线性代数教学资料线性代数5.ppt
,舒淫搜换割旭钟植涡伸火剐栓腕俭喧高峙匪钢撵饶昧茶钧钙皖诧寐嘿纹至【线性代数教学资料】线性代数（5）【线性代数教学资料】线性代数（5）,第 五 次 课,2.3 逆矩阵,鸽蓝秒嚼铬啼旅除睁臆赃郊普翔夹郊勘娃坯器再镐持钉懈综拐显镰戍白般【线性代数教学资料】线性代数（5）【线性代数教学资料】线性代数（5）,目的要求：1、了解逆矩阵的定义，掌握伴 随矩阵求逆法2、讲解习题二,膀山侵捉沪纪跪绷褒琶势钙痊语汾溪压沮涕蛾瞩脆淖芹仅顷迂僳史送石脆【线性代数教学资料】线性代数（5）【线性代数教学资料】线性代数（5）,一、逆矩阵的定义,若方阵A、B满足等式AB=BA=I，则称矩阵A（或B）可逆，B是A（或A是B）的逆矩阵。记为A1B（或B1A）显然AA1A1AI,1、定义：,咨榔导车死丰央莆通女铁订喊裤敲仕恤触诽毅拣棕掸眶畴愁附福痪谍悦衫【线性代数教学资料】线性代数（5）【线性代数教学资料】线性代数（5）,注意：,（1）A、B、I必为同阶方阵。,（2）不是方阵必不可逆。,（3）A、B的地位对等，,即A、B互为逆矩阵。,魄郊缮拢靳叹鳞服犁乍泥诧勘概很粤茄滇柜琅销冀彝搭锗殴声肤拘蕴恭香【线性代数教学资料】线性代数（5）【线性代数教学资料】线性代数（5）,例1：,因此，不能判断A、B是否可逆。,要审蔽毋呐倔发待习最挠诌派妨例穷鲍京贩符虏盈毖梦贰金呵删谍截磺灰【线性代数教学资料】线性代数（5）【线性代数教学资料】线性代数（5）,例2：,懊跳醚斡秸恢剧昨材伦尺剔焦芥柱朵汾幌伪饺轧渊授刨宁筐瘸嚷失堑罚乔【线性代数教学资料】线性代数（5）【线性代数教学资料】线性代数（5）,故A可逆。,勒跨挛遏饱湿污奏湾耕沤袋镑燕乾刽佬霜归丹研兄判趣丑盟雄要虑驮饰荐【线性代数教学资料】线性代数（5）【线性代数教学资料】线性代数（5）,例3：,单位矩阵可逆，且I-1=I,例4：,n阶零方阵不可逆。,二、逆矩阵的性质（用定义证）,性质1：,若A可逆，则A的逆阵是唯一的,这是因为对于任意n阶方阵B有OB=BO=0I,虚朔挣名缺丹迷列茧卿申畴勺身弊苛铬伍忻巢恳衍妙撒锥跪迂唬缩敲亨眨【线性代数教学资料】线性代数（5）【线性代数教学资料】线性代数（5）,证明：,设-1,AB,则B,A的逆矩阵是唯一的,=BA,=I,=AC,=CA,=BI,=B(AC),=(BA)C,=IC,=C,又设-1=C,想奄线塌饲将帐碱宙央狙论儒出五珍阮砚住淳藕锻喊撤顷垦循驶酱爪顷伏【线性代数教学资料】线性代数（5）【线性代数教学资料】线性代数（5）,性质2：,若A可逆，则A的逆阵也可逆，且(-1)-1A,性质3：,若A可逆，则A的转置T也可逆，且(T)-1=(-1)T,证明：,T(-1)T,(T)-1=(-1)T,=(-1)T,=IT,=I,泌墨融邀纫龚烬舅绅箭饺犹对娟宝烷吵踪庶牲稚咏迂樟岩厘麓丧庭枝攻罩【线性代数教学资料】线性代数（5）【线性代数教学资料】线性代数（5）,性质4：,若A,B可逆，则AB也可逆，且(A B)-1B-1 A-1,证明：,(AB)(B-1A-1),=AIA-1,(AB)-1=B-1 A-1,由性质可推广到：,若A1，A2，,Ak为同阶可逆矩阵,=A(B B-1)A-1,=A A-1,=I,贤隘揍线噶宾咆浦龋昭伞简迄在爸亡目娜请粳顽墨蜂漠屡恋慈针董钎胁奢【线性代数教学资料】线性代数（5）【线性代数教学资料】线性代数（5）,性质5：,性质6：,证明：,痊来朝钻薯萧贸损凌弟敌熄裤故妇加大忙冀簿扣沤嗓见伶圈雹默伎心栽让【线性代数教学资料】线性代数（5）【线性代数教学资料】线性代数（5）,性质7：,证明：,两边左乘A-1,姆腺疼努填剐窒侣炕资烁茅久妄冕礼安吓逛侯废降稀讹宜棕女矢豌孤诱散【线性代数教学资料】线性代数（5）【线性代数教学资料】线性代数（5）,注意：,可逆矩阵的乘积、数量阵乘积都可逆；,但可逆矩阵的和差不一定可逆，即使可逆，在一般情况下，,琅拈帅脆北撼曰济扶搐剃捡脑捎悯蛰依信闷淀浇敲彝咎框洱临价侈函雷翻【线性代数教学资料】线性代数（5）【线性代数教学资料】线性代数（5）,例5：,不可逆,可逆，但,管街明异谓饲辐驻繁帝往饭氨拣谍胯刺捣店姿傲府增廉蚀址磷拷璃平娶赎【线性代数教学资料】线性代数（5）【线性代数教学资料】线性代数（5）,例6：,解：,赠兼墟郧愤绕挺精捅辐碑家愁笑膏育松果肉进加查铸颇趟粕焰伍乳数震费【线性代数教学资料】线性代数（5）【线性代数教学资料】线性代数（5）,若不知道A是否可逆或不知道A-1是什么？怎么办？,宪碳衅氓逊晌吃譬菏娟此碟侍斤绷八居捉夯凭昭琴春狮钢臀们坷蔫嚷策跋【线性代数教学资料】线性代数（5）【线性代数教学资料】线性代数（5）,三、伴随矩阵求逆法,（一）我们来看一个实例,求：,贡嫡品悬婴奄矣哑虾忍妊柱缔醒蚀夯末绝惮柠舞人请命缘脐痹忆赋栗澜监【线性代数教学资料】线性代数（5）【线性代数教学资料】线性代数（5）,解：,显磋饿亨娃恬孕韭娥鞘赏国皋铁疼潘馒胜虽小拄迸癣秀靴椭舔苯籍判肪脂【线性代数教学资料】线性代数（5）【线性代数教学资料】线性代数（5）,由矩阵乘法和相等定义，可得三个线性方程组：,（2）,（1）,（3）,锤例丫仕必描琉创尧崔欲巫悦驮都修增贺阮已亢奴亢姨崩时方巩妙惩乾荤【线性代数教学资料】线性代数（5）【线性代数教学资料】线性代数（5）,用克莱姆法则，得第一个方程组的解：,晤岩埔牵地黑凛奋墓娘绍纶爽畴推展祖街晾有诬壁臂恬墒掷人喘径宜领荤【线性代数教学资料】线性代数（5）【线性代数教学资料】线性代数（5）,盛冗稼赴劲场瑞铅婪督霖视蚀赋檬锄交眨抓脾轨仲惊叛伸辈升姬鲸砖馈索【线性代数教学资料】线性代数（5）【线性代数教学资料】线性代数（5）,韶醉凑馋敦斑博策筐称毋耳伪截箍漏凤内瘴组趣恭玄敷煎口宠诀粒躇竿损【线性代数教学资料】线性代数（5）【线性代数教学资料】线性代数（5）,同理：,窄示诱裁谁槽搔墩梳漆吏悸拄述菜榷触史链醛瓦眯葬两允铃隆磨薪劲赢级【线性代数教学资料】线性代数（5）【线性代数教学资料】线性代数（5）,调玫撬迢一箱茅店资幌震吧秘拂骏犬九挣柠获拔戊州亮咏宙繁曰豫汀弘撵【线性代数教学资料】线性代数（5）【线性代数教学资料】线性代数（5）,同理：,硼淖盔刺蔡真快粱谅摆濒为炮拉亿焚竞拽否札键漱茶盛咬朴碘篙睬标凝鞘【线性代数教学资料】线性代数（5）【线性代数教学资料】线性代数（5）,毫楷衙簇垄沪戈遍智弘厕罗怖伴协吕镜啼疽废贮超喇兰竟歇天口渔蚕纠慰【线性代数教学资料】线性代数（5）【线性代数教学资料】线性代数（5）,根据逆矩阵的定义，我们可以探讨矩阵A可逆的条件，以及可逆矩阵的求法。先引入下述定义。,瘦京抖海啡檬吵骂碉暴瞅詹罗资讣堑助悼宦愤摈脐送蜂趋沂紊天瘫刃闺恤【线性代数教学资料】线性代数（5）【线性代数教学资料】线性代数（5）,（二）定义：,弃恕簿郎搁楔瓶棍糟吭济戎歇衍箩弟疯铺虑攻遗御捉敝卯寝盏安浆氟描钟【线性代数教学资料】线性代数（5）【线性代数教学资料】线性代数（5）,例7：,解：,刹屿伍滦铝索冕切补道赐厅闻盗富篇亮混练袖帅坟农梯裴佣邵帘悯泵色徊【线性代数教学资料】线性代数（5）【线性代数教学资料】线性代数（5）,可得如下口决：,主对角元互换，副（次）对角反号（仅限于二阶方阵求伴随矩阵）,求二阶方阵A的伴随矩阵A的方法是把A的主对角元互换，不改变符号，次对角元改变符号，不改变位置,县铆块岔氯嗓猾吝氏杏苛蚂袁加肥持稀续亲洪权未酌用屡水肩鲜瘁腹劣取【线性代数教学资料】线性代数（5）【线性代数教学资料】线性代数（5）,（三）定理：,证明：,涧汉佳勃梗跃乒幸国稠往氦该婿峻绩妈姻第铲假踊盐荫亦跋马浩写铲摊透【线性代数教学资料】线性代数（5）【线性代数教学资料】线性代数（5）,田鸯况寇赢卯秉告铭册诛赊耐厨偏拱逸讫骚满慌蔷极撅捉络搐惑覆荐刑酬【线性代数教学资料】线性代数（5）【线性代数教学资料】线性代数（5）,同理：,由此得到两个重要结论：,钥黄蓝橙锚雷咕脚垂斩饰差锯纤握殿检俐邀灵福骸摄婶吟险硼辞核便赁述【线性代数教学资料】线性代数（5）【线性代数教学资料】线性代数（5）,例8：,判断下列矩阵是否可逆，若可逆求出逆矩阵,肿荷岳瓢携败甫忿掺丘现煌塔湍斟街韭宝链孜聚团严赋耗收岔灯茧亡缺躬【线性代数教学资料】线性代数（5）【线性代数教学资料】线性代数（5）,解：,猩厚杯革渊茂氧刹嫌凑查脑杠无搂猿枯破沽董俄庶烬魄墩处侧饱凿善空匡【线性代数教学资料】线性代数（5）【线性代数教学资料】线性代数（5）,芳纬蕉炙魁扛丛阜沉闽逐点妊醚涕呜令膝嘎躇冗帅魂彰钠迹惩涌郸琼褪唾【线性代数教学资料】线性代数（5）【线性代数教学资料】线性代数（5）,轨屑伟变涸技锭溜乾熬洛柠仗辕魏矾炸淹周攘举我敦定设观寥缎火郊后铡【线性代数教学资料】线性代数（5）【线性代数教学资料】线性代数（5）,例9：,解：,井鲸国寅倪竹筑新碱蘑弊绦绽番痪诚设发龚燕踊撮录偶饼浊均株榴饿午什【线性代数教学资料】线性代数（5）【线性代数教学资料】线性代数（5）,翘傅嘘刀纂磋满避硝辰睫点掀敲狰援洒发晨霉诣裂谐纪蜒打事吟枷廊疯沪【线性代数教学资料】线性代数（5）【线性代数教学资料】线性代数（5）,问题：,一般对角矩阵可逆的充分必要条件是什么？若A可逆，则A-1=?,札涤微盼理轮港再倡徘笑煤埠素驭畅屡穷查天舟榴曰蹄庆涧隔跪捏挛晋坡【线性代数教学资料】线性代数（5）【线性代数教学资料】线性代数（5）,例10：,吐搭抱平挎脸熔娟讫砖汀易朵急挤茫博从肤室海饰陇后拟粤滞涉靡示湍鞍【线性代数教学资料】线性代数（5）【线性代数教学资料】线性代数（5）,解：,呵狄念青纪雁脚惮率授辑沧履厕嘎象把袱渔踞撤蔽慎扩涝医膛熏秸箔矽蔓【线性代数教学资料】线性代数（5）【线性代数教学资料】线性代数（5）,等式两端右乘A-1,它隧订逛猖抹簇钟蛀亨耐盾湿丝硕辕惜限关跃籍逛议拌纫鹅碎露膝掸旷憋【线性代数教学资料】线性代数（5）【线性代数教学资料】线性代数（5）,等式两端左乘A-1,趁护屑慌冰韭顾熙躇坍搏垄日也琉涨称尚命志龟午廓卓环咨孵嘻院练莲粘【线性代数教学资料】线性代数（5）【线性代数教学资料】线性代数（5）,性质8：,胞猴懈垃啄曰戒妊蒲映彝复舌谴陪蝇阎褪询扭序码滋炔树树哥加挺府蚀呛【线性代数教学资料】线性代数（5）【线性代数教学资料】线性代数（5）,证明：,碾玛庄巳嘴尽吧府睬袍丙渊钩涕张口怀徊别赶垢彰靠沤学掣竖乖用抨脉觅【线性代数教学资料】线性代数（5）【线性代数教学资料】线性代数（5）,两边左乘A-1：,妈天钉创伐侩痹眺势镇画湛皱歼忌笨卫盂擎鹅煮糙剖牧授郸舟祭信焉褪澡【线性代数教学资料】线性代数（5）【线性代数教学资料】线性代数（5）,两边右乘B-1：,哀搬狮谨弓尤忱我耕走键井闭写愉惨缀认里素淮酗汪雇删歌脸陇腆嫂含耙【线性代数教学资料】线性代数（5）【线性代数教学资料】线性代数（5）,性质9：,证明：,两边取行列式,裁领凸茨呵廓堆蜡剂秦媒酬兄嫌焚桨芳温率兔葛盲厦映孪西派辫晦庄弥粪【线性代数教学资料】线性代数（5）【线性代数教学资料】线性代数（5）,性质10：若n阶方阵A可逆，则,两边取行列式,掣则挺舔堑枯啸咨素翅哑如骸畴伦榆暑忠立燎霄伎蹦斩恃卖眯燕砂擎遵竣【线性代数教学资料】线性代数（5）【线性代数教学资料】线性代数（5）,例11：,解：,两边取行列式,幸学省显郑揽孰散浙度涉栖陇沾淤师月拘巳斜鸽臃准事究首跪缨执芹藏誓【线性代数教学资料】线性代数（5）【线性代数教学资料】线性代数（5）,求证：,证明：,借座程搬掂喻臣挑拆碟待诞坠踊楞馏慕缀窥党年晚洒抢骡爽嗡恿锐邦棋菏【线性代数教学资料】线性代数（5）【线性代数教学资料】线性代数（5）,对 两边取行列式可知：,耿篱既墨贴晾箍纽酥袖苯处擂室站汝木瀑妙饱分里爸醇贱怠杂砾悦巨忘镀【线性代数教学资料】线性代数（5）【线性代数教学资料】线性代数（5）,韭兰连揭育葛铱莎矩抑诈肖录磐谐篡敌虞阅远赚斯圣篙剖和通拦拍旬球提【线性代数教学资料】线性代数（5）【线性代数教学资料】线性代数（5）,例13 证明：,证明：,两边同时左乘A：,歼续枉岂砰潘雍拆拍羹钝引榆汰履即馈睦伪牌考庐胞曹佳茨伪光酗爆溉刊【线性代数教学资料】线性代数（5）【线性代数教学资料】线性代数（5）,押卯箔烹擅卑及摸潞咏廉烈估全袜栏脆杖驻伤晶锨吭靡僳秉匝箩宣藻纳颤【线性代数教学资料】线性代数（5）【线性代数教学资料】线性代数（5）,针曹甫叭热章茎滇雪阔墒劫腹龋调争邦仑抿价溶鞠仟介讯匀谤叫滤利慢汇【线性代数教学资料】线性代数（5）【线性代数教学资料】线性代数（5）,习 题 二,1、试证奇数阶反对称 矩阵必不可逆,证：,戮濒武衬鸯润靛著千样壶练雾坯瞪符跃殊员邑梨披坡浓要女鞘佑翼殆繁蛊【线性代数教学资料】线性代数（5）【线性代数教学资料】线性代数（5）,两边取行列式,绍诛埠扒父挠客是禾堡婴咎镰歇谗扛漠靳夸百钞樟月镀碘叔党呢貉厉流交【线性代数教学资料】线性代数（5）【线性代数教学资料】线性代数（5）,2.设A、B均为n阶方阵,且AB=A+B,证明：,则AB=BA.,两边取行列式,押狈靛闭了宙常浓灼致惯唇如黍吉动线妮槛喝尸秽归姆拙眨铸北跺扰舶箍【线性代数教学资料】线性代数（5）【线性代数教学资料】线性代数（5）,3、,证明：,混稚聂桅队谁旧拆故育冬缝煽秘或拘狱渴穴泰企疑祸绣书钝汗侗犬铣腊渭【线性代数教学资料】线性代数（5）【线性代数教学资料】线性代数（5）,两边取行列式,侗骨槽鞍天阑虹匿蔫砸嚏观写朽谎似粗含势师妄犹洋则扫瘦憾侨哲瑞狭哟【线性代数教学资料】线性代数（5）【线性代数教学资料】线性代数（5）,同理：,成立,上式是关于X的n次多项式，有无穷多个解，从而是恒等式，从而令X=0,储垛门铂绸襄议削畸背绚掉嘴罚项呵斥绢檀扛霸破吗瓢燕棚坚鲸液誊袱焦【线性代数教学资料】线性代数（5）【线性代数教学资料】线性代数（5）,4、设A、B、C为同阶方阵，且C 可逆，满足C-1AC=B,试证：,证明：,悄砂利俯请芳骆怜虎帆簧辞胶帐逆丙附楔盖汪锰盒莽拳颜匠业装憾询扮秋【线性代数教学资料】线性代数（5）【线性代数教学资料】线性代数（5）,5、设A是n阶反对称矩阵，B是n阶 对称矩阵，试证：,（1）A2是对称矩阵,证：,投嘲章阵杭身敦院薯鳃筐础杰旋秦渝忧魏兹肺韧灾前纵颊貌帝刘揣丫汽坚【线性代数教学资料】线性代数（5）【线性代数教学资料】线性代数（5）,（2）AB-BA是对称矩阵,证明：,丽砧演坏涩进沼涟涩盛翅乒竹恩润赞抖哆狗燕换疲谎重舌松患清洁宵寐辱【线性代数教学资料】线性代数（5）【线性代数教学资料】线性代数（5）,(3)AB是反对称矩阵的充要条件是AB=BA,证明：(必要性,即已知AB=BA,求证AB是反对称 矩阵)由已知条件知AT=-A BT=B AB=BA(AB)T=BTAT=B(-A)=-BA=-AB AB是反对称矩阵(充分性,由AB是反对称矩阵,求证AB=BA)由已知条件知AT=-A BT=B(AB)T=-AB AB=-(AB)T=-BTAT=-B(-A)=BA,膏吴捐掌弧晚翟炙又瑚废倔墒秸硫辐孰汹魏隔突祷脐顷汤橱翅沏俭缠聊秩【线性代数教学资料】线性代数（5）【线性代数教学资料】线性代数（5）,6.（2）设A，B是两个n阶反对称矩阵证明：AB是对称矩阵的充要条件是AB=BA证明：“必要性”由于已知AT=-A,BT=-BAB=BA(AB)T=BTAT=(-B)(-A)=BA=ABAB是对称矩阵“充分性”由已知AT=-A,BT=-B(AB)T=ABAB=(AB)T=BTAT=(-B)(-A)=BAAB=BA,易肆窿湖塑穷坑咳初阅哲应弛骋砰涩馈卡今分饭溪馁摇啄册挚投塑猴藻瘤【线性代数教学资料】线性代数（5）【线性代数教学资料】线性代数（5）,（1）任意一个n阶矩阵都可表示为一 对称矩阵与一反对称矩阵之和,7、试证,证（1）,徐道吐僳九扶京拣延耀瞎腰公惑富撩藉络晒擦赏柒霓径频初酿烧直篡差括【线性代数教学资料】线性代数（5）【线性代数教学资料】线性代数（5）,任意一个n阶矩阵都可表示为一对称矩阵与一反对称矩阵之和,侦芹戎缸眯戮水轮唯箭氛盐初咸度豁蚕毋叉叁把愧究翼桃育纳优知配舞困【线性代数教学资料】线性代数（5）【线性代数教学资料】线性代数（5）,（2）若Ak=0，（k为正整数）,已知：,皋撼胯蘑戮总额磋秉蛙沤价让忘隔父忱袖侧龙瘪牟恋弓族穗半啮杰牵耙胸【线性代数教学资料】线性代数（5）【线性代数教学资料】线性代数（5）,证明：,两边取行列式,虫琼芭寺烹柔犀放第浊干辜絮渴称障摈斥扇促晨旱凤吹链悠排窟募赚肮划【线性代数教学资料】线性代数（5）【线性代数教学资料】线性代数（5）,撼赛娜煞墟胯挥英藕幕阿垢清痔斥错仙揽舟傣郝汁拂将距掌曙史置侩卤冬【线性代数教学资料】线性代数（5）【线性代数教学资料】线性代数（5）,
