11 空间向量及其运算.docx

1.1空间向量及其运算教材分析本节课选自2019人教A版高中数学选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何，本节课主 要学习空间向量及其运算。平面向量是重要的数学概念，它是链接代数与几何的桥梁。将平面向量拓展到空间，进一步提升了向量 的应用。本节是在学习了简单的立体几何与平面向量及其运算的基础上进行教学的。通过本节课的学习， 既可以对向量的知识进一步巩固和深化，又可以为后面解决立体几何问题打下基础，所以学好这节内容是尤为重要的。课程目标学科素养A. 经历向量及其运算由平面向空间推广的 过程，了解空间向量、向量的模、零向量、 相反向量、相等向量等的概念；B. 掌握空间向量的运算；加减、数乘、数 量积；C. 能运用向量运算判断向量的共线与垂直.1.逻辑推理：运用向量运算判断共线与垂直；2.直观想象：向量运算的几何意义；3.数学运算：向量的加减、数乘与数量积运算及其运算律；教学重谁点1. 教学重点：理解空间向量的概念2. 教学难点：掌握空间向量的运算及其应用课前准备多媒体教学过程教学过程教学设计意图核心素养目标创设问题情境，引导 学生通过平面向量 知识类比学习空间 向量一、情境导学章前图展示的是一个做滑翔运动员的场景，可以想象在滑翔过程 中，飞行员会受到来自不同方向大小各异的力，例如绳索的拉力，风 力，重力等，显然这些力不在同一个平内，联想用平面向量解决物理 问题的方法，能否把平面向量推广到空间向量，从而利用向量研究滑 翔运动员呢，下面我们类比平面向量，研究空间向量，先从空间上的 概念和表示开始。由回顾知识出 发，提出问题，让学 生感受到平面向量 与空间向量的联系。 即空间向量是平面 向量向空间的拓展， 处理空间向量问题 要转化为平面向量 解决。二、探究新知知识点一空间向量的概念思考1.类比平面向量的概念，给出空间向量的概念答案 在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量.在空间，把具有 和 的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的 或.空间向量用有向线段表示，有向线段的表示向量的模，a的起>点是力，终点是可则a也可记作刀列其模记为.>方向；大小；长度；模；长度；lai或I AB I(2)几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量规定长度为0的向量叫，记为0单位向量的向量叫单位向量相反向量与向量a长度而方向的向量，称为a的相反向量，记为一a相等向量方向且模的向量称为相等向量，且的有向线段表示同一向量或相等向量零向量；模为1;相等；相反；相同；相等；同向；等长知识点二空间向量的加减运算及运算律思考2.下面给出了两个空间向量a、凯作出b+a, ba.答案如图，空间中的两个向量a, b相加时，我们可以先把向量a,>>b平移到同一个平面a内，以任意点O为起点作OA=a，OB=b，则> > >> > >OC=OA+OB=a+b, AB = OBOA=ba.让学生巩固空间 向量加减法及其运 算律的同时让学生 感受空间向量和立 体图形间的联系，体 现空间向平面的转 化思想。(1)类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算.A> > >OB = OA+AB=a+b> > >CA = OAOC=ab> > > > >OB = OA+AB = OA+OC=a+b(2)空间向量加法交换律a+b=b+a空间向量加法结合律(a+b)+c=a+(b+c)知识点三空间向量的数乘运算思考3.实数久和空间向量a的乘积扃的意义是什么？向量的数乘运算满足哪些运算律？答案2>0时，ka和a方向相同；A<0时，扁和a方向相反；Aa 的长度是a的长度的|A|倍.空间向量的数乘运算满足分配律及结合律： 分配律：k(a+b)=ka+kb, 结合律：X(a)=(X)a.(1) 实数与向量的积与平面向量一样，实数久与空间向量a的乘积扁仍然是一个向量，称为向量的数乘运算，记作扁，其长度和方向规定如下： 仇a|=. 当义0时，Aa与向量a方向相同；当义0时，Aa与向量a方 向；当 A=0 时，Aa=0.(2) 空间向量数乘运算满足以下运算律®X(pa)=； A(a+b)=； (A +A )a=(拓展).12相反；|A|a|； (A)a； Aa+Ab； A a+A a12知识点四 共线向量与共面向量思考4.回顾平面向量中关于向量共线知识，给出空间中共线向量的 定义.答案如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那 么这些向量叫做共线向量或平行向量.平行或重合；a=Ab；方向向量；OP=OA + ta； AB定义平行于同一个平面的向量三个向量共面的充要条件向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在的有序实数对(x，y)使点P位于平面ABC内的充要条存在有序实数对(x，y)，使AP =对空间任一点。，有OP = OA +>>>>惟一；p=+泌；xAB +yAC； xAB +yAC做一做1.如图，已知长方体ABCD-A'B'C'D',化简下列向量表达式，并在图 中标出化简结果的向量.通过具体问题， 让学生感受空间向 量在解决空间几何 中的应用。发展学生 数学抽象、逻辑推理 的核心素养。> >> > >(1) AA '-CB； (2)AA+AB +B C.> > > >>>>解(1) AA - CB = AA- DA= AA' +AD=AD .TTT TTTTTTT(2) AA +AB+B 'C' = (AA'+AB)+B C= AB'+B C=AC.向彩刀'、例1.已知平行四边形ABCD从平面AC外一点O引向量.DE=4x，0F=ADB, QG=A。，OH=aDD.求证：四点E, F, G, H共面【分析】（1）可画出图形，根据QE=kQA, OF=kOB便可得到些2H,从而得出EFAB，同理HGDC,且有EF=HG，这 OA 0B便可判断四边形EFGH为平行四边形，从而得出四点E, F, G,H共面；解：（1）证明：如图，.视氓，亟；二蜀湍=|k|EF/AB，且 EF=kAB；同理HG#DC，且HG=kDC，AB=DC；LEF/HG，且 EF=HG；.四边形EFGH为平行四边形；四点E，F，G，H共面；知识点五 空间向量数量积的概念思考 如图所示，在空间四边形OABC中，OA = 8, AB=6, AC=4,BC=5，ZOAC=45°，ZOAB=60°，类比平面向量有关运算，如何> >求向量OA与BC的数量积？并总结求两个向量数量积的方法.()> > >解 VBC=AC-AB，> > > > > >：.OA-BC=OA-AC-OA-AB> >> >> >> >= OAACcosOA，AC一OAABcosOA，AB= 8x4xcos 135。一8x6xcos 120°=24-12.通过类比平面向求两个向量的数量积需先确定这两个向量的模和夹角，当夹角和长度 不确定时，可用已知夹角和长度的向量来表示该向量，再代入计算 （1）定义：已知两个非零向量a，人则a防cosa，5叫做a，b的 数量积，记作ab.数乘向量与向量数量积的结合律(Aa)-b=交换律a-b=分配律a -(b+c)=(2)数量积的运算律量数量积的运算让 学生掌握空间向量 数量积的运算，并能 解决简单问题，提升 推理论证能力，提高 学生的数学抽象、数 学建模及逻辑推理 的核心素养。ab+ac； (b)； ba空间向量的夹角>>定义：已知两个非零向量a, b,在空间任取一点O,作OA=a, OB =b,贝9 叫做向量a与b的夹角，记作a, b.范围：a,bE.特别地：当a, b=时，a±b.nZAOB ； 0, n； 2两个向量数量积的性质若a, b是非零向量，则a±b 若a与b同向，则a-b=；若反向，则a-b=.特别地，a-a=或网=若6为a, b的夹角，则cos e= ia-biMiai-ibi a-b2、ma； ab； a-b=0； iai-ibi；_iai-ibi；网例2.已知平行六面体ABCD - A'B'C'D'中，AB=4, AD=3,AA f=5,ZBAD=90°,ZBAA =ZDAA=60°,通过典例解析，进一步让学生体会空间向量在解决立体几何中的应用，提升推(1) 求AC的长；(如图所示)(2) 求侦与页的夹角的余弦值.算可得|AC7 ' |2,开方可得;理论证能力，提高学生的数学运算及逻辑推理的核心素养。=虾+虹）+AA',由数量积的运（2）由（1）可知|矿I，又可求无|和云标，代入夹角公式可得.解：（1）可得AC' =AC+CC =此+却+AA，? 22 . . 92 I oA3 +AD +撬：+2匣云后* +AD-AA-)=42+32+52+2 (4x3x0+4xsx+gx §x)=85 22故力仗的长等于I矽|= /"8E（2）由（1）可知AC'=虾十垃十AA， |庆|=35故吏7。=（曲十虹+AA ） （邮+AD22=4 +2X4X 3X 0+3 +5X4X=孙'十2原而十而'+烛,AB+AA -ADX3X|=一 . 九又0=,（心。械+您局+赤=峥+0+暗=5叫£5踞故如与丽的夹角的余弦值= = -I亏|应I I已知：m, n是平面a内的两条相交直线，直线l与a的交点为B,且 ltm，l上n.求证:l±a解：设直线m的方向向量为ir，直线n的方向向量为，直线l的方向向量为，,: m，n是平面a内的两条相交直线.与口是平面a内的两个不共线向量，设平面a内的任一向量为 &，r*由平面向量基本定理，存在唯一实数入，P 使a=ur+gn» I-f- f-又,Um，H，. 1ir=0， 1 口=0r»r f 1&= 1 ( a m+R nJ=U 'ir+pl '口 =01 _L st.直线l垂直于平面a内的任意直线，由线面垂直的定义得：l±ai三、小结1 .利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的 基础.2. 利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题； 利用数量积运算可以解决一些距离、夹角问题.3. 利用向量解立体几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表 示，用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算或证明去解决问 题.其中合理选取基底是优化运算的关键.五、课时练通过总结，让学 生进一步巩固本节 所学内容，提高概括 能力。