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9.5柱、锥、球及其简单组合体（二）天长市职教中心王启荣【教学目标】知识目标：了解圆柱、圆锥、球的结构特征及表面积与体积的计算能力目标：（1）能看懂圆柱、圆锥、球的直观图；（2）会计算圆柱、圆锥、球的表面积、体积；（3）培养学生的空间想象能力计算技能和计算工具使用技能.情感目标：（1）参与数学实验，认知圆柱、圆锥、球的模型与直观图，培养数学直觉，感受科学 思维.（2）关注生活中的数学模型，体会数学知识的应用.（3）经历合作学习的过程，尝试探究与讨论，树立团队合作意识.【教学重点】圆柱、圆锥、球的结构特征及相关的计算.【教学难点】简单组合体的结构特征及其面积、体积的计算.【教学设计】圆柱、圆锥、球都是旋转体，它们分别由矩形、直角三角形、半圆绕轴旋转而成.这 部分内容的教学要结合实物模型或教学课件，讲清形成过程及各种量的关系，抓住旋转过 程中的不变量是计算有关问题的关键.圆柱两个底面圆心连线的长度等于圆柱的高.圆锥的顶点与底面圆心的连线的长度等于 圆锥的高.例3是有关圆柱计算的题目，例4是求圆锥体积的题目，例5是求球的表面积与体积 的题目，根据公式计算时不要出错.要提醒学生注意区别圆柱与圆柱面、圆锥与圆锥面、球与球面等概念.用平面去截球， 截面是圆面，并且球心和截面圆心的连线垂直于截面.要注意球的大圆与小圆的区别.球面上两点的球面距离是指经过这两点的大圆在这两点 间的一段劣弧的长度.例6、例7是有关简单组合体求积的题目，关键是要弄清组合体的结构，然后根据相应公式进行计算.【教学备品】教学课件.【课时安排】5课时【教学过程】教 学 过 程*揭示课题9.5柱、锥、球及其简单组合体（二）【实验】以矩形的一边所在直线为旋转轴旋转，观察其余各边旋转一周所形成的几何体（如图 9-63）.图9 63*动脑思考探索新知【新知识】以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余各边旋转形成的曲面（或平面）所围成的几何 体叫做圆柱.旋转轴叫做圆柱的轴.垂直于轴的边旋转形成的圆面叫做圆柱的底面.平行于 轴的边旋转成的曲面叫做圆柱的侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做侧面的母线.两 个底面间的距离叫做圆柱的高（图9-63）.圆柱用表示轴的字母表示.如图9-63的圆柱表 示为圆柱OO .图 9-64【想一想】圆柱两个底面圆心连线的长度是否等于圆柱的高？为什么？【新知识】观察圆柱（图9-64），可以得到圆柱的下列性质（证明略）：（1）圆柱的两个底面是半径相等的圆，且互相平行；（2）圆柱的母线平行且相等，并且等于圆柱的高；（3）平行于底面的截面1是与底面半径相等的圆；（4）轴截面2是宽为底面的直径、长为圆柱的高的矩形.圆柱的侧面积、全面积（表面积）、及体积的计算公式如下:Sf圆柱侧=2 rh(9.7)S圆柱全=2 r(h + r)(9.8)V圆柱r 2h(9.9)TV其中r为底面半径，h为圆柱的高.*巩固知识典型例题【知识巩固】例3已知圆柱的底面半径为1cm,体积为5n cm3，求圆柱的高与全面积.解 由于底面半径为1cm,所以nh = 5n解得圆柱的高为h = 5 （cm）.所以圆锥的全面积为S圆柱全=2 r（h + r） =12（cm2）.*创设情境兴趣导入TV7V【实验】以直角三角形的一条直角边为旋转轴进行旋转，观察旋转一周所形成的几何体（如图 9-65）.轴一V/4母线底面图9 65*动脑思考探索新知【新知识】以直角三角形的一条直角边为旋转轴旋转一周，其余各边旋转而形成的曲面（或平面） 所围成的几何体叫做圆锥（如图9-65）.旋转轴叫做圆锥的轴.另一条直角边旋转而成的圆 面叫做底面.斜边旋转而成的曲面叫做侧面，无论旋转到什么位置，斜边都叫做侧面的母 线.母线与轴的交点叫做顶点.顶点到底面的距离叫做圆锥的高.圆锥用表示轴的字母表示.如图9-65所示的圆锥表示为圆锥SO.【想一想】圆锥的顶点与底面圆心的连线的长度是否等于圆锥的高？为什么？【新知识】1截面是指用平面截一个几何体，所得到的面.2轴截面是经过轴的截面.观察圆锥A0(如图9-66),可以得到圆锥的下列性质(证明略)：(1) 平行于底面的截面是圆；(2) 顶点与底面圆周上任意一点的距离都相等，且等于母线的长度;(3) 轴截面为等腰三角形，其底边上的高等于圆锥的高.(9. 10)(9. 11)圆锥的侧面积、全面积(表面积)及体积的计算公式如下：s圆锥俩rls圆锥生r(l + r)V圆锥(9.12)其中r为底面半径，l为母线长，h圆锥的高.*巩固知识典型例题【知识巩固】例4已知圆锥的母线的长为2cm,圆锥的高为1 cm，求该圆锥的体积.解 由图 9-67 知r = l2 -h2 =枳(cm)故圆锥的体积为V圆锥=3x 兀x (J3)2 x 1 =兀(cm3).导入*创设情境兴趣【实验】半圆以其直 转一周所形成的图 9-68径所在的直线为旋转轴进行旋转，观察旋 几何体(如图9-68).图 9-67*动脑思考探索新知【新知识】以半圆的直径所在的直线为旋转轴旋转一周，所形成的曲面叫做球面(如图9-68).球 面围成的几何体叫做球体，简称球.半圆的圆心叫做球心，半圆的半径叫做球的半径.经常 用表示球心的字母来表示球，如图9-68中所示的球记作球O.*创设情境兴趣导入【实验】如图9-69所示，用平面去截球，观察截面的图形.*动脑思考探索新知【新知识】由实验可以得到球的如下性质（证明略）：球的截面是圆面，并且球心与截面圆心的连 线垂直于截面.设球心到截面的距离为勺半径为R 截面上圆的半径为（如图9-69），则r = R2 - d2 .经过球心的平面截球面所得的圆叫做球的大圆.此时d=0, r=R,截得的圆半径最大.不 经过球心的平面截球面所得的圆叫做球的小圆.把地球近似地看作一个球时，经线就是球面上从北极到南极的半个大圆；赤道是一个 大圆，其余的纬线都是小圆.如图9-70所示.图 9-70图 9-71经过球面上两点的大圆在这两点间的一段劣弧（指不超过半个大圆的弧）的长度叫做 两点的球面距离.它是球面上这两点之间最短连线的长度，图9-71中的劣弧AB的长度就 是A、B两点的球面距离.飞机、轮船都是尽可能以大圆弧为两点间的航线航行的球的表面积与体积的计算公式如下：S球=4 R2 .（9.13）4,、V = R3.（9.14）球 3其中，R为球的半径.*巩固知识典型例题穴【知识巩固】例5球的大圆周长是80 cm，求这个球的表面积与体积各为多少？（保留4个有效数 字）解设球的半径为R则大圆周长为2nR.2nR = 80 ,r 二 40因为 所以 因此S球二 4 R2 = 4 (40)2 = 6400 w 2.037 x 103 (cm2),R3 二 4 (四)3 二 256000 w 8.646x 103 (cm3).3t3 2即这个球的表面积约为2.037 x 103 cm2, 体积约为茂.646 x 103 cm3.*运用知识强化练习1. 用长为6 m,宽为2 的薄铁片卷成圆柱形水桶的侧面，铁片的宽度作为水桶的 高求这个水桶的容积（保留4个有效数字）.2. 已知圆锥的底面半径为2 cm,高为2 cm,求这个圆锥的体积（保留4个有效数字）.3. 一个球的半径为3cm，求这个球的表面积与体积（保留4个有效数字）.*巩固知识 典型例题 【知识巩固】例6 一个金属屋分为上、下两部分，如图9-72所示，下部分是一个柱体，高为2 m, 底面为正方形，边长为5 m,上部分是一个锥体，它的底面与柱体的底面相同，高为3 m, 金属屋的体积、屋顶的侧面积各为多少（精确到0.01m2）?解金属顶的体积为V =、四棱柱 +V正四棱锥=52 x2+3 x 52 x 3 = 50+25 = 75 "金属屋顶的侧面积为S = 2 x 5 x 4 x"52 + 32 刁9.05 （m2）.例7如图9-73所示，学生小王设计的邮筒是由直径为0.6 m的半球与底面直径为0.6 m, 高为1 m的圆柱组合成的几何体.求邮筒的表面积（不含其底部，且投信口略计，精确到0.01m2 ）.解邮筒顶部半球面的面积为S半球面=2 x 4兀x（0.3） 2 x 0.565 （m2）,邮筒下部圆柱的侧面积为图9 73S侧面=赤 °EL855（m2）,所以邮筒的表面积约为0.565+1.885=2.45（m2）.*运用知识强化练习1.如图所示，混凝土桥桩是由正四棱柱与正四棱锥组合而成的几何体，已知正四棱柱的 底面边长为5 m，高为10 m，正四棱锥的高为4 m.求这根桥桩约需多少混凝土（精确到0.01 t）？（混凝土的密度为2.25 t/ m3）m.rl第1题图第2题图2.如图所示，一个铸铁零件，是由半个圆柱与一个正四棱柱组合成的几何体，圆柱的 底面直径与高均为2 cm，正四棱柱底面边长为2 cm、侧棱为3 cm.求该零件的重量（铁的 比重约7. 4 g/cm3）.（精确到0.1 g） *理论升华整体建构cm.思考并回答下面的问题:圆柱的侧面积、全面积、体积公式，圆锥的侧面积、全面积、体积公式，球的面积、体积？结论:S圆柱侧=2 rhS圆柱全=2 r(h + r)S = rh圆锥侧S = r (l + r)圆锥全 ''S = 4 R 2 .球 不*归纳小结强化思想TV本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？TVV =1 r 2 h圆锥 34V =一 R3球3穴TV*自我反思目标检测本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何?已知圆锥的底面半径为2 cm，高为2 cm，求这个圆锥的体积（保留4个有效数字）.*继续探索活动探究（1）读书部分：教材（2）书面作业：教材习题9.5 A组（必做）；9.5 B组（选做）(3) 实践调查：用发现的眼睛寻找生活中的圆锥实例【教师教学后记】项目反思点学生知识、技能的掌握情况学生是否真正理解有关知识；是否能利用知识、技能解决问题；在知识、技能的掌握上存在哪些问题；学生的情感态度学生是否参与有关活动；在数学活动中，是否认真、积极、自信；遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服；学生思维情况学生是否积极思考；思维是否有条理、灵活；是否能提出新的想法；是否自觉地进行反思；学生合作交流的情况学生是否善于与人合作；在交流中，是否积极表达；是否善于倾听别人的意见；学生实践的情况学生是否愿意开展实践；能否根据问题合理地进行实践；在实践中能否积极思考；能否有意识的反思实践过程的方面；