[理学]第四章： 力学量用算符表示.doc

第四章： 力学量用算符表示 1设是的可微函数，证明下述各式：一维算符（1）（证明）根据题给的对易式及（2）（证明）同前一论题80物83-309蒋（3）证明同前一题论据：（4）证明根据题给对易式外，另外应用对易式 （5）（证明）论据同（4）：（6）（证明）论据同（4）：81(2)证明以下诸式成立：(1) (证明)根据坐标分角动量对易式 为了求证 该矢量关系式，计算等号左方的矢量算符的x分量。 以及看到 由于轮换对称性，得到特征的公式。(2) （证明）证法与（1）类似，但需先证 分量与 分量的对易律同理可证明其他轮换式，由此得普通式取待证的公式等号左方的x 分量，并用前一式加以变形：根据轮换对称性，证明待证式成立。(3)注意 与x没有共同坐标。(4) 注意 没有共同坐标，因此可以对易即 ，故(3) 为粒子角动量。F为另一力学量，证明：其中表示空间坐标的梯度，表示动量空间的梯度。证明按照题意又F可看作坐标，动量的函数，它一般可以表示成为使证明题给论据清楚，可以先导出两种交换关系，作为后文的准备，设为任意波函数在前式的最后一项中，当I=x时，可利用莱勃尼兹公式：当因此： 现在利用前二式来证明题给一式的x分量的关系成立，该式左方：86-87利用（1）和（2）得 同理可得 综合3式得4设算符A，B与它们的对易式A，B都对易。证明(甲法）递推法，对第一公式左方，先将原来两项设法分裂成四项，分解出一个因式，再次分裂成六项，依次类推，可得待证式右方，步骤如下：按题目假设 重复运算n-1次以后，得（乙法）数学归纳法，待证一式当n=1时，是明显成立的，假设当m=k时该式成立，而k 1，则应有现在计算 有: 利用前述的假设但又按题目假设用于前一式得待证一式。关于第二个公式也可按相同的步骤证明，不另列述。但若第一式证实，则亦可从第一式推第二式，注意88-89将第一式对易式中两算符对易得再将文字A，B对易得（5）证明 （证明）本题的证法与题四的第一法完全相同，只是条件A，B与A，B对易一点不能使用，即从原来的对易式经过总数n-1次运算后，得取A=q，B=p，注意q，p=hi代入前一式后，有(6)证明 是厄密算符证明）本题的算符可以先行简化，然后判定其性质 是厄密算符，因此原来算符也是厄密的。另一方法是根据厄密算符的定义：用于积分最后一式：前式=说明题给的算符满足厄密算符定义。（7）证 (A 等是实数)是厄密算符 （证明）此算符 F( ) 不能简化，可以用多次运算证明，首先假定已经证明动量是厄密算符，则运用这个关系于下面的计算：满足厄密算符的定义。 （8）证明（实数）是厄密算符。（证明）方法同前题，假定已经证明,都是厄密算符，即：又按题意得证算符是一维的。90 物83-309蒋这证明不是厄密算符，但满足同理可证明将前二式相加除2，得因此是厄密算符。因此也是。又假定用作为厄密算符的定义，并设则本题可用较简方式来证明如下：因为 所以有 同理有91 相加除2，得：这证明右方一式是厄密算符。 （9）证明，若 当大时并不趋于0，则 不一定是厄密算符。（证明）设 , 是任选的两个函数，适用分步法计算下列积分 继续将后一积分作分步运算，共作n 次，其结果将是：由此计算可知若大括号里总和为0，则算符 符合厄密算符定义，但按题意 时， 不趋于0，因此我们无法证明大括号里总和为010证明 其中A(p,q),B(p,q)是正则动量和坐标的函数，上式左方是相应的算符。A,B是经典力学中的poisson括弧在多变量情形i=1,2,3.i自由度（证明）本题意思是要证明等号两边式子等效，但左方是算符式，可以使用自变量 间的对易关系进行变形，为了证明方便，可设定 的函数形式如下：式中 是指两组已知的复数，若 不能用的形式表示，则下面的证法无效，按此假设，可进行下述的变形运算：IA,B= 最后一式中出现座标的幂、动量幂之间的对易式，这类对易式的简化并未有过，需做专门的计算；兹以的简化为例：试将此对易式的第一项加以连续变形，并且运用已证过的公式：（4）（5）利用（4）式，令则有以下诸式：或： （6）同理有 （7）依次类推将（6）式代入（5）有：（8）将最后一式第一项分解，重复应用（6）：运用式（7）于前式中的:物83-309蒋（9）与（8）式比较，增加的高阶次。（10）按同样方法连续变形次，得到下式；式中假设。 或改写作：（11）将此式代到（3）式中，得下式：95 将这对易式遍乘以，则右方各项中，第一项将与无关，第二项以后含以上的幂，取极限时将留下第一项 （12）其次再考察题给公式等号右方的泊松括号，（用正则座标和正则动量表示的式子），我们论证的情形中，自由度，因而 按经典力学定义： = = （13）两种计算的结果相同，因而题给的结果相同，因而题给的公式得到证实。11设F(x，p)是xk，pk的整函数，证明： 整函数是指，是数值系数证明本题照题给的表示式应当是三维的算符，其展开形式：先证第一式 最后一式曲括号内第一项为时为0，因为座标不同，时第二对易式任何情形是零，因而改写成： (2)第二式证明与前半题类似 （3）最后一式曲括号内这公式的详细证明参看第3题，于是（3）式应写成这样，第二式得到了证明，这两类式子形式相似，是因为是一对正则共轭量的缘故。12设是只赖于空间的力学算符，证明： （1）设是依赖于座标的波函数，先作以下计算 （2）代入题给式（1），并运算于： 消去第一，第三项前式首末两式移去函数，得到特征公式（1）13利用测不准系估计谐振子的基态能量解写下一维谐振子的经典的能量公式，或算符关系式： (1)取能量的平均值： 在一维谐振子的情形，座标的平均值，动量平均值计算座标和动量的“不确定度”（即均方根偏差）。 按一般公式 （2）因此能量平均值公式（1）可改用“不确定度”表示 （3）但根据测不准关系式：作为估计，可以直接取其下限，即认为 将此结果代入式（3），并且计算的极小值，就是所求的基态能量： 用此取括号内值为零的条件，得 这时14利用测不准关系估计类氢原子中电子的基态能量（设原子核带电Ze）。 （解）本题原是三维问题，但作为估计，计算不需严格正确，方法同前题。 （1）取能量的平均值，由于中心对称性，可以认为动量的平均值是零，（这个平均值本是个矢量，但它的分量都是零）因此，此外，根据计算（第六章九题）知道在氢原子情形， ，因而。此外，所以，因此为计算方便，可取 对能量关系式取平均值 （3）利用测不准关系式，可以计算（3）的极值，但与之间并无已知的对易关系式，此可作一维问题处理，认为，并用 （4）则（3）式成为： 当取时，E有极小值 就是基态能量15求证力学量与的测不准关系： （证明）根据（课本）测不准的普遍公式，若为任两个力学算符，为它们的偏差，为不确定度，则：或 （1）本题中因此，有关的测不准关系写成： （2）在本章第（11）题的第二个公式已指出代入（2），就得到待证的公式。16求证在的本征态下（证明）角动量分量算符满足对易关系： 两边取平均值，设是本征态波函数，用标乘积运算符号： 前面的连等式中利用了标乘积分配律以及算符的厄密性，这样证明 利用对易关系： 可以类似的证明。附带指出，虽然，在本征态中平均值是零，但乘积的平均值不为零，能够证明：说明不是厄密的。，的平均值见下题。 17设粒子处于状态，求， （解）是算符的共同本征状态，在此态中，算符，具有对称性，因而可假设，又已知利用算符恒等式：计算这个式子的各量在态中的平均值，用标积符号： 因满足本征方程式 移项整理： （补白）若需要严格论证与的相等关系，可设 于是有 求其符的平方，用来表示： 再求它们在态中的平均值，在表示式中用标乘积符号时是 （1） （2）或都改写成积分形式如下，积分是对空间立体角取范围的： （3） （4）按角动量理论： （5） 和正交归一化条件： （6）将运算公式（5）使用于（3）式的各项，得结果如下：注意上述每一个积分的被积函数都要使用（5）的两个式子作重复运算，再代进积分式中，如： 将它们代入（3）就得到前一法（考虑对称）得到相同的结果。 又从（4）式看出，由于没有贡献，（3）（4）应有相同的结果。第二种方法运用角动量一般理论，这在第四章中并没有准备知识，所以用本法解题不符合要求，只作为一种参考材料。18设体系处于态，求（1）的可能测值及其平均值。（2）的可能测值及相应的几率。（3），的可能测值。（解）（1）按照习惯的表示法表示角量子数为，磁量子数m的，的共同本征函数，题材给的状态是一种的非本征态，在此态中去测量都只有不确定，下面假定 从看出，当体系处在态时，的测值，处在态时，的测值为零。 在态中的平均值 （2）又从波函数看出，也可以有两种值，体系处态中时测值为 当体系处在态时的测值为 相应的几率即表示该态的展开式项系数的复平方：， 的并态中的平均值(3)关于在态中，的可能测值可以从对称性考虑来确定，当使用直角坐标表示算符时，有轮换对称性，由于在态中可有二种量子数所以将轮换的结果，知道的可能测值只能是 ，0，同理，的可能测值也是这此值 ，0，但如要计算（或）得到某个测值的几率，则需要较多计算。（补白）前一题第（3）小题更严格的论证，要采用，的本征函数的矩阵计算法。若不考虑对称性，则根据态不能直接辨出，的可能测值，而用间接方法。 或的本征函数与有关，时，的本征函数的座标表象用叠加原理写成 （1）但满足本征方程式：这种形式的方程式求解有困难，考虑到角动量仅有分立本征值，所以我们将（2）改成角动量表象（，）的本征方程式，它是矩阵形的： （3）再附加上诸系数的归一化条件： （4）从（3）和（4）可以解得三个系数，和本征值的三个值 （5）按一般习惯，本征值的排列要从最大的到最小的，相应的本征函数可以用角动量表象，也可以用座标表象，用前才时，是一个单列矩阵： （6）这三组角依此对应于本征值（自大到小）用座标表象时: (7)再考查时的本征函数，这种情形下的座标表象的本征方程式是也不容易求解，而必须化成角动量表象（）的本征方程式，是矩阵的： （8）再附加上各个系数的归一化条件如下： （9）解（8）和（9），得到本征值五种 角动量表象的本征函数（本征矢）共有五个，分别和以上五种本征值对应：（注意：这些本征矢仍和的情形一样，是先用久期方程式求解五个本征值，再逐个地代入（8）所表示的五个关于的线性方程式的归一化条件（9）才能得到的） （10）波函数的座标表象和（7）相似，写成五项叠加式，例如： （111） （112） （113） （114） （115）波函数组（7），（10）都是的本征函数，并且我们已经论证了的五种本征值的来源，不是从轮换对称出发，而是从本征方程式出发得到的结论。若进一步需要计算在态中，测量得值（或其它本征值）的几率是多少。可根据叠原理，将写成所有八种本征函数的叠加式： （12）这个叠加式中，D和都有两个指标，第一个是量子数，第二个是量子数，从（12）可以看出在的状态中，取各种可能测值的几率如下表：的本征值20-2相应的几率+诸D的计算有两种方法，第一法是直接法，此法是从方程组（7）中解出，我们需要的，而用的本征函数，的项表示它，这方法是初等的，结果 （13）其次再从方程式组（11）解出我们需要的，而用等的项表示，结果： （14）将（13），（14）代进（12）式的第二道式子，并和后面第三式系数对比，得到： , , , ， ， ， （15）代入前一表格得到：。本征值0-2相应的几率+第二种算法是利用本征函数的正交归一性。考察构成的共同本征矢量构成的希尔柏特空间，此空间中都是基态，此空间中是一个矢量，()等八个的本征函数也是此空间的矢量，但不是基矢，等八个系数是等在上的投影，因为，正交，之间也正交，因此在计算时，可取（12）的复共轭式，遍乘再积分，得： 又计算诸系数时同样，如求时，取（12）的复共轭遍乘积分：其余各个系数依此类推。19求证在的本征态下，角动量沿着与轴成的角度的方向上的分量的平均值是：。（解）角动量沿着与成解的方向（此方向用单位矢表示，它不是唯一的，因由方位角给定），有一投影，它的解析式是： （1）计算在的本征态中角动量投影的平均值：（2）式中 根据（16）题的结论，本征态下，故前一式第一，二两个积分无贡献，由于：，因而 （3）20设是的本征态，相应的本征值是（取）则：是算符：的本征态。（解）本题是前题的廷续，它最简单的解法是利用旋转算符，角动量理论中证明，若将参座系围绕某个轴旋转过一角度，则描写状态的波函数将受到变换,叫旋转算符： （1） 这个算符的源在课本中有论述，这是从略（十四章§14.3）设原来的参考系是（）这时，关于的本征函数记作。现在象附图那样，将参考系先绕轴转角成为，再绕原来的轴旋转角成为从的轴成为，从图看原来的轴变为，它在原来参考系中的角座标是，这个变换中，波函数变为，但又表示角动量沿分量的本征函数，因为在这个变换中并不跟随着变，因而有此结论。21证明对任何两个波函数，满足下述施瓦茨的不等式：（证明）本题有一定的证明法，它和海森伯的测不准关系式的普遍证法相类似，首先，寻找一个含有，的复平方式子，令这个式子大于零，经过试探性计算，知道采取下式有效： 此式中的尚待选择，将前式展开写成标识和形式： （1）前式中第一，四二项恒为正，二，三两项符号不定，我们这样来选取，使它能使的二个异号项抵消，由于未定，这种选择是可能的： （2）选取方括号内项为零，得，于是： 代入（2）得： （3）此式即待证的一个不等式。本题也可以在一开始就假设下式成立：将它展开后稍加变形，使能待证。22设为正定的厄密算符，为任意二波函数，证明： （证明）因为是正定的，按定义它的平均值是正数，即不论在何态中有：经过试算知道，仿照测不准关系的普遍证法，选取使有关，令又设 （1） （2）选取方括号内式子为零 （3）将（3）代入（2）： （4）整理后就得待证一式。23在一维对称势阱中，粒子至少存在一种束缚态（见3.1节）在给定势阱深度情况下，减少势阱宽度，使，粒子动量不确定度位置不确定度，因而下列关系似乎存在，这与测不准确关系矛盾，错误何在？（解）在一维有限深（）势阱的问题中，以势阱中点作为原点时，至少有一个偶宇称的束缚定态，其能量E决定于条件： 因此这个基态能级E与有关，甚小时，E也甚小，座标不确定度不能简单的用势阱宽度来估计，估计值只需正确到数量级，势阱两边的波函数是 可设波宽度扩展到振幅处，即，得 小时 因此 这与测不准不相矛盾，题给论点的错误，在于随意地估计小几率波的范围。24证明在不理续的能量本征态下，动量平均值是零。（证明）第一法：根据第三章的定理二及推论，不连续能量本征函数是实函数，是非简并的，一般又是平方可积的，因而： 以一维问题为例 第二法：亦以一维为例，可推广到三维，先证普通公式 对任意波函数： 因而 现在取该式二边在能量本征态（分立）下的平均值，并注意：此式因而等于零，从而。设属于某能级的三个简并态彼此线性无关但不正交，试找出三个正交归一化的波函数，它们是否仍为简并？（解）用Schmidt法，选（）则被归一化了。选 （）则故正交。选使则为正交归一组。再设 （）则 故与都能正交。选 这样选的是正交归一化组。将算符作用于（）式：同理作用于（）式：，同理有，因而仍有共同的能量本征值，简并不消失。证明以下诸式：（）（证明）设是阶数的矩阵，由它们形成的行列式记作和。设的矩阵元记作，的矩阵元记作，按行列式理论，的行列式的值是：（）式中是排列中的逆序数（逆序数指这种排列相对于正常排列发生的编号逆转），（）式可改写为下式：（）但是的逆序数。如果将（）的每一指标加以变更，可得（）（）的结合形式：（）同理另一行列式写作（）但分别是排列和的逆序数，取二者乘积：（）若在求和式中选取则（）式成为（）再计算，它是矩阵积的行列式的值，按矩阵乘法设是的矩阵元是：（）的行列式的值是：（）是排列，是排列的逆序数，（）与（）的形式结构是相同的，这证明（）证（证明）本题是一个么正变换后的算符的矩阵的行列式，与原来算符的矩阵的行列式之间的相等关系。本题利用前一题的结论加以推广；先将积的行列化成行列的积：因为等都是数值而不是算符或矩阵，因而遵守对易律再将行列式积化成积的行列，进注意单位矩阵的行列式恒等于1，有 （3）证（证明）是Trace (或Spur)即“径迹”的符号，按定义它等于矩阵的对角线矩阵元的和数： 但是矩阵的积，的矩阵元是因而 (4)证证明三个矩阵的积（三个算符）的径迹具有一般表示式矩阵（）的对角线元素要求各个组成矩阵元最前一个指标（足码）与最后一个指标相同，其余的指标则需要衔接，满足这两条件的矩阵元都属于对角线矩阵元，但发现矩阵轮换时，以上二条件能满足： 式子得证。（5）证 证明 ，将矩阵元组成因子轮换。 有问题（补白）以上的（2）题表示矩阵么正变换（表象变换属此）后，行列式值不变。（5）则表示么正变换不变更径迹。径迹在对角表象中代表本征值总和，这两小题表示么正变换的两项性质。 27设粒子处在宽度为的无限深势阱中，求能量表象中粒子坐标和动量的矩阵表示。解一维无限深方势阱的归一化波函数是： 这波函数是能量本征函数，任何力学量的矩阵元是： 此公式用于坐标矩阵： 此式不适用于对角矩阵元，后者另行推导。当m=n时，得对角矩阵元： 动量矩阵元（非对角的） 28用矩阵乘法，根据谐振子的能量表象中的x矩阵来计算的矩阵。解本题要运用谐振子波函数（定态）的一个递推公式： 在一式等号左右方同乘以，然后对x 进行积分，得到谐振子的x矩阵元： 根据矩阵乘法法则，以及投影算符的性质的矩阵元可以用x的矩阵积的元表示，公式如下： 等是谐振子的能量本征矢。将代入，得： 这个结果还能够简约，为此可将两个的乘积按照下述方式简约，例如：29设任何一个厄密矩阵能被一个么正矩阵对角化，由此证明两个矩阵被同一个么正矩阵对角化的条件是它们彼此对易。证明对易关系充分性的证明。设。又设是一个足以使对角化的么正算符，则 再求的变换矩阵元 由于此式左方不论为何值都为零，右方可利用矩阵积的元素的展开法则： 利用式于，则可以写成不为零的项是：（因为矩阵元是数，可以对易）即： 此式成立的条件是：时， 时，故是对角矩阵的元素，是对角矩阵，而是能同时将对角化的么正变换算符。对易关系必要性的证明：设能同时将对角化，则有： 试对进行变换，有：写成展开式，再将代入：后面不论取或其它值，这个矩阵元永远是零，这说明矩阵的一切元素是零，这必需是。30 设，写出在x表象中及的矩阵元。在一维座标表象中x具有值的本征函数是，按照算符矩阵元定义，算符的矩阵元是的矩阵元 利用函数的变换性质 令 或的矩阵元令 的矩阵元令得31同上题，写出表象中的，的矩阵元。解在表象中，求其算符的矩阵元用公式在计算的矩阵元时，可假设或的形式：其中，又 ,试用纯矩阵的办法，证明下列求和规则：其中x是r的一笛卡尔分量，指对一切可能态求和，是相应于n态能量。（提示）求，然后求矩阵元解根据提示，先计算对易矩阵（与本题六类似） 不用的显式，直接对易式定义将后一对易式展开： 这两种形式算符相等效： 求能量本征态，所对应的上述算符的矩阵元，在计算过程中，凡是两个以上的算符乘积的矩阵元都用每一算符的矩阵元的项表示，此外矩阵元也用简写的代表文字如：改用成矩阵元乘积利用投影算符：，； 因为矩阵元是能量表象 ， 将求和指标全部写成p，前式成为： 前式中再令m=k，得： 能量本征函数一般是实数函数，x又是厄密算符33在一维谐振子的哈密顿量中引进无量纲变量，及参数s 此时 薛定谔方程式为：证明： 求出谐振子能级和归一化的波函数 令 ， 求利用和基态波函数将第个激发态表示出来。（5） 求在能量表象中的矩阵元。解（1）= （1） （2）先使用第（4）小提的代表符号，可知以下关系成立： = （2） （3）又能量本征方程式可用表示为： （4） （5）特征的一个方程式也改写成： （ （6）（ （7）利用对易关系（3）先将（6）式左方变，使其变形为右方一式（ = = = =将最后的算符运算于能量本征函数，并利用能量本征方程式（4）： =因此 （或 另一种对应关系的证明从（7）式左方开次：（+ = = = = =（ （3）谐振子的能级：方程式 是以为能量的本征方程式，也写作： （8） 将它与已证过的方程式（6）比较，发现二者形式一样，因此若代表相对能量是的本征函数，则就代表能量是的本征函数。现在再证明谐振子在任何态中的平均能量是正数，因为都是厄密算符，所以 = = 在能量本征态中，其平均值就等于本征值，所以本征值。 又因为：若是属于本征值的本征函数，成比例于本值的本征函数。能量本征值是正的，因此必有一个最低能量 而，与对应的本征函数，而将不存在这种状态，即 = 0 （9）即（，但因为 前述方程式成为： （分离变量积分，得到： （10）常数C由的归一化条件决定： 这样求得阶数最低的归一化本征函数： （11）与对应的能量本征值可能（11）代入能量本征方程来得到： 得最低能级 =但由式（7）看出，其他较高的能级是 （n = 1,2,3,4 整数） （4）由基态波函数计算激发态波函数 为此需要求得和间的递推式，从前一小题结果，能量本征方程可写作或象（4）那样，改用，表示： （ ） （12）叫占有数算符，即能量的本征函数。同时也是占有数算符本征函数，本征值是。 将运算于，同时利用对易式=1有： =即，若是 的本征函数，则也是 的本征函数，其本征值增大了1。但是是的属于本征值的本征函数，因而若无简并，二者应成正比： （13）同 理可证明关系 （14） 将（13）遍乘 积分，以便求得，有： 利用（14），有 （15）再计算，并利用（13）（14）（15）结果 将此式结果与本征方程式（12）比较，并设是数，有 =于是得到递推公式： （16） （17）现在利用（16）于n=0的情形得：再利用（16）于n=1,n=2,.直到运算n次，得以下的结果： 依此类推得： （18）（5）在能量表象中的矩阵元的计算：将表示，有 （19）根据矩阵元的定义，使用Q作为自变量（代替x）,利用（18）和（19）用来表示的矩阵元：利用伴算符定义： = = （20）最后一式是矩阵元的一般表示式，由此看出，若m+1=n则第一项不为零，第二项为零，若m=n+1则第二项不为零，若mn+1,n-1,则二项都为零，由此得到不为零矩阵元是：（P）= （21）（m和n都是自小到大向右向下排列，并且m,n都0开始）的能量表象矩阵元用类似方法计算。（Q）= （22）（34）那么正算符U（t）对t求可导，则算符为厄密算符。（证明）若U(t)是个么正算符，则必满足定义 （1）因为的导数存在，故对前式求导时，有 （2）遍乘以hi,移项 ，取此项左方的厄密共轭式，并注意到(此式已证过)有： 此式与前一式右方相等，因而也等于左方式即： 因而得结论该算符是厄密算符。又若满足方程式为厄密（可能依赖于t）,则满足方程式： （证明）原式是： （1）取该式的厄密共轭式： （2）将（1）式右乘，再将（2）式左乘，再从（1）式减去（2）式，得： 即 (35)设为么正算符。证明：（1）与是厄密算符，且 （2）（因而可同时对角化。 （3）设的共同本征态为本征值分别为 即因此可令为实数），从而有（4）证明可以表示为： （H厄密算符）（证明）（1） 故是厄密的。故也是厄密的（用了因是么正的，故故最后一式简化为。（2） 可交换，故当采取一种表象使对角化时，该表象亦能使对角化（课本，不另作证明） （3）按题意算符的定义是将前面的第