(1，+3)上存在唯一的实数根x0，且x0 e(3,4)则 s(x )= x -Inx -2 = 0000所以lnx° = x° -2， 当 1 < x < x° 时，s (x)< 0，即 g ,(x )< 0 ； 当 x >x° 时，s (x )> 0，即 g '(x)>0,所以函数g(x)= x+x二x在(1,x )上单调递减，在(x , +8)上单调递增.x 一 100所以 g (x) = g (x )=七'1 + ：xo) min 0 x 10把口代入得，g(x0)=0x 1 0所以 m < g (x) . = x° g (3,4)，x0(1 + x0-2)= x，xg(3,4)0故整数m的最大值是3.【点睛】 关键点睛：本题考查根据恒成立求参数的最大整数值，考查函数的隐零点的整体然换的应用，解答本题的 关键是由函数s(x)在(1,+8)上单调递增，得出S(x)= 0在(1,+8)上存在唯一的实数根x0,且x0 g(3,4)得出g (x)单调性，从而得出g (x )mm = g (x0 )= ，然后将ln x0 = x0 一 2代入得出 0g(x0)G(3,4 )，属于难题.18.已知函数f 3) = ax3 + bx2(x G R)的图象过点尸(T,2),且在P处的切线恰好与直线x一 3y = 0垂直.(1)求f (x)的解析式;(2)若g=mf-3x在-1,0上是减函数，求m的取值范围.【答案】(1) f (x) = x3 + 3x2 ； (2) m >-1.【分析】 (1)求