午练46 立体几何类.docx
午练46立体几何类1.(2021北京海淀区一模)在如图的多面体中，AB/CD1四边形ACP石为矩形,AB=AE=fAD=CD=2.(1)求证：平面48E平面Cf)E(2)设平面8"G平面CQF=/,再从条件、条件、条件这三个条件中选择若干个作为已知，使二面角8-/-C的大小确定，并求此二面角的余弦值.条件：AB±AD;条件：AE_L平面48C。；条件：平面AEO_L平面ABCD(注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分)(1)证明因为四边形ACM为矩形，所以AECE又A员平面CDF,C/U平面CDF,所以AE平面CDF.因为A8CD,ABa平面CD/7,CD3FCDF,所以AB平面CDF.y.ABHAE=AtAB,AE5FABEf所以平面48E平面Co厂.(2)解(方案一)选条件：ABLAD；条件：4E_L平面48CD因为AEJ_平面43CO,ABu平面ABsA。U平面A8CO,所以AEJ_48,AEA-AD.又AB_LAO,则以A为原点，分别以AB,AD,AE所在直线为X轴、y轴、Z轴建立如图的空间直角坐标系.由题意得8(1,0,0),E(0,0,1),FQ,2,1).所以丽=(-1,0,1),BF=(t2,1).设平面BEr的法向量为=8y,z),BEn=O1BFn=O,-x+z=0,x+2y+z=0.令x=l,则y=-1,z=l.于是=(1,1,1).由(1)可得AO_L平面CoR故可取平面C。尸的一个法向量为n=(0,1,0).所以CoSm, m-n1_小mny33,又由图知二面角B-/-C为锐角，所以二面角B-I-C的余弦值为坐(方案二)选条件：ABLAD；条件：平面AEQ_L平面48CD因为平面AEZ)_1_平面ABC。，5PffiAED5FffiABCD=AD1ABLAD1ABU平面ABCDf所以AB_L平面AED又因为AEU平面AEQ,所以A8_LAE在矩形ACFE中，AELAC.因为ABU平面A8CQ,ACc5FffiABCD,ABCiAC=At所以A从L平面48CD又A。U平面A3CO,所以AE_LAD则以A为原点，分别以AB,AD,AE所在直线为X轴、y轴、Z轴建立如图的空间直角坐标系.由题意得5(1,O,O),£(0,0,1),FQ,2,1).所以旗=(一1,0,1),BF=(,2,1).设平面r的法向量为=8y,z),BE'H=Ot-x+z=O,则<即，BFn=O,b+2y+z=0.令x=l,则y=-1,z=l.于是=(1,1,1).由可得AO_L平面CDR故可取平面C。尸的一个法向量为m=(0,1,0).又由图知二面角B-I-C为锐角，所以二面角B-I-C的余弦值为坐2.(2021八省八校一联)如图为一个半圆柱，E为半圆弧C。上一点，CD=5.图(1)若D=25,求四棱锥E-ABCD的体积的最大值；(2)有三个条件：45片比=比.反；异面直线Ao与3E所成角的正弦值为三CSinNEAB巫请你从中选择两个作为条件，求直线A。与平面EAB所成角的余弦值.(注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分)解(1)如图(1),在平面EQC内过点E作£7LLC。，交Co于点E因为平面ABCz)_1_平面EoC平面ABCon平面EOC=QC,ERZ平面EQC,所以E凡L平面ABCD因为E为半圆弧Co上一点，所以CE_L£Z）,所以VE-AB8=3S矩形abcdEF=%DCD=茎CEED.因为CE2+e02=cq2=5,所以W后羊空评=平5-2X当且仅当CE=JEo=千时，等号成二，所以四棱锥E-ABCz）的体积的最大值为平.(2)对于条件：4DDCcosZCDE=CDCcosZDCE,即4。石2=。石2,所以2DE=CE.又。/+c序=5,所以。E=1,CE=2.对于条件，因为AQ8C,BeLL平面EoC所以NC5E（或其补角）为异面直线2CFCF2Az）与BE所成的角，且SinNC8E=q=§产所以§/=tanNCBE=y.对于条件,SinZEABEB6sinZEBA=EA=2，X2÷CF2设Af)=X,则F+/23-2若选条件,则。£=1,CE=2,CE2且Bc=SnN CBE=,所以Ao=BC=小；y2_|_CPo若选条件,则。£=1,CE=2,且/+q序=,所以Ao=BC=X=小;CF7r2+CE23若选条件，则华=IanNCBE=俞且DE2+CE2=5,所以A。=BC=X=小.因此，从©中任选两个作为条件，都可以得到AO=BC=小.法一设点。到平面EAB的距离为近直线AO与平面E43所成的角为仇连DE-CE2接08,可得M=笺/=泉，2j则由VD-EAR-VE-DABt得IiSaEAB=EFSaDAB=1义习,过点/作FG_LA3,交48于点G,连接EG由E/LL平面A3CQ,知EF_LAB又EFCFG=F,EF,尸GU平面EFG,所以AB_L平面EFG,又EGU平面EFG,所以EGL48,2÷(5)2 =所以Seab=ABEG=×5×yEF2+FG2=×5×29O，所以ZZ=痣=瑞'所以Sin9=焉=忘,所以直线AD与平面EAB所成角的余弦值为嗜.法二以A为坐标原点，分别以AB所在直线、过A垂直于平面ABcQ所在直线、A。所在直线为X轴、)，轴、Z轴建立如图(2)的空间直角坐标系.则A(0,0,0),B(5,0,0),0(0,0,5),所以循=停手，同AB=(5,0,0),AD=(0f0,5).设平面EAB的法向量为rw=(x,y,z),财性+唔y+6=o,l5x=0.令z=l,则,=(),|,1),所以CoS(AD,m)=正5×1+42即直线AD与平面EAB所成角的正弦值为百，所以直线AD与平面EAB所成角的余弦值为噂.
