[其它课程]第二章 数列课堂学习设计.doc

第二章数列§2.1数列21.1数列(一)自主学习 知识梳理1数列的概念按照一定_排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的_2数列的一般形式数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，an，简记为_，其中_称为数列an的第1项(或称为_)，a2称为第2项，_称为第n项3数列的分类(1)根据数列的项数可以将数列分为两类：有穷数列：项数_的数列；无穷数列：项数_的数列(2)按照数列的每一项随序号变化的情况分类：递增数列：从第2项起，每一项都_它的前一项的数列；递减数列：从第2项起，每一项都_它的前一项的数列；常数列：各项_的数列；摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列4数列的通项公式如果数列an的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式5数列的递推公式如果已知数列an的首项(或前n项)及相邻两项间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式 自主探究1数列1,2,3,4，的一个通项公式是_2数列1，的一个通项公式是_3数列2,4,6,8，的一个通项公式是_4数列1,3,5,7，的一个通项公式是_5数列1,4,9,16，的一个通项公式是_6数列1,2,4,8，的一个通项公式是_7数列1,1，1,1，的一个通项公式是_8数列1，2,3，4，的一个通项公式是_9数列9,99,999,9 999，的一个通项公式是_10数列0.9,0.99,0.999,0.999 9，的一个通项公式是_对点讲练知识点一根据数列的前几项写出数列的一个通项公式例1根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式(1)1,7，13,19，；(2)0.8,0.88,0.888，；(3)，；(4)，1，；(5)0,1,0,1，.总结解决本类问题的关键是观察、归纳各项与对应的项数之间的联系同时，要善于利用我们熟知的一些基本数列，通过合理的联想、转化而达到问题的解决变式训练1写出下面数列的一个通项公式(1)2，4，6，8，；(2)10,11,10,11,10,11，；(3)1，.知识点二根据递推公式写出数列的前几项例2设数列an满足写出这个数列的前5项总结由递推公式可以确定数列，它也是给出数列的一种常用方法变式训练2在数列an中，已知a12，a23，an23an12an(n1)，写出此数列的前6项知识点三数列通项公式的应用例3已知数列；(1)求这个数列的第10项；(2)是不是该数列中的项，为什么？(3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内；(4)在区间内有、无数列中的项？若有，有几项？若没有，说明理由总结判断某数是否为数列中的项，只需将它代入通项公式中求n的值，若存在正整数n，则说明该数是数列的项，否则就不是该数列中的项变式训练3已知数列an的通项公式an.(1)写出它的第10项；(2)判断是不是该数列中的项1与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质：(1)确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的(2)可重复性：数列中的数可以重复(3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序也有关2并非所有的数列都能写出它的通项公式例如，的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3,3.1,3.14,3.141，它没有通项公式3如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式例如：数列1,1，1,1，1,1，的通项公式可写成an(1)n，也可以写成an(1)n2，还可以写成an其中kN*.课时作业一、选择题1设数列，2，则2是这个数列的()A第6项 B第7项 C第8项 D第9项2数列1,3,6,10，的一个通项公式是()Aann2n1 BanCan Dann213已知数列an中，an2n1，那么a2n为()A2n1 B4n1 C4n1 D4n4若数列的前4项为1,0,1,0，则这个数列的通项公式不可能是()Aan1(1)n1Ban1cos(n·180°)Cansin2(n·90°)Dan(n1)(n2)1(1)n15已知数列an的通项公式为ann2n50，则8是该数列的()A第5项 B第6项 C第7项 D非任何一项二、填空题6用火柴棒按下图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是_7传说古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras，约公元前570年公元前500年)学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数比如，他们将石子摆成如图所示的三角形状，就将其所对应石子个数称为三角形数，则第10个三角形数是_8数列a，b，a，b，的一个通项公式是_三、解答题9根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中的点数10数列an中，a11，对所有的n2，都有a1·a2·a3··ann2.(1)求a3a5；(2)探究是否为此数列中的项；(3)试比较an与an1 (n2)的大小第二章数列§2.1数列21.1数列(一)知识梳理1顺序项2ana1首项an3(1)有限无限(2)大于小于相等自主探究1ann2an3an2n4an2n15ann26an2n17an(1)n8an(1)n1n9an10n110an10.1n对点讲练例1解(1)符号问题可通过(1)n或(1)n1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an(1)n(6n5) (nN*)(2)数列变形为(10.1)，(10.01)，(10.001)，an (nN*)(3)各项的分母分别为21,22,23,24，易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为，因此原数列可化为，an(1)n· (nN*)(4)将数列统一为，对于分子3,5,7,9，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为bn2n1，对于分母2,5,10,17，联想到数列1,4,9,16即数列n2，可得分母的通项公式为cnn21，可得它的一个通项公式为an (nN*)(5)an或an (nN*)或an (nN*)变式训练1解(1)这是个混合数列，可看成2，4，6，8，.故通项公式an2n (nN*)(2)该数列中各项每两个元素重复一遍，可以利用这个周期性求an.原数列可变形为：100,101,100,101，.故其一个通项为：an10，或an.(3)通项符号为(1)n，如果把第一项1看作，则分母为3,5,7,9，分母通项为2n1；分子为3,8,15,24，分子通项为(n1)21即n(n2)，所以原数列通项为：an(1)n (nN*)例2解由题意可知a11，a2112，a311，a411，a511.变式训练2解a12，a23，a33a22a13×32×25，a43a32a23×52×39，a53a42a33×92×517，a63a52a43×172×933.例3(1)解设f(n).令n10，得第10项a10f(10).(2)解令，得9n300.此方程无自然数解，所以不是该数列中的项(3)证明an1，又nN*，0<<1，0<an<1.数列中的各项都在区间(0,1)内(4)解令<an<，则，即.<n<.又nN*，当且仅当n2时，上式成立，故区间上有数列中的项，且只有一项为a2.变式训练3解(1)a10.(2)令，化简得：8n233n350，解得n5或n(舍去)当n5时，a5.不是该数列中的项课时作业1B数列通项公式为an，令2，解得n7.2C3C4D令n1,2,3,4代入验证即可5Cn2n508，得n7或n6(舍去)6an2n1755解析三角形数依次为：1,3,6,10,15，第10个三角形数为：12341055.8an(1)n1解析a，b，故an(1)n1.9解图(1)只有1个点，无分支；图(2)除中间1个点外，有两个分支，每个分支有1个点；图(3)除中间1个点外，有三个分支，每个分支有2个点；图(4)除中间1个点外，有四个分支，每个分支有3个点；猜测第n个图中除中间一个点外，有n个分支，每个分支有(n1)个点，故第n个图中点的个数为1n(n1)n2n1.10解由题意知：an (n2)(1)a3a5.(2)a16，为数列中的项(3)n2时，anan1>0，an>an1.2.1.1数列(二)自主学习 知识梳理1数列可以看作是一个定义域为_(或它的有限子集1,2,3，n)的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列_2一般地，一个数列an，如果从_起，每一项都大于它的前一项，即_，那么这个数列叫做递增数列如果从_起，每一项都小于它的前一项，即_，那么这个数列叫做递减数列如果数列an的各项_，那么这个数列叫做常数列3数列的最大、最小项问题，可以通过研究数列的单调性加以解决，若求最大项an，n的值可通过不等式组_来确定；若求最小项an，n的值可通过解不等式组_来确定 自主探究已知数列an中，a11，a22，an2an1an，试写出a3，a4，a5，a6，a7，a8，你发现数列an具有怎样的规律？你能否求出该数列中的第2 011项是多少？对点讲练知识点一利用函数的性质判断数列的单调性例1已知数列an的通项公式为an.求证：数列an为递增数列总结数列是一种特殊的函数，因此可用研究函数单调性的方法来研究数列的单调性变式训练1在数列an中，ann3an，若数列an为递增数列，试确定实数a的取值范围知识点二求数列的最大项例2已知an (nN*)，试问数列an中有没有最大项？如果有，求出这个最大项；如果没有，说明理由总结先考虑an的单调性，再利用单调性求其最值变式训练2已知数列an的通项公式为ann25n4，则(1)数列中有多少项是负数？(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值知识点三由递推公式求通项公式例3已知数列an满足a11，anan1 (n2)，写出该数列的前五项及它的一个通项公式总结已知递推关系求通项公式这类问题要求不高，主要掌握由a1和递推关系先求出前几项，再归纳、猜想an的方法，以及累加：an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1；累乘：an····a1等方法变式训练3已知数列an满足a1，anan1an1an，求数列an的通项公式函数与数列的联系与区别一方面，数列是一种特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题另一方面，还要注意数列的特殊性(离散型)，由于它的定义域是N*或它的子集1,2，n，因而它的图象是一系列孤立的点，而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线，因此在解决问题时，要充分利用这一特殊性，如研究单调性时，由数列的图象可知，只要这些点每个比它前面相邻的一个高(即an>an1)，则图象呈上升趋势，即数列递增，即an递增an1>an对任意的n (nN*)都成立类似地，有an递减an1<an对任意的n(nN*)都成立. 课时作业一、选择题1已知an1an30，则数列an是()A递增数列 B递减数列C常数项 D不能确定2已知数列an的首项为a11，且满足an1an，则此数列第4项是()A1 B. C. D.3若a11，an1，给出的数列an的第34项是()A. B100 C. D.4已知an (nN*)，记数列an的前n项和为Sn，则使Sn>0的n的最小值为()A10 B11 C12 D135已知数列an满足an1若a1，则a2 010的值为()A. B. C. D.二、填空题6已知数列an满足：a1a21，an2an1an，(nN*)，则使an>100的n的最小值是_7设ann210n11，则数列an从首项到第m项的和最大，则m的值是_8已知数列an满足a10，an1ann，则a2 009_.三、解答题9已知函数f(x)2x2x，数列an满足f(log2an)2n.(1)求数列an的通项公式；(2)证明：数列an是递减数列10在数列an中，a1，an1 (n2，nN*)(1)求证：an3an；(2)求a2 010.21.1数列(二)知识梳理1正整数集N*函数值2第二项an1>an第二项an1<an都相同3.自主探究解a11，a22，a31，a41，a52，a61，a71，a82，.发现：an6an，数列an具有周期性，周期T6，证明如下：an2an1an，an3an2an1(an1an)an1an.an6an3(an)an.数列an是周期数列，且T6.a2 011a335×61a11.对点讲练例1证明an1an1an.由nN*，得an1an>0，即an1>an.数列an为递增数列变式训练1解若an为递增数列，则an1an0.即(n1)3a(n1)n3an0恒成立即a(n1)3n33n23n1恒成立，即a(3n23n1)min，nN*，3n23n1的最小值为7. a的取值范围为a7.例2解因为an1ann1·(n2)n·(n1)n1·n1·，则当n7时，n1·>0，当n8时，n1·0，当n9时，n1·<0，所以a1<a2<a3<<a7<a8a9>a10>a11>a12>，故数列an存在最大项，最大项为a8a9.变式训练2解(1)ann25n42，当n2,3时，an<0.数列中有两项是负数(2)ann25n42，可知对称轴方程为n2.5.又因nN*，故n2或3时，an有最小值，其最小值为2.例3解由递推公式得a11，a21，a3，a4，a5.故数列的前五项分别为1，.通项公式为an2.变式训练3解anan1an1an，1.211 n1.n1，an.课时作业1A2B3Ca2，a3，a4，猜想an，a34.4Ba1a10，a2a9，a3a8，a4a7，a5a6，S11>0，则当n11时，Sn>0，故n最小为11.5C计算得a2，a3，a4，故数列an是以3为周期的周期数列，又知2 010除以3能整除，所以a2 010a3.612710或11解析令ann210n110，则n11.a1>0，a2>0，a10>0，a110.S10S11且为Sn的最大值82 017 036解析由a10，an1ann得anan1n1，an1an2n2，a2a11，a10，累加可得an012n1，a2 0092 017 036.9(1)解因为f(x)2x2x，f(log2an)2n，所以2log2 an2log2an2n，an2n，所以a2nan10，解得ann±.因为an>0，所以ann.(2)证明<1.又因为an>0，所以an1<an，所以数列an是递减数列10(1)证明an311111111(1an)an.an3an.(2)解由(1)知数列an的周期T3，a1，a21，a32.a2 010a3×670a32.2.1.2数列的递推公式(选学)自主学习 知识梳理1通项公式与递推公式的区别与联系定义不同点相同点通项公式如果数列an的第n项an与项数n之间的关系可用一个函数式anf(n)来表示，则这个公式称为an的通项公式给出n的值，可求出an的第n项an可确定一个数列；可求出数列中任意一项递推公式如果已知数列an的第一项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与前一项an1(或前几项)之间的关系可用一个公式来表示，则这个公式叫做an的递推公式由第一项(或前几项)的值，经过一次(或多次)运算，逐项地求出an2.由数列的递推公式求通项公式的常用方法(1)累加法：an1anf(n) (f(n)可求和)ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)a1f(1)f(2)f(n1)(2)累乘法：an1an·f(n) (f(n)为含n的代数式)ana1····a1·f(1)·f(2)··f(n1)3数列an的通项an与其前n项和Sn之间的关系是：当n1时，a1S1，当n2时，anSnSn1.4Sn与an的混合关系式有两个思路(1)消去Sn，转化为an的递推关系式，再求an；(2)消去an，转化为Sn的递推关系式，求出Sn后，再求an. 自主探究1已知数列an，a12，an1an2，试用累加法推导an的通项公式2已知数列an，a12，an12an，试用累乘法推导an的通项公式对点讲练知识点一利用累加法求通项公式例1已知：a11，an1an(2n1)，求an.总结形如an1anf(n)的递推数列，常用累加法求其通项公式，关键是不断变换递推公式中的“下标”变式训练1已知数列an，a11，以后各项由an1an给出，试用累加法求通项公式an.(提示：)知识点二利用累乘法求通项公式例2 已知：a11，an12n·an，求an.总结形如an1anf(n)的递推数列，常用累乘法求其通项公式变式训练2已知数列an的前n项和Sn满足：Snn2an，且a11，求an的通项公式知识点三由实际问题提炼出递推公式例3某县位于沙漠地带，人与自然长期进行着顽强的斗争，到2010年底全县的绿化率已达30%.从2011年开始，每年将出现这样的局面，即原有沙漠面积的16%将被绿化，与此同时，由于各种原因，原有绿化面积的4%又被沙化设全县面积为1,2010年底绿化面积为a1，经过n年绿化总面积为an1.求证：an1an.总结在实际问题中，若题目条件给出的是相邻年份的数量关系时，可以考虑构建递推数列模型变式训练3在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第一件首饰是1颗珠宝，第二件首饰是由6颗珠宝(图中圆圈表示珠宝)构成如图1所示的正六边形，第三件首饰如图2，第四件首饰如图3，第五件首饰如图4，以后每件首饰都在前一件上按照这种规律增加一定数量的珠宝，使它构成更大的正六边形，设第n件首饰所用珠宝数为f(n)，求f(n1)f(n)的值1数列的递推公式是给出数列的另一重要形式，一般地，只要给出数列的首项或前几项以及数列的相邻两项或几项之间的运算关系，就可以依次求出数列的各项2由数列的递推公式求通项公式是数列的重要问题之一，是高考考查的热点，累加法、累乘法是解决这类问题的常用技巧. 课时作业一、选择题1数列an满足an1ann，且a11，则a5的值为()A9 B10 C11 D122已知数列an的首项为a11，且满足an1an，则此数列的第4项是()A. B. C. D.3已知数列an满足a1，anan1anan1，则这个数列的第5项是()A1 B. C. D.4已知数列an对任意的p，qN*满足apqapaq，且a26，那么a10等于()A165 B33 C30 D215在数列an中，a11，an1an2n1，求出a2，a3，a4后，归纳猜想an的表达式为()A3n2Bn22n2C3n1D4n3二、填空题6数列an中，a11，an1ana(1)n1 (nN*)，则_.7数列an中，a13，a27，当n1时，an2等于anan1的个位数，则该数列的第2 010项是_三、解答题8函数f(n).数列an的通项anf(1)f(2)f(3)f(2n) (nN*)(1)求a1，a2，a4的值；(2)写出an与an1的一个递推关系式(注：135(2n1)4n1)9某餐厅供应1 000名学生用餐，每星期一有A、B两种菜可供选择，调查资料显示星期一选A菜的学生中有20%在下周一选B菜，而选B菜的学生中有30%在下周一选A菜，用An、Bn分别表示在第n个星期一选A菜、B菜的学生数，试写出An与An1的关系及Bn与Bn1的关系21.2数列的递推公式(选学)自主探究1解an1an2(n1)个式子相加得：ana12(n1)，ana12(n1)2n或ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)22(n1)2n.2解2(n1)个式子相乘得：2n1，ana1·2n12n或ana1····a1·2n12n.对点讲练例1解an1an2n1，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)135(2n1)1(2n1)×n2.变式训练1解an1an，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)112.例2 解2n，ana1····1·21·22··2n12123(n1)21(n1)×2.变式训练2解Snn2an，Sn1(n1)2an1Sn1Sn(n1)2an1n2anan1(n1)2an1n2an(n22n)an1n2an(n2)an1nan.ana1······1·······.例3证明由已知可得an确定后，an1表示如下：an1an·(14%)(1an)·16%，即an180%an16%an.变式训练3解珠宝的数目依次是：f(1)1，f(2)15，f(3)159，f(4)15913，f(5)1591317，f(2)f(1)5，f(3)f(2)9，f(4)f(3)13，f(5)f(4)17，f(n1)f(n)4n1.课时作业1Ca5a44a334a2234a1123411.2Ba11，an1an，a2×a11，a3a2，a4a3.3Banan1anan1，a1an，a21，a3，a41，a5.4Ca2a1a16，a13，a3a1a29，a4a2a212，a5a1a415，a102a530.5B由an1an2n1a2a11，a3a23，a4a35anan12n3.相加得ana1135(2n3)(n1)2，an(n1)2a1n22n2.6.解析a22，a3，.79解析列举出数列的前9项，依次是3、7、1、7、7、9、3、7、1、7，观察发现数列具有周期性且周期为6，所以a2 010a69.8解(1)a1f(1)f(2)f(1)f(1)2.a2f(1)f(2)f(3)f(4)f(1)f(3)f(1)f(2)13a16.a4f(1)f(2)f(3)f(16)86.(2)an1f(1)f(2)f(2n1)anf(1)f(2)f(2n)f(1)f(3)f(5)f(2n1)f(2)f(4)f(6)f(2n)135(2n1)f(1)f(2)f(3)f(2n1)anan14n1 (n2)9解由题意知：由An1Bn11 000，得Bn11 000An1.所以An0.8An10.3(1 000An1)0.5An1300.同理，Bn0.2(1 000Bn1)0.7Bn10.5Bn1200.§2.2等差数列22.1等差数列自主学习 知识梳理1等差数列的定义一般地，如果一个数列从第_项起，每一项与它的前一项的差都等于_常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的_，通常用字母_表示2等差中项如果A，那么A叫做a与b的_3等差数列的单调性等差数列的公差_时，数列为递增数列；_时，数列为递减数列；_时，数列为常数列4等差数列的通项公式an_，当d0时，an_，an是关于n的_函数；当d0时，an_，an是关于n的_函数，点(n，an)分布在一条以_为斜率的直线上，是这条直线上的一列_的点5等差数列的性质(1)若an是等差数列，且klmn(k、l、m、nN*)，则_(2)若an是等差数列且公差为d，则a2n也是_，公差为_(3)若an是等差数列且公差为d，则a2n1a2n也是_，公差为_ 自主探究如果等差数列an的首项是a1，公差是d，你能用两种方法求其通项吗？对点讲练知识点一等差数列的通项公式例1若an是等差数列，a158，a6020，求a75.总结方法一：先求出a1，d，然后求a75；方法二：应用通项公式的变形公式anam(nm)d求解变式训练1在等差数列an中，已知amn，anm，求amn的值知识点二等差数列的性质例2已知等差数列an中，a1a4a715，a2a4a645，求此数列的通项公式总结要求通项公式，需要求出首项a1和公差d，由a1a4a715，a2a4a645直接求解很困难，我们可以换个思路，利用等差数列的性质，注意到a1a7a2a62a4问题就简单了变式训练2成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数知识点三等差数列的判断例3已知数列an满足a14，an4 (n2)，令bn.(1)求证：数列bn是等差数列；(2)求数列an的通项公式总结判断一个数列an是否是等差数列，关键是看an1an是否是一个与n无关的常数变式训练3若，是等差数列求证：a2，b2，c2成等差数列1证明数列an为等差数列的方法(1)定义法：an1and (d为常数，n1)an为等差数列或anan1d (d为常数，n2)an为等差数列(2)等差中项法：2an1anan2an是等差数列(3)通项法：anpnq (p、qR)an是等差数列，只要说明an为n的一次函数，就可下结论说an是等差数列2三个数成等差数列可设为：ad，a，ad或a，ad，a2d；四个数成等差数列可设为：a3d，ad，ad，a3d或a，ad，a2d，a3d. 课时作业一、选择题1在等差数列an中，a13a8a15120，则2a9a10的值为()A24 B22 C20 D82已知等差数列an中，a29，则an为()A14n3 B16n4 C15n39 D15n83等差数列an的公差d<0，且a2·a412，a2a48，则数列an的通项公式是()Aan2n2 (nN*)Ban2n4 (nN*)Can2n12 (nN*)Dan2n10 (nN*)4等差数列an中，若a3a4a5a6a7450，则a2a8等于()A45 B75 C180 D3005在数列an中，a12,2an12an1，则a101的值为()A49 B50 C51 D52二、填空题6若mn，两个等差数列m、a1、a2、n与m、b1、b2、b3、n的公差分别为d1和d2，则的值为_7已知是等差数列，且a46，a64，则a10_.8已知方程(x22xm)(x22xn)0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|mn|_.三、解答题9等差数列an的公