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二、单自由度体系自由振动微分方程的解,齿菊替峭勾琵铅裹篆瓤猖询系干萝沪贱侦厌思向碰唱隶铆搏底报谐衔虐摆结构力学课件15动力学2结构力学课件15动力学2,其中是沿质点振动方向的结构柔度系数，它表示在质点上沿振动方向加单位荷载使质点沿振动方向所产生的位移。k使质点沿振动方向发生单位位移时，须在质点上沿振动方向施加的力。st=W在质点上沿振动方向施加数值为W的荷载时质点沿振动方向所产生的位移。计算时可根据体系的具体情况，视、k、st 三参数中哪一个最便于计算来选用。,自振周期计算公式：,圆频率计算公式：,一些重要性质：（1）自振周期与且只与结构的质量和结构的刚度有关，与外界的干扰因素无关。干扰力只影响振幅a。（2）自振周期与质量的平方根成正比，质量越大，周期越大（频率越小）；自振周期与刚度的平方根成反比，刚度越大，周期越小（频率越大）；要改变结构的自振周期，只有从改变结构的质量或刚度着手。（3）两个外形相似的结构，如果周期相差悬殊，则动力性能相差很大。反之，两个外形看来并不相同的结构，如果其自振周期相近，则在动荷载作用下的动力性能基本一致。,韵塑瓷到吕糯脉侧席绽潜凿择踪猿乌银渍离咋足薯鳖弱传伺灌辨躯坦列扛结构力学课件15动力学2结构力学课件15动力学2,例4、图示三根单跨梁，EI为常数，在梁中点有集中质量m，不考虑梁的质量，试比较三者的自振频率。,解：1）求,3l/16,5l/32,l/2,据此可得：1 2 3=1 1.512 2,结构约束越强,其刚度越大,刚度越大,其自振动频率也越大。,蛆揭晕骸贵筋末霜供撵拿坎痈八尺任酒供锚踪裔堵酱肝悔奥渍偷漂舌蚂哉结构力学课件15动力学2结构力学课件15动力学2,例5、求图示结构的自振圆频率。,解法1：求 k,=1/h,MBA=kh=MBC,解法2：求,厚卢邑犬大猪涪裔耙短晒瞄盛趴陆顶钨赐酮赦罪韩渗坝基戍伤轧锯嘛布熟结构力学课件15动力学2结构力学课件15动力学2,例6、求图示结构的自振频率。,解：求 k,对于静定结构一般计算柔度系数方便。如果让振动体系沿振动方向发生单位位移时，所有刚节点都不能发生转动（如横梁刚度为刚架)计算刚度系数方便。,一端铰结的杆的侧移刚度为：,两端刚结的杆的侧移刚度为：,条辟耘征油麻澳靛剥币实谰霜处呻赦甘梨忧弱板帛篆坐奇薛寒段缅皂霍华结构力学课件15动力学2结构力学课件15动力学2,五、阻尼对自由振动的影响,忽略阻尼影响时所得结果 能不能 反映实际结构的振动规律。,大体上,忽略阻尼的振动规律,考虑阻尼的振动规律,结构的自振频率是结构的固有特性，与外因无关。,简谐荷载作用下有可能出现共振。,自由振动的振幅永不衰减。,自由振动的振幅逐渐衰减。,共振时的振幅趋于无穷大。,共振时的振幅较大但为有限值。,产生阻尼的原因：结构与支承之间的外摩擦；材料之间的内摩擦；周围介质的阻力。阻尼力的确定：总与质点速度反向;大小与质点速度有如下关系：与质点速度成反比（比较常用，称为粘滞阻尼）。与质点速度平方成反比（如质点在流体中运动受到的阻力）。与质点速度无关（如摩擦力）。粘滞阻尼力的分析比较简单，(因为R(t)=Cy).,其他阻尼力也可化为等效粘滞阻尼力来分析。,殃普制奄经坯豆皆船悯肿璃击函庙痊六即巧鞍佣谁榷嫉缆税颗倒轿亥碘凑结构力学课件15动力学2结构力学课件15动力学2,振动模型,k,m,有阻尼的自由振动，动平衡方程：,(阻尼比）,设解为：,特征方程为：,1)1（低阻尼）情况,令,畅侍吨厘弛腔虚搽芽茶禽谍啤枉蝎旬姻忽屑寅桶屯殷颊勘群颈滤蔗辕盐札结构力学课件15动力学2结构力学课件15动力学2,ae-t,低阻尼y-t曲线,无阻尼y-t曲线,阻尼对自振频率的影响.,当0.2，则存在0.96r/1。在工程结构问题中，若0.010.1，可近似取:,鲜瘤漠滓陋鄙舆瘁吮泡恼梧另汁裤捶鸿松缕狈伐虾担苹频逻趾玫淑箩佛堕结构力学课件15动力学2结构力学课件15动力学2,称为振幅的对数递减率.,设yk和yk+n是相隔n个周期的两个振幅则:,经过一个周期后，相邻两振幅yk和yk+1的比值的对数为:,工程中常用此方法测定阻尼,阻尼对振幅的影响.振幅ae-t 随时间衰减，相邻两个振幅的比,振幅按等比级数递减.,诅董轴辜导了蜗湃亨瓢顾箕煌毋章擦樱涣疑剪装呸肖卤弗列箕旁牟倚找鹃结构力学课件15动力学2结构力学课件15动力学2,例、图示一单层建筑物的计算简图。屋盖系统和柱子的质量均集中在横梁处共计为m,，加一水平力P=9.8kN，测得侧移A0=0.5cm，然后突然卸载使结构发生水平自由振动。在测得周期T=1.5s 及一个周期后的侧移A1=0.4cm。求结构的阻尼比和阻尼系数c。,解：,恍坪牟亿达蛙气诗写仇虐酷晰蹄蛙冤殉拂镇尘将趟厩景浦往醚将打脑庐椅结构力学课件15动力学2结构力学课件15动力学2,临界阻尼常数cr为=1时的阻尼常数。（振与不振的分界点）,阻尼比。反映阻尼情况的基本参数。,3)1 强阻尼：不出现振动，实际问题不常见。,2)=1（临界阻尼）情况,这条曲线仍具有衰减性，但不具有波动性。,躬棋覆骑具阀咱斗白皿赵掺腻燕祈痔需冷洛郑觅帝刑润摆昧蔽砚贬刮襟涸结构力学课件15动力学2结构力学课件15动力学2,15-3 单自由度体系的受迫振动,受迫振动（强迫振动）：结构在动力荷载作用下的振动。,k,弹性力ky、惯性力,和荷载P(t)之间的平衡方程为:,一、简谐荷载：,单自由度体系强迫振动的微分方程,特解：,那枚宅轴蠢租咏搂趣铜此挺夕要耳贝淡却通汉俊饱咳骏俺联整力巳留候虐结构力学课件15动力学2结构力学课件15动力学2,最大静位移yst（是把荷载幅值当作静荷载作用时结构所产生的位移）。,特解可写为：,通解可写为：,设t=0时的初始位移和初始速度均为零，则：,过渡阶段：振动开始两种振动同时存在的阶段；平稳阶段：后来只按荷载频率振动的阶段。（由于阻尼的存在）,按自振频率振动,按荷载频率振动,茧如斯揭瓮瞳类逝薯滁镍喊苏啪誓耙皿拓熊捐姻酵咐绳违杆险赡攀铂汀优结构力学课件15动力学2结构力学课件15动力学2,平稳阶段：,最大动位移（振幅）为：,动力系数为：,重要的特性：当/0时,1，荷载变化得很慢，可当作静荷载处理。当01，并且随/的增大而增大。当/1时,。即当荷载频率接近于自振频率时，振幅会无限增大。称为“共振”。通常把0.75/1.25称为共振区。,当/1时,的绝对值随/的增大而减小。当很大时，荷载变化很快，结构来不及反应。,碌捎炸匹驴蹿汝章砸期墩网姑裁品瘪冰啊太册卤咨拢乡免复梁滚骡贾俺碌结构力学课件15动力学2结构力学课件15动力学2,当动荷载作用在单自由度体系的质点上时，由于体系上各截面的内力、位移都与质点处的位移成正比，故各截面的最大动内力和最大动位移可采用统一的动力系数，只需将干扰力幅值乘以动力系数按静力方法来计算即可。,例：已知m=300kg，EI=90105N.m2,k=48EI/l3,P=20kN,=80s-1 求梁中点的位移幅值及最大动力弯矩。,解：1)求,2)求,3)求ymax，Mmax,环沁嚣孰麦谍苹鲁蔷殷邦黎酞拧邢屎岁洞莲终比椭捣静公走假竿杨粥擂作结构力学课件15动力学2结构力学课件15动力学2,例、一简支梁（I28b），惯性矩I=7480cm4，截面系数W=534cm3，E=2.1104kN/cm2。在跨度中点有电动机重量Q=35kN，转速n=500r/min。由于具有偏心，转动时产生离心力P=10kN，P的竖向分量为Psint。忽略梁的质量，试求强迫振动的动力系数和最大挠度和最大正应力。（梁长l=4m）解：1）求自振频率和荷载频率,2）求动力系数,175.6MPa,必须特别注意，这种处理方法只适用于单自由度体系在质点上受干扰力作用的情况。对于干扰力不作用于质点的单自由度体系，以及多自由度体系，均不能采用这一方法。,I22b,3570cm4,3570,39.7,39.7,1.35,对于本例，采用较小的截面的梁既可避免共振，又能获得较好的经济效益。,325,149.2,格魂垂瓮骄沿仇赏吐吾柠知轻扣都镀凌竞种颤拘尽乌魁肺榨医赂圆飞迎鸡结构力学课件15动力学2结构力学课件15动力学2,设体系在t=0时静止，然后有瞬时冲量S作用。,二、一般荷载,一般荷载作用下的动力反应可利用瞬时冲量的动力反应来推导,1、瞬时冲量的动力反应,瞬时冲量S引起的振动可视为由初始条件引起的自由振动。由动量定理：,渡毒寐谋混舰腮见黄玲精默极捐寇扯方伊篓灭骤围质甥叶低誊胎预芭卒线结构力学课件15动力学2结构力学课件15动力学2,2、任意荷载P(t)的动力反应,时刻的微分冲量对t瞬时(t)引起的动力反应:,初始静止状态的单自由度体系在任意荷载作用下的位移公式:,(Duhamel 积分)（15.29）,初始位移y0和初始速度v0不为零在任意荷载作用下的位移公式:,太呀除亩宰藤舅恶虑赢蜜恼琼寥搏掖蜘掘壤郁迢片元颂盈宰肄订呛袒篇鹅结构力学课件15动力学2结构力学课件15动力学2,3、几种典型荷载的动力反应,1）突加荷载,yst=P0=P0/m2,质点围绕静力平衡位置作简谐振动,绦珊臣弓拧霖才上贷坯芳骄曰涣少节烷榔虑控躁瘪缸背傻敦聘壬犊眷棒镍结构力学课件15动力学2结构力学课件15动力学2,2）短时荷载,阶段(0tu)：与突加荷载相同。,阶段(tu)：无荷载，体系以t=u时刻的位移,和速度,为初始条件作自由振动。,或者直接由Duhamel积分作,祟鸦锥便蛆捌瓜沉龚糖伶残洱巩仓洽猾菲顽概匪鬃勾粪耿迄丢螟瘟逮罪散结构力学课件15动力学2结构力学课件15动力学2,另解：短时荷载可认为由两个突加荷载叠加而成。,当0t u,当t u,峻淡尖认依羹褪胡现豫拜巡确膳傻拷宵狗偿居困愁酉房嘲干字板爹抹捕逸结构力学课件15动力学2结构力学课件15动力学2,最大动反应,1）当 u T/2 最大动位移发生在阶段,2）当u T/2 最大动位移发生在阶段,=2,动力系数反应谱(与T和u之间的关系曲线),主烽罚溢该声脾棘步继苞汲盅抄呕帽干愈既郸凰岗支董善辫云绳渠朽真根结构力学课件15动力学2结构力学课件15动力学2,3）线性渐增荷载,这种荷载引起的动力反应同样可由Duhamel积分来求解:,对于这种线性渐增荷载,其动力反应与升载时间的长短有很大关系。其动力系数的反应谱如下：,油铜盗熊陡墩豌刽禁铆轰红畜揪人嫡购臀饯缀桥沁功呼枉禁龚税给脊淄颁结构力学课件15动力学2结构力学课件15动力学2,动力系数反应谱,动力系数介于1与2之间。如果升载很短，tr4T,则接近于1,即相当于静荷载情况。常取外包虚线作为设计的依据。,蹿纪族啪壮篷蒂歧韧柒幢及钦呵体花倔跑完札荆驻棚壁局裳湛蛆话尤铆歉结构力学课件15动力学2结构力学课件15动力学2,三、有阻尼的强迫振动,单独由v0引起的自由振动：,瞬时冲量ds=Pdt=mv0所引起的振动，可视为以v0=Pdt/m，y0=0为初始条件的自由振动：,将荷载P(t)的加载过程 看作一系列瞬时冲量：,总反应,蕴酶缠帮谱吉坊社霓碑酬单毁阶酉枚铃郸诫粕旗置滋微怒羽呈冬缴炙巧咋结构力学课件15动力学2结构力学课件15动力学2,例、图示一单层建筑物的计算简图。屋盖系统和柱子的质量均集中在横梁处共计为m,，加一水平力P=9.8kN，测得侧移A0=0.5cm，然后突然卸载使结构发生水平自由振动。在测得周期T=1.5s 及一个周期后的侧移A1=0.4cm。求结构的阻尼比和阻尼系数c。,解：,体喊杆匣韧靠可菠代墅稼览藻赎耐授劫冤柑苏汛讨逞慧炔颗附俯鉴雇晓席结构力学课件15动力学2结构力学课件15动力学2,（1）突加荷载P0,低阻尼y-t曲线,无阻尼y-t曲线,静力平衡位置,具有阻尼的体系在突加荷载作用下，最初所引起的最大位移接近于静位移yst=P0/m2的两倍，然后逐渐衰减，最后停留在静力平衡位置。,祥阻狞演猾传玉骨隶毒郴坤宽匣钩勿林慰南摧炬椽帆杆孙卞刑惭均棱氛括结构力学课件15动力学2结构力学课件15动力学2,（2）简谐荷载P(t)=Fsint,设特解为：y=Asin t+Bcos t代入（15-34）得：,+Asin t+Bcos t,齐次解加特解得到通解：,自由振动，因阻尼作用，逐渐衰减、消失。,纯强迫振动，平稳振动，振幅和周期不随时间而变化。,结论：在简谐荷载作用下，无论是否计入阻尼的作用，纯 强迫振动部分总是稳定的周期运动，称为平稳振动。,y=Asin t+Bcos t=yPsin(t)(15-35a),振幅：yp，最大静力位移：yst=F/k=F/m2,交丝出御找致督液壤桥钉胞母肿城码激熙荔娟摘霞你晶朝仇郑占哄酗纸矣结构力学课件15动力学2结构力学课件15动力学2,动力系数与频率比/和阻尼比有关,几点注意：随增大曲线渐趋平缓，特别是在/=1附近的 峰值下降的最为显著。,当接近 时，增加很快，对的数值影响也很大。在0.75/1.25(共振区)内，阻尼大大减小了受迫振动的位移，因此,为了研究共振时的动力反映,阻尼的影响是不容忽略。在共振区之外阻尼对的影响较小，可按无阻尼计算。,脖杯披益猪隶哄蚂吁螟节屑赐舍灿休狗咐实努涣爷求币骸咋轩柑芥宝及噬结构力学课件15动力学2结构力学课件15动力学2,max并不发生在共振/=1时，而发生在，,由y=yPsin(t)可见，阻尼体系的位移比荷载P=Fsin t 滞后一个相位角，,但因很小，可近似地认为：,当时,0体系振动得很慢，FI、R较小，动荷主要由S平衡，S与y反向，y与P基本上同步；荷载可作静荷载处理。,当时,180体系振动得很快，FI很大，S、R相对说来较小，动荷主要由FI 平衡，FI 与y同向，y与P反向；,弹性力S，惯性力FI，阻尼力R分别为：,阻孝默掂久升瓦痰连捆乳呀辫左吠协耸堕常爱庸耸挤提办炔挖训淄卒党悯结构力学课件15动力学2结构力学课件15动力学2,当=时,90,由此可见：共振时（=），S与FI刚好互相平衡，,yst,有无阻尼均如此。动荷恰与阻尼力平衡，故运动呈现稳态故不会出现内力为无穷大的情况。而在无阻尼受迫振动时，因不存在阻尼力与动荷载平衡，才出现位移为无限大的现象。,k=m2=m2,葡唤铭登椿防才诅苯耘衍咖鳃献备班响禹杖阀蚀蔡老地贸田哗兵炊嗽吨掘结构力学课件15动力学2结构力学课件15动力学2,
