线性代数与空间解析几何的相互应用分解.doc

摘要在我们的学习过程中，可以发现线性代数和空间解析几何有很多相互应用之处.本文就线性代数与空间解析几何之间的相互应用做些初探.首先，线性代数在空间解析几何中的应用，包括，齐次线性方程组、矩阵的秩在空间解析几何中的应用，三元一次线性方程组的解判断平面位置关系，二次型的理论和方法在化简二次曲面、二次曲线的一般方程中的应用.其次，空间解析几何在线性代数中的应用，包括，代数问题的几何化意义，线性代数概念及问题的几何解释，线性代数中解析几何的应用.通过本文的讨论来说明线性代数与空间解析几何是相互联系、相互促进的.可以更确切一点的说空间解析几何是线性代数的基石，而线性代数是空间解析几何的推广并使之抽象化.关键词：线性代数，解析几何，相互应用Each application of linear algebra and space analytic geometryAbstractIn our learning process, can be found a lot of mutual application in linear algebra and space analytic geometry. This paper do some research on mutual between the application of linear algebra and space analytic geometry. Firstly, application, linear algebra in spatial analytic geometry including, application of homogeneous linear equations, the matrix rank in space in analytic geometry, three yuan for a solution of the linear equations determine the plane position, application of general equation theory and methods of two type to simplify two times, two times the surface curve. Secondly, the application, the space analytic geometry in linear algebra, geometry significance algebraic problems, geometric interpretation of linear algebra concepts and problems of the application of analytic geometry, linear algebra. Through the discussion of the paper to illustrate the linear algebra and space analytic geometry is the mutual connection, mutual promotion. Can be a little more precise to say is the space analytic geometry is the cornerstone of linear algebra and linear algebra is generalized, and space analytic geometry the abstraction.Keywords: linear algebra, analytic geometry, the use of each other目 录一、引言1二、线性代数在空间解析几何中的应用1（一）齐次线性方程组在空间解析几何中的应用1（二）用三元一次线性方程组的解来判断平面的位置关系4（三）二次型理论和方法在化简二次曲面、二次曲线方程中的应用5（四）矩阵的秩在空间解析几何中的应用6三、空间解析几何在线性代数中的应用9（一）代数问题几何化意义9（二）几个线性代数概念的几何化解释111.关于行列式的几何背景6112.关于正交变换的几何意义133.关于正交化的几何解释13（三）两个线性代数问题的几何解释131.线性相关与线性无关132.施密特正交化14（四）线性代数中解析几何的应用15四、结束语16五、参考文献18一、引言线性代数起源之一是解线性方程组.线性方程组几乎是作为一条主线贯穿于线性代数,即使是解析几何,直线、平面方程都是线性的,平面位置关系的确定也与线性方程组解的结构理论相关.在十七世纪,笛卡尔及费马在几何空间中引入了坐标系，从而在几何与代数间建立了一座桥梁，用代数方法解决空间的几何问题,产生了解析几何.解析几何的产生，可以说是数学发展史上的一次飞跃.恩格斯曾经这样评价：数学中的转折点是笛卡尔的变量，有了变量，运动进入了数学，有了变量，辩证法进入了数学，有了变量，微分和积分也就成了必要的了.人们也注意到，对于变量不多于三个的某些代数问题，如果将其解释为相应的几何问题,有助于代数问题的解决.当处理变量个数多于三个的问题时,直观的几何解释不再存在,但是数学家从几何学的经验中汲取直觉，把几何空间的矢量运算规律抽象出来，形成了有限维矢量空间理论，建立空间基的概念，将坐标系的概念推广到抽象的线性空间中，再将其中得到的理论应用于几何空间.历史上，几何与代数互为问题，互为方法，相互交融.解析几何为线性代数提供了一些几何背景,而线性代数又为解析几何提供了有力的工具.本文的目的就是浅谈线性代数与空间解析几何的相互应用.二、线性代数在空间解析几何中的应用（一）齐次线性方程组在空间解析几何中的应用 定理2：齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式等于零.即 只有零解的充要条件是它的系数行列式不等于零.即 该定理在线性代数中是作为克莱姆法则的两个推论给出的.例1:若矢量同时垂直于三个不共面向量则.证明:设, 不共面 又同时垂直于,故齐次线性方程组只有零解,即从而例2：求由不共线三点所确定的平面的方程.解:, 设的方程为:,其中至少有一个不为零.同理,所以有: 于是可得到一个关于的齐次线性方程组:不全为零,该方程组至少有一个非零解,由定理知,其系数行列式的值为零,即 此即的方程.例3:求四点在同一平面上的充要条件.解:设共面于平面 (不全为零),则有 则(*)是关于变量的齐次线性方程组.又由于不全为零,故不全为零,即方程组(*)存在一组非零解,由定理知,(*)有一组非零解的充分必要条件是: 此亦为所求.例4:试证三平面 共线的充分必要条件是: 证明:显然坐标原点是三平面的一个公共点.于是,三平面能否共线的问题在于它们有无除原点以外的公共点,也就是方程组: 有无非零解的问题,于是由定理知其充要条件是: （二）用三元一次线性方程组的解来判断平面的位置关系线性代数中的线性方程组的结构理论对深刻领会直线、平面的位置关系起到重要作用，下面以一个三元一次线性方程组为例4.设空间中三个平面,其方程为: 其系数矩阵为,增广矩阵为,那么方程组的解可以分为以下几个情形:1.如果,三个平面有公共点,方程组有解.如果,方程的系数矩阵可逆,则方程存在唯一解,这时三个平面相交于一点.如果,方程组的解等价于某两个线性无关的解,存在无穷多个解,此时三个平面相交于一条直线.如果,三个方程组重合为一个方程组,方程组有无穷多解,三个平面重合.2. 当,三个平面没有公共交点,方程组无解.由平面方程定义可知. 如果,设,则分为两种情况: 如果的行矢量两两线性无关,则三个平面形成一个三棱柱. 如果的其中两个行矢量线性相关,不妨假设为与线性相关,则,平行,与相交.如果,三个平面互相平行,设.如果线性无关,则三个平面互相平行但不重合. 如果的其中两个行矢量线性相关,不妨假设为,则重合,与平行.（三）二次型的理论和方法在化简二次曲面、二次曲线方程中的应用当我们从几何空间抽象出一般矢量空间后,又可以将其中得到的结论和方法应用于解决几何问题.在空间解析几何中,空间二次曲面用一个三元二次方程表示,这是线性代数中二次型的特例4,所以,在线性代数中关于二次型的理论和方法又可以解决几何中二次曲面、二次曲线化简的问题.例1：证明二次曲面为椭圆抛物面.解:利用二次型理论化方程为标准方程,该曲面方程可写成：带入曲面方程，得：再做坐标平移变换 原曲面方程化为了标准方程从标准方程可以看出二次曲面为椭圆抛物面. 同样，应用二次型理论可以化简二次曲线一般方程为标准方程，从而确定二次曲线的形状，这里不再进行讨论.（四）矩阵的秩在空间解析几何中的应用矩阵的秩是代数中的基础概念，将它的理论推广到解析几何中，会收到很好的效果下面讨论矩阵的秩关于解析几何的几个定理及其应用5.定理1：已知两条直线 矩阵的秩分别是和,则：两条直线既不平行也不相交的充要条件是,；两条直线相交的充要条件是；两条直线平行且相异的充要条件是,；两条直线重合的充要条件是；定理2：已知面与平面，设线性方程组 的系数矩阵为，增广矩阵为,则若秩=秩，平面与相交于一条直线；若秩=秩，平面与重合；若秩，但秩=2，平面与平行.证明：考虑线性方程组若秩，且秩，此时方程组有解，设它的一个特解为，它的导出组 的系数矩阵的秩为2，而未知量有3个，因此方程组有非零解，且基础解系里解的个数为个设，是导出组的一个基础解系，则方程组（1）的全部解为，其中取遍全体实数.从解析几何知，当取遍全体实数时，点的轨迹是通过点一条直线，平面所以当秩时，平面与相交于一条直线.若秩，且秩此时方程组有解，因为与成比例，于是所以方程组的一般解为这就是平面的方程,因此平面与，重合.若秩,但秩此时方程组无解，即平面与没有公共点，所以与平行.由于不全为零，所以,因此只有上述三种情况.定理3：已知三个平面：设和分别是矩阵的秩，则： 三个平面有唯一公共点的充要条件是； 三个平面两两相异且有唯一公共点的充要条件是，且矩阵的任何两行不成比例； 三个平面两两相交且每两个平面的交线平行于第三个平面的充要条件是，且矩阵的任何两行不成比例； 两个平面平行，第三个平面与它们相交的充要条件是，且的两行成比例； 三个平面相互平行的充要条件是，的任何两行不成比例； 两个平面重合，第三个平面与它们相交的充要条件是，且的两行成比例；两个平面重合，第三个与它们平行的充要条件是，且的两行成比例；三个平面重合的充要条件是；例 ：证明下列两条直线互相平行： 与证明：由定理1的只需证明.令： ，故由定理:1知，两条直线平行.解析几何证明是： 故平行，亦即两条直线平行.从上面两种证法可以看出：采用矩阵的秩的有关结论证明平面与平面的位置关系；直线与直线的位置关系是简单而方便的.三、空间解析几何在线性代数中的应用（一）代数问题几何化意义线性代数中有许多概念是非常抽象的,以至于学生在学习时被这些概念所困扰,因此可以用几何空间的例子化解学习线性代数时的困难4.下面以向量空间为例来说明.在线性代数中所涉及到的向量空间是,理解维向量空间的概念是较抽象的，其实它就是空间解析几何中的推广.而对于空间它有具体的几何意义，我们是熟悉的.这样把它推广到一般维空间，我们就很容易接受了.学生理解了一般向量空间的概念后,就会知道向量空间是一个非常广泛、非常抽象的概念,不仅是维向量空间,(次数不超过的实系数多项式的集合)也是维向量空间,不仅有有限维向量空间,还有无限维向量空间,如=|为定义在的实函数也是向量空间,这些现代数学思想,对我们今后进一步学习和应用数学,都是非常有益的.由于一般向量空间有着高度的抽象性,因此,我们在讨论这个概念及有关理论时,强调几何空间例子的引导作用,从而化解对抽象概念的理解,如:讨论一般向量空间定义时,用几何空间,作为例子；在讨论子空间定义时,用,是的子空间作为例子；在讨论向量的线性相关性时,用两向量共线,三向量共面作为例子；在讨论向量空间基、维数、坐标时,用几何空间的仿射坐标系作为例子；在讨论向量空间的任一基可通过Schmidt正交化算法构造一个标准正交基时,也是利用几何空间中的三向量(1,0,0),(2,2,0),(3,3,3),构造出一个标准正交基(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)(如图1),然后,合理的推出Schmidt正交化算法.xyzOv1v2v3， ,通过以上代数与几何的整合,说明向量空间作为一种代数结构,集合的对象是抽象的,上的加法与数乘两种运算有他们所满足的性质,即:加法公理和数乘公理,而向量空间的加法、数乘和基都是以几何空间中向量的加法、数乘及空间仿射坐标系为直觉图象发展起来的,使抽象有限维向量空间得到与几何空间仿射坐标系几乎同样的结构.维空间是像三维空间一样具体的几何对象,可以在其中谈论超平面以及展开多元微积分学,这是科学中一种普遍的思维方式.曾获诺贝尔物理学奖的日本物理学家汤川秀树,描述过这种思维方式3:“抽象不能单独起作用,在几何富有成果的科学思维中,直觉和抽象交互为用”.不但某种本质性东西必须从我们丰富的而多少有点儿模糊的直觉图形中抽象出来,而且同样真实的是,作为人类抽象能力的成果而建立起来的某一个概念也常常在时间的进程中变成我们直觉图象的一部分.从这种新建立起来的直觉,人们可以继续做出进一步的抽象.（二）几个线性代数概念的几何化解释1.关于行列式的几何背景6设，两个向量的向量积可以用行列式写为:，它在几何上表示的是与，向量都垂直且成右手系的向量.三个向量的混合积可以用行列式表示为图1的平行六面体.此行列式的几何解释是它的绝对值等于他们3个向量为相邻棱所做的平行六面体的体积（如图1）图 1特别的，当时，由于平行六面体的体积为零.所以共面.由此可得：过平面上两点，的直线方程为: 再推广到空间中有不在同一直线上的三点的平面方程为: 2.关于正交变换的几何意义在二次型化为标准型时，可以采用可逆变换或正交变换但由于可逆变换对应于仿射坐标系的变换，所以区别比较大.例如：；通过可逆变换化成，即椭球面变成了球面.通过线性变换化成，即椭球面变成了圆柱面.而正交变换保持向量长度和角度不变，因此几何图形不变.所以在讨论二次方程决定的图形时，必须用正交变换；如果只考虑它所属类型时，可以用可逆变换（当然包括正交变换）.还应注意正交变换中：当正交阵的行列式表示为1时是旋转变换；当正交阵的行列式为-1时，为镜面反射变换.3.关于正交化的几何解释线性无关的向量组可以由schmidt正交化得到与其等价的正交组，它的几何解释为，如果有三个线性无关的向量，则可通过schmidt正交化得到相应的三个正交向量，这里，其中为在上的投影向量；为在、所确定的垂直投影向量.（三）两个线性代数问题的几何解释 线性代数与几何紧密相关，线性代数中许多问题都有形象的几何解释，在线性代数教学中有效的融合几何背景，可以帮助学生更好的理解线性代数中较为抽象的问题.下面就线性代数中两个比较抽象的问题详细的给予几何解释8.1.线性相关与线性无关线性代数中线性相关与线性无关的定义如下：定义： 给定向量组 ，如果存在不全为零的数， 使 则称向量组 线性相关, 否则称为线性无关， 即当且仅当 时， 式成立, 向量组线性无关.线性相关、线性无关的定义给出之后，接着又给出了若干判断线性相关的定理与推理，如：当向量组中所含向量的个数大于向量的维数时,此向量组必线性相关.在解析几何中，也有线性相关和线性无关的定义，并有着形象的几何解释.两个向量线性相关的几何意义是这两个向量共线；三个向量线性相关的几何意义是这三个向量共面，可以用来理解线性相关这个抽象的定义.三维欧式空间中任何四个或四个以上向量总是线性相关的，可以用来理解向量组中所含向量的个数大于向量的维数时，此向量组必线性相关.2.施密特正交化 当向量空间中的基取做标准正交基时，可以通过向量的内积运算快速求出某个向量在此基下的坐标，因此在给出向量空间的基时常常取标准正交基.在实对称矩阵的对角化问题上，我们需要求正交矩阵使得实对称矩阵对角化.这两方面的问题都需要对向量组正交化，而用到的方法即为施密特正交化，具体过程如下：设 是向量空间 的一个基,； （2） （3） （4） （5）此处的要求是记忆并应用公式，但学生不理解这个公式是怎么来的，此时可以以三个向量为例，利用几何背景来形象的理解此公式：（2）（5）式是解析几何中将仿射标架变为直角标架的过程：（3） 式中为在上的射影向量，因此 垂直于；（4） 式中为在，生成的平面上的射影向量，因此 垂直于 ，类推；（5） 式中可以理解为在，所生成平面的射影向量，而（6） 垂直于 ,.,通过这种简单形象的几何解释，可以更好的记忆和理解这个公式. 线性代数与解析几何的联系远远不止于此，解析几何除了可以为线性代数中抽象问题提供几何直观外，线性代数也为解析几何提供了代数工具，两者相互渗透，因此充分重视两者的结合教学是非常必要的.（四）线性代数中解析几何的应用二次型与二次曲面和二次曲线的联系在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合，一个有心二次曲线的一般方程是： 为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度作转轴（反时针方向转轴）； 把方程化为标准方程.在二次曲面的研究中也有类似情况.从代数角度看，所谓化标准方程就是用变量的线性代换化简一个二次齐次多项式，使它只含平方项.二次型就是在这个基础上提出来的.就譬如说二次曲面吧.研究二次曲面：的形状，就可以利用矩阵运算，把方程写为其中 ， ， ，这里，再利用实对称矩阵可以正交相似对角化知，有正交变换 ，使得：即有，相应地，这样则由于正交变换对应坐标原点不动的坐标轴的变换，因此，方程中的常数项不变.于是就可剧此用解析几何讨论图形的形状.二次型化为标准型可以利用解析几何中二次曲线、二次曲面来直观表示；同时，一些二次曲面，二次曲线化为标准方程的化简可以运用线性代数中的二次型化为标准型的方法来化简，例如配方法、初等变换以及正交变换.四、结束语本文从多方面浅谈了线性代数与空间解析几何的关系及它们间的相互作用.其中包括齐次线性方程组、线性方程组、矩阵的秩在空间解析几何的应用及空间解析几何代数问题的几何化意义等.从本文的例子看出线性代数与空间解析几何都有各自独特的地位，彼此促进.通过两者的整合，对今后知识的开发具有重要作用，同时也让我们的数学思维有进一步的提高.五、参考文献1 Horn R A，Johnson C RMatrix Analysis MCambridge：Cambridge University Press，19852康生义，齐次线性方程组在空间解析几何中的应用几例，Jun15，2001，vol.3，No.6.3杜丽萍，王宏，佟玉霞，河北联合大学理学院，063009.4章晓，线性代数与解析几何结合教学探析，青岛科技大学理学院，Sep.2008,Vol.23,No.3.5杜键卫，线性代数与空间解析几何的整合，2003，vol.19，No.2.6解析几何中矩阵秩的应用，冯锡刚，山东省农业管理干部学院，济南，250100.7谢琳，张静修订.从几何直观理解行列式与carmer法则.高等数学研究，2009.02-15.8李丽，线性代数教学中两个问题的几何解释，安徽财经大学，统计与应用数学学院，Nov.2013,Vol.29,No.11.