[理学]多元函数的概念 教案山西大同大学.doc

第八章 多元函数§8.1多元函数的概念自变量只有一个的函数称为一元函数，有二个独立的自变量的函数称为二元函数，有三个独立的自变量的函数称为三元函数，自变量有一个的函数就称为元函数，二元及二元以上的函数统称为多元函数。以前所学的函数都是一元函数，但是在实际问题中，所涉及的函数的自变量的个数往往不只是一个，有的是两个，甚至更多。例如，一个圆锥体的体积，它有两个独立的变量、。为此，就需要进一步讨论自变量为两个，或者更多情形下的多元函数。本节以二个独立的变量为基础，首先给出二元函数的概念。1二元函数的概念定义 设有两个独立的变量与在一定范围内取值，任取一组数值时，第三个变量就以某一确定的法则有唯一确定的值与其对应，那末变量称为变量与的二元函数。记作其中与称为自变量，函数称为因变量，自变量与取值范围称为函数的定义域，一般记为。二元函数在点所取得的函数值记作，或类似地，可定义二元函数、四元函数、元函数等多元函数。2二元函数的定义域与一元函数相同，决定二元函数的要素仍然是定义域和对应法则。那么，二元函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围。对于一元函数的定义域一般来说是一个或几个区间，二元函数的定义域可以是整个坐标平面，可以是一条曲线，还可以是由平面上一条或几段光滑曲线所围成的连通的部分平面。整个坐标平面或由曲线所围成的部分平面称为区域，围成区域的曲线称为区域的边界，边界上的点称为边界点，包括边界在内的区域称为闭区域，不包括边界在内的区域称为开区域。开区域内的点称为内点。如果一个区域(开域或闭域)中任意两点之间的距离都不超过某一常数，则称为有界区域，即一个区域可以被包含在一个以原点为圆心，适当长为半径的圆内；否则称为无界区域。如同区间可用不等式表示一样，区域也可以用不等式或不等式组来表示。区域通常表示为或两种形式，前者称为型区域，后者称为型区域。最简单的区域有矩形域和圆形域，如图81所示。例1 求的定义域解 该函数的定义域为 图81例2 求下列函数的定义域，并画出的图形。（1）（2）解 （1）要使得有意义，则需，即故函数的定义域，此区域是一个矩形域。（2）要使得有意义，则需 即故函数的定义域，此区域是一个圆环。3二元函数的几何解释是二元函数定义域内的任意一点，则相应的函数值是，有序数组确定了空间一点，当在内变动时，对应的点就在空间变动，即对应P点的轨迹就是函数的几何图形，它通常是一张曲面，其定义域就是此曲面在平面上的投影。因此，二元函数在空间直角坐标中一般表示的是曲面。§8.2 二元函数的极限及其连续性一、二元函数的极限与一元函数的极限类似，对于二元函数同样可以讨论当自变量与趋向于有限数值与时，函数的变化趋势，即二元函数的极限。、趋于、可看作成点趋向点，记作或。若，即，则就可表示。在平面上，趋于的方式可以时多种多样的，因此二元函数的情况要比一元函数复杂得多。如果定义于的某一去心邻域的一个二元函数与一个确定的常数，当点以任意方式趋向点时，总是趋向于一个确定的常数，那么就称是二元函数当时的极限。为了区别于一元函数的极限，则把二元函数的极限叫做二重极限定义1 设函数在点的某一邻域内有定义（点除外），若点无限地趋于点时，恒有（是任意小的正数），则称为函数当时的二重极限，记为或。用语言严格给出定义1的二重极限的定义如下定义2 对任意给定的正数，无论怎样小，总存在一正数，当满足的一切恒有成立，则常数称为函数当时的二重极限。例1 函数当沿轴趋于时，即，当沿轴趋于时，即，当沿着直线趋于时，随着的取值不同，的值不同，所以不存在。注 一元函数的极限，点只沿轴趋于0，但二元函数的极限要求点沿以任意方式趋向点，若沿轴或沿轴或沿平行与坐标轴的直线或沿某一条曲线趋于时的极限都存在，也不能确定它的极限不存在。二、二重极限的运算法则正像一元函数的极限一样，二重极限也有类似的运算法则当时， 则(1) (2) (3) ，其中例2 求极限 解 三、二元函数的连续性像一元函数一样，可以利用二重极限来给出二元函数连续的概念1二元函数连续的概念定义1 如果当点趋向点时，函数的二重极限等于在点处的函数值，则称函数在点处连续。如果在区域的每一点都连续，那末称它在区域连续。二元连续函数的和，差，积，商(分母不为零）和复合函数仍是连续函数。一切多元初等函数在其定义区域内是连续的（多元初等函数是指由常数及其具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算得到的可用一个式子表示的多元函数）。如果二元函数连续，又在其定义域内时，当在定义域内求函数在的极限，可把用直接代入计算二元函数在点的函数值，即为其极限。例3 求极限 解 2多元函数连续性的性质性质（有界性及最大值与最小值定理）1 在有界的闭区域上的多元连续函数，必定在上有界，且取得最大值与最小值。性质（介值定理）2 在有界的闭区域上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值。性质（一致连续性定理）3 在有界的闭区域上的多元连续函数，必定在上一致连续性。3二元函数间断性定义2 如果函数在不满足连续的定义，那末我们就称是的一个间断点。二元函数间断点的产生与一元函数的情形类似，但是二元函数间断的情况要比一元函数复杂，它除了有间断点，还有间断线。例4 求函数的间断线解 与都是函数的间断线。§8.3 偏导数在一元函数中，导数就是函数的变化率。对于二元函数同样要研究它的“变化率”。然而，由于自变量多了一个，情况就要复杂的多。在平面内，当变点由沿不同方向变化时，函数的变化快慢一般说来时不同的，因此就需要研究在点处沿不同方向的变化率。一、偏导数的概念若点只沿着平行于轴和平行于轴两个特殊方位变动时，函数有变化率。则其变化率叫做偏导数。1函数在点的偏导数定义1 设有二元函数，点是其定义域内一点，把固定在，而让在有增量，相应地函数有增量(称为对的偏增量)如果与之比当时的极限存在，则此极限值称为函数在处对的偏导数，记作或注 函数)在处对的偏导数，是把固定在，实际上就是把看成常数后，二元函数的偏导数就转化为一元函数在处的导数。同样，把固定在，让有增量，如果极限存在，则此极限称为函数在处对的偏导数，记作或2函数的偏导函数当函数在的两个偏导数与都存在时，则称在处可导。如果函数在域的每一点均可导，那末称函数在域可导。此时，对应于域的每一点，必有一个对(对)的偏导数，因而在域确定了一个新的二元函数，称为对(对)的偏导函数。简称偏导数。定义2 如果函数在区域内每一点处对的偏导数都存在，且是的函数，则称它为函数对自变量的偏导函数，简称为偏导数，记作 或类似地，可以定义函数对自变量的偏导函数，记作 或3偏导数的求法求时，只要把其它自变量看成常数而对求导数即可；求时，只要把其它自变量看成常数，对求导数即可。这是因在求偏导数时只有一个变量在变，其它变量固定的原因，故可按一元函数的求导方法求之。例1 求的偏导数解 把看作常量对求导数，得把看作常量对求导数，得例2 求的偏导数。解 根据二元函数的偏导数的求法来做。把和看成常量对求导，得把和看成常量对求导，得.把和看成常量对求导，得例3 求函数在点处的两个偏导数解 ，例4 设，求证证明 ， +例5 设，求证证明 同理 ， 例6 函数，求和解 同理 注 （1）偏导数符号、是一个整体的记号，不能认为是与、与的商。（2）函数在点的偏导数实在是偏导函数在点的函数值（3）对二元函数)在处的偏导数存在，但不能保证函数在该点的极限存在，如例6。（4）二元函数偏导数的定义和求法可以推广到三元和三元以上函数。（5）函数在某点处两个偏导数都存在，但函数不一定可微连续。如在点处的两个偏导数都存在，但函数点处不连续。4导数的几何意义设为曲面上的一点，过作平面，截此曲面得一条曲线，此曲线在平面上的方程为，则导数，即二元函数在点处对的偏导数的几何意义就是这曲线在点处的切线对轴的斜率；同样地，偏导数的几何意义就是这曲线在点处的切线对轴的斜率。二、高阶偏导数设函数在区域内具有偏导数，那么在内、都是的函数，若这两个偏导函数的偏导函数也存在，则称它们的偏导数是函数二阶偏导数。即如果二元函数的偏导数与仍然可导，那么这两个偏导函数的偏导数称为的二阶偏导数。二元函数的二阶偏导数有四个；.其中第二、三两个偏导数称为混合偏导数。类似地，可定义三阶、四阶、以及阶偏导数，二阶及二阶以上的偏导数就称为高阶偏导数，而把与称为一阶偏导数。定理 如果函数的两个混合偏导数与在区域内连续，那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等。注 （1）该定理说明，二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关。（2）与的区别在于：前者是先对求偏导，然后将所得的偏导函数再对求偏导；后者是先对求偏导再对求偏导例7 求函数的二阶偏导数.解 ，§8.4 全微分我们已经学习了一元函数的微分的概念了，现在用类似的思想方法来学习多元函数的全增量，从而把微分的概念推广到多元函数。1全微分的概念这里我们以二元函数为例。定义 如果二元函数在点处的全增量可以表示为其中、与、无关的常数，是的高阶无穷小，即，则称为函数在点处的全微分，记为。即此时称函数在点处可微。若函数在区域内每一点都可微，则称函数在区域内可微。定理1（可微的必要条件） 如果函数在点处可微，则函数在点处偏导数、存在，且证明 因为函数在点处可微，则函数的全增量为其中、与、无关，（）当时，函数对的偏增量为此时，于是有故同理由定理1可知，函数在点处可微时，则规定 ，分别称为自变量、的微分，则函数在点的全微分为函数的全微分为2可微一定连续若函数在点处可微，所以且（）则故函数在点处连续。定理2 如果函数在点处可微，则函数在点处连续。例1 均存在，但在点不可微，且不存在，即在点不连续。例2 ，这是上半圆锥，显然在点连续，但故不存在。由的对称性，不存在。从而，在点不可微（否则，均存在）。3可微与可导的关系一元函数在某点导数存在是微分存在的充分必要条件，但对于多元函数则不同。当函数的各偏导数都存在时，虽然能形式地写成，但它与之差并不一定是较高阶的无穷小，因为它不一定是函数的全微分。即各偏导数存在只是全微分存在的必要条件而不是充分条件。定理1也说明了函数可微，则函数在某点处两个偏导数都存在；但反之不成立，即函数在某点处的两个偏导数都存在，但函数不一定可微。如在点处的两个偏导数都存在，但函数点处不可微。这是与一元函数的区别（一元函数可微与可导是等价的）。例3：，由的对称性，。（）故在点可微。且取点列，显然故不存在，从而在点不连续。由的对称性，在点也不连续。对一元函数，可微与可导是等价的，即：可微可导。但对二元函数，可微与偏导存在并不等价，即：可微偏导存在，反之未必。应特别引起注意。4可微的充分条件定理3（可微的充分条件） 如果函数在点的某一邻域内处偏导数、连续，则函数在点处可微。注意 在找函数相应的全增量时，为了使与偏导数发生关系，我们把由变到的过程分为两部：先由点变到点，再变到点，其过程如下图所示。或者先由点变到点，再变到点。例1 求的全微分解 由于所以例2 求函数的全微分解 由于所以例3 求函数的全微分解 由于所以5全微分形式的不变性设函数具有连续的偏导数，则全微分为.如果、又是、的函数，即、，且这两个函数具有连续的偏导数，则复合函数的全微分为，将，代入得由此可见，无论在自变量、的函数还是中间变量、的函数，它的全微分形式是一样的，这个性质就叫做全微分形式的步变性。§8.5 多元复合函数的求导法在一元函数中，复合函数的求导公式在求导法中所起的重要作用，对于多元函数来说也是如此。下面我们来学习多元函数的复合函数的求导公式。我们先以二元函数为例：一全导数（复合函数的中间变量均为一元函数的情形）由二元函数和两个一元函数，复合起来的函数是的一元函数。此时复合函数的导数就是一个一元函数的导数，称为全导数定理1 如果一元函数与在点处均可导，二元函数在点的对应点处有一阶连续偏导数，。则复合函数在对的导数存在，且证明 给以增量，则相应的增量为，从而的全增量为由于已知函数在点处有一阶连续偏导数，因此可微。且，其中又一元函数与均可导，所以与连续，则故因此，从而有用同样的方法可把定理推广到复合函数的中间变量多余两个的情形。比如，由，构成的复合函数，在与定理相类似的条件下，则复合函数在点可导，且有.例1 若，求解 由于，所以注 全导数实际上是一元函数的导数，只是求导的过程是借助于偏导数来完成而已。二多元复合函数的求导法1复合函数的中间变量均为多元函数的情形定理2 如果函数及都在点具有对及对的偏导数，函数在对应点具有连续偏导数，则复合函数在点偏导数存在，且有 ， .类似用同样的方法，设、及都在点具有对及对的偏导数，函数在对应点具有连续偏导数，则复合函数在点的两个偏导数都存在，且有，.例2 若，求解 由于，所以注 定理2在求时，将看作常量，因此中间变量及仍看作一元函数而应用定理1，但由于复合函数以及和都是、的二元函数，所以应把定理1中的改成，再把同时换成或同时换成即得定理2.2复合函数的中间变量既有一元函数，又有多元函数的情形定理3 如果函数在点具有对及对的偏导数，函数在点可导，函数在对应点具有连续偏导数，则复合函数在点的两个偏导数都存在，且有 ， 定理3的特例 设函数具有连续的偏导数，而具有偏导数，则复合函数具有对及对的偏导数，且 ， 注 定理3是定理2的特例；这里与是不同的，是把复合函数中的看作不变而对的偏导数，是把中的及看作不变而对的偏导数。与也有类似的区别。例3 若，求解 设 则由于所以例4 若，求解 §8.6 隐函数的求导一隐函数的简介一个二元方程可以确定一个一元隐函数；一个三元方程可以确定一个二元隐函数；由方程组=0、=0可确定一个二元函数。二一元隐函数的求导将代入方程得对求导得若时，则隐函数存在定理1 设函数在点的某一邻域内具有连续偏导数，且，则方程在点的某一邻域内恒能确定一个连续且具有连续导数的函数，它满足条件，并有。例1 设，求解 设，得所以三二元隐函数的求导设方程确定了二元隐函数，若连续，且。将代入方程得两端分别对和求导得因为，所以，隐函数存在定理2 设函数在点的某一邻域内具有连续偏导数，而且，则方程在点的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数，它满足条件，并有，.例2 设，求解 设，得所以故例3 设，求解 设，得 故例4 设，证明，其中为常数，可微（）。证明 两端分别对求导得同理所以隐函数存在定理3 设函数、在点的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又，且偏导数组成的函数行列式（即雅可比（jacobi）式）在点不等于零，则方程组=0、=0在点的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续导数的函数，它满足条件，并有 。§8.7 多元函数的极值在一元函数中我们看到，利用函数的导数可以求得函数的极值，从而可以解决一些最大、最小值的应用问题。多元函数也有类似的问题，这里我们只学习二元函数的极值问题。一二元函数极值1二元函数极值的概念定义1 如果在的某一去心邻域内的一切点恒有等式成立，那末就称函数在点处取得极大值如果恒有等式成立，那末就称函数在点处取得极小值。极大值与极小值统称极值.使函数取得极值的点(x0,y0)称为极值点2二元函数在取得极值的必要条件定理 二元可导函数在取得极值的条件是注意：此条件只是取得极值的必要条件。定义2 凡是使的点称为函数的驻点。可导函数的极值点必为驻点，但驻点却不一定是极值点。3二元函数极值判定的方法定理 设是函数的驻点，且函数在的某一邻域内有连续的二阶偏导数。令则（1）当时，是极大值当时，是极小值（2）当时，不是极值（3）当时，可能是极值，也可能不是极值。列表如下0A0时取极大值A0时取极小值0非极值=0不定4二元函数极值判定的方法（1）求一、二阶导数和偏导数（2）求驻点（3）计算（4）确定极值。例1：求的极值。解： 解方程组，得驻点(1,1),(0,0)对于驻点(1,1)有，故因此，在点(1,1)取得极小值对于驻点(0,0)有，故因此，在点(0,0)不取得极值二多元函数的最大、最小值问题我们已经知道求一元函数极大值、极小值的步骤，对于多元函数的极大值、极小值的求解也可采用同样的步骤。下面我们给出实际问题中多元函数的极大值、极小值求解步骤。（1）根据实际问题建立函数关系，确定其定义域；（2）求出驻点；（3）结合实际意义判定最大、最小值.例2 在平面求一点，使它与坐标原点的距离最短。解 （1）先建立函数关系，确定定义域求解与原点的距离最短的问题等价于求解与原点距离的平方最小的问题。但是点位于所给的平面上，故。把它代入上式便得到所需的函数关系，（2）求驻点解得唯一驻点。由于点在所给平面上，故可知（3）结合实际意义判定最大、最小值由问题的实际意义可知，原点与平面距离的最小值是客观存在的，且这个最小值就是极小值.而函数仅有唯一的驻点。所以，平面上与原点距离最短的点为。从上例我们可以看出，上面函数关系也可看成是求三元函数在约束条件下的最小值。一个多元函数在一个或几个约束条件下的极值称为条件极值。§8.8 微分在几何上的应用1空间曲线的切线与法平面定义 是空间曲线上的一点，是曲线上的又一点，当沿着曲线趋近于点时，割线的极限位置称为曲线在点处的切线。以切线为法线且过点的平面称为曲线在点处的法平面。若空间曲线的方程为在时，对应空间曲线上的一点是，在处给的增量为，则对应空间曲线上的点是，那么割线的方程为上式在时的极限即为切线的方程。因此，如果空间曲线的参数方程为则在曲线上点的切平线方程为法平面方程为其中。例1 求螺旋线在处的切线方程和法平面方程。解 切平线方程为法平面方程为即例2 求曲线：在处的切线方程和法平面方程。解 令，则曲线为故在处曲线的切平线方程为法平面方程为即2空间曲面的切平面与法线定义2 设是曲面上的一点，如果过点且在曲面上的任何曲线在点处的切线都在同一平面上，则称该平面为曲面在点处的切平面。过点且垂直于切平面的直线，称为曲面点处的法线。设曲面的方程为，在曲面上点处切平面的法向量为同时为切平面内一向量。则在曲面上点处的切平面方程为法线方程为设曲面的方程为，则在上的点处的切平面方程为法线方程为例3 求圆锥面在处的切平面方程和法线方程。解 圆锥面在点处的切平面方程为即法平面方程为即例4 问球面上哪一点的切平面与平面平行？解 因为，又切平面与平面平行设切点为，则故则切平面为32