参数方程化普通方程.doc

参数方程化普通方程 重点难点掌握参数方程化普通方程的方法，理解参数方程和消去参数后所得的普通方程的等价性；应明确新旧知识之间的联系，提高综合运用所学知识解决数学问题能力。 例题分析1把参数方程化为普通方程(1)(R，为参数) 解: y=2+1-2sin2, 把sin=x代入， y=3-2x2,又 |sin|1, |cos2|1, |x|1, 1y3 所求方程为y=-2x2+3 (-1x1, 1y3) (2)(R，为参数） 解: x2=(sin+cos)2=1+2sincos，把y=sincos代入， x2=1+2y。 又 x=sin+cos=sin(+)y=sincos=sin2 |x|，|y|。 所求方程为x2=1+2y (|x|, |y|) 小结:上述两个例子可以发现，都是利用三角恒等式进行消参。消参过程中都应注意等价性，即应考虑变量的取值围，一般来说应分别给出x, y的围。在这过程中实际上是求函数值域的过程，因而可以综合运用求值域的各种方法。 (3)(t1, t为参数) 法一:注意到两式中分子分母的结构特点，因而可以采取加减消参的办法。 x+y=1,又x=-1-1，y=2, 所求方程为x+y=1 (x-1, y2)。 法二:其实只要把t用x或y表示，再代入另一表达式即可。由x=, x+xt=1-t, (x+1)t=1-x，即t=代入y=1-x， x+y=1，（其余略） 这种方法称为代入消参，这是非常重要的消参方法，其它不少方法都可以看到代入消参的思想。 (4)(t为参数) 分析:此题是上题的变式，仅仅是把t换成t2而已，因而消参方法依旧，但带来的变化是围的改变，可用两种求值域的方法: 法一:x=-1, t20, t2+11, 0<1, -1<-11, -1<x1。 法二:解得t2=0, -1<x1,同理可得出y的围。 (5) (t为参数) 分析:现在综合运用上述各种方法进行消参，首先，求x,y围。 由x=得x2=0, -1<x1,由y=, t=0时，y=0； t0时，|y|=1，从而|y|1。 法一:注意到分子，分母的结构，采用平方消参， x2+y2=()2+()2=1。 法二:关键能不能用x, y表示t，且形式简单由x=得t2=，代入y=t(1+x) t=再代入x=，化简得x2+y2=1。 法三:注意到表达式与三角中万能公式非常相象 可令t=tg，(-)，x=cos2,y=sin2, x2+y2=1，又2(-,)， -1<x=cos21, -1y=sin21,所求方程为x2+y2=1(x-1)。 2已知圆锥曲线方程是 1）若t为参数，为常数，求它的普通方程，并求出焦点到准线的距离。 2）若为参数，t为常数，求它的普通方程，并求它的离心率e。 解:1）由已知，由(1) 得t=代入(2) y-4sin+5=-6·(x-5cos-1)2=-(y-4sin+5)为顶点在(5cos+1,4sin-5)开口向下的抛物线，其焦点到准线距离p=。 2）由已知 =1，表示中心在(3t+1, -6t2-5)的椭圆，其中a=5, b=4, c=3， e=。 分析:从上题可以看出，所指定参数不同，方程所表示的曲线也各不相同。从而给出参数方程一般应指明所取参数。 3抛物线y2=4p(x+p)(p>0)，过原点作互相垂直的两条直线分别被抛物线截得线段为AB，CD，M为AB中点，N为CD中点，G为MN中点。求G点轨迹方程，并说明其图形。 解:设AB方程为y=kx代入抛物线方程y2=4p(x+p) k2x2-4px-4p2=0, 若A，B坐标为(x1, y1), (x2, y2) 则 xM=, yM=, ABCD, CD方程为y=-x，代入y2=4p(x+p)， x2-4px-4p2=0，设C(x3, y3),D(x4,y4) N(2pk2, -2pk) 则G点坐标(x,y)为 y2=p2(+k2-2)=p2(-2)=p(x-2p)x=p(k2+)p·2=2p，而yR在方程中都已体现， 轨迹方程为y2=p(x-2p)为顶点(2p,0)开口向右的抛物线。 说明:消参一般应分别给出x,y的围，而二题中变量的围已体现在方程之中。在某些特殊情况，消参之后给出x,y的围也不能说明原曲线的轨迹，这时应用语言作补充说明。如方程 0,，是个圆，但消参之后得x2+y2=1(|x|1, |y|1)却无法说明这一点。在线测试窗体顶端选择题1曲线的参数方程为（为参数），则方程所表示的曲线为（） A、射线B、线段C、双曲线的一支D、抛物线 窗体底端窗体顶端2参数方程（为参数，且0<2）所表示的曲线是（）. A、椭圆的一部分B、双曲线的一部分 C、抛物线的一部分，且过(-1，)点D、抛物线的一部分，且过(1，)点 窗体底端窗体顶端3已知直线l的参数方程为则直线l的倾斜角为（） A、B、C、D、 窗体底端窗体顶端4抛物线（t为参数）的准线方程是（） A、x=3B、x=-1C、y=0D、y=-2 窗体底端窗体顶端5弹道曲线的参数方程为（t为参数，v0，g为常数）当炮弹到达最高点时，炮弹飞行的水平距离是（） A、B、C、D、 窗体底端答案与解析 解析：（1） x=cos20，1，y=1-cos2=1-x， x+y-1=0， x0，1为一条线段。故本题应选B。 （3）本题认为直线l的倾斜角是是不对的，因为只有当直线的参数方程为：（其中t为参数），其中的才是直线的倾斜角，消去参数t，化参数方程为普通方程后，再求直线l的倾斜角是可以的。但直线l的倾斜角适合tan=，这里只要把两个方程相除就可得：， tan=-，又0<， =。故本题应选D。 （4）化参数方程为直角坐标方程，得(x-2)2=4(y+1)，其准线方程为y=-1=-2。故本题应选D。 （5）由y=v0tsin-知，当炮弹到达最高点时，t=，代入x=v0tcos，得x=v0cos·。故本题应选C。参数方程、极坐标·疑难辨析 参数方程是曲线与方程理论的发展，极坐标是坐标法的延伸参数方程的基本概念与极坐标系的理论是本章的重点参数方程与消去参数后所得的普通方程同解性的判定、极坐标方程与曲线的基本理论是本章的难点与疑点弄清这两个难点，把握参数法变与不变矛盾的统一的思想是学好本章的关键 把握求轨迹方程的参数法的基本思路和消参数的基本方法，重视消参数前后x、y的取值围的变化是保证轨迹完备性、纯粹性的关键弄清一点的极坐标的多种表达式：（(-1)n，+n），（nZ）和极坐标与直角坐标的互化是运用极坐标解决问题的基本功 题1下列参数方程（t是参数）中方程y2=x表示同一曲线的是（ ） 【疑难或错解】参数方程与消去参数后所得的普通方程是否表示同一曲线的判定是一难点问题的实质在于判定方程的同解性方程的同解性原是代数中的难点，加上参数方程中出现的函数不局限于代数函数，其困难就更大了本题各个参数方程消去参数后所得普通方程都是y2=x，更增加迷惑性，因而误选A、B、C都有 【剖析】从A、B、C、D消去参数t后所得的普通方程都是y2=x但在A中y=t20，这与y2=x中y的允许值围yR不一致，故A应排除在B中，x=sin2t0，x0，1与y=sint-1，1与方程y2=x中的x，y取值围不一致，故B也应排除 中的x0，+)，yR完全相同，所以D中参数方程与y2=x同解，应选D 【点评】参数方程与消去参数后所得普通方程是否同解的判定，涉及函数定义域与值域的研究而无通法可循，只能根据参数方程通方程F(x，y)=0中x，y的允许值围（即方程F(x，y)=0的定义域）是否一致来判断仅根据消去参数后所得的普通方程F(x，y)=0的外形来判定，常易失误 表示的曲线是（ ）A圆B半圆C四分之一圆D以上都不对 消去，得x2+y2=1，未分析x，y的取值围，即断言表示的曲线为圆，而误选A 时t不存在，所以消去t后方程x2+y2=1中x-1，即在圆x2+y2=1中应除去一点（-1，0）所以此参数方程表示的曲线为单位圆x2+y2=1上除去一点（-1，0）在普通方程x2+y2=1中应注明x(-1，1应选D 为参数)交于A、B两点，求弦长|AB| 【疑难或错解】以直线的参数方程代入双曲线的普通方程(y-2)2-x2=1，有(-4t)2-(-1+3t)2=1，即7t2+6t-2=0方程的两个根分别为t1=PA，t2=PB，其中点P的坐标为（-1，2） 方程的两个根： 错解混淆了直线参数方程的标准型和非标准型中参数t的几何意义在标准型中，P（x0，y0）为直线上的定点，Q（x，y）为直线上任意一点，则t表示有向线段PQ的数量（规定直线向上、向右为正方向）这一结论不适用于非标准型因此运用直线参数方程求二次曲线的弦长时，应先将直线的参数方程化为标准型，否则将导致错误 将双曲线方程化为普通方程： (y-2)2-x2=1 方程的两个根分别为t1=PA，t2=PB,【点评】设A、B两点的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2） 的定点， 故x1-x2=a(t1-t2)，y1-y2=b(t1-t2)，(x1-x2)2+(y1-y2)2=(a2+b2)(t1-t2)2 利用这一结果也可求|AB|之长，结果与正解同 所以此曲线为以为端点的线段。 【点评】消去参数过程中不分析x，y的取值围，导致轨迹纯粹性受破坏 【剖析】错解仅考虑ab0的情况，而忽视ab=0的情形，因而解答不完整ab=0时，有a=0，b0；a0，b=0；a=0，b=0三种情况，应逐一进行讨论 【正确】当ab0时，如上解有 当ab=0时，有下列三种情形：（1）a=0，b0时，原方程为此时，曲线为y轴（含原点） （2）a0，b=0，原方程为|x|a|，即x|a|或x-|a|消去t，得普通方程为y=0，x(-，-|a|a|，+)此时曲线为x轴上的两条射线，端点分别为(|a|，0)指向正半轴；(-|a|，0)指向负半轴 【点评】消去参数过程中不注意方程中x，y的取值围，对任意常数a，b的可能情况不分别讨论是导致失误的主要原因 （t为参数）问l1与12是否表示同一曲线？为什么？ 【疑难或错解】l1： 未对x，y的取值围进行分析，根据两曲线的普通方程，即断言l1和l2表示同一直线，焉能不失误 【剖析】在曲线l1的参数方程中，x=1+cos2=2cos20，2，消去参数所得的普通方程2x-y+1=0中x0，2，所以曲线l1为以（0，1）与（2，5）为端点的线段只l2，所以l1、l2不是同一条曲线 【点评】在曲线l1消去参数时，未分析x的取值围，破坏了轨迹的纯粹性，是导致失误的主要原因 A20°B70°C110°D160° 而误选（A） （D） 还有将原方程化为而无法作出判断 【剖析】 上述疑难的根源在于对直线参数方程标准型概念模糊所致在直线参数方程的标准型： sin0，故当a0，b0，且a2+b2=1时，才是标准型 等都不是直线参数方程的标准型，由此推出的直线的倾斜角都是错的。欲将其化为标准型，应将x=tsin20°+3化为x=3+(-t)sin(-20°)=3+(-t)cos(90°+20°)即x=3+(-t)cos110°，y=(-t)sin(90°+20°)=(-t)sin110° 这才是此直线参数方程的标准型，此直线倾斜角为110°，应选C 倾斜率为110°，无须化为标准型另外结合直线的图像，过点（3，0）、（3+sin20°，-cos20°）。所以直线的倾斜角为钝角，排除A、B，又由cos20°sin20°，可知倾斜角160°，排除D，而选C诚如华罗庚所说：“不可得义忘形”，形义结合，常可快速获解。 B两点，试求|PA|+|PB|之值 【疑难或错解】直线l的参数方程为 代入椭圆方程，得 方程的两个根分别为t1=PA，t2=PBt1=PA0，t2=PB0|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1-t2 【剖析】错解对P(x0，0)的不同位置未加分析，贸然画图，把点P画在椭圆部，只就|x0|5的情况作解答，忽视了点P在椭圆上或外的情况，可见错解是不完整的 【正确】当点P(x0，0)在椭圆部时，|x0|5，此时，上时，|x0|=5，方程为 当点P(x0，0)在椭圆外时，|x0|5，t1t20，即t1、t2同号， 【点评】当问题中出现任意常数（如这里的x0）时，应考虑各种可能，逐个进行分析讨论，否则可能犯以偏概全或漏解的错误直线及圆的参数方程 教学重点和难点:直线参数方程及圆的参数方程的基本形式，对直线标准参数方程中参数t的理解，非标准参数方程如何化为标准方程并求出倾角，并应用直线参数方程解决有关问题。 例题分析:例1下列各式中，哪一个是直线的三角式方程，试述理由，若是点角式参数方程时，写出始点和倾角，若不是，化为点角式参数方程。 （1）（t为参数）；（2）（t为参数）；（3）（t为参数） 解:（1）始点（-2，3），倾角为是点角式参数方程。（2）不是点角式参数方程，不满足为点角式参数方程的必要条件，即a2+b2=1。但是形如（t为参数）的可化为参数方程的标准式即（t为参数） （3）（t为参数）不是点角式参数方程，令t'=-t，得， 直线始点为（-2，2），倾角为。 例2写出过点A（1，-2），倾角为45°的直线l1的点角式参数方程，若l1与l2:x+2y-4=0相交于B。（1）求|AB|； （2）求点B的坐标。 解:设l1的参数方程为:（I）（t为参数） 把（I）代入l2方程，1+t+2(-2+t)-4=0 解出t=（II）， |AB|=|t-0|= 把（II）代入（I）得:B(, )。 小结:从此例可看出应用三角式参数方程求距离很简捷。 例3求椭圆=1中斜率为2的平行弦中点的轨迹。 解：（1）用普通方程解决，设弦中点P(x0, y0)，弦的两端点A(x1, y1), B(x2, y2) 由已知得: (1)-(2)： =0， .(6) 将(5)代入(6)， 2=, x0+3y0=0,轨迹为含在椭圆的一条线段。 法（2）参数方程解题设弦中点P(x0,y0)，弦的倾角为a， 平行弦的直线参数方程为:（t为参数）(1)将（1）代入2x2+3y2-6=0中，整理后得:(2cos2+3sin2)t2+2(2x0cos+3ysin)t+2x02+3y02-6=0, t1+t2= P为弦中点，t1+t2=0，即2x0cos+3y0sin=0，又tg=2, 2x0+6y0=0, P点轨迹是方程为x+3y=0在椭圆=1的一条线段。 小结:此例用普通方程及参数方程对比解决，体会参数t的几何意义，其中t1+t2=0对点角式方程而言具有普遍的意义，常用于解决弦中点问题。 例4设M，N是抛物线y2=2px(p>0)的对称轴上两点，且它们关于顶点O对称，过M，N作两条平行线，分别交抛物线于P1，P2，Q1，Q2，求证:|MP1|·|MP2|=|NQ1|·|NQ2|。证明:由已知可设M(a,0), N(-a, 0)(a>0) 则直线MP1，NQ1的参数方程为: （1）和（2）其中t是参数，是倾斜角。 把（1）（2）分别代入y2=2px中，由韦达定理可得:|MP1|·|MP2|=，|NQ1|·|NQ2|=，|MP1|·|MP2|=|NQ1|·|NQ2| 评述:此例中应用了点角式参数方程中t的几何意义，即|t1|,|t2|为相应点到定点M的距离，据此证明了关于线段的等式问题。 例5椭圆长轴|A1A2|=6，焦距|F1F2|=4，过椭圆焦点F1引直线交椭圆于M，N两点，设F2F1M=，0,），若|MN|等于短轴时，求。 解:a=3, c=2,b=1, F1(-2,0)，椭圆方程+y2=1。 法（1）设MN所在直线参数方程为.(1)（t为参数） 将(1)代入+y2=1得:(1+8sin2)t2-4tcos-1=0 t1+t2=, t1·t2=,2b=2。|t1-t2|2=, =22, sin2=,0,）， sin=, =或。 （法二）设MN方程:y=k(x+2) x1+x2=.(1),x1·x2=.(2) <i> |MN|=|x1-x2|.<I>又|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1x2.(3) 将(1),(2)代入(3)，将(3)代入(I)解得:k2=(下略) 另；<ii> e=, M(x1,y1), N(x2,y2)由第二定义:|MF2|=ex2+a, |MF1|=ex1+a |MN|=e(x1+x2)+2a=(x1+x2)+6, 2=·+6, k2=(下略)。 评述:利用直线参数方程，常常解决弦长的问题，对比普通方程的弦长公式可知，形式上要简捷，运算上也将更加简化，减少运算的出错可能。 例6过M(-1,0)的直线l交双曲线x2-y2=10于A，B两点，且|MA|=3|MB|，求直线l的方程。 分析:|MA|=3|MB|，若设普通方程，则两线段间的上述关系表述很繁琐，条件不利于应用。设直线参数方程点角式，直接利用参数t的几何意义表达|MA|=3|MB|，可以很方便的代入式子中去应用。 解:设直线MA的参数方程为（t为参数）(-1+tcos)2-t2sin2-10=0(cos2-sin2)t2-2tcos-9=0，有 t1+t2=, t1·t2= 又 |MA|=3|MB|， t1=±3t2。 <i>当t1=±3t2时，4t2=, 3=, t2=, 3=, 解得:cos2=，sin2=, tg=±， l: y=±(x+1)。<ii> 当t1=3t2时，同理可求l:y=(x+1)。 本周小结:直线参数方程点角式问题，应注重从下面几点讲解。<1>会判断方程是否为点角式参数方程；<2>若参数方程为会化为点角式，并会求出倾角，一定要注意倾角的围。<3>会应用它解决弦长问题，弦的中点线分弦成定比问题，点在直线上位置等常见问题。 参考练习:1直线:（t为参数）的倾斜角是（ ）A、20°B、70°C、110°D、160° 2直线（t是参数）与圆（为参数）相交所得弦长为（） A、(3-) B、C、D、(3+) 3圆x2+y2=8有一点P0(-1,2)，AB为过P0且倾角为的弦。 （1）当=，求|AB|；（2）当弦A'B'被点P0平分时，写出直线A'B'的方程。 参考答案: 1.C2.B 3.解:设直线AB方程为:(1)（t为参数）把(1)代入x2+y2=8,整理得: t2-2(cos-2sin)t-3=0.(2) 直线与圆相交，(2)有实根，则由韦达定理:t1+t2=2(cos-sin), t1·t2=-3, (1)当=时，|AB|2=|t1-t2|2=(t1+t2)2-4t1t2=2(cos-sin)2-4×(-3)=30（2）弦A'B'被点P0平分 cos-2sin)=0tg=，即k=, A'B'方程为:y-2=(x+1)，即x-2y+5=0。在线测试窗体顶端选择题1直线（t为参数）的倾斜角是（） A、20°B、70°C、110°D、160° 窗体底端窗体顶端2曲线的参数方程为（0t5），则曲线是（） A、线段B、双曲线的一支C、圆弧D、射线 窗体底端窗体顶端3椭圆的两个焦点坐标是（） A、(-3,5), (-3,-3)B、(3,3),(3,-5)C、(1,1),(-7,1)D、(7,-1),(-1,-1) 窗体底端窗体顶端4下列参数方程(t为参数)与普通方程x2-y=0表示同一曲线的方程是（） A、B、C、D、 窗体底端窗体顶端5曲线的参数方程是(t是参数，t0)，它的普通方程是（） A、(x-1)2(y-1)=1 B、y= C、y=-1 D、y=+1窗体底端答案与解析 答案：1、C 2、A 3、B 4、D 5、B解析：1本题考查三角变换及直线的参数方程。解：由直线方程知此直线过定点(3，0)，那么它的斜率k=-ctg20°=tg(90°+20°)=tg110°。因此直线的倾斜角为110°。故应选C。 2本小题考查化参数方程为普通方程的方法，及解不等式的知识。 解：消去参数t，得x-3y-5=0。因为0t5，所以2x77，-1y24。因此是一条线段，故选A。 3本小题考查参数方程和椭圆方程的知识，以及坐标轴平移。解：原方程消参得=1，是中心为（3，-1），焦点在x=3这条直线上的椭圆，c=4，焦点坐标为(3，3)及(3，-5)，所以选B。 4本小题考查参数方程和三角函数式的恒等变形解：选项A中x0，与x2-y=0中x的取值围不符；B中，-1x1，与x2-y=0中的x围不符；C中，y=ctg2t=，不能化成x2-y=0；D中，y=tg2t=x2，即x2-y=0，故选D。 5本题考查参数方程的知识。解：由参数方程得消去t，得=1-y， y=1-=。故选B参数方程、极坐标知识小结 一、求轨迹的参数方程（1）对于曲线的参数方程应注意以下两点：一是参数方程中参数的变化围是有限制的；二是给出一个t，解出唯一对应的x, y的值，因而得出唯一的对应点。 （2）可供选择的参数较多，如角度、时间、点的坐标、位移、直线斜率等。 二、普通方程与参数方程的互化1注意方程等价性在曲线的普通方程与参数方程的互化中应注意方程的等价性通过参数的取值围推出x、y的取值围。 2消去参数，把参数方程化为普通方程化曲线的参数方程为普通方程可用代数消元法和三角消元法，如果参数方程中不含三角函数式，或者参数方程中虽含三角函数式，但三角函数中不含参数，用代入等代数方法消去参数；如果三角函数式含参数，可用三角函数关系消去参数。当然问题不是绝对的，有的题目既可以用代数方法又可用三角方法。 3普通方程化参数方程由普通方程化为参数方程，应注意恰当地选择参数，一般在与运动有关的问题中往往选时间为参数，与旋转有关的某些曲线中往往选角度为参数。参数选择得不同，所得方程也不同。因此，同一条曲线的参数方程不是唯一的。注意 应用参数方程及参数的几何意义解题，有时可使解法简便。 三、求轨迹的极坐标方程1直接法建立极坐标方程常常可以在一个三角形中实现。也就是说，建立起这个三角形中的边角关系，就是建立了极坐标方程。 2转移法如果已知某直线的极坐标方程，求受该直线制约的动点轨迹方程时，常使用转移法，利用已知的极坐标方程推出所求的极坐标的方程。 3参数法在建立曲线的极坐标方程时也可运用参数法，先适当地选取参数t，建立动点的坐标、与t的关系：(t为参数)这就是动点轨迹的参数方程。再消去参数t，就得到极坐标方程。 注意 在求曲线的极坐标方程时，要特别注意点的极坐标(, )取值围。因为在极坐标系中，平面上所有点的集合与极坐标之间不是”一一对应的；一般情况下，如果限制0，02，则除极点外，平面的点和它的极坐标之间便可以一一对应。但是这样的限制对于研究曲线的极坐标方程有时有妨碍。如限制02，那么螺线=a只表示动点M的轨迹的一部分，这时螺线只剩下圈了，这显然是不合适的。 四、极坐标方程与直角坐标方程互化1极坐标方程与直角坐标方程互化时要注意以下两点： 在一般情况下取正值，取最小正角； 由tan=求时，因为在(0,2)中满足条件的的值有两个，这必须由原来的点所在的象限来确定的值。 2化直角坐标方程为极坐标方程应注意所得方程之间的关系。例如所求极坐标方程为=0及=2asin。因为=0包含于=2asin，所以最后答案方程为=2asin即可。 3化极坐标方程为直角坐标方程时注意方程变形时的等价性。 五、极坐标系中点的对称性若点P(,), 则点P关于极轴的对称点是(,-)或(-, -)；关于极垂线的对称点为(,-)或 (-,-)；关于极点的对称点是(,+)或(-,)。