第十一部分影响线及其应用.PPT

,第十一章 影响线及其应用,影响线及其应用,第十一章 影响线及其应用,111 概述,112 用静力法作单跨静定梁的影响线,113 间接荷载作用下的影响线,114 用机动法作单跨静定梁的影响线,115 多跨静定梁的影响线,116 桁架的影响线,117 利用影响线求量值,118 铁路和公路的标准荷载制,119 最不利荷载位置,1110 换算荷载,1111 简支梁的绝对最大弯矩,1112简支梁的包络图,111 概述,1.问题的提出,工程结构除了承受固定荷载作用外，还要受到移动荷载的作用。,例如：见图。,在移动荷载作用下，结构的反力,和内力将随着荷载位置的移动而变化，在结构设计中，必须求出移动荷载作用下反力和内力的最大值。,影响线及其应用,返 回,为了解决这个问题，需要研究荷 载移动时反力和内力的变化规律。然 而不同的反力和不同截面的内力变化 规律各不相同，即使同一截面，不同 的内力变化规律也不相同，解决这个 复杂问题的工具就是影响线。,影响线及其应用,返 回,2.最不利荷载位置,某一量值产生最大值的荷载位置，称为最不利荷载位置。,例如：见图。,A,B,RA,P,工程中的移动荷载通常是由很多间距不变的竖向荷载所组成，其类型是多种多样的，不可能逐一加以研究。,为此，可先只研究一种最简单的荷载，即一竖向单位集中荷载 P=1沿结构移动时，对某量值产生的影响，然后据叠加原理可进一步研究各种移动荷载对该量值的影响。,例如：见图。,1,2,3,1,P=1,P=1,P=1,P=1,P=1,这样所得的图形就表示了 P=1在梁上 移动时反力 RA的变化规律，这一图形就称为反力 RA的 影响线。,0,3/4,1/2,1/4,影响线及其应用,返 回,3.影响线的定义,当一个指向不变的单位集中荷载（通常是竖直向下）沿结构移动时，表示某一指定量值变化规律的图形，称为该量值的影响线。,某量值的影响线一经绘出，就可以利用它来确定最不利荷载位置，应用叠加法求出该量值的最大值。,RA的影响线,A,B,RA,P,1,2,3,1,P=1,P=1,P=1,P=1,P=1,0,3/4,1/2,1/4,影响线及其应用,返 回,112 用静力法作单跨静定梁的影响线,1.绘制影响线的基本方法：,2.静力法：,将荷载 P=1放在任意位置，并选定一坐标系，以横坐标 x表示荷载作用点的位置，然后根据静力平衡条件求出所求量值与荷载位置 x之间的函数关系，这种关系式称为影响线方程，再根据方程作出影响线图形。,静力法和机动法。,影响线及其应用,返 回,3.简支梁的影响线,（1）反力影响线,由MB=0 有,RALP(Lx)=0,得 RA=P,(0 xL),当,x=0,RA=1,x=L,RA=0,RA影响线,1,RA影响线,RB影响线,由MA=0 有,RBLPx=0,RB=,(0 xL),当,x=0,RB=0,x=L,RB=1,RB影响线,1,yK,x,RA,RB,P=1,K,0,0,影响线及其应用,返 回,P=1,（2）弯矩影响线,绘制 MC的影响线,当 P=1在截面C以左移动时,取截面C以右部分为隔离体,MC=RBb=,(0 xa),即MC影响线的左直线。,当,x=0,MC=0,x=a,MC=,b,当 P=1在截面C以右移动时,取截面C以左部分为隔离体,MC=RAa=,(axL),即MC影响线的右直线。,当,x=a,MC=,x=L,MC=0,ab/L,左直线,右直线,1,1,右直线,左直线,x,x,MC影响线,QC影响线,a,b/L,P=1,x,0,绘制 QC的影响线,（3）剪力影响线,当 P=1在AC段上移动时,取截面 C以右部分为隔离体,QC=RB,(0 xa),为 QC的左直线。,当 P=1在CB段上移动时,取截面 C以左部分为隔离体,QC=RA,(axL)(右直线),P=1,RA,a,b,C,RB,x,P=1,-,影响线及其应用,返 回,4.伸臂梁的影响线,（1）反力影响线,P=1,x,由平衡条件求得,RA=,RB=,(-L1x L+L2),1,1,（2）跨内部分截面内力影响线,MC、QC影响线,当 P=1在DC段移动时，取截面C以右部分为隔离体 有,MC=RBb,QC=RB,1,当 P=1在CE段移动时，取截面C以左部分为隔离体 有,MC=RAa,QC=RA,a,b,1,RA影响线,RB影响线,MC影响线,QC影响线,RA,RB,a,b,E,D,A,B,C,P=1,x,影响线及其应用,返 回,(3)伸臂部分截面内力影响线,绘制MK、QK影响线,当P=1在DK 段上移动时,K,D,E,P=1,x,取K以左为隔离体,MK=x,QK=1,d,d,1,MK影响线,QK影响线,当P=1在KE 段上移动时,取K以左为隔离体,P=1,MK=0,QK=0,绘制QA左影响线,1,QA左影响线,绘制QA右影响线,1,1,QA右影响线,0,影响线及其应用,返 回,113 间接荷载作用下的影响线,1.间接荷载（结点荷载）,桥梁结构的纵横梁桥面系统中的主梁受力简图如图所示。,主梁,横梁（结点）,纵梁,计算主梁时通常假定纵梁简支在横梁上，横梁简支在主梁上。荷载直接作用在纵梁上，再通过横梁传到主梁，即主梁承受结点荷载。这种荷载称为间接荷载或结点荷载。,P,影响线及其应用,返 回,2.间接荷载影响线的绘制方法,以绘制MC影响线为例,P=1,（1）首先，将P=1移动到各结点处。,P=1,其MC与直接荷载作用 在主梁上完全相同。,MC影响线,yD,yE,（2）其次，当P=1在DE间移动时，,主梁在D、E处分别受到结点荷载,及,的作用。,x,d,设直 接荷载作用下MC影响线在D、E处的竖标为 yD、yE，,在上述两结点荷载作用下MC值为,y=,（直线方程）,x=0,y=yD,x=d,y=yE,y,P=1,P=1,C,D,A,B,E,P=1,影响线及其应用,返 回,3.结 论,绘制间接荷载作用下影响线的一般方法：,（1）首先作出直接荷载作用下所求量值的影响线。,（2）然后取各结点处的竖标，并将其顶点在每一纵梁范围内连成直线。,例题,P=1,RB影响线,MK影响线,a,QK影响线（练习）,a,1,0,K,影响线及其应用,返 回,114 用机动法作单跨静定梁的影响线,静力法和机动法是作影响线的两种基本方法。,1.机动法的依据,虚位移原理：,虚位移原理,即刚体体系在力系作用下处于平衡的必要和充分条件是：在任何微小的虚位移中，力系所作的虚功总和等于零。,影响线及其应用,返 回,2.机动法简介,以简支梁为例。,作反力RA的影响线，为求反力RA，去掉与其相应的联系即A处的支座，以正向反力代替。,RA,此时，原结构变成了有一个自由度的几何可变体系，给此体系微小虚位移。,A,虚功方程为,RAA+PP=0,P,RA=,B,A,令,A=1,RA=P,此时，虚位移图P便代表了RA的影响线。,P=1,A,B,1,影响线及其应用,返 回,3.机动法,由前面分析可知，欲作某一反力或内力X的影响线，只需将与X相应的联系去掉，并使所得体系沿X的正向发 生单位位移，则由此得到的荷载作用点的竖向位移图即 代表 X 的影响线。这种作影响线的方法便称为机动法。,机动法的优点在于不必经过具体计算就能迅速绘出影响线的轮廓。,例：用机动法绘MC影响线,A,B,C,a,b,MC,MC,A,B,C,P=1,A1,P,令+=1,=a,a,MC(+)+PP=0,解：,),(,),1,影响线及其应用,返 回,115 多跨静定梁的影响线,1.多跨静定梁影响线绘制步骤,首先分清多跨静定梁的基本部分和附属部分及其传力关系，再利用单跨静定梁的已知影响线，多跨静定梁的影响线即可绘出。,2.举例说明,首先分析几何组成并绘层叠图。,K,a,L,当P=1在CE段上移动时,MK影响线与CE段单独作为一伸臂梁相同。,MK影响线,当P=1在AC段上移动时,MK=0,当P=1在EF段上移动时,RF,此时CE梁相当于在结点E处受到VE的作用,VE=,故MK影响线在EF段为直线。,a,绘制MK的影响线,绘制QB左的影响线,按上述步骤绘出QB左影响线如图。,0,VE,P=1,1,0,1,QB左影响线,P=1,x,E,影响线及其应用,返 回,3.结论,由上可知，多跨静定梁反力及内力影响线的一般作法如下：,（1）当P=1在量值本身梁段上移动时，量值的影响线与相应单跨静定梁相同。,（2）当P=1在对于量值所在部分来说是基本部分的梁段上移动时，量值影响线的竖标为零。,（3）当P=1在对于量值所在部分来说是附属部分的梁段上移动时，量值影响线为直线。,此外，用机动法绘制多跨静定梁的影响线也是很方便 的（课后自行练习）。,影响线及其应用,返 回,MC影响线,8,3,0,0,0,MK影响线,QC左影响线,0,QC右影响线,1,1,1,1.5,0,0,影响线及其应用,习题 1110,返 回,116 桁架的影响线,1.单跨静定桁架，其支座反力的计算与单跨静定梁相同，故二者反力影响线相同。,2.用静力法作桁架内力影响线，其计算方法与桁架内力的计算方法相同，同样分为结点法和截面法，不同的是作用的是 P=1的移动荷载，只需求出P=1在不同位置时内力的影响线方程。,下面以简支桁架为例，说明桁架内力影响线的绘制方法。,影响线及其应用,返 回,3.作桁架的影响线,解：,绘S12影响线,用力矩法，作-截面。,当P=1在A1间移动时,P=1,P=1,A,B,取右部为隔离体，,由M5=0 有,RA,RB,RB5dS12h=0,S12=,RB,S12影响线,当P=1在2B间移动时,取左部为隔离体，,P=1,P=1,由M5=0 有,RA3dS12h=0,S12=,RA,当P=1在节间（1-2）内移动时，S12的影响线为一直线。,影响线及其应用,返 回,117 利用影响线求量值,前面讨论了影响线的绘制方法。从本节开始研究影响线的应用。首先讨论如何利用影响线求量值。,1.集中荷载,某量值的影响线已经绘出，有若干个集中荷载作用 在已知位置。,P1,P2,Pn,y1,y2,yn,据叠加原理,S=P1y1+P2y2+Pnyn=Piyi(111),若集中力作用在影响线某一直线范围内，则有,S影响线,S影响线,y1,y2,yn,o,x1,x2,S=P1y1+P2y2+Pnyn,0,=(P1x1+P2x2+Pnxn)tg,=tgPixi,据合力矩定理,Pixi=R,故有,S=R,tg=R,(112),R,影响线及其应用,返 回,2.分布荷载,qx,a,b,S影响线,将分布荷载沿长度分成许多无穷小的微段，,dx,y,每一微段dx上的荷载为 qxdx，,S=,当为均布荷载（q=常数）,（113）,S=,(114）,q,S影响线,式中表示影响线在均布荷载范围内面积的代数和。,a,b,qxdx,则ab区段内分布荷载产生的影响量,影响线及其应用,返 回,118 公路标准荷载制,公路上行驶的汽车、拖拉机等类型繁多，载运情况复杂，设计结构时不可能 对每种情况都进行计算，而是以一种统一的标准荷载来进行设计。这种标准荷载是经过统计分析制定出来的，它既概括了当前各类车辆的情况，又适当考虑了将来的发展。,我国公路桥涵设计使用的标准荷载，分为计算荷载和验算荷载两种。,计算荷载以汽车车队表示，有汽车10级、汽车15级、汽车20级和汽车超20级四个等级（见书上图11-22）。验算荷载有履带50、挂车80、挂车100和挂车120等四种。,影响线及其应用,返 回,119 最不利荷载位置,最不利荷载位置：,使某一量值发生最大（或最小）值的荷载位置，即为最不利荷载位置。,在移动荷载作用下的结构，各种量值均随荷载位置的变化而变化，设计时必须求出各种量值的最大值（或最小值）。为此，要首先确定最不利荷载位置。下面分几种情况讨论。,1.一个集中荷载,最不利荷载位置可直观判断。,S影响线,P,Smax,P,Smin,影响线及其应用,返 回,2.可以任意布置的均布荷载（如人群、货物等）,由式,S=q,可知,S影响线,Smax,Smin,3.行列荷载：,行列荷载的最不利荷载位置难于直观判定。,但据最不 利荷载位置的定义可知，当荷载移动到该位置时，所求 量值S最大，因而荷载由该位置不论向左或向右移动到 邻近位置时，S值均将减小。因此，下面从讨论荷载移 动时S的增量入手解决这个问题。,一系列间距不变的移动集中荷载,影响线及其应用,返 回,设某量值S的影响线如图所示,x,y,S影响线,1,2,现有一组集中荷载处于图示位置，,R1,R2,Rn,y1,y2,yn,所产生的影响量S1为,S1=R1y1+R2y2+Rnyn,当整个荷载组向右移动x时，,x,y1,x,x,y2,yn,n,相应的量值为S2,S2=R1(y1+y1)+R2(y2+y2)+Rn(yn+yn),故S的增量,S=S2S1=R1y1+R2y2+Rnyn=R1x tg1+R2x tg2+Rnx tgn=xRi tgi,则,=Ri tgi,影响线及其应用,返 回,=Ri tgi,当S有极大值时，载荷自该位置左移或右移x后S将减小，即S0。由于左移时x0,右移时x0,故S有极大值时,荷载左移，,Ri tgi0,荷载右移，,Ri tgi0,(115）,同理，S有极小值时,荷载左移，,Ri tgi0,荷载右移，,Ri tgi0,(11 5）,总之，荷载向左、右移动微小距离后，Ri tgi变号，S才可能有极值。,影响线及其应用,返 回,那末，在什么情况下Ri tgi才可能变号？式中 tgi是各段影响线的斜率，它是常数，并不随荷载移动而变号。故引起变号就是各段上的合力Ri的数值发生变化，显然只有当某一集中荷载恰好作用在影响线的某一个顶点处时，才有可能。我们把能使Ri tgi变号的集中荷载称为临界荷载，此时的荷载位置称为临界荷载位置。（115）、（115）称为临界荷载位置判别式。,确定临界位置一般采用试算法。在一般情况下，临界位置可能不止一个，这就需将与各临界位置相应的S极值均求出，从中选出最大（最小）值，相应的荷载位置就是最不利荷载位置。,影响线及其应用,返 回,为了减小试算次数，可事先大致估计最不利荷载位置，对于常用的三角形影响线，,a,b,h,临界位置判别式可进一步简化，设临界荷载 Pcr处于三角形影响线的顶点，,Ra,Pcr,Rb,临界位置判别式为：,荷载左移,(Ra+Pcr)tgRbtg0,荷载右移,Ratg(Pcr+Rb)tg0,将tg=,和tg=,代入，得,（116）,这就是三角形影响线判别临界位置的公式，可以形象理解为：把 Pcr归到顶点哪一边，哪一边的平均荷载就大。,影响线及其应用,返 回,对于均布荷载跨过三角形影响线顶点的情况，,a,b,h,Ra,Rb,可由,的条件来确定临界位置。,此时有,Ritgi=,得,（117）,即左、右两边的平均荷载相等。,直角三角形影响线上面诸式不适用。,影响线及其应用,返 回,4.例题：求图示简支梁在汽车10级荷载作用下 截面C的最大弯矩。,A,B,C,40m,15m,25m,解：,作Mc影响线,15,938,首先考虑车队右行将重车后轮置于顶点。,100,30,70kN,50,70,30,6m,4,5,4,15,4,2,375,625,788,225,075,按式（66)计算,有,故，这是临界位置,其他行驶位置不必考虑。,其次再考虑车队调头向左行驶。将重车后轮置于影响线顶点。,有,故这又是一临界位置，其它情况也不必考虑。,根据上述两 种临界位置，可 分别算出相应的 MC值。经比较得 右行时MC值大，故：,MCmax=703.75+306.25+100 9.38+507.88+702.25+30 0.75=1962kNm,影响线及其应用,返 回,1110 换算荷载,在移动荷载作用下，求结构上某一量值的最大（最小）值，一般先通过试算确定最不利荷载位置，然后求出相应的量值，计算较为麻烦。在实际工作中，为了简化计算，可利用编制好的换算荷载表。,换算荷载表：,是指这样一种均布荷载K，它产生的某一量值，与所给移动荷载产生的该量值的最大值Smax相等，即,K=Smax,由此式可求出任何移动荷载的等效荷载。,影响线及其应用,返 回,例题：,A,B,C,40m,15m,25m,15,938,据上题的弯矩MCmax，求汽车10级的换算荷载。,K=,MC影响线,MCmax,=,1962,2,1,40 9.38,=10.5kNm,影响线及其应用,返 回,换算荷载的数值与移动荷载及影响线的形状有关。但对竖标成固定比例的各影响线，其换算荷载相等。,y1,y2=ny1,证明如下,设有两影响线的竖标按同一比例变化，,即 y2=ny1,从而可知,2=n1,于是有,K2=,长度相同、顶点位置也相同，但最大竖标不同的各三角形影响线是成固定比例的，故用同一换算荷载。,换算荷载表（部分）见下页。,1,2,影响线及其应用,返 回,汽车10级的换算荷载（kN/m每列车）,影响线及其应用,返 回,例114 利用换算荷载表计算在汽车10级荷载作用下图示简支梁截面C的最大（小）剪力和弯矩。,A,B,C,20m,15m,5m,解：,1.作QC、MC影响线,15,3.75,MC影响线,1,1,0.25,0.75,QC影响线,2.计算MCmax,L=20m5/20=1/4,由表查得,K=158,MC影响线面积,=1/237520=375,于是,MCmax=K=158375=5905kNm,3.计算QCmax,取正号三角形计算，从表中查的,L=4m K=50.0L=5m K=？L=6m K=38.9,K=44.5,QCmax=K=44.51/250.25=27.8kN,4.计算QCmin（略作为课后习题）,由直线内插法求得,影响线及其应用,返 回,关于内插法的说明,a,b,c,K1,K2,K,h1,h2,h,K=K2+,h1+h2,h2(K1+K2),=,h1+h2,K1h2+K2h1,影响线及其应用,返 回,1111简支梁的绝对最大弯矩,1.绝对最大弯矩：,梁的各截面最大弯矩中的最大者，称为绝对最大弯矩。,2.确定绝对最大弯矩的一般方法,须解决：,（1）绝对最大弯矩发生的截面；（2）该截面发生最大弯矩的荷载位置。,应逐个截面计算最大弯矩，然后加以比较。即使取 有限个截面计算也是较繁琐的。,当梁上作用的荷载是集中荷载时，问题可以简化。在集中荷载作用下，弯矩图的顶点总是在集中荷载作用 处，可以断定绝对最大弯矩必定发生在某一集中荷载作 用点处截面上。,余下的问题只是确定它发生在哪一个荷载作用点处 及该点位置。,影响线及其应用,返 回,3.集中荷载作用下绝对最大弯矩的确定,方法如下：任选一集中荷载，找出该集中荷载作用点处截面在什么位置弯矩有最大值，然后按同样方法计算其它荷载作用处截面的最大弯矩，再加以比较，即可求出绝对最大弯矩。,A,B,P1,P2,Pk,Pn,取一集中荷载Pk,L/2,L/2,Pk,x,Pk作用点截面的弯矩Mx为,Mx=RAxMk=R/L(Lxa)xMk,RA=R/L(Lxa),Mk为Pk以左梁上荷载对Pk作用点的力矩总和，它是与 x无关的常数。,当Mx有极大值时,即,R,a,有,可逐个荷载计算，然后加以比较，便可以得出绝对最大弯矩。,x=L/2a/2,即当Pk 与合力R对称于梁的中点,影响线及其应用,返 回,例 115 求图示简支梁在汽车10级荷载作用下的绝对最大弯矩，并与跨中截面的最大弯矩比较。,A,B,C,20m,解：,（1）求MCmax,10m,绘MC影响线,10,5.0,MC影响线,6m,4m,5m,4m,100,50,30,70,显然重车后轮位于影响线顶点时为最不利荷载位置,3.0,2.5,0.5,MCmax=503.0+1005.0+30 2.5+700.5=760kNm,（2）求绝对最大弯矩,设发生绝对最大弯矩时有四个荷载在梁上，其合力为 R,R=50+100+30+70=250kN,R到 Pcr(100)的距离,a=,A,B,C,100,50,30,70,R,232m,8.84m,8.84m,故得绝对最大弯矩,Mmax=,=777kNm,影响线及其应用,返 回,1112 简支梁的包络图,1.内力包罗图,在结构计算中，需要求出恒载和活载共同作用下，各截面的最大最小内力，作为设计依据。联结各截面的 最大、最小内力的图形，称为内力包络图。,2.内力包络图的绘制方法,在实际工作中，对活载还需考虑动力效应，将静活 载产生的内力值乘以动荷（冲击）系数(1+)来考虑。,设梁承受的恒载为均布荷载 q，某一内力影响线的正、负面 积及总面积分别为+、-及，活载的换算荷载为K，在恒载和 活载的共同作用下该内力的最大、最小值的计算式为,（1110）,3作图（略）,影响线及其应用,返 回,