四点共圆(一)精编版.doc

四点共圆【知识要点】四点共圆的判定方法：1、若四个点到一定点的距离相等，则这四个点在同一个圆上（即这四点共圆）。2、若一个四边形的一组对角的和等于180度，则这个四边形的四个顶点共圆。3、若一个四边形的一个外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆。4、若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的两个端点共圆。5、若、两线段相交于点，且，则、四点共圆。6、若、两线段延长后相交于点，且，则、四点共圆。7、若四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积，则四边形的四个顶点共圆。【典例精讲】例1、锐角的三条高、交于，在、七个点中能组成四点共圆的组数是（）A、组 B、组 C、组 D、组例2、如图，、四点在同一圆上，的延长线与的延长线交于点，且。（1）证明：；（2）延长到，延长到，使得，证明：、四点共圆.例3、如图，在梯形中，点，分别在边，上，设与相交于点，若，四点共圆，求证：例4、已知点，直线过点与轴交于点，若、四点共圆，则的值为（ ）A、 B、 C、 D、无法求出例5、在圆内接等腰三角形的底边上任取二点、，延长、分别交圆于、，求证：.例6、如图，分别是，边上的点，且不与顶点重合，已知，为方程的两根.（1）证明：，四点共圆；（2）若，求，四点所在圆的半径例7、如图，为圆的直径，为垂直于的一条弦，垂足为，弦与交于点（1）证明：、四点共圆；（2）证明：例8、如图，在平行四边形中，为钝角，且，（1）求证：、四点共圆；（2）设线段与（1）中的圆交于、求证：例9、如图所示，为的内心，求证：的外心与、四点共圆.例10、三点共线，点在直线外，分别为，的外心求证：，四点共圆.例11、如图，在中，分别是，的角平分线，是与的交点，若，四点共圆，则的内切圆半径为多少？例12、如图，点是外接圆弧的中点，点、在边上，使得，。证明：、四点共圆.例13、如图，（1）求证：、四点共圆；（2）若，求线段的长例14、在的边，上分别取，使得，又点是的外心（1）证明：，四点共圆；（2）证明：在的平分线上例15、如图，为外接圆的切线，的延长线交直线于点，、分别为弦与弦上的点，且，、四点共圆（1）证明：是外接圆的直径；（2）若，求过、的圆的面积与外接圆面积的比值例16、如图，锐角的内心为，过点作直线的垂线，垂足为，点为内切圆与边的切点（1）求证：，四点共圆；（2）若，求的度数例17、如图，在正中，点，分别在边、上，且， ，相交于点，求证：（1），四点共圆；（2）【强化训练】1、 如图，是的直径，弦，的延长线相交于点，垂直的延长线于点求证：（1）；（2），四点共圆2、如图，已知是的切线，为切点，是的割线，与交于，两点，圆心在的内部，点是的中点（1）证明，四点共圆；（2）求的大小3、如图，已知为半圆的直径，、分别为半圆的切线，切点分别为、，的延长线交于，的延长线交于，为垂足（1）求证：、四点共圆；（2）求证：4、如图，已知中的两条角平分线和相交于，在上，且（1）证明：，四点共圆； （2）证明：平分5、如图，已知是的直径，是的切线，割线、分别交于、，连接、求证：6、如图，与相交于、两点，圆心在上，的弦切于点，及其延长线交于，两点，过点作，交的延长线于点（1）求证：、四点共圆；（2）若，求出由四点、所确定圆的直径7、如图所示，已知切圆于，割线交圆于、，于，与的延长线相交于点，连接并延长交圆于点，连接（1）求证：，四点共圆；（2）当，时，求圆的半径8、如图，是直角三角形，以为直径的圆交于点点是边的中点，连交圆于点（1）求证：，四点共圆；（2）求证：.9、如图所示，在中，点为三角形外的一点，以为圆心，为半径的圆与边相切，切点为，圆与边相交于点，直径与边交于点，连接求证：10、如图，在中，是直角，是线段上一点，以为直径的半圆交于，连接交半圆于点，延长交于（1）求证、四点共圆； （2）若 ，求 的值11、如图所示，是的直径，为延长线上的一点，是的割线，过点作的垂线，交的延长线于点，交AD的延长线于点，过作的切线，切点为求证：（1），四点共圆；（2）12、如图，已知与相切于点，为的割线，弦，与相交于点，为上一点，且。（1）求证：、四点共圆。（2）若，求的长13、如图，由外一点引的切线、，过引割线交于、。与交于。求证：.14、如图，、是的三条高，是垂心，求证：.