专题07 平行四边形中动态问题讲义.docx

专题07平行四边形中动态问题讲义平行四也形动态问题两点之间，线段最短型平行四边形特殊平行四边形特残三鱼形垂勇段最短型典例解析题型一,存在性】【例1】(2020-辽宁沈阳市期末)如图，在矩形ABCD中，BC=15cm，动点P从点B开始 沿BC边以每秒2cm的速度运动；动点Q从点D开始沿DA边以每秒1cm的速度运动，点P和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设动点的运动时间为 t秒，则当t=()秒时，四边形ABPQ为矩形.a QfA. 3B. 4C.5D. 6【答案】C.【解析】解：设动点的运动时间为t秒，.四边形ABPQ为矩形，.AQ=BP，点P的速度为2cm/s，点Q的速度为1cm/s，解得：t=5.故答案为：C.【例2】（2019-江门市模拟）如图，矩形ABCD中，AB=4cm, BC=8cm,动点M从点D出发，按折线D-C-B-A-D方向以2cm/s的速度运动，动点N从点D出发，按折线D-A -B-C-D方向以1cm/s的速度运动.若动点M、N同时出发，相遇时停止运动，若点E在线段BC上，且BE=3cm，经过秒钟，点A、E、M、N组成平行四边形.17【答案】耳.【解析】如图，BE=3，CE=5，CD+CE=9由题意知，N、M相遇在A点，即N点在AD上，当AN=ME且M在线段BC上时，满足题意，故当 M 在线段 BC 上时（2WtW6），ME=9-2t 或 2t-9，AN=8-t.9-2t=8-t 或 2t-9=8-t，17解得：t=1 （舍）或1=项故答案为：17【例3】（2018湖北武汉市期末）如图，在四边形ABCD中，ADBC，ZB=90°，AB=8 cm，AD = 24 cm，BC=26 cm.点P从A出发，以1 cm/s的速度向点D运动，点Q从点C同时 出发，以3 cm/s的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停 止运动.从运动开始，使PQ=CD需要秒.【答案】6或7.【解析】解：（1）当PD=CQ时，四边形PQCD是平行四边形设运动时间为t秒，. 24-t=3t解得：t=6s,（2）设运动时间为t秒，则AP=tcm，CQ=3tcm,.BQ=26-3t,过P作PM±BC于M，过D作DNLBC于N，则 NC=BC-AD=26-24=2.月PD.NC=QM=2，.BM= （26-3t） +2=28-3t，当 AP=BM，即 t=28-3t，解得 t=7，故答案为：6s或7s.【例4】（2019-长春吉大附中期中）如图，在矩形ABCD中，AB = 4.5c仇BC = 9cm，动点尸、Q分别同时从B、A两点出发，动点P以6cm / s的速度沿B C B向终点B作匀速往返运动，动点Q以3cm/ s的速度沿A t D向终点D匀速运动，设两动点的运动时间是t（s）.（1）试用含有t的代数式表示BP .(2)当P自C返回B (包括端点B、C)的过程中，当尸QQ为等腰三角形时，求t的值.(3)连接人。，设PQ交AC于M，当AQP三CPQ时，求t的值.【答案】见解析.【解析】解：(1)当P从B-C运动时，即0WtV1.5，BP=6t，当 P 从 C-B 运动时，即 1.5WtW3，BP=18-3t；(2)当P与C重合时，此时Q为AD中点，9. AQ=DQ=2 =4.5=DC，.PQD为等腰三角形，.*.t=1.5s；9在P在返回的过程中，DQ <5 =4.5=DC，不存在PD=DQ、PQ=DQ的情况，当PD=PQ时，如图，过P作PHXAD于H，.四边形CDHP为矩形，.QH=DH=PC，.PC=6t-9，DQ=9-3t，.6t-9=蝉，2解得：t=1.8；综上所述，当APQD为等腰三角形时，t的值为1.5s或1.8s；(3)当P在B-C时，QD139 PC此时 PC=9-6t, AQ=3t9-6t=3t解得：t=1；当P在C-B时，廿P_9此时 CP=6t-9, AQ=3t,.*.6t-9=3t解得：t=3；综上所述，t的值为1或3.【例 5】如图，在四边形 ABCD 中，ADBC, ZB=90°, AB=8cm, AD=24cm,BC=26cm, 动点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；动点Q从点C同时出发，以3cm/s 的速度向点B运动。规定当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动。 设运动时间为t，求：(1) 当t为何值时，PQCD?(2) 当t为何值时，PQ=CD?ADB c【答案】(1)t=6； (2) t=6 或 t=7.【解析】解：根据题意得：PA=t，CQ=3t，则PD=AD-PA=24-t.(1)V ADBC，即 PQCD，.当PD=CQ时，四边形PQCD为平行四边形， 即 24-t=3t,解得：t=6，即当 t=6 时，PQCD；(2)若PQ=DC，分两种情况： PQ=DC，由(1)可知，t=6， PQDC，由 QC=PD+2 (BC-AD)，可得：3t=24-t+4,解得：t=7.【例6】(2019广东实验中学月考)如图，等边ABC的边长为8，动点M从点B出发，沿 BtA一CtB的方向以3的速度运动，动点N从点C出发，沿CABC方向以2的速 度运动.(1) 若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点第一次相遇？(2) 若动点M、N同时出发，且其中一点到达终点时，另一点即停止运动.那么运动到第 几秒钟时，点A、M、N以及ABC的边上一点D恰能构成一个平行四边形？求出时间t并 请指出此时点D的具体位置.【答案】见解析.【解析】解：(1)设经过t秒钟两点第一次相遇，由题意得：3t+2t=16，16解得：t=16即经过M秒两点第一次相遇;8(2)当0MtM3时，AB D C.四边形ANDM为平行四边形，.DM=AN, DM/AN. DN/AB,ZMDB=ZC=60°,ZNDC=ZB=60°./NDC=/C.ND=NC. DM+DN=AN+NC=AC+BN=8,即：3t+2t=8, t=524此时点D在BC上，且BD=-8 当3 <t<4时，此时A、M、N三点在同一直线上，不能构成平行四边形;16 4<t<§时，AB D C.四边形ANDM为平行四边形，.DN=AM，AMDN.,ZNDB=ZACB=60° ABC为等腰三角形，/.ZB=60°.；,ZMDB=ZB.MD=MB.MB+NC=AN+CN=8，3t-8+2t-8=8，解得：t=32 此时点D在BC上，且BD=y当M <t<时，B M C则 BN=16-2t, BM=24-3t,由题意可知：ABNM为等边三角形，BN=BM,即：2t-8=3t-16,解得t=8,此时M、N重合，不能构成平行四边形.【例7】如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O. AC = 8顷，BD = 6cm,点P为AC上一动点，点P以1cm/的速度从点A出发沿AC向点C运动.设运动时间为ts , 当t =s时，PAB为等腰三角形.【答案】5或8或25【解析】解：.四边形ABCD是菱形，AC=8cm，BD=6cmAACXBD, AO=OC=4cm, BO=OD=3cm由勾股定理得：BC=AB=AD=CD=5cm 当 PA=AB=5cm时，t=5H=5 (s)；当 P 和 C 重合时，PB=AB=5cm，t=8H=8 (s)；作AB的垂直平分线交AC于P,此时PB=PA，连接PB,在RtABOP中，由勾股定理得：BP2=BO2+OP2,AP2=32+ （4-AP） 2,Ap=?，82525十1=忑（s），25故答案为：5或8或亏.8【例8】（2020-四川攀枝花期末）如图，菱形ABCD的边长为12cm,ZA=60°,动点P从 点A出发，沿着线路AB-BD做匀速运动，动点Q从点D同时出发，沿着线路DC-CB- BA做匀速运动.（1）求BD的长.（2）已知动点P运动的速度为2cm/s，动点Q运动的速度为2.5cm/s.经过12秒后，P、Q 分别到达M、N两点，试判断AMN的形状，并说明理由.（3）设问题（2）中的动点P、Q分别从M、N同时沿原路返回，动点P的速度不变，动点Q的速度改变为acm/s，经过3秒后，P、Q分别到达E、F两点，若 BEF为直角三角形， 试求a值.【答案】（1） BD=12； （2）AMN为直角三角形；（3） 1或3或6.【解析】（1）解：.四边形ABCD是菱形.AD=AB=BC=CD=12VZA=60°.ABD是等边三角形.BD=12(2)AMN为直角三角形，点Q到达AB的中点，点N为AB的中点./ ABD是等边三角形，而MN为中线AMNXAB.AMN为直角三角形(3)VABD为等边三角形,ZABD=60°经过3秒后，点P运动的路程为6cm.点Q运动的路程为3acm,/点P从点M开始运动，即DE=6cm.点E为DB的中点，即BE=DE=6cm 当点Q运动到F点，且点F在NB上，则NF=3a.BF=BN-NF=6-3aBEF为直角三角形，而ZFBE=60°/,ZEFB=90°/,ZFEB=30°1.BF= BE26-3a= x6，即 a=1 当点Q运动到F点，且点F在BC上，则NF=3a.BF=NF-BN=3a-6BEF为直角三角形，而ZFBE=60°(i)若匕EFB=90°，则ZFEB=30°.BF=1 BE23a-6=x6, 即2a=3(ii)若ZFEB=90°，即 FBLBD,而 DE=BE.点F在BD的垂直平分线上.此时点F在点C处3a=6+12，即 a=6综上所述，若BEF为直角三角形，a的值为1或3或6.【例9 （2020-江苏无锡期中）如图，在菱形ABCD中，ZD = 135。，AD = 3点',CE = 2，点P是线段AC上一动点，点F是线段AB上一动点，则PE + PF的最小值（）A. 22B. 3C. 2*5D.而【解析】解：作点E关于AC的对称点点G，连接PG、PE，则PE=PG，CE=CG=2, 连接 BG，过点 B 作 BHXCD 于 H，则 ZBCH=ZCBH=45°，.四边形ABCD是菱形，AD = 3克,.BC=AD= 32在 RtABHC 中，BH=CH=3 ,.HG=HC-GC=3-2=1,.RtABHG 中，BG. BH2 + HG2 =扑 +12 =、而当点F与点B重合时，PE+PF最小，最小值=PG+PB=BG,.PE+PF的最小值为；!0故答案为：D.【例10】（2019山东滨州）如图，在菱形ABCD中，/BAD = 60，且AB = 6，点F为对O角线AC的动点，点E为AB上的动点，则FB + EF的最小值为.【答案】3侦3.【解析】解：连接BD、DF，过D作DHXAB于H.B-.四边形ABCD是菱形，匕BAD=60° AD=AB，ADBA是等边三角形 B、D关于AC对称，BF=DF由垂线段最短知，当D、F、E共线，且与DH重合时，BF+EF的值最小，最小值为DH的 长，DH=3*.故答案为：3、的 【例11】（2019浙江杭州市）如图，矩形ABCD中，AD = 6，ZCAB = 30°，点P是线段AC上的动点，点Q是线段CD上的动点，则AQ+QP的最小值是.【答案】6百.【解析】解:E出B作点A关于直线CD的对称点E,过E作EPXAC于P,交CD于点Q.四边形ABCD是矩形 ,ZADC = 90ADQXAE, DE=AD,.QE=QA,. QA+QP=QE+QP=EP,.此时QA+QP最短（垂线段最短），VZCAB = 30°,ZDAC = 60°,在 RTAAPE 中，.NAPE=90°, AE=2AD=12,.EP=6 <3故答案为：6寸'3【例12】（2020.福建泉州期末）如图，P是长方形ABCD内部的动点，AB = 4,BC = 6 ,APBC的面积等于9,则点P到B、C两点距离之和PB + PC的最小值为.A , 0【答案】6，.【解析】解：由题意得：BPC中BC边上的高为3,.CM=3，延长 CD 到 E 使 ME=MC,此时 PC=PE,连接BE交MN与点P,此时PB+PC最短，最小值为BE的长 在RtABCE,由勾股定理得：BE=6巨 故答案为：6v'2 .【例13】如图，长方形ABCD，长AD = 6，宽AB = 4,点P是BC边上的一个动点，连 结PA、PD ,则APAD的面积为, PA + PD的最小值是. PA +1 PC的最小值是.【答案】12； 10； 3 + 2J3.【解析】解：过点P作PEXAD于E,APEXADVABCD是长方形.PE=AB=4.PAD面积为12作点D关于BC对称点D，连接AD交BC于P, 此时PA+PD长度最小，最小值为AD的长，由勾股定理得：AD =10即PA+PD的最小值是10；过点C做直线CE，使CE与BC的夹角成30°，过点P作CE的垂线，垂足为E，1则 PE=gPC1.PA+g PC的最小值为PA+PE的最小值，当P、A、E共线时，PA+PE最小，由勾股定理得：BP=4i!，AP=8S 332®:.PE= 33.AE=AP+PE= 3 + 2<§即PA+1 PC的最小值为3 + 2拓.【例14】（2020.陕西宝鸡）如图，菱形ABCQ的边长为4,ZBAD = 60°，点E是AD上一动点（不与A、D重合），点f是CD上一动点，AE + CF = 4 ,则BEF面积的最小值为.【答案】33【解析】解：连接BD,.菱形ABCD边长为4，匕BAD=60°,:.AB=BC=CD=AD=4,ZBAD=ZBCD=60°,.ABD与ABCD为等边三角形，:.ZFDB=ZEAB=ZABD =60°, BA=BD,AE+CF=4, DF+CF=CD=4,:.AE=DF,，BD = BA在 ABDF 和 ABAE 中，</FDB=/EAB , DF = AE:.BDFBAE,：.BE=BF,Z ABE=ZDBF,:,ZEBF=ZABD=60°,:.BEF是等边三角形，.:当BE±AD时，ABEF的面积最小，此时点E为AD的中点，：.AE=2，则 BE=EF=23过点F作FG±BE于点G，则点G为BE中点，1 : =；=-.：EG = 5 BE =拓 3，则 FG =g 2 - EG 2 = ： (213)2 (<3)2 = 3.BEF 面积的最小值=；BE FG = ； x 2 侦3 x 3 = 3、：3故答案为：3(3题型三.【折叠】【例15】（2020-江苏镇江市期末）如图，在矩形ABCD中，AB = 5,BC = 6，点M,N分 别在AD, BC上，且AM = 3 AD, BN = 3 BC , e为直线BC上一动点，连接DE，将DCE沿DE所在直线翻折得到DC'E，当点C,恰好落在直线MN上时，CE的长为【答案】5或10.【解析】解：设CE=CE=x 当E点在线段BC上时CfB N E C.矩形ABCD中，AB=5，.CD=AB=5，AD=BC=6，ADBC，11 e 点 M，N 分别在 AD，BC 上，AM = 3 AD, BN = 3BC.DM=CN=4，.四边形CDMN为平行四边形，VZNCD=90°， .四边形MNCD是矩形，AZDMN=ZMNC=90°, MN=CD=5,由折叠知，CD=C D=5C M=3C N=2又 EN=CN-CE=4-x,X2=22+ (4-X)2,解得，x=2.5，即 CE=2.5；(2)当E点在CB的延长线上时，同理，MN=CD=5，CD=C D=5， MC'=3，C' N=8， EN=CE-CN=x-4,由勾股定理得：X2=82+（X-4） 2，解得：x=10，即 CE=10；综上，CE=2.5 或 10.故答案为：2.5或10.【例16】（2020.河南焦作期末）如图，/MAN = 90。,点C在边AM上, AC = 2,点B为边AN上一动点，连接BC, A'BC与ABC关于BC所在直线对称，点D, E分别为AC, BC的中点，连接DE并延长交A' B于点F,连接A' E.当A' EF为直角三角形时， AB的长为 .【答案】2或巨.3【解析】解：当ZA'EF=90°时，"。 B.VABC与ABC关于BC所在直线对称，,A'C=AC=2,ZACB=ZA'CB,点D, E分别为AB, BC的中点，.D、E是ABC的中位线，.DEAB，,ZBDE=ZMAN=90°, ,ZBDE=ZA'EF，.ABA'E，,ZABC=ZA'EB， ,ZA'BC=ZA'EB，.A'B=A'E，RtA'CB中，E是斜边BC的中点， .BC=2A'E，由勾股定理得：AB2=BC2-AC2,AE，=2 J3,AB=3当 ZA'FE=90° 时，M.ZACF=90°,VAA,BC与ABC关于BC所在直线对称， ,ZABC=ZCBA'=45°,.ABC是等腰直角三角形，.AB=AC=2；故答案为：巨或2.3