计算机图形学04.ppt

,计算机图形学,Computer Graphics,使用班级：地信2009级 王增武 WangZTel:13518208752QQ:64434430,第四章 图形变换,4.1 图形变换的数学基础4.2 窗口视图变换4.3 图形的几何变换4.4 形体的投影变换4.5 三维线段裁剪,第四章 图形变换,4.1 图形变换的数学基础4.2 窗口视图变换4.3 图形的几何变换4.4 形体的投影变换4.5 三维线段裁剪,4.1 图形变换的数学基础,矢量（vector)矩阵齐次坐标,矢量（vector),矢量是重要数学工具之一，利用矢量来描述具有许多的优点：形式简单；与坐标系的选择无关；,1.矢量的定义有些物理量(如位移、速度、加速度、力等）需要同时指明其大小和方向，进行相加运算时遵从平行四边形法则，这类量称为矢量（vector)。矢量的特点：由大小和方向（magnitude and direction）唯一地确定，平行一动不会改变一个矢量。平行四边形相加法则；vector algebra 有些物理量（如质量、温度、电量等）只需用包含正负的数字来表征，这类量称为标量（scalar)，标量遵从代数运算法则。标量的特点：用包含正负的数就可充分描述；遵从代数运算法则；,矢量（vector),2.矢量的表示矢量几何表示：从几何的观点看，可用有方向的线段来表示矢量，线段的长度表示该矢量的大小，箭头的方向表示该矢量的方向矢量的书写：习惯上，书写时在字母上方加一箭头代表矢量，如印刷时用黑体字母表示矢量，如 A,矢端,矢尾,矢量及其表示,3.有关矢量的定义矢量的模：矢量的大小称为矢量的模，矢量A的模，记为|A|注：在不致引起混淆的情况下，可用斜体字母表示矢量的模：A矢量相等(Equality of two vectors):具有相同长度和相同方向的两个矢量彼此相等。零矢量（zero vector)：模等于零的矢量称为零矢量，记为 零矢量的方向是任意的。单位矢量（unit vector)：若一个矢量的长度为1单位，则该矢量称为单位矢量例如：沿直角坐标系xyz轴的正向，取单位矢量，记作利用矢量的模和延矢量方向的单位矢量A0可将矢量A表示为A=|A|A0,矢量及其表示,定义:矢量A与实数m的乘积仍是一个矢量,记为mAmA的大小:|mA|=|m|A|mA的方向:m0:与A同向;m0:与A反向;m=0:零矢量m=-1:mA=-A,其中,-A表示一个与A大小相等方向相反的矢量性质:分配律:(associative law)交换律:(commutative law),矢量的数乘,在力学中,经常遇到矢量的加减运算,如求作用在质点上的力的合力、已知两个时刻质点的位置求这段时间内质点的位移等矢量的运算与标量的运算有很大的不同，除考虑其大小外还必须考虑其方向。1.两个矢量的加法：定义：C=A+BC：A和B的矢量和;A,B:C的分量运算方法：平行四边形法则：将B矢量平移，使A和B的矢尾相连，由A和B为邻边所构成的平行四边形的对角线即为和矢量C,B,A,平移,B,A,C,矢量的加法和减法,简化为三角形法则：将B矢量的矢尾与A矢量的矢端相连，从A的矢尾到B的矢端做矢量,则该矢量即为欲求的和矢量CC的大小和方向:由余弦定理:由正弦定理 求出角,或者2.多个矢量的加法先求出F1和F2的和矢量F12，再求F12与F3的和矢量F123，依次类推3.矢量加法的性质：交换律(commutative law):A+B=B+A结合律(associative law):(A+B)+C=A+(B+C),A,B,C,-,矢量的加法和减法,.两矢量的减法：定义：C=A-B=A+(-B)即两矢量A和B的矢量差C可看成为矢量A和矢量(-B)的矢量和运算方法：平行四边形法则：以A和(-B)为邻边做平行四边形，其对角线即为矢量差C三角形法则：将A和B的矢尾相接，由B的矢端向A的矢端做矢量，则该矢量即为矢量差C,A,B,A,B,-B,C,A,B,C,矢量的加法和减法,定义矢量和的标积是一个标量，记为，定义为其中为两矢量间的夹角标积随角度的不同可为正值、负值或零性质：交换律(commutative law):分配律(distributive law):结合律(associative law):,矢量的标积（点积）,定义：矢量和的矢积为一矢量，记为的大小：以和为邻边所决定的平行四边形的面积其中为和的夹角，规定总是小于当或时（），当的方向：垂直于和所决定的平面，三矢量构成右手螺旋系统矢积运算的性质,矢量的矢积（叉积）,矢量的分解,矢量,x,y,z,变换的数学基础,矩阵 阶矩阵n阶方阵零矩阵行向量与列向量单位矩阵矩阵的加法 矩阵的数乘 矩阵的乘法 矩阵的转置 矩阵的逆,矩阵的含义矩阵：由mn个数按一定位置排列的一个 整体，简称mn矩阵。,A=,其中，aij称为矩阵A的第i行第j列元素,变换的数学基础,矩阵运算加法设A，B为两个具有相同行和列元素的矩阵A+B=数乘kA=k*aij|i=1.m,j=1,.n,变换的数学基础,乘法设A为23矩阵，B为32矩阵 C=A B=C=Cmp=Am n Bnp cij=aik*bkj单位矩阵 在一矩阵中，其主对角线各元素aii=1,其余皆为0的矩阵称为单位矩阵。n阶单位矩阵通常记作In。Am n=Am n In,k=1,n,变换的数学基础,逆矩阵若矩阵A存在AA-1=A-1A=I，则称A-1为A的逆矩阵矩阵的转置 把矩阵A=(aij)mn的行和列互换而得到的nm矩阵称为A的转置矩阵,记作AT。(AT)T=A(A+B)T=AT+BT(aA)T=aAT(AB)T=BT AT 当A为n阶矩阵，且A=AT，则 A是对称矩阵。,变换的数学基础,矩阵运算的基本性质交换律与结合律师 A+B=B+A;A+(B+C)=(A+B)+C数乘的分配律及结合律 a(A+B)=aA+aB;a(A B)=(aA)B=A(aB)(a+b)A=aA+bA a(bA)=(ab)A,变换的数学基础,矩阵乘法的结合律及分配律 A(B C)=(A B)C(A+B)C=A C+B C C(A+B)=C A+C B矩阵的乘法不适合交换律,变换的数学基础,所谓齐次坐标表示法就是由n+1维向量表示一个n维向量。如n维向量(P1,P2,Pn)表示为（hP1,hP2,hPn,h），其中h称为哑坐标。1、h可以取不同的值，所以同一点的齐次坐标不是唯一的。如普通坐标系下的点（2,3）变换为齐次坐标可以是(1,1.5,0.5)(4,6,2)(6,9,3)等等。2、普通坐标与齐次坐标的关系为“一对多”由普通坐标h齐次坐标由齐次坐标h普通坐标 3、当h=1时产生的齐次坐标称为“规格化坐标”，因为前n个坐标就是普通坐标系下的n维坐标。,齐次坐标,齐次坐标,(x,y)点对应的齐次坐标为(x,y)点对应的齐次坐标为三维空间的一条直线,1.将各种变换用阶数统一的矩阵来表示。提供了用矩阵运算把二维、三维甚至高维空间上的一个点从一个坐标系变换到另一坐标系的有效方法。2.便于表示无穷远点。例如：（x h,y h,h)，令h等于03.齐次坐标变换矩阵形式把直线变换成直线段，平面变换成平面，多边形变换成多边形，多面体变换成多面体。4.变换具有统一表示形式的优点便于变换合成便于硬件实现,齐次坐标的作用,第四章 图形变换,4.1 图形变换的数学基础4.2 窗口视图变换4.3 图形的几何变换4.4 形体的投影变换4.5 三维线段裁剪,4.2 窗口视图变换,用户域和窗口区1 用户域：程序员用来定义草图的整个自然空间(WD)a 人们所要描述的图形均在用户域中定义。b 用户域是一个实数域，理论上是连续无限的。2 窗口区：用户指定的任一区域(W)a 窗口区W小于或等于用户域WD b 小于用户域的窗口区W叫做用户域的子域。c 窗口可以有多种类型，矩形窗口、圆形窗口、多边形窗口等等 d 窗口可以嵌套，即在第一层窗口中可再定义第二层窗口，在第I层窗口中可再定义第I+1层窗口等等。,窗口视图变换,1 屏幕域(DC)：设备输出图形的最大区域，是有限的整数域。如图形显示器分辨率为1024768DC0.10230.7672 视图区：任何小于或等于屏幕域的区域 a 视图区用设备坐标定义在屏幕域中 b 窗口区显示在视图区，需做窗口区到视图区的坐标转换。c 视图区可以有多种类型：圆形、矩形、多边形等。d 视图区也可以嵌套。,窗口区和视图区的坐标变换,设窗口的四条边界WXL,WXR,WYB,WYT视图的四条边界VXL,VXR,VYB,VYT则用户坐标系下的点（即窗口内的一点）(Xw,Yw)对应屏幕视图区中的点（Xs,Ys），其变换公式为,窗口区和视图区的坐标变换,简化为：1)当ac时，即x 方向的变化与y方向的变化不同时，视图中的图形会有伸缩变化，图形变形。2)当a=c=1，b=d=0则Xs=Xw,Ys=Yw,图形完全相同。思考：前面讲的窗口视图变换时，假设窗口的边和坐标轴平行，如果窗口的边不和坐标轴平行呢？,窗口区和视图区的坐标变换,A.先让窗口FGHI转-角，使它和FGHI重合。B.用(1)式进行计算。,图形变换是计算机图形学基础内容之一。几何变换，投影变换，视窗变换线性变换，属性不变，拓扑关系不变。作用：把用户坐标系与设备坐标系联系起来；可由简单图形生成复杂图形；可用二维图形表示三维形体；动态显示。,图形变换,二维图形的显示流程图,坐标系统,1.世界坐标系(World Coordinates)为了描述被处理的对象，要在对象所在的空间中定义一个坐标系，这个坐标系的长度单位和坐标轴的方向要适合对被处理对象的描述，这个坐标系通常就称之为世界坐标系或用户坐标系。世界坐标系一般采用右手三维笛卡儿坐标系。,x,y,z,o,坐标系统（续）,2.观察坐标系(View Coordinates)产生三维物体的视图，必须规定观察点(视点)和观察方向。好比照相时选择拍摄的位置和方向。左手笛卡儿坐标系(上图)：观察坐标系的原点通常设置在观察点(视点)，Z轴作为观察方向。右手笛卡儿坐标系：视点确定在Z轴上的某一个位置，Z轴仍为观察方向(下图)。,x,y,z,o,x,y,z,o,视点,视点,坐标系统（续）,3.设备坐标系(Device Coordinates)与图形设备相关连的坐标系叫设备坐标系。例如，显示器以分辨率确定坐标单位，原点在左下角或左上角；绘图机绘图平面以绘图精度确定坐标单位，原点一般在左下角。4.规格化设备坐标系(Normal Device Coordinates)为了使图形处理过程做到与设备无关，通常采用一种虚拟设备的方法来处理，也就是图形处理的结果是按照一种虚拟设备的坐标规定耒输出的。这种设备坐标规定为0X1，0Y1，这种坐标系称之为规格化设备坐标系。,规格化变换与设备坐标变换,规格化变换,从窗口到视区的变换，称为规格化变换(Normalization Transformation)。,x,y,o,W(窗口),x,y,o,V(视图区),wxL,wxR,wyB,wyT,vxL,vxR,vyB,vyT,(wx,wy),(vx,vy),规格化变换与设备坐标变换(续),规格化变换,vx vxL wx wxL 由两图的比例关系：vxR vxL wxR wxL vy vyB wy wyB vyT vyB wyT wyB可得：vxR vxL wxR wxL vyT vyB wyT wyB,=,=,vx=,(wx wxL)+vxL,vy=,(wy wyB)+vyB,规格化变换与设备坐标变换(续),窗口操作,视野的变化(zooming)。,摇镜头(panning)。,多重窗口(multiple window)。,规格化变换与设备坐标变换(续),从规格化坐标(NDC)到设备坐标(DC)的变换,通常采用的公式,xDCSxxNDCdx，yDCSyyNDCdy,方向的考虑,对设备坐标中像素中心的变换,第四章 图形变换,4.1 图形变换的数学基础4.2 窗口视图变换4.3 图形的几何变换4.4 形体的投影变换4.5 三维线段裁剪,图形的几何变换,图形变换：对图形的几何信息经过几何变换后产生新的图形。图形变换的两种形式：1.图形不变，坐标系改变；2.图形改变，坐标系不变。我们所讨论的是针对坐标系的改变而讲的。,4.3.1 二维图形几何变换,一、基本变换 平移(Translation),x=x+xy=y+y,将图形对象从一个位置(x,y)移到另一个位置(x，y)的变换。,(x,y),(x,y),(Tx,Ty),x,4.3.1 二维图形几何变换(续),一、基本变换 旋转(Rotation),x=xr+(xxr)cos(yyr)sin,将以某个参考点(xr,yr)为圆心，将对象上的各点(x,y)围绕圆心转动一个逆时针角度，,y=yr+(yyr)cos+(xxr)sin,x,y,f,q,(x,y),(x,y),4.3.1 二维图形几何变换(续),一、基本变换 变比(Scaling),使对象按比例因子(Sx,Sy)放大或缩小的变换,x=x Sxy=y Sy,(x,y),(x,y),x,y,固定点变比(scaling relative to a fixed point)。以a为固定点1(1)作平移Tx=xa，Ty=ya；2(2)按式(3.3)作变比；3(3)作1)的逆变换，即作平移Tx=xa，Ty=ya。,当比例因子Sx或Sy小于0时，对象不仅变化大小，而且分别按x轴或y轴被反射,4.3.1 二维图形几何变换(续),一、基本变换 变比(Scaling),4.3.1 二维图形几何变换(续),二、变换矩阵,平的矩阵运算表示为(3.2)简记为p=pT(Tx,Ty)。其中，p=x y 1，p=x y 1。,表示平移矩阵。,4.3.1 二维图形几何变换(续),二、变换矩阵,旋转的矩阵运算表示为(3.2)简记为p=pR()，其中R()表示旋转矩阵。,4.3.1 二维图形几何变换(续),二、变换矩阵,变比的矩阵运算表示为(3.3)简记为p=pS(Sx,Sy)，其中(Sx,Sy)表示变化矩阵。,4.3.1 二维图形几何变换(续),三、级联变换(Composite Transformation),对于复杂的图形变换，需要通过若干个变换矩阵的级联才能实现。这里特别要注意的是矩阵级联的顺序，由于矩阵的乘法运算不适用交换率，因此矩阵级联的顺序不同所得到的变换结果也不相同。例如：对任意直线的对称变换（直线方程为 Ax+By+C=0）,y,o,4.3.1 二维图形几何变换(续),三、级联变换(Composite Transformation),x,y,o,x,y,o,1 0 0 T1=0 1 0 C/A 0 1,cos sin 0T2=sin cos 0 0 0 1,4.3.1 二维图形几何变换(续),三、级联变换(Composite Transformation),x,y,o,x,y,o,x,y,o,1 0 0T3=0-1 0 0 0 1,cos sin 0T4=sin cos 0 0 0 1,1 0 0 T5=0 1 0 C/A 0 1,4.3.1 二维图形几何变换(续),三、级联变换(Composite Transformation),组合变换矩阵为：,cos2 sin2 0T=T1T2T3T4T5=sin2 cos2 0(cos2-1)C/A sin2*C/A 1,4.3.1 二维图形几何变换(续),四、二维几何变换的指令,建立变换矩阵的指令为creat_transformation_matrix(xf,yf,Sx,Sy,xr,yr,Tx,Ty,matrix)；,积累变换的指令为accumulate_transformation_matrix(matrix1,matrix2,matrix);,坐标变换的指令为set_segment_transformation(Id,matrix);,4.3.2 三维图形几何变换,旋转,1)绕z轴旋转的公式为x=xcos ysin y=xsin+ycos z=z矩阵运算的表达式为,x,z,(x,y,z),(x,y,z),4.3.2 三维图形几何变换(续),旋转,2)绕x轴旋转的公式为x=xy=ycos zsin z=ysin+zcos 矩阵运算的表达式为,(x,y,z),(x,y,z),x,y,z,4.3.2 三维图形几何变换(续),旋转,3)绕y轴旋转的公式为 x=zsin+xcos y=yz=zcos xsin 矩阵运算的表达式为,(x,y,z),(x,y,z),x,y,z,4.3.2 三维图形几何变换(续),旋转,4)绕任意轴旋转,绕任意轴P1P2旋转的前4个步骤,4.3.2 三维图形几何变换(续),变比,设Sx、Sy、Sz是物体在3个坐标轴方向的比例变化量，则有公式x=xSx，y=ySy，z=zSz矩阵运算的表达式为,4.3.3 参数图形几何变换(续),圆锥曲线的几何变换,圆锥曲线的二次方程是Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0，其相应的矩阵表达式是简记为XSXT=0。,平移变换。若对圆锥曲线进行平移变换，平移矩阵是Tr=，则平移后的圆锥曲线矩阵方程是XTrSTrTXT=0。,4.3.3 参数图形几何变换(续),圆锥曲线的几何变换,旋转变换。若对圆锥曲线相对坐标原点作旋转变换，旋转变换矩阵是R=，则旋转后的圆锥曲线矩阵方程是XRSRTXT=0。若对圆锥曲线相对(m,n)点作旋转角变换，则旋转后的圆锥曲线是上述Tr、R变换的复合变换，变换后圆锥曲线的矩阵方程是XTrRSRTTrTXT=0。比例变换。若对圆锥曲线相对(m,n)点进行比例变换，比例变换矩阵为ST=，则变换后圆锥曲线的矩阵方程是XTrSTSSTTTrTXT=0。,4.3.3 参数图形几何变换(续),参数曲线、曲面的几何变换,若指定一个平移矢量t，对曲线平移t，即对曲线上的每一点P都平移t。对平移后的点P*有P*=P+t对于参数曲线和曲面的几何系数矩阵B和代数系数矩阵A，可以直接实现平移变换，即有B*=B+T，T=t t 0 0TB*是经平移后参数曲线的几何系数矩阵，变换结果如图所示。,第四章 图形变换,4.1 图形变换的数学基础4.2 窗口视图变换4.3 图形的几何变换4.4 形体的投影变换4.5 三维线段裁剪,三维图形的基本问题,1.在二维屏幕上如何显示三维物体？显示器屏幕、绘图纸等是二维的显示对象是三维的解决方法-投影三维显示设备正在研制中,三维图形的基本问题,2.如何表示三维物体？二维形体的表示-直线段,折线,曲线段,多边形区域二维形体的输入-简单（图形显示设备与形体的维数一致）三维形体的表示-空间直线段、折线、曲线段、多边形、曲面片三维形体的输入、运算、有效性保证-困难解决方法-各种用于形体表示的理论、模型、方法,三维图形的基本问题,3.如何反映遮挡关系？物体之间或物体的不同部分之间存在相互遮挡关系遮挡关系是空间位置关系的重要组成部分解决方法-消除隐藏面与隐藏线,三维图形的基本问题,4.如何产生真实感图形?何谓真实感图形逼真的示意的人们观察现实世界产生的真实感来源于空间位置关系-近大远小的透视关系和遮挡关系光线传播引起的物体表面颜色的自然分布解决方法-建立光照明模型、开发真实感图形绘制方法,三维图形的基本问题,三维图形的基本研究内容投影三维形体的表示消除隐藏面与隐藏线建立光照明模型、开发真实感图形绘制方法,投影变换,投影(project)是一种使三维对象映射为二维对象的变换。它可描述为project(object(x,y,z)object(x,y,z)投影的要素除投影对象、投影面外，还有投影线。按照投影线角度的不同，有两种基本投影方法：平行投影(parallel projection)。它使用一组平行投影将三维对象投影到投影平面上去。透视投影(perspective projection)。它使用一组由投影中心产生的放射投影线，将三维对象投影到投影平面上去。,平面几何投影,透视投影,平行投影,平面几何投影-平行投影,平行投影 投影中心与投影平面之间的距离为无限，因此，只需给出投影方向即可是透视投影的极限状态,平面几何投影,投影分类,投影中心与投影平面之间的距离为无限,投影中心与投影平面之间的距离为有限,根据投影方向与投影平面的夹角,根据投影平面与坐标轴的夹角,平面几何投影-平行投影,根据投影线方向与投影平面的夹角，平行投影分为两类：正平行投影与斜平行投影,1 平行投影-正交平行投影(orthographic P.P.),正投影的投影面与某一坐标轴垂直，而投影方向与该坐标轴的方向一致。正投影的图形，在长宽高三个方向上的比例与实物保持一致，因此，常用于工程制图。,y,x,z,主视图,侧视图,俯视图,平面几何投影-平行投影,三视图：正视图、侧视图和俯视图,正平行投影-三视图,把三维空间的图形在三个方向上所看到的棱线分别投影到三个坐标面上。再经过适当变换放置到同一平面上。,z,y,x,a2,c2,b2,a1,b1,c1,正平行投影-三视图,变换矩阵(其中(a,b)为u、v坐标下的值)正视图（主视图）,正平行投影-三视图,俯视图：,正平行投影-三视图,侧视图,正轴测投影,当投影方向不取坐标轴方向，投影平面不垂直于坐标轴时，产生的正投影称为正轴测投影。正轴测投影分类：正等测：投影平面与三个坐标轴的交点到坐标原点的距离都相等。沿三个轴线具有相同的变形系数。,正轴测投影,正二测：投影平面与两个坐标轴的交点到坐标原点的距离都相等。沿两个轴线具有相同的变形系数。,正轴测投影,正三测：投影平面与三个坐标轴的交点到坐标原点的距离都不相等。沿三个轴线具有各不相同的变形系数。,正轴测投影,正轴测投影的形成过程如下：将空间一立体绕绕y轴旋转y角然后再绕x轴旋转x最后向z=0平面做正投影由于这种投影的投影平面不与立体的轴线垂直，同时可见到物体的多个面，因而可产生立体效果。经过正轴测投影变换后，物体线间的平行性不变，但角度有变化。,正轴测投影,正轴测投影变换矩阵的一般形式：,正二测和正等测,下面主要讨论正二测和正等测的投影变换矩阵，即确定变换矩阵中的x角和y角。如何度量沿三个轴线方向的变形系数呢？,正二测和正等测,正二侧投影需满足：假定Z轴上的单位矢量经变换后长度变为1/2；即取Z轴的变形系数恒为1/2：可得：x=20。42,y=19。28。变换矩阵为,正二测和正等测,正等侧投影需满足：求得：正等测图的变换矩阵为,2 平行投影-斜平行投影(oblique P.P.),正投影与斜投影,投影线与投影平面成交角,斜平行投影,投影线与投影平面不垂直斜等测投影投影平面与一坐标轴垂直投影线与投影平面成45角与投影平面垂直的线投影后长度不变斜二测投影投影平面与一坐标轴垂直投影线与该轴夹角成 arcctg(1/2)角该轴轴向变形系数为。即与投影平面垂直的线投影后长度变为原来的一半。,斜平行投影,斜等测投影和斜二测投影,斜平行投影求法,1 已知投影方向矢量为（xp,yp,zp）设形体被投影到XOY平面上形体上的一点(x,y,z)在xoy平面上投影后(xs,ys)投影方向矢量为(xp,yp,zp)投影线的参数方程为：,y,z,x,(xs,ys),(x,y,z),(xp,yp,zp),斜平行投影求法,因为所以若令,y,z,x,(xs,ys),(x,y,z),(xp,yp,zp),斜平行投影求法,则矩阵式为：,斜平行投影求法,2设（xe,ye,ze）为任一点，（xs,ys）为（xe,ye,ze）在XcOcYc平面上的投影设立方体上一点 P(0,0,1)在XcOcYc平面上的投影P(lcos,lsin,0),投影方向为PP,PP与投影面的夹角为,为投影与x轴的夹角，则投影方向矢量为(lcos,lsin,-1),斜平行投影求法,现考虑任一点（xe,ye,ze）在XcOcYc平面上的投影（xs,ys）投影方向与投影线PP平行所以,斜平行投影求法,矩阵形式为：斜等侧中：l=1,=45斜二侧中：l=1/2,=arctg=63.4正平行投影：l=0,=90,4.4 投影变换(续),3 透视投影变换,透视的基本知识,透视投影是一种中心投影法，在日常生活中，我们观察外界的景物时，常会看到一些明显的透视现象。如：我们站在笔直的大街上，向远处看去，会感到街上具有相同高度的路灯柱子，显得近处的高，远处的矮，越远越矮。这些路灯柱子，即使它们之间的距离相等，但是视觉产生的效果则是近处的间隔显得大，远处的间隔显得小，越远越密。观察道路的宽度，也会感到越远越窄，最后汇聚于一点。这些现象，称之为透视现象。产生透视的原因，可用下图来说明：,透视的基本知识,图中，AA,BB,CC为一组高度和间隔都相等，排成一条直线的电线杆，从视点E去看，发现AEABEBCEC若在视点E与物体间设置一个透明的画面P,让P通过AA，则在画面上看到的各电线杆的投影aabbccaa即EA,EA与画面P的交点的连线;bb即为EB，EB与画面P的交点的连线。cc 即为EC，EC与画面P的交点的连线。近大远小,透视的基本知识,若连a,b,c及a,b,c各点，它们的连线汇聚于一点。然而，实际上，A,B,C与A，B，C的连线是两条互相平行的直线，这说明空间不平行于画面(投影面）的一切平行线的透视投影，即a,b,c与a,b,c的连线，必交于一点，这点我们称之为灭点。,平面几何投影-透视投影,透视投影投影中心与投影平面之间的距离为有限灭点：不平行于投影平面的平行线，经过透视投影之后收敛于一点，称为灭点.主灭点:平行于坐标轴的平行线产生的灭点。一点透视两点透视三点透视特点：产生近大远小的视觉效果，由它产生的图形深度感强，看起来更加真实。,透视投影,主灭点数是和投影平面切割坐标轴的数量相对应的,即由坐标轴与投影平面交点的数量来决定的。如投影平面仅切割z轴，则z轴是投影平面的法线，因而只在z轴上有一个灭点，平行于x轴或y轴的直线也平行于投影平面，因而没有灭点。,y,x,z,o,一点透视（平行透视）,人眼从正面去观察一个立方体，当z轴与投影平面垂直时，另两根轴ox,oy轴平行于投影平面。这时的立方体透视图只有一个灭点，即与画面垂直的那组平行线的透视投影交于一点。,二点透视（成角透视）,人眼观看的立方体是绕y轴旋转一个角度之后，再进行透视投影。三坐标轴中oy轴与投影平面平行，而其它两轴与画面倾斜，这时除平行于oy轴的那组平行线外，其它两组平行线的透视投影分别在投影平面的左右两侧，作出的立方体透视图产生两个灭点。,三点透视（斜透视）,此时，投影平面与三坐标轴均不平行。这时的三组平行线均产生灭点。,透视举例,一点透视投影的变换矩阵,1)一点透视设z轴上有一观察点（即视点）V(0,0,h)从V点出发将物体上的点P(x,y,z)投影到XOY平面上得到P(x,y,0)由相似三角形可知：,一点透视投影的变换矩阵,令:,一点透视投影的变换矩阵,这是变换矩阵为的齐次坐标变换 它可以看作是先作变换,一点透视投影的变换矩阵,再做变换 的合成。,一点透视投影的变换矩阵,在透视变换Mr下有：,一点透视投影的变换矩阵,当z时，x 0,y 0,z-h(0,0,-h)为该透视的一个灭点。同样，视点在(h,0,0)的透视变换，灭点在(-h,0,0)变换矩阵为,一点透视投影的变换矩阵,视点在(0,h,0)的透视变换，灭点在(0,-h,0)变换矩阵为,一点透视投影的变换矩阵,在变换矩阵中，第四列的p,q,r起透视变换作用,一点透视投影的变换矩阵,当p、q、r中有一个不为0时的变换。假定q!=0,p=r=0.对空间上任一点(x,y,z)进行透视变换结果如下：对该结果进行规范化处理后，便得：,一点透视变换的几何意义,当y=0时：x=x y=0 z=z 即处于y=0平面上的点，经过透视变换后没有变化。当y=时 x=0 y=1/q z=0 即当y-所有点的变换结果都集中到Y轴的1/q处，也即所有平行于Y轴的直线，变换后都将沿伸相交于该点。该点即为灭点。,二点透视投影的变换矩阵,)二点透视在变换矩阵中，第四列的p,q,r起透视变换作用当p、q、r中有两个不为0时的透视变换称为二点透视变换。假定p!=0,r!=0,q=0;将空间上一点(x,y,z)进行变换，可得如下结果：,二点透视投影的变换矩阵,由上式可看出：当x-时，在X轴上1/p处有一个灭点；当z-时，在Z轴上1/r处有一个灭点；,经齐次化处理后得：,三点透视投影的变换矩阵,)三点透视类似，若p,q,r都不为0，则可得到有三个灭点的三点透视。,经齐次化处理后得：,三点透视投影的变换矩阵,由上式可看出：当x-时，在X轴上1/p处有一个灭点；当y-时，在Y轴上1/q处有一个灭点;当z-时，在Z轴上1/r处有一个灭点；,透视投影的技巧,一点透视图的生成 在生成一点透视图时，为了避免将物体安置在坐标系原点，而产生下图所示的透视效果，通常在透视变换前，先将立体作一平移变换。,透视投影的技巧,其变换过程如下：1）先作平移变换；2）再作透视变换；3）最后将结果投影到投影面。由于往XOZ平面上投影，故一点透视变换的灭点选在Y轴上。以下是其变换公式。,透视投影的技巧,透视投影的技巧,二点透视投影图的生成 当立体经透视变换后，若直接投影到V面上，可能其立体效果并不理想，所以，在透视变换后，对变换结果绕Z轴旋转后，以使物体轴线不与投影面垂直，再向V面上投影其效果会更好。变换过程如下：1）先对立体进行二点透视变换；2）再把变换结果绕Z轴旋转一角度；3）最后将上述变换结果投影到投影面上。,透视投影的技巧,三点透视投影图生成 与二点透视投影图生成变换理由一样，在透视变换后，先对变换结果作旋转变换，以保证透视投影面与物体上的三个坐标轴均不平行，从而获得立体效果更好的透视投影图。变换过程如下：1）首先对物体作三点透视变换；2）将透视变换结果绕Z轴旋转一角度 3）再绕X轴旋转一角；4）将上述结果投影到投影面。,第四章 图形变换,4.1 图形变换的数学基础4.2 窗口视图变换4.3 图形的几何变换4.4 形体的投影变换4.5 三维线段裁剪,4.5 三维线段裁剪,投影面是无限的，实际上投影面上有一个观察窗口，对于一个物体，它的其中一个部分通过投影变换后，很可能落在窗口，因此要将物体经过三维裁剪后，再进行投影变换。延长裁剪空间的六个面，可将空间分成27个空域，对每个域用6位二进制进行编码。设右边为第一位：第一位是1，表示在裁剪空间之上。第二位是1，表示在裁剪空间之下。第三位是1，表示在裁剪空间之右。第四位是1，表示在裁剪空间之左。第五位是1，表示在裁剪空间之后。第六位是1，表示在裁剪空间之前。如果线段两端点的编码都为0，则线段完全落在裁剪空间内。如果线段两端点的编码按位与非0，则线段完全落在裁剪空间外。否则需要计算线段落与裁剪空间平面的交点，裁剪线段，重复前两种判断。,总结,1 图形变换的数学基础2 窗口视图变换3 图形的几何变换4 形体的投影变换,？,作业,习题,