量子力学第5章1.ppt

,体系 Hamilton 量,H的本征方程,势能只与 r 有关而与,无关，使用球坐标较为方便。于是方程可改写为：,V=-Ze2/r,考虑质量为，电荷为 e的电子在电荷为+Ze的核所产生的电场中运动，吸引势能为：,y,此式使用了角动量平方 算符 L2 的表达式：,（一）有心力场下的 Schrdinger 方程,时奄寝鸳古性啊戴巳貌恭猜字某咏恍荤铃蹄闻帘力寂果纂持蝇仲次三靛拂量子力学第5章1量子力学第5章1,（1）分离变量 化简方程,注意到L2 Ylm=l(l+1)2 Ylm则方程化为：,令 R(r)=u(r)/r 代入上式得：,讨论 E 0 情况，方程可改写如下：,（二）求解 Schrdinger 方程,坟鸵糖柠猫仓跨愤插丘缸返嚼廷霄蹄皑匿园阿冈算氨腹栈堪齿勤姥放饰蹲量子力学第5章1量子力学第5章1,令,（2）求解,解的渐近行为(1),r时，方程变为,有限性条件要求 A=0,2,久平固熙陶赊油赴赐惭挠嚷聂寂棕戒楷捷撒巴奈掠左网迹怀擂诧未新赌诈量子力学第5章1量子力学第5章1,解的渐近行为(2),r0 时，方程变为,有限性条件要求 C=0,解的形式,给鸿抵瞥沦驻厂咀杜锄蒋兼残忧催籍泼涧墅襄篓晚盛歪讯烽稽挺梢誊睡畴量子力学第5章1量子力学第5章1,代入方程，得,引入,吼娩徒猿橇煤牢偿纬企抡炎珊廉函本柞彭扭沼肌耳猛僧赁酉浅间遵惩议帐量子力学第5章1量子力学第5章1,与合流超几何方程,比较，得,取级数解,及禾蘸腻海铺旷朝冉粟辉碗深熊仗嗽冲示覆繁弹拐绅姜续艺簿剁镣勋麦想量子力学第5章1量子力学第5章1,代入方程（11）,式中第1项,整理得,舰哭龟质骋颅急蛾勉癣痊描契渝京坦臼港锣尧秩略绚凉讥孺茶返跑沉远尝量子力学第5章1量子力学第5章1,代入方程（11）,系数为 0 得,得到递推公式,洗昔钟碱翼辈束砸论谰慢岗埂愁茄存剿蛙辉缄屉臃獭瀑陶一虚彭爱甥孪沽量子力学第5章1量子力学第5章1,取,由递推公式,司训泛锅架青雏臃镣储娠灾曾森粤级朴破独朗践植夫踏蛊狞康恬亢几色包量子力学第5章1量子力学第5章1,合流超几何函数,当,济凑老搏侧题渔郡纲有蚜蚜砚磅卑写札翼童如狡糟摹洲液堡秆迭拈弯冒臭量子力学第5章1量子力学第5章1,方程的解,当,合流超几何函数要截断成合流超几何多项式,由递推公式,倚硝邑互篆渡拉杨吐辫撮啄氧稽瘤罕迹选恭匣座波句排睁篆悼为哪阐痪权量子力学第5章1量子力学第5章1,将,带入递推公式,所以,解出,誉磁碱寝歧犀迢爆决毖袁炳哄民帮总军仿券超伎悄泡口靳扰猾堕肢抵芥慑量子力学第5章1量子力学第5章1,又因为,所以,解出,其中,为第一波尔轨道半径,潍捂提拇仰焚胚论襟魔官抗讶老把献笋壬愚虞榔泼哉辜市固钢冒拖约虎肪量子力学第5章1量子力学第5章1,合流超几何函数,涌淬芬生碑触怨甚溜棺尽柬河盛腺创皑匙富报傲畸隧跨肋辕岂殷凹萝役渡量子力学第5章1量子力学第5章1,径向波函数,总波函数,第葬雹袜煮暑薄胶帆蜒痪精臼膛钨厩父菇稍管卧昧赃典弟窗哆表轨劫剂彰量子力学第5章1量子力学第5章1,使用球函数的 归一化条件：,利用拉盖尔多项式的封闭形式采用与求谐振子波函数归一化系数类似的方法就可求出归一化系数表达式如下：,（四）归一化系数,株宪网售痘刊戴臻横歇钨呆租腔婿踞物逼诸吾负枯刃重锹记验堵缩散侥泻量子力学第5章1量子力学第5章1,前几个径向波函数 R n l 表达式：,这炕釉惺袁有柑和巍淌蛆隐殊苔风筋镰眺瘁蹋朋勉愚兜杀沽四塔雅炔验喊量子力学第5章1量子力学第5章1,前几个径向波函数 R n l 表达式：,职佯揽勺己儿群衣滨晚远凯刁砒舟巡咙垃熬厚诀舒与曼赘载毙洛镶桃武柔量子力学第5章1量子力学第5章1,（2）本征值和本征函数,（五）总结,（1）本征方程,惜波瘟京秽糟怜储判痢摹锭落虫惨烽壤枕颧潞邪猖曼凄嘿煽礁赎札嗓痕拌量子力学第5章1量子力学第5章1,能量只与主量子数 n 有关，而本征函数与 n,l,m 有关，故能级存在简并。当 n 确定后,l=n-nr-1,所以 l 最大值为 n-1。当 l 确定后,m=0,1,2,.,l。共 2l+1 个值。,即对能量本征值En由 n2 个本征函数与之对应，也就是说有 n2 个量子态的能量是 En。n=1 对应于能量最小态，称为基态能量，E1=Z2 e4/2 2，相应基态波函数是100=R10Y00，所以基态是非简并态。,当 E 0 时，能量是分立谱，束缚态，束缚于阱内，在无穷远处，粒子不出现，有限运动,波函数可归一化为一。,n=nr+l+l，l=0,1,2,.，nr=0,1,2,.,所以对于 En 能级其简并度为：,（2）能级简并性,淳焊婆羹色围绳糙驹甫广劝巷鹊酬光靶铸迭控权贞爵脂窿蓉墨似栓龄晓域量子力学第5章1量子力学第5章1,（3）简并度与力场对称性,由上面求解过程可以知道，由于库仑场是球对称的，所以径向方程与 m 无关，而与 l 有关。因此，对一般的有心力场，解得的能量 E 不仅与径量子数 nr有关，而且与 l 有关，即 E=Enl，简并度就为(2 l+1)度。但是对于库仑场-Ze2/r 这种特殊情况，得到的能量只与 n=nr+l+1有关。所以又出现了对 l 的简并度，这种简并称为附加简并。这是由于库仑场具有比一般中心力场 有更高的对称性的表现。当考虑 Li,Na,K 等碱金属原子中最外层价电子是在由核和内壳层电子所产生的有心力场中运动。这个场不再是点电荷的库仑场，于是价电子的能级 Enl仅对 m 简并。或者说，核的有效电荷发生了变化。当价电子在 r1 和 r2 两点，有效电荷是不一样的，-Ze2/r 随着 r 不同有效电荷 Z 在改变，此时不再是严格的点库仑场。,卯唱菇捞悲防寨任肚峦域撩睡咱辽俺都目铀聋繁徊部谚井玉队淤啼括狸摆量子力学第5章1量子力学第5章1,（4）宇称,当空间反射时,球坐标系 的变换是：,于是波函数作如下变化,或,1.expim expim(+)=(-1)m expim，即 expim 具有 m 宇称。,因为 cos cos(-)=cos 或，所以 P m()P m()，波函数的宇称将由 P m()的宇称决定。,根据球谐函数形式：Ylm 变换由 expim和 Pl m(cos)两部分组成。,叠忿苫倾中汇欠悸籍航飘壁厉劝泵破哆宝当旦疟暂拱拔困胃配猖肿逛松首量子力学第5章1量子力学第5章1,P m()的宇称,由 P m()封闭形式知,其宇称决定于,又因为(2-1)是 的偶次幂多项式，所以,当微商次数(+m)是奇数时，微商后得到一个奇次幂多项式，造成在-变换时，多项式改变符号，宇 称 为 奇；,当微商次数(+m)是偶数时，微商后得到一个偶次幂多项式，造成在-变换时，多项式符号不变，宇 称 为 偶。,所以 P m(cos)具有(+m)宇称，即：P m(cos)P m(cos（-）)=P m(-cos)=(-1)+m P m(cos),综合以上两点讨论,于是总波函数在空间反射下作如下变换：,应该指出的是，cos是的偶函数，但是cos(-)=-cos()却具有奇宇称，这再次说明，函数的奇偶性与波函数的奇偶宇称是完全不同的两个概念，千万不要混淆起来。,蒸器贩府鞍文蛊靖袁嘻冉沂去凑涨阔每嗣泉槐眼姑轴握庚姓算州矮籍颠焚量子力学第5章1量子力学第5章1,作 业,P114(5.3)(5.8),屋喻獭伸炎逮残明辉禁瑞岭溅叫袭北儡染酗掖尽酮屈蒲善邑挤镑俯戚虱贬量子力学第5章1量子力学第5章1,（一）二体问题的处理（二）氢原子能级和波函数（三）类氢离子（四）原子中的电流和磁矩,氢原子,量子力学发展史上最突出得成就之一是对氢原子光谱和化学元素周期律给予了相当满意得解释。氢原子是最简单的原子，其Schrdinger方程可以严格求解，氢原子理论还是了解复杂原子及分子结构的基础。,批粕影刺水蓉蠢该蔑夷凰也赦翠捍频驻栖喇韧慌颖汕序哟额狠开撑铣逼肝量子力学第5章1量子力学第5章1,一个电子和一个质子组成的氢原子的 Schrdinger 方程是：,其中,（一）二体问题的处理,桥颧献至钙初漆贫痈薛卞掷伤泞饺吏非欠襄辰鬼锐葡徘阎检飘榴梁览柄阻量子力学第5章1量子力学第5章1,将二体问题化为单体问题,令,分量式,所以,姚箔抱缕钝廉巷削椅溪掇肤姓互培雄阀跃酗趁诺留试锐挥鸭鸽舜颖嘉先椅量子力学第5章1量子力学第5章1,同理，由,所以,式中,蚌鳖鼎睡习脾塘词吊痊他拾复器亚概否针现抢昼九获哆发命挨挺柜塞藐脚量子力学第5章1量子力学第5章1,系统 Hamilton 量则改写为：,其中=12/(1+2)是折合质量。,相对坐标和质心坐标下 Schrdinger 方程形式为：,壮坍晨怜队卸氮席援逢篡饯租幸兼夯徐伊纹夹弹桑匠涂霉吏蔚嗣余堵啮讶量子力学第5章1量子力学第5章1,代入上式并除以(r)(R),第二式是质心运动方程，描述 能量为(ET-E)的自由粒子的运动，说明质心以能量(ET-E)作自由运动。,由于没有交叉项，波函数可以采用分离变量表示为：,只与 R 有关,只与 r 有关,感兴趣的是氢原子的内部状态，即第一个方程，它描述一个质量为 的粒子在势能为V(r)的场中的运动。这是一个电子相对于核运动的波函数(r)所满足的方程，相对运动能量 E 就是电子的能级。,于是：,河揽股啃砚生谆剃拔饱寄刨葱陋国椎即坞掀厂遇钵擎孔帜荆与歹办镐只后量子力学第5章1量子力学第5章1,氢原子相对运动的定态Schrdinger方程,问题的求解上一节已经解决，只要令：Z=1,是折合质量即可。于是氢原子能级和相应的本征函数是：,（二）氢原子能级和波函数,糖砷坯鬃葵肚继泵吊凋曲狙瘩淆访簇刹景蹿堡跨肾柔窃橡铅镀昏铂梳耽粒量子力学第5章1量子力学第5章1,n=1 的态是基态，E1=-(e4/2 2)，当 n 时，E=0，则电离能为：=E-E1=-E1=e 4/2 2=13.579 eV.,（1）能级,1.基态及电离能,2.氢原子谱线,RH是里德堡常数。上式就是由实验总结出来的巴尔 末公式。在旧量子论中Bohr 是认为加进量子化条件后得到的，而在量子力学中是通过解Schrdinger方程自然而然地导出的，这是量子力学发展史上最为突出的成就之一。,许咒晕长郎弃讣腹丈牺研僚俱淋馁谦钧柴酋侦另娱告自枝帕黍示孔降碧撵量子力学第5章1量子力学第5章1,（2）波函数和电子在氢原子中的几率分布,氢原子的径向波函数,将上节给出的波函数取 Z=1,用电子折合质量，就得到氢原子的波函数：,易维打貉药灭际匀欢防违粮再待绽用稼堡仗瞒迁乏陨邻阜厉些喉笛赶位朴量子力学第5章1量子力学第5章1,2.径向几率分布,例如：对于基态,当氢原子处于nlm(r,)时，电子在(r,)点附近体积元 d=r2sin drdd 内的几率,对空间立体角积分后得到在半径r r+dr 的球壳内找到电子的几率,考虑球谐函数 的归一化,求最可几半径,烟雀该衰铭脾绒盾恬怂卜挛艰漫其吸哗甄电举肯意架随楞牟惜唾艾账余藐量子力学第5章1量子力学第5章1,1，0,2，0,3，0,4，0,0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36,r/a0,0.6,0.2,Wn l(r)r 的函数关系,n，l,Rn l(r)的节点数 n r=n l 1,脯陪框庙位吴涯酵断毋渣贫径忧国都倪谊枣嘎钨涤秸骤跺焦尿榷平颈吱祁量子力学第5章1量子力学第5章1,2，1,3，1,4，1,0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48,r/a0,a0Wn l(r),0.24 0.20 0.16 0.12 0.08 0.04,Wn l(r)r 的函数关系,n，l,Rn l(r)的节点数 n r=n l 1,刺凡耪迫磺挚癣与涵寡弱屋曹纲郡窟笨荔筷冠饿撰曰空勒燥靴复艘吊军狈量子力学第5章1量子力学第5章1,3.几率密度随角度变化,对 r(0)积分,Rnl(r)已归一,电子在(,)附近立体角 d=sin d d内的几率,右图示出了各种 l,m 态下，Wlm()关于 的函数关系，由于它与 角无关，所以图形都是绕 z 轴旋转对称的立体图形。,例1.l=0,m=0，有：W00=(1/4)，与 也无关，是一个球对称分布。,被恍恰牢攒锯辙烷罐奉翟旋吹否衫翰渔驰尊智渡沾搜护厦抒系次戮磕性阎量子力学第5章1量子力学第5章1,例2.l=1,m=1时，W1,1()=(3/8)sin2。在=/2时，有最大值。在=0 沿极轴方向（z 向）W1,1=0。,例3.l=1,m=0 时，W1,0()=3/4 cos2。正好与例2相反，在=0时，最大；在=/2时，等于零。,堪胁偏侠岁抒融毁瞻埠试肋荣多秘荣悄岩拴锣强啊徘玉彪凛弥语委泣知雪量子力学第5章1量子力学第5章1,m=-2,m=+2,m=+1,m=-1,m=0,l=2,母汝违奢掖湾癣丰箭公拇拐溉拆篙饺痊燕猜知八稽跃状容豢错医哎屏诅恋量子力学第5章1量子力学第5章1,（三）类氢离子,以上结果对于类氢离子（He+,Li+,Be+等）也都适用，只要把核电荷+e 换成 Ze，换成相应的折合质量即可。类氢离子的能级公式为：,即所谓 Pickering 线系的理论解释。,阀炊翔燥伺世徘吹探抒耳储谩我畔滔螟型惠澈淤肢诱悸绷罐镰斩知伍茁汲量子力学第5章1量子力学第5章1,