中科大《线性代数与解析几何》讲义5线性变换.docx

第五章线性变换?5.1线性变换的概念?5.1.1线性变换的定义定义5.LL设U, V为数域F上的两个线性空间,映射爱：U二V称为线性映射,如 果对任意A J U,入 F.都有：爱(x +y)=爱+爰 W(5. 1)爱(M =人爱(M(5.2)则称爱为从线性空间U到线性空间V的线性映射.特别地,如果U = V,则称爱为 线性空间V上的一个线性变换.?5.1.2线性变换的例子例把每个向量映为自身的变换侈：侈(X)=X,x V;以及把每个向量映为 零向量的变换份:份W = 9,x V.不难看出这两个变换为线性变换.侈称为单位变换或恒等变换,份称为零 变换.例5.1.2.设F“为数域F中的元数组空间.A =(劭"为阶方阵变换爱：F“二F症义为:对每个X = S ,x2n) F"(这里我们用列向量表示F中的向量), Cln Xn 42 Cinn由矩阵的乘法法则知变换爰为线性变换.映射或变换是一个几何概念,我们日常生活中经常碰到的镜面反射、旋转 等都是线性变换.例5.13本例中,我们用列向量表示R2的向量.变换爱：R2二史将每个向量映I、i 、到关于居由对称的向量(见图1).设。=* ,则爱() = x .用矩阵表示就s _)L / (i o' K 爱()=爱 =y Lt> T y由例5.1.2知爱为线性变换.称为关于居由的镜面反射.、设变换爱：R2二R2是将每个向量逆时针旋转9角的变换.设 =' ,爱(a)IXy= S我们利用复数来计算,，。.设向量。对应的复数为厂的.则爰9)对应的复 数为修h9)因此£ = r cos(+9) = r cos Ocos9 _ r sin Osin9=x cos9 _ y sin 9= r sin(+9) = r cos Osin9 + r sin Ocos9=x sin9 + y cos9用矩阵表示就是爱()=爱由例5.1.2知爰为线性变换,称为旋转变换.下面介绍我们熟悉的空间中的一些线性变换.例5.1.4.在IMM中,设爱为微分算子爰(P(X)=力由微分法知爱为线性变换.例5.15在由2阶方阵构成的线性空间中,对取定的方阵定义变换I X I 、1、Eab B a b 爱=由矩阵的乘法法则不难看出爰为线容斐够C d?5.1.3线性变换的性质下面的命题给出了线性变换的一些简单性质.命题5.1.1.设爰：V二V为线性变换,则(1)爰(9) = 9;爱 Ja) = _爱(a), a V若Ch , 2 ,，Cb为V中线性相关的向量.则爱(8 ),爱(。2),，爱(叫也线性 相关.证明:爱(9)=爱(O . ) = O .爱=9;爱(_。)=爱()=()爱(。)=一爱(«)(2)设3,02。线性相关,则存在不全为零的N ,入2 ,，" F,使得 +2G2 + . . . +AmQwt= 9 ,两边用线性变换爱作用后彳导到入I 爱(。1 )+入2爱(。2 )+.+入I爱(Qwr)=爱(0 +2G2 + . . . +hnQm)=爱(9) = 9因此爱(。1 ),爱(。2),，爱(Ow)线性相关这个命题说明线性相关的向量组经过线性变换后,仍保持线性相关性.特 别地将它应用到R3空间就意味着线性变换把共线的向量映为共线的向量,把 共面的向量映为共面的向量.但是它的逆命题不成立.线性无关的向量经过线 性变换后,可以成为线性相关的.例如零变换.?5.2线性变换的矩阵我们将数域F上维线性空间V的全体线性变换所构成的集合记为L(V),将 数域F上的全体阶方阵所构成的集合记为M”(F).本节我们将说明在给定的一 组基下,集合L(V)与集合M(F)之间存在一一对应.?5.2.1线性变换在一组基下的矩阵定义521.设爱：V二V为维线性空间V上的线性变换.(8 ,。2 ,，明为V的 一组基.如果数域F上的方阵A满足爱(3, c(2, , ) = (a, a2,., a)A(5.3)则称方阵A为线性变换爱在基(3 , az, ., a)下的矩阵.注1由定义知矩阵A的第洌恰为爱在基，S,.。)下的坐标,因此一个 线性变换在给定的一组基下的矩阵是唯一的.定理5.2.1.设线性变换爱:V二V在基，, 叫下的矩阵为A x,.y vy = 爱(X).若.V在基(a I ,a2,.,叫下的坐标分别为X,匕则YAX(5.4)、/y、证明：设X =, Y I 则,'(5.5)y=爱()=爱(,，0):：Xn=爱(X。I + . . . + XnGn)=川 爱(。1) + .+ X“爱(。)/ /%、=爱(),，爱 9")、 *(5.6)'Xn '/X、1=z*(,. ., a)A.Xti '° X !.、=(Oi,. ,a«) A由于一个向量在一组基下的坐标是唯一的,我们得到(5.4)式.下面我们来看如何计算线性变换爱在一组基下的矩阵A.例5.2.1.设例5.L2中线性变换爱在自然基白 ,力，”下的矩阵为< .由爱的定 义知1 Urfl a»n 0因此1的第一列与A的第一列相同.同理，1的第j (2 <j< 洌与A的第洌 相同.所以上=A.即爰在自然基切,e2, . .,气下的矩阵为4作为推论,例5.1.2中的变换爱在自然基T的矩阵为A.例5.1.3中对称变换和旋转变换在自然基下的矩阵分别是P ° , fan (0 -I xi 8、.例5.22在例5.1.5中,取基、 1 、IIII1 00 I0 00 0则=Ctei + O 02 +y。+ O 64= Oel +e2 + 0 03 +y4=B 勺 + 0 ©2 + 8 03 + 0 64= OeI +B2 + 0 + 8史/ a爱W）=y爰（。）=y爱3 ）=y爱口）= y00 1Q0*ay0£I81O000、 ay、00、B8B 08 0/a10 A =;y0所以爰在基，及，63, G下的矩阵80 .上例中的变换爰虽然是由通过左乘矩阵M得到,但爱在自然基下的矩阵 M它们的阶数甚至都不相同.读者应注意它与例5.L2的区别.?5.2.2 L (V)与MMF)的对应下面的定理指出了 L(V)与M(F)之间的一一对应关系.定理5.2.2.设V为数域F上的维线性空间,2,.,。“为V的一组基.则存在一 一映射O : L(V)二M"(F),使得对每个爱 L(V), 0(爱)为爱在基Ch ,a2,.1 a”下 的矩阵?5.2.3线性变换的运算虽然我们发现了一一对应。,但它仅仅是两个集合间的一种对应关系,它是 否能保持更多的数学结构呢?例如MMF)在矩阵的加法和数乘下构成数域F上 的一个线性空间,在L(V)中能否引入适当的运算.使之成为线性空间.并使O成 为线性同构呢?答案是肯定的.设爱，S L(V), F,定义爱+S,入爰，S。爱 L(V)如下:对每个 V,(爱 +S)(x)=爰(x) + S(x)(人爱)(力=人爱(X)(S 爱)(%) = SZ爱 Wx不难看出L(V)在上述加法和数乘运算下构成线性空间. 定理5.2.3.设O L (V)二M”(F)为定理5.2.2中定义的映射.则对爰，S L(V)1 E有(1)。(爰 +S) = 0(爱) + 0(S),(2) o(爰)=o(), 0(S o 爱)=o(s) . 0(爱)特别地,(2)表明0为线性同构.证明：?5.3矩阵的相似线性变换的矩阵是以空间的一组取定的基为前提的.一般来说同一线性变 换在不同基下的矩阵是不一样的.现在我们来寻找同一线性变换在不同基下的 矩阵之间的关系.定理5.3.1.设线性变换爱在V的两组基S , 2, ，。,和B|, B2. . B 下的矩阵分 别为4和及从基E , a2, a“到基B, B2, 的过渡矩阵为7：则B=T-IAT证明：已知爱(a, a:,., a”) = (a, a2,., a“)A爱(B, Bz,., B) = (Bi, B2,., B/j)A(B), B2,., B?) = (aI, a2, a«) T于是爱(BI, B?,，B)=爰 /(%, az, ,。)丁/=爱(3,02,.,5)' T=/ai,。2 ,，a)A T= (a,a2,. ,an)(AT)=(B , B2, ., B)(T- 7)定义5.3.1.设4,8为数域F上的两个阶方阵,如果存在数域F上的阶可逆方阵7,使 得B= T-IA 7,则称4与8(在数域F上)相似,记为A B.命题5.3.2.矩阵的相似关系为等价关系.即满足以下三个条件：(1)(反身性)A A;(2)(对称性J若A则8 A;(3)(传递性)若A 8, 3 C,贝必C.证明：(1)因为A = I-A /,所以AA.(2)设A氏则存在可逆方阵兀使得8 = T-IA 7所以A= (T-* )-B 7，即 A.(3)设A -ByB- C,则存在可逆方阵7, S,使得8 = T-A RC= S-出S,所以C= S-1 (T-A T)S= (TS)-A(TS),即AC.由于相似关系为等价关系，可以将阶方阵按相似关系进行分类:将相互之间相 似的方阵归成一类.两个类要么是一样的,要么就不相交.每个类称之为一个相 似类,该类中的每个元素都称为一个代表元.定理531指出:一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的.那么反过来.属 于某一相似类的所有方阵,是否都是该线性变换在不同基下对应的矩阵呢?回 答是肯定的.事实上,设A为线性变换爱:V二V在基3 ,2,.,。“下的矩阵.若8为A所 在的相似类中的任一元素很118与A相似,即存在可逆方阵儿使得8= 7TA T.令(B , Bz , . . . , Bm) = (ai , 02 , . . . , On) T,则Bl ,B2,. , B也是V的一组基,且不难验证爱在这组基下的矩阵为正一般说来,一个线性变换的性质与空间的基没有关系.因此,通过矩阵研究 线性变换的性质时,只有相似的矩阵都具有的性质.才有可能反映线性变换的 性质.如果一个性质为某个方阵所具有,则与之相似的方阵也具有该性质,则称 该性质为一个相似不变量.例如,方阵的行列式和秩都是相似不变量.读者可以 思考这两个不变量反映的是线性变换的哪些性质.在下一节中我们要介绍更多 的相似不变量.?5.4特征值和特征向量?5.4.1特征值与特征向量的定义定义541 ,设为数域F上的阶方阵.如果存在入 F及非零向量X F.使得AX = 入X,则称人为方阵A的一个特征值,而称X为属于特征值的一个特征向量.命题54L设A为数域F上的阶方阵.则(1) F为/1的特征值当且仅当齐次方程组(k_A)X =O有非零解.(2)属于A的不同特征值的特征向量是线性无关的.证明：是显然的,下面证明(2)设M ,入2儿为A的互不相同的特征值,M ,X2 ,国为相应于它们的特征向量.用数学归纳法证明.当A= 1时,必#9,它是线性无关的.假设1时命题 成立,下面证明对A命题成立.假设UlXl + U2X2 + . . . + UkXk= 9(57)用M乘(5.7)式两端狷UIAJlXl + 2*X2 + . . . + UkKkXk = 9(5.8)用A左乘(5.7)式,得UXl + U22X2 + . . . + UkkkXk= 9(59)(5.8)式减(5.9)式彳导Ul (A*_ )X1 + . . . + UA_1 ( _ - )Xk.i = 9 '由归纳假设知.u(x - M = 9, y = 1, 2,1,由于&_内f0,我们得到Ul, U2uj = 0.再由(5.7)知UtXt= 9.因为*9,所以IK = 0.这就证明了X ,X2 ,.,次线性无关.?5.4.2特征值与特征向量的算法设人为方阵人的一个特征值.由上述命题知，(入/_A)X= 0的解空间为F”的 非平凡的线性子空间,我们称之为矩阵A的属于特征值人的特征子空间.记作V . VA恰好由属于人的所有特征向量和零向量组成.因此,属于人的两个特征向量的 和以及属于人的特征向量的倍数仍然是属于人的特征向量.由命题5.4.1,为A的特征值 午÷ ( _A)X = 0有非零解午 ÷ det (,A) = 0对于给定的阶方阵儿det (入/_A)是以人为变量的次多项式.定义542.设A是数域F上的阶方阵,A F,称det (入/)为矩阵A的特征多项 式,记为PA ().由上面的分析，入为矩阵A的特征值当且仅当人为A的特征多项式的根.但 是,数域F上的多项式在数域F中并不一定有根.例如F = R时.为了确保特征值 的存在性,在本章剩下的各节中，除非特别申明,我们总假设F=C由代数基本 定理知,一个次复系数多项式恰有个根,因此每个复数域C上的阶方阵中恰 有个特征值.复数域C上的方阵A的特征值和特征向量的算法如下：(1)计算特征多项式() = det 设PaW = ( _ j )n ( _ 入2 )"2 . . . ( _ j)m,其中i C1 m > 1(/=1,2,.,5)且 1 + 2 + . + ns n.则,人2, . . .,入,为A的全 部特征值其重数分别为，”，“2 ,，心.(2)对每个特征值,求解方程组(入A)X= 0 设沏,Xi2 ,X.为它的一个基础解系,则所有的非零线性组合ClXil + C2×i2 + . . . + CmiXimi为4的属于人，的所有特征向量.例5.4.1.求矩阵/ 、3 _1 _2A= 26_2(2 _1_1全部特征值和特征向量.解:A的特征多项式为(由八() = ( _ 1)2 = 0,得到A的全剖特征值为I = 0, 2= 3= 1.下面求各个 特征值对应的特征向量.对于 = 0,解方程组(0 /)X= 0,即解/、/X、/、31210_20 2x1=0(.(x ( _21130解得特征值。对应的特征向量为(c0)对于入2 =入3 = 1、解方程组(/ _A)X = 0,即解_2 1 2I 12(.(x (_2 1 230解得特征值1对应的特征向量为(c2 , c3不同时为零)下面讨论特征多项式的基本性质.命题5.4.2.相似的矩阵具有相同的特征多项式和特征值.证明：设3= T-1A T,其中T为可逆方阵.则IA/_ Bl = l, T-A Tl = Ir-I (.A)T =l Al因此A和B有相同的特征多项式,从而有相同的特征值.设A=(劭)为C上的一个阶方阵.则P ()11_。12f 入_。22-Ui _an2n + OAw- + . + Om I + On不难看出在上式中.0 = E an, On = (_ 1 )t A.I- I另一方面,假设A的个特征值为M ,入2 ,，入,则PA() = (-1 )(.2). (.n)对比上面两式,我们得到下面的命题.命题5.4.3.设A =(劭)为C上的一个阶方阵,2 , Ah为A的个特征值.则nn(1) E an = E s(2) det(A)=入 1 入2. w，推论54.1.阶方阵可逆当且仅当它的个特征值都不为零n阶方阵A=(劭)的主对角线上元素之和Ea通常称为/1的迹,记为tr (A).命 题542和5.4.3表明矩阵的特征多项式,特征猛:行列式,迹等都是相似不变量.例5.4.2.设阶方阵八的个特征值分别为入I ,入2 , . ,入”,求/+A的特征值及+A n解：对入 c, z _ai = U ( _ ) ,因此i 1l. (/+A)l = l( _ l)/_Aln=Il ( _ 1 _ ji 1= z _ (1 +M、1 - In因此1+4的个特征值为1 +入1 , 1 +入2 , , I +入”,从而+A = 口(I +). /- 1?5.5矩阵的相似对角化本节我们讨论矩阵在相似下的标准性问题.我们希望在每个相似等价类中 寻找一个最简单的代表元.对角阵可能是最容易想到的候选代表、但是下面的 例子说明这是办不到的,并不是每个矩阵都能相似于对角阵./ 、2 1 O例5.5.1 .证明3阶方阵A= O 2 1不能相似于对角阵.( 0 0 2证明：假设A能够相似于对角阵8由于A的三个特征值都是2,而特征值是 相似不变量,因此8的三个特征值也都是2.所以8 =2/3.由A相似于砍口,存在3阶 可逆方阵兀使得A = T-1B T= T-1 (2 h)T= 2 h(T-l T) = 2/3-这显然是矛盾的.因此A不可能相似于对角阵.?5.5.1相似于对角阵的一个充要条件下面给出矩阵相似与对角阵的充分与必要条件.定理55L数域F上的阶方阵A相似于对角阵的充分必要条件是M有个线性 无关的特征向量.证明：必要性:设存在可逆方阵使得TTA T = diag(, z,., ) , 两边左乘兀得4 T=Tdiag(, 2,., n) 记T= (Xi ,X2 , . . . ,X),其中M(i = 1, 2,., )为F”中的列向量.则由矩阵的分块运 算得(AXl ,AX2,AXn) =4 (Xi ,X2 , . . . ,X)、I入2=(Xi ,X2,XQ(l=(X, 2X2,，AX)因此AM = KiXi(i 1,2,所以Xi ,X2X”为人的个特征向量.由于这，个向量构成的矩阵丁是可逆的,它们是线性无关的.充分性:设4由个线性无关的特征向量箝,X2,. ,X”,对应的特征值为M . M,. .,人. 令T=(Xl ,X2,.,X"),则有AT = A (Xi ,X2Xm)=(lXl , 2X2 , . . . , nXn)×、I人2=(Xl ,X2Xn) .n即7,TA T = diag(, 2,. , w) ,注2.若矩阵A相似于对角阵,则该对角阵的个主对角线元素恰为A的个特征 值.因此如果不计主对角线上元素的先后次序,该对角阵是唯一的.推论5.5.1.如果矩阵A的个特征值两两不同.贝M相似于对角阵.证明：由命题541知.不同的特征值对应的特征向量是线性无关的.因此,由上面的定理知推论成立.?5.5.2特征值的代数重数与几何重数虽然定理551给出矩阵可对角化的一个充要条件.但是对于给定的方阵.要 验证定理的条件却非易事.下面我们将给出一个更加容易验证的充要条件.为 此需要几个定义.给定复数域C上的阶方阵A.设A的特征多项式为PA（A） =（入 Jl ）«, （ 入2）献（入 _ j）称为特征值储的代数重数.特征值人,对应的特征子空间V,.即方程组（A"_A）X = O的解空间的维数称为特征值人,的几何重数.记为.定理551告诉我们一个矩阵要相似于对角阵.必须有足够多的线性无关 的特征向量组.命题541指出不同特征值对应的特征向量是线性无关的,而对 每个特征值人,.属于人,的线性无关的特征向量有科个（参照加的定义）.如果将这 些向量放在一起仍然是线性无关的'那就得到一个个数更多的全部由特征向 量构成的线性无关的向量组.下面的引理告诉我们这样做是可行的.弓I理5.5.1.设入1 ,入2,人,是矩阵A的S个不同的特征值Xri ,Xi2,”,是A的属 于/的线性无关的特征向量.i = 1, 2 S.则Xn ,X12,X”,X21 ,X22, . ,X22, ,Xsl fXs2» jXsmi证明：证明方法是命题54的证明方法的推广.下面的引理指出了代数重数与几何重数的关系.引理5.5.2.设,为阶复方阵A的特征值,则它的几何重数不超过它的代数重数,即/< m.证明:属于特征值入，的特征子空间VZ的维数为".取它的一组基,，,*将 斯充为C的一组基:,2,., B11B2,., Bs（这不难做到,请读者自行 验证）.令T= （a, az,. 1 , B 1 Bz,., Bn则A T = A（3 ,。2, ,。叫 Bi, B?,., B，?”,）I * '= （C（I, C,，,B, Bz,., BwA1=7 /入J小因此矩阵A相似于矩阵i1由于相似的矩阵有相同的特征多项式我们有°Pa （） = （ _ Ki）,nipM （）而Pa （入）的（入_加）的指数等于“,所以/"i < m.定理552.复方阵A可对角化的充分必要条件是A的每个特征值的几何重数与 代数重数相等.证明：设4为阶复方阵,其特征多项式为PA () = ( _ )n, ( _ 人2)"2 . ( _ x)nf *特征值人,的代数重数为切.设儿的几何重数为制，即方程组("/)X= O的解空 间维数为福.因此存在加个属于特征值人,的线性无关的特征向量.由引理5.5.1知, A有加+ m2 + . ÷侬个线性无关的特征向量.由定理5.5. 1, A可对角化当且仅 当/川+/2 + . +"6= .又由于加 < 5，1 < < S及川+2 + . +加=，因此A可 对角化当且仅当的="i, I <i<s.例5.5.2.在例541中,矩阵A有两个不同的特征值。和I .特征值O的代数重数和几 何重数都是I .特征值I的代数重数为2,而特征方程(/ _A)X =。的解空间的维数 等于2.故特征值1的几何重数也是2,因此A是可对角化的.事实上,令/、 /、 / 、I1OXl= 1 , Xi = 2 X3 = _2 ,(.(. (-IO1则AXI = O, AX2 =X2 , AX3 =X3 .若令T= (Xi ,X2 ,X3),则有/ 、0 0 0T-A T = 0 10-(0 0 I?5.5.3相似于上三角阵从上面的两个定理可知,不是每个方阵都可以相似于对角阵,但我们可以 证明它总可以相似于一个上三角阵.定理553.任何一个复方阵A都可以相似于一个上三角阵,且该上三角阵的主 对角线上的元素都是A的特征值.证明：对方阵人的阶数，用数学归纳法.当 =1时,命题显然成立.假设命题 对，阶方阵成立.现在考虑阶方阵人设A为A的一个特征值,必为属于心的 一个特征向量.将Xi扩充为C”的一组基：Xi ,X2 , ,X” .令(5. 10)T= (Xl ,X2Xn)则丁为阶可逆方阵由M = MX知AT=A(X ,X2t. ,Xn) = (X 4X2 , . . 1AXm) 所以I *T-1A T= 1 AlO根据归纳假设,存在 _ 1阶可逆方阵。,使得丁为上三角阵.令S=TiI °、， 0 Ti则I、ClIo1S-I=1 T-1 -0 T -1,所以iIS-1A S = 1° 1 (T-,A T) 1 °i0 T-J、1 0 l 1 0 0 T -, H O At0 Ti=Pl . O ,7i由于TLAlr为上三角阵,S-1A功上三角阵.因为上三角阵的主对角线元素都 是它的特征值.而特征值是相似不变量,所以STAS的主对角线元素都是A的特 征值.注3.在式(5. 10)中,向量X2.X”的选取方法不是唯一的.最后得到的上三角 阵也不是唯一的.?5.6若当标准形简介*?5.6.1若当标准性定理在本节中,我们将简单介绍矩阵在相似关系下的标准形-若当标准形.我们 不给出若当标准形定理的证明,但给出计算若当标准形的方法,并作一些简单 的说明./ 、,210在例551中,我们证明了矩阵0 2 1不能相似于对角阵.这个矩阵只.有一个重数为3特征值2.若当标准形定哈假褪们这样的矩阵在相似关系下已 经是最简单的形式了 ,称为一个若当块.一般地、我们有定义561.设人是任意复数,，是任意正整数,形如z 1 O . o'I 一j O ： 1(A.的，阶方阵称为若当块,记作J，"),其中，表示它的阶数、入是它的对角线元,也 是它的特征值.因此JMA)也称为特征值式人的加介若当块.如果一个方阵是准对角阵,并且每个对角块都是若当块,则称之为若当形 矩阵.注意一个若当形矩阵的某些若当块可能具有相同的特征值.例如矩阵diag (74(2), J3 (2)1 Ji (2),J3(5) 是一个若当形矩阵.定理561.任何一个复方阵A都相似于一个若当形矩阵/它的每个若当块的特 征值都是A的特征值.如果不计若当块的排列顺序,则J是唯一的.?5.6.2若当标准形的计算下面我们介绍如何计算一个矩阵的若当标准形.设A为复数域C上的阶方 阵.贝必的若当标准形./的算法如下：(1)求出人的特征多项式和全部特征值.Pa (A) = (A-AI )rt, ( _ 2 )«2 . . . ( _ Ks)m, E m=n /-1(2)对每个特征值"计算A _ 入，,(A _ KiI)2 , (A _ J)3 j . , , 记rk = Rank (A _ hil)k, k> 0,其中约定八)=%dk = rk_i _ rk, > 1; 8a = dk_ dk+, k> 则力=J中特征值为人,的阶> k的若当块的个数.& = J中特征值为儿的阶=4的若当块的个数.(3)根据&/ > 1写出A的若当标准形中特征值为人,的所有若当块.对每个特 征值重复上述过程.就可得到A的若当标准形J.例5.6.1.求矩阵 /41022J61_1°/A= - O0300.0023°(00103的若当标准形.解：矩阵A的特征多项式PA(X) = IALAl =(A_ 2-( _ 3)3 对于特征值M = 2,计算可得r0 = 5, ri = Rank(A _ 2/) = 4, = Rank( _ 2/)2 =3, Rank(A _ 2/)3 = 3 ,因此d = ro _ ri = I1 d2 r _ r2 1, = n - = 0 所以81 = di _ 4 = 0, 82 = d2 _ 公=1 , 即A的特征值为2的若当块只有如下一个2阶的若当块：I 、% i对于特征值入2 = 3,计算可得%=5, = Rank(A _ 3/) = 3, n - Rank(A _ 37)2 = 2, = Rank(A _ 2/)3 = 2 ,因此d = ro _ = 2, d2 r _ r2 = 1,3 = /*2 _ 3 = 0 ,所以81 d _ dz - I1 82 =出 _ 由=1 即A的特征值为3的若当块有一个2阶的和一个1阶的:所以A的若当标准形为