专题11 椭圆及其性质.docx

专题11椭圆及其性质【母题来源】2021年高考乙卷【母题题文】设B是椭圆C:挡+ 2 = 1（a > b > 0）的上顶点，若C上的任意一点p都满足I PB l< 2b，则 a 2 b 2C的离心率的取值范围是A.孚,1;,C.r很°，1D.(1 。；2 )2 J"2B.()【答案】C【试题解析】设P（%，y0），由B（0,b）a2 = b2 + c2，所以PB |2 = X2 +(y - b)2 = a2c 2b2b3 )2+云因为-b < y0 < bb3,一 < -b，即 b 2 > c 2 时 c 2|PB|2 = 4b2，即 PB=2b，符合题意，由b2 > c2可 max即0 < e <巨；2即 b 2 < c 2 时，PBb 42 = + a 2max c 2+ b 2，即竺 + a 2 + b 2 < 4b 2，化简得，(c 2 一 b 2) < 0，显 c 2然该不等式不成立.故选：C.【命题意图】1. 考查椭圆的定义、标准方程、几何图形及简单几何性质.2. 考查运算求解能力，运用数形结合思想分析与解决问题的能力.【命题方向】椭圆的定义、方程与性质是每年高考的热点，多以选择题、填空题的形式进行考查，难度中档【得分要点】解答此类题目，一般考虑如下三步：第一步：定焦点所在的轴，即根据标准方程的形式，确定焦点所在的坐标轴；第二步：定几何元素的值，根据标准方程或已知条件，确定。,b,。的值或齐次式关系；第三步：运算求解，根据几何性质运算求解.求椭圆的离心率主要的方法有：根据条件分别求出a与c，然后利用e =-计算求得离心率；或者根据已知条件建立关于a,b,c的等量关系 a式或不等关系式，由此得到方程或不等式，通过解方程或不等式求解离心率的值或取值范围常用结论：I OP I有最小值b，P点在短轴端点X 2 V 21.设椭圆+ - = 1（。> b > 0）上任意一点P（x, y），则当x一。时， a 2 b 2处；当x = ±a时，I OP I有最大值a，P点在长轴端点处.2. 已知过焦点的弦AB，则AB%的周长为4A.一、单选题L （2。21四川雅安市.雅安中学高二期中（理）椭圆E的焦点为F F2，P是E上一点，若PF ± PF ,ZPFF = 60，则该椭圆的离心率为（）1221A.圣2OB. 2-3寸3 -1C.2D.寸3 -1【答案】D【分析】设I PF2I= m，则根据平面几何知识可求此F）PF，再结合椭圆定义可求离心率.【详解】在FPF 中，ZFPF = 90 , ZPFF = 60。12122 1设I PF2I= m，则 2c = FF2 = 2m, |PF| = J3m又由椭圆定义可知2 = IP。|+|PF2| =(招+ 1)mc则离心率e = _ = a2c2m2( + 1)m 容 +1，故选：D.【点睛】 思路点睛：椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判断平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆，二是利用 定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率问题等；“焦点三角形”是椭圆问题中的常考知 识点，在解决这类问题时经常会用到正弦定理，余弦定理以及椭圆的定义% 2 V 22. （2021 湖南高三其他模拟）已知F，F2分别为椭圆C: a- + L. = 1（ab > 0）的左右焦点，过原点O且倾斜角为60°的直线l与椭圆C的一个交点为M，若吃上MF?，则椭圆的离心率为（）A. 4 + 2容B. 4-2（3C. 1f'3D.寸'3-1【答案】D【分析】依题意可得MF1，Mq的值，由椭圆的定义可得a，c的关系，即求出离心率的值.【详解】解：依题意可得|oMl = 2 |ff2I =c.又 ZMOF2 = 60。IMF2I = c，MF =尽，二 2a = & + c，二 e =；=也-1.故选：D.3. （2021-正阳县高级中学高三其他模拟（文）已知椭圆C:兰+兰= 1（a >b > 0）的左右焦点分别是F , a 2 b 21直线y = kx与椭圆C交于A , B两点，AF = 3 BF且/AO 6。，则椭圆C的离心率是（）A.9C. 163D. 4【答案】B【分析】根据椭圆的对称性可知，AF2 = BF设 AfJ = m由afcd._ I 3a=31BF |以及椭圆定义可得|AFj = y在时£中再根据余弦定理即可得到牝一 7a224从而可求出椭圆C的离心率.【详解】由椭圆的对称性，得lAFl = lBF 1- lAFl=m ,则lAFl=3m .由椭圆的定义，知AF l+lAFl=2a，即212I 112m + 3m = 2a解得m =-故I AFJ =普在 AFF 中，由余弦定理，得 |FF |2 = AF I2 + AF I2 - 2| AF|AF I cos /F AF，即1 21 1 212121 2/9a 2 a 23a a 1 7 a 2c 2 7<74c 2 + 2 x x x ，贝I e 2 ，故 e 442 2 24a2 164故选：B.4. （2021-湖南永州市高三其他模拟）已知椭圆的方程为三+ b- = 1（ab > 0），F、。为椭圆的左右焦点，P为椭圆上在第一象限的一点，I为.PFF2的内心，直线PI与X轴交于点Q，若PQ = 3 IQ ,则该椭圆的离心率为（）1B.32Da【答案】A 【分析】 连接IF、IF，I是APFF的内心，得到PQ为/FPF的角平分线，即Q到直线PF、PF的距离相等，121 21212利用三角形的面积比，得到=倒:F*=PF1PF21F1Fa，结合椭圆的离心率的定义，即可求解c【详解】 如图所示，连接IF、吃，I是?F2的内心， 可得气、IF2分别是/PF】F2和ZPF2F的角平分线， 由于经过点P与?f2的内切圆圆心I的直线交X轴于点Q，则PQ为/匕PF2的角平分线，则Q到直线PF】、PF2的距离相等，PFQF1-1PF2QF2同理可得四=S PFQ 所以S FQ PFQPFilPIl_PF2|/Q| FQl' |/Q| F2Q|由比例关系性质可知%亮隔=I 121 21c IQ 1又因为pi2 iq，所以椭圆的离心率e、=p=2.+ PF22a _ a2c c【点睛】求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得SC得值，根据离心率的定义求解离心率e2、齐次式法：由已知条件得出关于S c的二元齐次方程，然后转化为关于e的一元二次方程求解；3、特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.5. （2021-安徽师范大学附属中学高三其他模拟（理）设A为椭圆挡+ 2 = 1（a > b > 0）上一点，点A关 a 2 b 2F为椭圆的右焦点，且AF 1 BF，若ZABF e %,4，则该椭圆离心率的取值于原点的对称点为B，12 4范围为（）.A.:B."1:C.史而 2 '3D.'k-【答案】C【分析】设左焦点为F'根据椭圆定义I AF I+ AF' = 2a，可得| BF = AF，设ZABF =a，则由I AF I +1 BF = 2a 可得 2c sin 以 + 2c cos以=2ae =1x 一兀兀 I整理得HsinR + 习，根据ZABF e|_E，4可k 4)求.【详解】A为椭圆上一点，点A关于原点的对称点为B，则B也在椭圆上，设左焦点为F'，则根据椭圆定义1 AF + AF- = 2a，又 I BF 1=: AF I + I BF 1= 2a, O是Rt ABF的斜边中点，：AB I= 2c设 ZABF =a，则 I AF I= 2c sin a , I BF I= 2c cos a:2c sin a + 2c cos a = 2a ,:=a sin a + cos ae =1=1即 sin a + cos a w .( 兀) V2sin a+丁V 4 7a =ZABF e兀兀12,42+7 7PB |2 = x2 + (y - b)2 =a2 1 -戋 +(y -b)2V b2 7c2 =0b2r、y°+巨Vc 2 7/ sin aV故选：C.W W W 【点睛】 关键点睛：本题考查椭圆的性质，解题的关键是将离心率表示为关于a的函数.6. (2021-全国高考真题(理)设B是椭圆C :兰+ * = 1(a > b > 0)的上顶点，若C上的任意一点p都满 a 2b 2足I PB I< 2b,则C的离心率的取值范围是()A.悴17 B. HC。.弓D. V0,【答案】C【分析】设P(%'”，由B(°b)，根据两点间的距离公式表示出PB，分类讨论求出PB的最大值，再构建齐次不等式，解出即可.【详解】 设p(x°, y°)，由 B(°,b)，因为配 + y- = 1， a2 = b2 + c2，所以 因为-b < y0 < b，当；<b，即b2 > c2 时，|P8|2 = 4b2，即 PB = 2b，符合题意，由b2 > c2 可得 a2 > 2c2，即 0 < e <2b3b 4一b 4当 一一 >b，即 b 2 < c 2 时，PB |2 = 一 + a 2 + b 2，即 一 + a 2 + b 2 < 4b 2，化间得，c2 一 b2 / < 0，显然该不等式不成立.故选：C.【点睛】本题解题关键是如何求出|PB |的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单 调性从而确定最值.x 2 y 27. （2020-安徽滁州市高二期中（文）已知F, F是椭圆C: +二=1（a > b > 0）的左、右焦点，点P在1 2a 2 b 2a 2 + e2椭圆C上，线段PF2与圆x 2 + y 2 = b 2相切于点Q，且点Q为线段PF2的中点，则一 （其中e为椭圆C的离心率）的最小值为（）A.福B.孕C. J5D.虾 【答案】C【解析】连接 PF1，OQ，由 OQ 为中位线，可得 OQnPF1,OQ=1 |PF|，圆 x2+y2=b2，可得|OQ|=b,即有|PF|=2b，由椭圆的定义可得| PF|+|PF2|=2，可得 | PF=2a-2b,又 OQDPF2，可得 PF1DPF2，即有(2b)2+(2a-2b)2=(2c)2,即为 b2+a2-2ab+b2=c2=a2-b2,化为 2a=3b,即 b = ac = M 2 - b 2 = a，即有 e = = 5|则 0 =箜=1 f a + -5 V1 x 2jU =B 3b2a 219a) 2 V 9a 3当且仅当a = 9-，即 a f 时,竺芸取得最小值¥ .a 2 + e 2l则的最小值为<5 本题选择C选项.f 1八2），则实数k的取值范围是（A. (0,6)B. (0,6)f 32、C. (0,3)f 16),+3,+31 3)13)D. (0,2)【答案】B【分析】由题意和椭圆性质可得当k > 8时，攵 < 1；当 0 < k < 8 时，1-<2< 1 -8.（2021 全国高二单元测试）设e是椭圆XL +子=1的离心率，且e e解不等式后即可得解.，c 2 = a 2 一 b 2 可得:【详解】ce =a当 k > 8 时，c 2 = k 81:k 8732由条件知2 <、, k < 1,解得k > 3当 0 < k < 8 时，S= 8 - k，由条件知 2 <：m v 1,解得 0 < k < 6.故选：B.【点睛】本题考查了椭圆的性质，考查了分类讨论思想，属于基础题.9.（2019-福建莆田市,莆田一中高二月考）已知匕、F2分别为椭圆c: + b- = 1（. > b > 0）的左、右焦点，过f且垂直于工轴的直线交椭圆C于A，B两点，若ABF2为钝角三角形，则椭圆C的离心率e的取值范围为（）C.A.B（0,客1）D.3 -1,1【答案】A 【分析】 根据abf2为钝角三角形，得到I牛|>|FJ，从而由亳> &求解.【详解】因为abf2为钝角三角形，所以> EFJ，即 b > 2c，即 b 2 > 2ac即 a 2 c2 > 2acBP e2 + 2e 1 < 0又因为0 < e < 1所以椭圆C的离心率e的取值范围为原 2-1)故选：A【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题二、填空题10. (2021-江苏南通市高三其他模拟)已知椭圆C" |2 + y = 1(a > b > 0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，§的中心与C的顶点重合.若椭圆C1与抛物线C相交于点A、B，且直线AB经过点F，则椭 圆C1的离心率为.【答案】J2-1【分析】作出图形，分析可得|AF| = MF = 2c，|AM| = 2j2c，利用椭圆的定义可得出关于a、c的齐次等式，由此可解得椭圆C1的离心率的值.【详解】过点A作抛物线C2的准线的垂线AH，垂足为点H，设点M为椭圆§的左焦点，由抛物线的定义可得AH = AF,易知点A、B关于X轴对称，则AF 1 x轴，又因为MH 1 X轴，所以，四边形AFMH为正方形，可得I AM| = t'2|MF| = 2寸云因为 |AF| = MF = 2c，由椭圆的定义可得|AM|+ |AF| = 2a，即 2"：'2c + 2c = 2ac 2.因此，椭圆C的离心率为e = _=。.丁 L2 一1.1a 22+2故答案为：J2 -1.x 2 y 211. （2021-山东烟台市高二其他模拟）已知椭圆C: + b =l（a > b > 0）的左 右焦点分别为F，F2，过 原点的直线与C交于A，B两点（A在第一象限），若IAB1= 2加 -b2，且sin ZABF< 2sin /晚匕，则 椭圆离心率的取值范围是.【答案】 【分析】4c2 AF 2 + AF 21 4 2AF - AF首先根据已知条件找到e2 =疝= GFE2，转化为谜=1 + AF2 1+ AF22 ,进而整理2AF-AF21=-AF 2 + AF 2 AF_+ AF12 aF aF1212AF然后把af整体看做变量，找到其范围，求出函数的值域即可.2【详解】口直线AB过原点，所以A, B关于原点对称，即OA = OBI AB = 2方2 - b2 = 2c又口 OF = OF，FF = 2c121 2口四边形AFBF为矩形 ZF AF = 90AF1 + AF2= 2aAF2 + AF2 =(2c4c2 AF 2 + AF 21 1 2AF - AFe 2 = i2 n = 1 +13-4a2 (a< + AF )2 e2 AF2 + AF2在 Rt AFB 中，sin /ABF = AF sin ZBAF =咀11 AB1 AB sin /ABF < 2sin /BAF，口 AF < 2BF1111 BF = AF2 AF1 < 2AF2A在第一象限，口 A<> AF2 AF < AF < 2AF2 1 < AF < 2 AF2AF1 ( 5a = AF，则有t+产F' 22AF-AF22 4 八1=G .1AF 2 + AF 2 AF + 荣 t + 1 L 3 )12 正 7F11 = 1 + 2AFAF2 e9,2 e2 AF2 + AF2 L 5 )e2 g(1 512 9 J，故答案为:2'3【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：C求出a，代入公式e = 一a口只需要根据一个条件得到关于a, b, c的齐次式，结合b2 = a2c2转化为a，c的齐次式，然后等式（不等 式）两边分别除以a或a2转化为关于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范围）.12. （2021-江苏南京市高三二模）已知椭圆C : +兰=1（a > b > 0）的左顶点为A，右焦点为F，点P a 2 b 2在直线1 = a上，直线PA交椭圆于点Q，若AQ = 2QP，AQ QF = 0，则椭圆C的离心率为,3 + ：'33【答案】4【分析】设P（a, m），Q（x0, y0），根据比值关系可得= %，代入可得咋=8b2，由一 4, a、4, a、 8, 八AQ - QF = -a （c-） - y2 =? a （c ：） - b2 =。，整理即可得解.330 33 9【详解】由题意可得：A（-a,0），F （c,0），设 P（a, m），0% y由AQ = 2QP，可得七-a + 2a _ a1 + 2 3(a )2_8 人代入可得：3 + y2 = 1，解得y0 = 9 b2，,a 2 b 2AQ - QF = a(c - a) - y2 = a(c - a)- b2 = 0330 339整理可得：2c2 + 3ac - 3a2 = 0所以 2e 2 + 3e - 3 = 0所以e-3-甚4（舍）故答案为:-3 +133413. （2021 合肥市第八中学高三其他模拟（文）已知椭圆三+苔=1（a > b > 0）的左、右焦点分别为七F2过F1且与1轴垂直的直线交椭圆于4B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C ,若ABC的面积是BCF2面积的3倍，则椭圆的离心率为f【答案】荣 5【分析】设椭圆的左、右焦点分别为F1（-C,O）, F2（c,0），由ABC的面积是BCF2面积的3倍得到-b 24c 2 b 2 一1 = 2c, y =，代入椭圆方程可得+ =1，化间即得解. 2aa 2 4a 2【详解】椭圆a+亲=i（a司0）焦点在1轴上设椭圆的左、右焦点分别为/cm f2（co），由1=代入椭圆方程可得y = ±b，可设A| c I，C（1, y）由ABC的面积是bcf2面积的3倍，可得气=2 FC，b 2 -=2（ 1 c，y），即 2c = 21 2c, = 2yb2 可得 1 = 2c, y = -4c 2 b 2_代入椭圆万程可得： + = 1，由b2 = a2 一 c2, a 24a 2整理得 16e2 +1 e = 4，由 0 < e < 1，得 e = l【点睛】方法点睛：椭圆的离心率的计算常用方法有：（1）公式法（求出SC代入离心率公式即得解）；（2）方程法（通过已知找到关于。的方程，再解方程即得解）.要根据已知条件灵活选择方法求解.X 2 V 2 x 14. （2020湖南高二期中）已知椭圆C :一 + 3 = 1（。> b > 0）经过函数V = -图象的对称中心，若椭 a 2 b 23x 1（1罗圆。的离心率e "2，七J，则。的长轴长的取值范围是（2 屈 <10 ）【答案】丁,tJ 【分析】用分离常数法求得函数的对称中心，代入椭圆方程得a,b的关系，变形后得9a2 = 1 + ，然后由e的范1 e 2围得出2a的范围.11xy =二 + z因为y = E可化为3 9卜1J13【详解】x（1 1）（1 1）所以曲线y = 7的对称中心为-，三，把-，三代入方程3 x 113 3 J13 3 Jx 2y 2 -11、 八2a 2 c 2、1一 +=1，得 += 1，整理得9a2 = 1 +.因为e ea 2b 29a29b2a 2 c 21 e2从而2a e2 捉1 <109，丁故答案为: 【点睛】 关键点点睛：本题考查求椭圆长轴长的范围.解题关键是建立长半轴长，与离心率-的关系式，求出函数对 称中心代入椭圆方程，利用b2 = a2 -C2进行转化是是解题的基本方法.15. (2020-太原市山西实验中学高二月考(理)已知椭圆秒+旦=1(a > b > 0)的离心率e的取值范围为 a 2b 2，直线y =-工+1交椭圆于点M, N, O为坐标原点且OM 1 ON，则椭圆长轴长的取值范围是【分析】设M S)，N(%, y2) a2x2y2和韦达定理求出b2 =，再根据e g = 12a2 -1、a 2b 211，求出椭圆长轴长的取值范围.y = -x +1 联立1 x 2【详解】y 2，化简得(a 2 + b 2 )x 2 2 a 2 x + a 2 a 2 b 2 = 0a 2 a 2b 2气 a 2 + b 2成+b2 =1设M (x,y)，N(x ,y )，则x + x =-2-2 212a 2 + b 2由 OM 1 ON+ x )+1 = 0则 OM - ON = x x + y y = x x1 21 21 2+ (1 x )(1 x )= 2xx (xa 2 一 a 2b 2即a2 +b2，1ce =a1 - a 2卫巳+1 = 0，化简得b 2 =-2- a 2 +4 >2a 2 1a 2/. e2 = 1 -竺=1 - 2a2 -1 = 1 -a 2a 22a 2 1,e2 g|1,1|,即 1 二 g|1,1J- gI 3 2 I，即2a 2 1 I 3 2 I2a 2 12,2解得: 所以椭圆长轴长的取值范围是J5，J6故答案为：顼5，寸6【点睛】思路点睛：本题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆的简单几何性质，解决直线与椭圆的综合问题 时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、 三角形的面积等问题.