九年级上册教案—一元二次方程.doc

襄樊市第四十七中学 九年级数学备课组 一元二次方程学习目标1、经历由实际问题抽象出一元二次方程的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型2、了解一元二次方程的概念和它的一般形式，会根据实际问题列一元二次方程学习重、难点重点：一元二次方程的概念和一般形式难点：正确理解和掌握一般形式中的a0，“项”和“系数”学习过程：一、情境创设1、小区在每两幢楼之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，则绿地的长和宽各为多少？2、学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册，求这两年的年平均增长率？3、一个正方形的面积的2倍等于15，这个正方形的边长是多少？4、一个数比另一个数大3，且两个数之积为10，求这两个数。二、探索活动上述问题可用方程解决：问题1中可设宽为x米，则可列方程： x（x+10）= 900问题2中可设这两年的平均增长率为x，则可列方程： 5（1x）2 = 7.2问题3中可设这个正方形的连长为x，则可列方程： 2x2 = 15问题4中可设较小的一个数为x，则可列方程： x（x3）= 10观察上面列出的4个方程，它们有哪些相同点？（从方程的概念看）归纳：像上述方程这样，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程。注：符合一元二次方程即符合三个条件：一个未知数；未知数的最高次数为2；整式方程任何一个关于x的一元二次方程都可以化成下面的形式：ax2bxc = 0（a、b、c是常数，且a0）这种形式叫做一元二次方程的一般形式，其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项和常数项，a、b分别叫二次项系数和一次项系数。三、例题教学例 1 根据题意，列出方程：（1）某学校图书馆去年年底有图书1万册，预计到明年年底增加到1.44万册。求这两年图书的年平均增长率。（答案：设这两年图书馆的年平均增长率是x，根据题意，得1·（1x）2=1.44）（2）一块面积为600平方厘米的长方形纸片，把它的一边剪短10厘米，恰好得到一个正方形。求这个正方形的连长。（答案：设这个正方形的连长是x厘米，根据题意，得x·（x10）= 600）例 2 判断下列关于x的方程是否为一元二次方程： 2（x21）= 3y （x3）2= （x5）2 mx23x2 = 0 （a21）x2（2a1）x5a = 0例 3 把下列方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项： 2（x21）= 3 x 3（x3）2=（x2）27四、课堂练习P81 练习 1、2五、课堂小结引导学生总结：1、一元二次方程定义的三要素。2、一元二次方程的一般形式及二次项系数不能为零。六、作业七、教后感 一元二次方程的解法（1）学习目标1、了解形如（xm）2= n（n0）的一元二次方程的解法 直接开平方法2、会用直接开平方法解一元二次方程学习重、难点重点：会用直接开平方法解一元二次方程难点：理解直接开平方法与平方根的定义的关系学习过程：一、情境创设我们曾学习过平方根的意义及其性质，现在来回忆一下：什么叫做平方根?平方根有哪些性质?如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根。用式子表示：若x2=a，则x叫做a的平方根。平方根有下列性质：(1)一个正数有两个平方根，这两个平方根是互为相反数的；(2)零的平方根是零；(3)负数没有平方根。如何求出适合等式x2=4的x的值呢?二、探索活动根据平方根的定义，由x24可知，x就是4的平方根，因此x的值为2和2即 根据平方根的定义，得 x24 x±2 即此一元二次方程的解为： x1=2，x2 =2这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。三、例题教学例 1 解下列方程：（1）x22 （2）4x210分析：第1题直接用开平方法解；第2题可先将1移项，再两边同时除以4化为x2a的形式，再用直接开平方法解之。例 2 解下列方程： （x1）2= 2 （x1）24 = 0 12（3x）23 = 0分析：第1小题中只要将（x1）看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解；第2小题先将4移到方程的右边，再同第1小题一样地解；第3小题先将3移到方程的右边，再两边同除以12，再同第1小题一样地去解即可。小结：如果一个一元二次方程具有（xm）2= n（n0）的形式，那么就可以用直接开平方法求解。（用直接开平方法解一元二次方程就是将一元二次方程的左边化为一个完全平方式，右边化为常数，且要养成检验的习惯）四、课堂练习五、课堂小结引导学生总结：1、用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤；2、任意一个一元二次方程都可以用直接开平方法解吗？六、作业七、教后感4.2 一元二次方程的解法（2）学习目标1、经历探究将一元二次方程的一般（xm）2= n（n0）形式的过程，进一步理解配方法的意义2、会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，体会转化的思想方法学习重、难点重点：使学生掌握配方法，解一元二次方程难点：把一元二次方程转化为的（xm）2= n（n0）形式学习过程：一、情境创设我们已经学过了用直接开平方法解形如（xm）2= n（n0）的一元二次方程，那么如何解方程x26x4 = 0呢?二、探索活动我们能否将方程x26x4 = 0转化为（xm）2= n的形式呢？ 先将常数项移到方程的右边，得 x26x = 4 即 x22·x·3 = 4在方程的两边加上一次项系数6的一半的平方，即32后，得 x22·x·3 32 = 432 （x3）2 = 5 解这个方程，得 x3 = ± 所以 x1 = 3 x2 = （注：可以多举几例，综合得出“两边加上一次项系数一半的平方”的结论）由此可见，只要先把一个一元二次方程变形为（xm）2= n的形式（其中m、n都是常数），如果n0，再通过直接开平方法求出方程的解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。三、例题教学例 1 将下列各进行配方：8x_（x_）2 5x_（x_）2x_（x_）2 6x_（x_）2分析：本题应用“方程两同时加上一次项系数一半的平方”来配方。例 2 解下列方程：（1） x24x3 = 0 （2）x23x1 = 0小结：用配方法解一元二次方程的一般步骤： 1、把常数项移到方程右边；2、在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方，使左边成为完全平方；3、利用直接开平方法解之。 思考：为什么在配方过程中，方程的两边总是加上一次项系数一半的平方？四、课堂练习五、课堂小结引导学生总结：1、配方法解一元二次方程的作用是什么？配方时要注意什么？2、用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？六、作业七、教后感一元二次方程的解法（3）学习目标1、掌握用配方法解一元二次方程的基本步骤和方法2、会正确运用配方法解一元二次方程，进一步体会配方法是一种重要的数学方法学习重、难点重点：使学生掌握用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程难点：把一元二次方程转化为的（xm）2= n（n0）形式学习过程：一、情境创设我们已经学过了用直接开平方法与配方法解一元二次方程，那么如何解方程2x25x2 = 0呢?二、探索活动由于该方程不是（xm）2= n（n0）的形式，因此不能用直接开平方法解，而且也不符合上节课用配方法所解的方程的形式，但如果将方程两边同时除以二次项系数的话就和上节课所学的一样了。即方程两边同时除以2，得 x2x 1= 0再用上节课的知识解决即可。小结：对于二次项系数不为1的一元二次方程，我们可以先将两边同时除以二次项系数，再利用配方法求解。三、例题教学例 1 解下列方程： 3 x28x1 = 0 3 x24x1 = 0分析：第1小题先将方程两边同时除以3，将二次项系数化为1，再用配方法解之；而第2小题的二次项系数是负数，同样只需两边同除以二次项系数3，再用配方法解之。小结：用配方法解一元二次方程的一般步骤： 1、方程两边同时除以二次项系数；2、把常数项移到方程右边；3、在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方，使左边成为完全平方；4、利用直接开平方法解之。四、课堂练习五、课堂小结引导学生总结：1、配方法解一元二次方程的作用是什么？配方时要注意什么？2、用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？六、作业七、教后感4.2 一元二次方程的解法（4）学习目标1、体验用配方法推导一元二次方程求根公式的过程，明确运用公式求根的前提条件是b24ac02、会用公式法解一元二次方程学习重、难点重点：掌握一元二次方程的求根公式，并应用它熟练地解一元二次方程难点：求根公式的结构比较复杂，不易记忆；系数和常数为负数时，代入求根公式常出符号错误学习过程：一、情境创设1、用配方解一元二次方程的步骤是什么？2、用配方法结合直接开平方法解一元二次方程，计算比较麻烦，能否研究出一种更好的方法，迅速求得一元二次方程的实数根呢？3、如何解一般形式的一元二次方程ax2bxc = 0（a0）？二、探索活动能否用配方法把一般形式的一元二次方程ax2bxc = 0（a0）转化为呢？回顾用配方法解数字系数的一元二次方程的过程，让学生分组讨论交流，达成共识：因为，方程两边都除以，得 移项，得 配方，得 即 当，且时，大于等于零吗？让学生思考、分析，发表意见，得出结论：当时，因为，所以，从而到此，你能得出什么结论？让学生讨论、交流，从中得出结论，当时，一般形式的一元二次方程的根为，即。由以上研究的结果，得到了一元二次方程的求根公式： （）这个公式说明方程的根是由方程的系数、所确定的，利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数、的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。思考：当时，方程有实数根吗？三、例题教学例 1 解下列方程： x23x2 = 0 2 x27x = 4分析：第2小题要先将方程化为一般形式再用求根公式求解。四、课堂练习2、思维拓展：用配方法解方程x2pxq = 0(p24q0)五、课堂小结引导学生总结：1、用公式法解一元二次方程时要注意什么？2、任何一个一元二次方程都能用公式法求解吗？举例说明。3、若解一个一元二次方程时，b24ac0，请说明这个方程解的情况。六、作业七、教后感一元二次方程的解法（5）学习目标1、用公式法解一元二次方程中，进一步理解代数式b24ac对根的情况的判断作用2、能用b24ac的值判别一元二次方程根的情况学习重、难点重点：一元二次方程根与系数的关系难点：由一元二次方程的根的情况求方程中字母系数的取值学习过程：一、情境创设不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？ x22x8 = 0 x2 = 4x4 x23x = 3二、探索活动1、一元二次方程根的情况与一元二次方程中二次项系数、一次项系数及常数项有关吗？能否根据这个关系不解方程得出方程的解的情况呢？例 解下列方程： x2x1 = 0 x22x3 = 0 2x22x1 = 0分析：本题三个方程的解法都是用公式法来解，由公式法解一元二次方程的过程中先求出b24ac的值可以发现它的符号决定着方程的解。由此可以发现一元二次方程ax2bxc = 0（a0）的根的情况可由b24ac来判定： 当b24ac0时，方程有两个不相等的实数根； 当b24ac = 0时，方程有两个相等的实数根； 当b24ac 0时，方程没有实数根。我们把b24ac叫做一元二次方程ax2bxc = 0（a0）的根的判别式。2、若已知一个一元二次方程的根的情况，是否能得到的值的符号呢？当一元二次方程有两个不相等的实数根时，b24ac0当一元二次方程有两个相等的实数根时， b24ac = 0当一元二次方程没有实数根时，b24ac 0三、例题教学例 1 不解方程，判断下列方程根的情况： 3x2x1 = 3x 5（x21）= 7x 3x24x = 4分析：先把方程化为一般形式，确认a、b、c后，再算出b24ac的值，对方程给予判定。例 2 若方程8x2（m1）xm7 = 0有两个不相等的实数根，求m的值。分析：本题与例1刚好相反，应由方程有两个不相等的实数根得b24ac = 0，从而得到关于m的方程，求出m的值。四、课堂练习1、当k为何值时，关于x的方程kx2（2k1）xk3 = 0有两个不相等的实数根？五、课堂小结一元二次方程根与系数有什么样的关系？六、作业1、不解方程，判断下列方程根的情况： 4x213x9 = 0 3（x2）= x2 3x24x = 52、当m为何值时，方程8mx2（8m1）x2m = 0 有两个不相等的实数根？ 有两个相等的实数根？ 没有实数根？七、教后感 一元二次方程的解法（6）学习目标1、会用因式分解法解一元二次方程，体会“降次”化归的思想方法2、能根据一元二次方程的特征，选择适当的求解方法，体会解决问题的灵活性和多样性学习重、难点重点：因式分解法解一元二次方程难点：将方程的右边化为零后，对左边进行正确的因式分解学习过程：一、情境创设用不同的方法解方程：x2x = 0二、探索活动1、你能用几种方法解方程x2x = 0？本题既可以用配方法解，也可以用公式法来解，但由于公式法比配方法简单，一般选用公式法来解。还有其他方法可以解吗？仔细观察方程的左边，可以发现这个等式的左边有公因式x，这时可把x提出来，左边即为两项的乘积，我们知道：两个因式的乘积等于0，则这两个因式为零，这样，就把一元二次方程降为一元一次方程，此时，方程即可解。解：x2-x0， x(x-1)0，于是x0或x-30 x1=0，x2=3这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。2、下面哪些方程，用因式分解法求解比较简便？ x22x3 = 0 （2x1）21 = 0 （x1）218 = 0 3（x5）2 = 2（5x）分析：第、小题用因式分解法求解比较简便。结论：如果一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解为两个一次因式的乘积，那么这样的一元二次方程就可以用因式分解法求解。三、例题教学例 1 解下列方程： x2 = 4x x3x（x3）= 0分析：第小题先化为一般形式，再提取公因式分解因式解之；第小题可以将（x3）作为一个整体，提取公因式解之。例 2 解方程（2x1）2x2= 0分析：方程的左边可以用“平方差公式”分解因式，将之分解为两个一次因式的积，从而解之。思考：在解方程（x2）2 = 4（x2）时，在方程两边都除以（x2），得x2=4，于是解得x =2，这样解正确吗？为什么？（不正确，这样解使得方程少了一个解，原因在于两边同时除以的因式（x2）可能为0，而方程两边不可以同时除以0）四、课堂练习1、思维拓展：解方程： 3x（x1）= 2（x1）（x1） （3x1）24x2= 0五、课堂小结如何选用解一元二次方程的方法？六、作业七、教后感 用一元二次方程解决问题（1）学习目标1、通过对实际问题的分析，进一步理解方程是刻画客观世界的有效模型2、经历用方程解决实际问题的过程，知道解应用问题的一般步骤和关键所在学习重、难点重点：用一元二次方程解“组织旅游”问题难点：分析问题寻找等量关系学习过程：一、情境创设一个正方体的表面积是2162，求这个正方体的棱长；一个直角三角形的面积是242，两条直角边的差是2，求两条直角边长。二、探索活动1、如何设未知数？如何找出问题中的相等关系？第1情境中，可由正方体的表面积等于正方体的六个面的面积和来表示，从而得到等量关系：“棱长2×6=2162”；第2情境中，由直角三角形的面积等于两条直角边之积的一半可得等量关系：“直角边×直角边÷2=242”，设所求未知量为未知数，再由这些等量关系列出方程。2、如何解这些方程？方程的解都符合题意吗？可用开平方法、配方法、公式法、因式分解法等方法解这些方程，方程的解必须要符合实际意义。三、例题教学例 1 已知两个数的和等于12，积等于32，求这两个数。分析：可设其中一个数为x，由“和等于12”列代数式表示另一个数为“12x”，再由“积等于32”列出方程“x(12x)=32”。例 2 某旅行社的一则广告如下：我社组团去龙湾风景区旅游，收费标准为：如果人数不超过30人，人均旅游费用为800元；如果人数多于30人且不超过40人，那么每增加1人，人均旅游费用降低10，但人均旅游费用不得低于500元。甲公司分批组织员工到龙湾风景区旅游，现计划用28000元组织第一批员工去旅游，问这次旅游可以安排多少人参加？分析：首先应得到总费用是28000，即有等量关系“人均费用×人数=28000”，若人数不超过30人，则总费用不超过30×800=2400028000，所以人数应超过30人，因此又得等量关系“800元（参加人数30人）×10元=实际人均费用”，由此可以列出方程”80010(x30)·x = 28000”，解题过程略。注：解出来的解必须符合实际意义且要符合条件中的“人数多于30人且不超过40人”与“人均旅游费用不得低于500元”。四、课堂练习1、思维拓展：某学校会议室的地面是一个长方形，它的长比宽多1m，用320块边长为25的正方形瓷砖恰好可将地面铺满。求会议室地面的长和宽。五、课堂小结1、用一元二次方程解决实际问题要经历怎样的过程？（一审、二设、三列（列代数式、列方程）、四解、五验、六答）2、用一元二次方程解决问题的关键是什么？（寻找题中的等量关系）六、作业补充。七、教后感 用一元二次方程解决问题（2）学习目标1、进一步体会通过建立方程解决实际问题的意义和方法2、进一步体会运用方程解决问题的关键是寻找等量关系，提高分析问题、解决问题的能力学习重、难点重点：列一元二次方程解“面积与体积”和“平均增长率”问题难点：理解“平均增长率”中的变化过程，寻找正确的等量关系学习过程：一、情境创设一块长方形铁皮的长是宽的2倍，四角各截去一个正方形，制成高是5，容积是5003的无盖长方体容器。求这块铁皮的长和宽。二、探索活动如何设未知数？如何找出表达实际问题的相等关系？这个问题中的相等关系是什么？一般情况下，应设要求的未知量为未知数；应从题中寻找未知数所表示的未知量与已知量之间的等量关系；这个问题的等量关系是“长×宽×高=容积”与“长=宽×2”。三、例题教学例 1 某商店6月份的利润是2500元，要使8月份的利润达到3600元，这两个月利润的月平均增长的百分率是多少？分析：如果设这两个月的利润平均月增长的百分率是x，那么7月份的利润是2500（1x）元，8月份的利润是2500（1x）2元。例 2 一块起码方形铁皮的四个角各剪去一个边长为4的小正方形，做成一个无盖的盒子。已知盒子的容积是4003，求原铁皮的边长。四、课堂练习1、思维拓展：某服装店花2000元进了批服装，按50%的利润定价，无人购买。决定打折出售，但仍无人购买，结果又一次打折后才售完。经结算，这批服装共盈利430元。如果两次打折相同，每次打了几折？五、课堂小结如何寻找等量关系？六、作业七、教后感4.3 用一元二次方程解决问题（3）学习目标1、进一步认识建立方程模型的作用，提高数学的应用意识2、在用方程解决实际问题的过程中，提高抽象、概括、分析问题的能力学习重、难点重点：用一元二次方程解决实际问题难点：正确寻找等量关系学习过程：一、情境创设一根长22cm的铁丝。（1）能否围成面积是30cm2的矩形？（2）能否围成面积是32 cm2的矩形？并说明理由。二、探索活动分析情境问题可知：如果设这根铁丝围成的矩形的长是xcm，那么矩形的宽是_。根据相等关系：矩形的长×矩形的宽=矩形的面积，可以列出方程求解。思考：这根铁丝围成的矩形中，面积最大是多少？三、例题教学例 1 如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=12，点P从点A沿AB向点B 以1/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2/s的速度移动，问几秒后PBQ的面积等于82？分析：题中含有等量关系：SPBQ =82，只要用点P运动的时间来表示三角形各边的长并代入等量关系式即可得到相应的方程。例 2 如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=3cm。点P沿边AB从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q沿边DA从点D开始向点A以1cm/s的速度移动。如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0t3）那么，当t为何值时，QAP的面积等于2cm2?四、课堂练习1、思维拓展：如图，有100m长的篱笆材料，要围成一矩形仓库，要求面积不小于600m2，在场地的北面有一堵50m的旧墙，有人用这个篱笆围成一个长40m，宽10m的仓库，但面积只有40×10m2，不合要求，问应如何设计矩形的长与宽才能符合要求呢？五、课堂小结如何正确寻找实际问题中的等量关系？六、作业七、教后感 用一元二次方程解决问题（4）学习目标1、进一步体会利用一元二次方程解决实际问题的一般规律和方法2、增强数学的应用意识，进一步提高分析问题、解决问题的能力学习重、难点重点：列一元二次方程解实际问题难点：正确寻找题中的等量关系学习过程：一、情境创设某果园有100棵桃树，一棵桃树平均结1000个桃子，现准备多种一些桃树以提高产量。经试验发现，每多种一棵桃树，每棵桃树的平均产量就会减少2个。如果要使产量增加15.2%，那么应多种多少棵桃树？二、探索活动情境问题中，应找出等量关系“现有桃树棵数×每棵桃树的现产量=现在总产量”与“每棵桃树的现产量=每棵桃树的原产量2×多种的桃树棵数”，再将未知数代入列出代数式与方程即。三、例题教学例 1 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件。如果商场通过销售这批衬衫每天要盈利1200元，衬衫的单价应降多少元？分析：如果设衬衫的单价降x元，那么商场平均每天可多售出2x件，再根据等量关系“售出的衬衫件数×每件衬衫的盈利=1200元”列出方程求解。例 2 某公司生产某种产品，每件产品成本是3元，售价是4元，年销售量为10万件。为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告。根据经验，每年投入广告费为x（万元）时，产品年销售量将是原销售量的y倍，且y=如果把利润看作是销售额减去成本费和广告费，试求当年利润为16万元时，广告费x为多少万元？分析：根据等量关系“利润销售额成本费广告费”列方程求解。四、课堂练习1、 思维拓展：某商场销售的电视机每台进价为2500元，如果销售价定为2900元时，平均每天能售出8台，而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要使这种电视机的销售利润平均每天达到5000元，问每台电视机的定价应为多少元？五、课堂小结如何正确寻找题中的等量关系？六、作业1、有一面积为54m2的长方形花坛，现在将它的一边缩短5m，另一边缩短2m，恰好将它变为一个正方形花坛，求这个正方形花坛的边长是多少？2、如图，公路MN和PG在点P处交汇，且GPN=30°，点A处有一所幼儿园，AP=100m，假设摩托车行驶时，周围100m以内会受到噪声影响，那么摩托车在MN上沿PN方向行驶时，幼儿园是否受到噪声影响？请说明理由。如果受影响，已知摩托车的速度是18/h，那么幼儿园受影响的时间是多少？七、教后感