中考数学几何模型5：角含半角模型.docx

中考数学几何模型 5 ：角含半角模型名师点睛 拨开云雾 开门见山角含半角模型，顾名思义即一个角包含着它的一半大小的角。它主要包含：等腰直角三角形角含半角 模型；正方形中角含半角模型两种类型。解决类似问题的常见办法主要有两种：旋转目标三角形法和翻折 目标三角形法。类型一：等腰直角三角形角含半角模型1）如图，在 ABC 中，AB=AC ，BAC=90，点D，E在BC 上，且 DAE=45，则：BD 2+CE 2=DE 2.图示（ 1）作法1：将 ABD 旋转 90°作法 2：分别翻折 ABD, ACE2）如图，在 ABC 中，AB=AC ，BAC=90 °，点D在 BC上，点E在BC延长线上， 且 DAE=45则： BD 2+CE 2=DE 2.图示（ 2）3）如图，将等腰直角三角形变成任意等腰三角形时，亦可以进行两种方法的操作处理任意等腰三角形类型二：正方形中角含半角模型1）如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F分别在边 BC，CD上， EAF=45 °，连接 EF，过点 A作 AG 于 EF 于点 G，则： EF=BE+DF ， AG=AD.图示（ 1）作法：将 ABE 绕点 A 逆时针旋转 90°2）如图，在正方形 ABCD 中，点E，F分别在边 CB，DC 的延长线上， EAF=45，连接 EF，则：EF=DF -BE.图示（ 2）作法：将 ABE 绕点 A 逆时针旋转 90°3）如图，将正方形变成一组邻边相等，对角互补的四边形，在四方形ABCD 中， AB=AD ， BAD+ 则： EF=BE+DF.C=180 °，点 E，F 分别在边 BC，CD 上， EAF= 1 BAD ，连接 EF，2图示（ 3）作法：将 ABE 绕点 A 逆时针旋转BAD 的大小典题探究 启迪思维 探究重点 例题 1. 如图，正方形 ABCD的边长为 4，点 E， F分别在 AB，AD上，若 CE5，且ECF45°，则 CF 的长为 变式练习 >>>1如图四边形 ABCD 中， ADBC， BCD 90°， AB BC+AD ， DAC 45，E为 CD上一点，且BAE45°若 CD 4，则 ABE 的面积为(ABCD例题 2. 在正方形 ABCD 中，连接 BD （1）如图 1， AE BD于 E直接写出 BAE 的度数（2）如图 1，在（ 1）的条件下，将 AEB 以 A 旋转中心，沿逆时针方向旋转 30°后得到 ABE，AB与 BD 交于 M， AE的延长线与 BD 交于 N 依题意补全图 1； 用等式表示线段 BM、 DN 和 MN 之间的数量关系，并证明（ 3）如图 2，E、F 是边 BC、CD 上的点， CEF 周长是正方形 ABCD 周长的一半， AE、AF 分别与 BD不必写出完整推理过程）变式练习 >>>2. （1）【探索发现】如图 1，正方形 ABCD 中，点 M、N 分别是边 BC、CD 上的点， MAN 45°，若将 DAN 绕点 A 顺时 针旋转 90°到 BAG位置，可得 MANMAG，若MCN的周长为 6，则正方形 ABCD 的边长为 3 （2）【类比延伸】如图（ 2），四边形 ABCD 中，ABAD，BAD120°，B+D180°，点 M、N 分别在边 BC、CD 上的点， MAN60°，请判断线段 BM，DN ，MN 之间的数量关系，并说明理由（3）【拓展应用】如图 3，四边形 ABCD 中， AB AD 10， ADC 120°，点 M， N分别在边 BC，CD 上，连接 AM， MN， ABM是等边三角形， AMAD，DN5（ 1），请直接写出 MN 的长例题 3. 如图，在四边形 ABCD 中，AB=BC ，A= C=90°， B=135 °， K ，N 分别是 AB ，BC 上的点， 若BKN 的周长为 AB 的 2倍，求 KDN 的度数 .变式练习 >>>3. 如图，正方形被两条与边平行的线段EF，GH 分割成四个小矩形， P是EF与 GH的交点，若矩形PFCH的面积恰是矩形 AGPE 面积的 2 倍，试确定 HAF 的大小并证明你的结论例题 4. 如图，在四边形 ABCD 中，ABAD，BCCD，ABCADC90°， MAN BAD（1）如图 1，将 MAN 绕着 A点旋转，它的两边分别交边 BC、CD于 M、N，试判断这一过程中线段BM 、DN 和 MN 之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不用证明；（2）如图 2，将 MAN 绕着 A点旋转，它的两边分别交边 BC、CD 的延长线于 M、N，试判断这一过 程中线段 BM、DN和 MN 之间有怎样的数量关系？并证明你的结论；（3）如图 3，将 MAN 绕着 A点旋转，它的两边分别交边 BC、CD 的反向延长线于 M、 N，试判断这 一过程中线段 BM、 DN 和 MN 之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不用证明领悟提升 强化落实达标检测1. 请阅读下列材料：问题：正方形 ABCD 中， M，N分别是直线 CB、DC 上的动点， MAN45°，当 MAN 交边 CB、DC 于点 M、N（如图 ）时，线段 BM 、DN 和 MN 之间有怎样的数量关系？小聪同学的思路是： 延长 CB至 E使 BE DN，并连接 AE，构造全等三角形经过推理使问题得到解决 请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）直接写出上面问题中，线段 BM，DN和 MN之间的数量关系；（2）当 MAN 分别交边 CB，DC 的延长线于点 M/N时（如图 ），线段 BM，DN 和 MN之间的又有怎MN 的长样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明；3）在图 中，若正方形的边长为 16cm，DN 4cm，请利用（ 1）中的结论，试求2. （1）如图 1，在四边形 ABCD 中，ABAD，BD90°，E、F 分别是边 BC、CD上的点，且 EAF BAD 试探究图中线段 BE、 EF、 FD 之间的数量关系（1）小王同学探究此问题的方法是：延长EB 到点 G，使 BGDF，连结 AG，先证明 ABG ADF ，再证明 AEG AEF，可得出结论，他的结论应是（2）如图 2，在四边形 ABCD 中，ABAD，B+D180°，E、F分别是边 BC、CD 上的点，且 EAF BAD ，上述结论是否仍然成立，并说明理由（3）如图 3，在四边形 ABCD 中，ABAD，B+ADC180°，E、F分别是边 BC、CD 延长线上的 点，且 EAF BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间 的数量关系，并证明3. 小曼和他的同学组成了 “爱琢磨” 学习小组， 有一次，他们碰到这样一道题： “已知正方形 ABCD，点 E、 F、G、H 分别在边 AB、BC、CD、DA 上，若 EGFH，则 EG FH ”为了解决这个问题，经过思考， 大家给出了以下两个方案： 方案一：过点 A作AMHF 交 BC于点 M，过点 B作 BNEG交 CD于点 N； 方案二：过点 A作AMHF 交 BC于点 M，过点 A作 ANEG交 CD于点 N （ 1）对小曼遇到的问题，请在甲、乙两个方案中任选一个加以证明（如图（1）（2）如果把条件中的“正方形”改为“长方形” ，并设 AB2，BC 3（如图（ 2），是探究 EG、FH 之 间有怎样的数量关系，并证明你的结论（3）如果把条件中的“ EGFH ”改为“ EG 与 FH 的夹角为 45°”，并假设正方形 ABCD 的边长为 1， FH 的长为（如图（ 3），试求 EG 的长度4. 已知：如图，正方形 ABCD的边长为 a，BM，DN 分别平分正方形的两个外角，且满足MAN=45°，连接 MC， NC，MN （1）填空：与 ABM 相似的三角形是 ，BM?DN=；（用含 a 的代数式表示）（2）求 MCN 的度数；（3）猜想线段 BM，DN 和 MN 之间的等量关系并证明你的结论 .中考数学几何模型 5 ：角含半角模型 TH名师点睛 拨开云雾 开门见山 角含半角模型，顾名思义即一个角包含着它的一半大小的角。它主要包含：等腰直角三角形角含半角 模型；正方形中角含半角模型两种类型。解决类似问题的常见办法主要有两种：旋转目标三角形法和翻折 目标三角形法。类型一：等腰直角三角形角含半角模型1）如图，在 ABC 中，AB=AC ，BAC=90°，点D，E在BC上，且DAE=45°，则：BD2+CE2=DE2.图示（ 1）作法 1：将 ABD 旋转 90作法 2：分别翻折 ABD, ACE（ 2）如图， 在 ABC 中，AB=AC ，BAC=90 °，点 D 在 BC 上，点 E 在 BC 延长线上， 且 DAE=45 则： BD 2+CE 2=DE 2.3）如图，将等腰直角三角形变成任意等腰三角形时，亦可以进行两种方法的操作处理任意等腰三角形类型二：正方形中角含半角模型1）如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F分别在边 BC，CD 上， EAF=45 °，连接 EF，过点 A 作 AG于 EF 于点 G，则： EF=BE+DF ， AG=AD.图示（ 1）作法：将 ABE 绕点 A 逆时针旋转 90°2）如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F分别在边 CB，DC 的延长线上， EAF=45，连接 EF，则：EF=DF -BE.图示（ 2）作法：将 ABE 绕点 A 逆时针旋转 90°3）如图，将正方形变成一组邻边相等，对角互补的四边形，在四方形ABCD 中， AB=AD ， BAD+ C=180 °，点 E，F分别在边 BC， CD上， EAF= 1 BAD ，连接 EF，则： EF=BE+DF.2图示（ 3）作法：将 ABE 绕点 A 逆时针旋转 BAD 的大小启迪思维 探究重点典题探究例题 1. 如图，正方形 ABCD的边长为 4，点 E， F分别在 AB，AD上，若 CE5，且ECF45°，则 CF的长为 4【解答】解：如图，延长 FD 到 G，使 DGBE；连接 CG、EF ；四边形 ABCD 为正方形，在 BCE 与 DCG 中， BCE DCG（SAS），CG CE， DCG BCE， GCF 45在GCF 与 ECF中，CE5，CB4， BE 3， AE 1， GCF ECF （ SAS）， GF EF ，设 AF x，2 1+x2，x ，即 AF ，DF 4 ，则 DF 4x，GF 1+（ 4x） 5x， EF（ 5 x）4，故答案为：4 CF变式练习 >>>1如图四边形 ABCD 中， ADBC， BCD 90°BAE45°若 CD 4，则 ABE 的面积为（， AB BC+AD ， DAC 45 ），E为 CD上一点，且BD解答】解法一：作 AFCB 交 CB 的延长线于 F，在 CF 的延长线上取一点 G，使得 FG DEADBC， BCD+ ADC 180°， ADC BCD AFC 90°，四边形 ADCF 是矩形， CAD 45°，ADCD，四边形 ADCF 是正方形， AF AD， AFG ADF 90°， AFG ADE ， AG AE， FAG DAE， FAG+ FAB EAD +FAB 45° BAE， BAE BAG ，BE BGBF+GFBF+DE，设 BCa，则 AB 4+a， BF 4 a，在 RtABF 中， 42+（4a）2（ 4+a）2，解得 a1， BC 1，BF 3，设 BE b，则 DEb3，CE4在 RtBCE 中， 12+（7 b）2 b2，解得 b ，b3）7 bBGBE S ABE S ABG×4例题 2. 在正方形 ABCD 中，连接 BD （1）如图 1， AE BD于 E直接写出 BAE 的度数（2）如图 1，在（ 1）的条件下，将 AEB 以 A 旋转中心，沿逆时针方向旋转 30°后得到 ABE， AB与 BD 交于 M， AE的延长线与 BD 交于 N 依题意补全图 1； 用等式表示线段 BM、 DN 和 MN 之间的数量关系，并证明（ 3）如图 2，E、F 是边 BC、CD 上的点， CEF 周长是正方形 ABCD 周长的一半， AE、AF 分别与 BD 交于 M、N，写出判断线段 BM、DN 、MN 之间数量关系的思路 （不必写出完整推理过程）【解答】 解：（1） BD 是正方形 ABCD 的对角线， ABD ADB 45°，AE BD， ABE BAE 45°，（2） 依题意补全图形，如图 1 所示， BM 、DN 和 MN 之间的数量关系是 BM2+MD 2MN2， 将 AND 绕点 D 顺时针旋转 90°，得到 AFB ， ADB FBA，BAFDAN ，DNBF，AFAN， 在正方形 ABCD 中， AE BD ， ADB ABD 45°， FBM FBA + ABD ADB + ABD 90°，在 RtBFM 中，根据勾股定理得， FB 2+ BM 2FM 2，旋转 ANE 得到 AB1E1， E1AB1 45°， BAB1+DAN90° 45° 45 BAFDAN ， BAB1+BAF 45°， FAM 45°， FAM E1AB1，AMAM， AFAN， AFM ANM ，FM MN，FB2+BM2 FM2，DN2+BM2MN2， 变式练习 >>>2. （1）【探索发现】如图 1，正方形 ABCD 中，点 M、N 分别是边 BC、CD 上的点， MAN 45°，若将 DAN 绕点 A 顺时 针旋转 90°到 BAG位置，可得 MANMAG，若MCN的周长为 6，则正方形 ABCD 的边长为 3 （2）【类比延伸】如图（ 2），四边形 ABCD 中，ABAD，BAD120°，B+D180°，点 M、N 分别在边 BC、CD上的点， MAN60°，请判断线段 BM，DN ，MN 之间的数量关系，并说明理由（3）【拓展应用】如图 3，四边形 ABCD 中， AB AD 10， ADC 120°，点 M， N分别在边 BC，CD 上，连接 AM，MN， ABM是等边三角形， AMAD，DN5（1），请直接写出 MN 的长解答】解： （1）如图 1中， MAN MAG， MNGM，DNBG，GM BG+BM，MNBM+DN， CMN 的周长为： MN+CM+CN6，BM+CM+CN+DN 6， BC+CD 6，BC CD3，故答案为 3（2）如图 2 中，结论： MN NM +DN 延长 CB 至 E，使 BEDN ，连接 AE， ABC+D180°， ABC+ ABE 180°， D ABE， ABE ADN ， AN AE， DAN BAE， BAD 2 MAN ， DAN+BAM MAN， MAN EAM，在 MAN 和 MAE 中， MAN MAE，MNEM BE+BMBM+DN，即 MN BM+ DN ；3）解：如图 3，把 ABM 绕点 A 逆时针旋转 150至 ADG，连接 AN作 NH AD 于 H，在 AH 上取一点 K，使得 NKH 30°在 RtDHN 中， NDH 60°DN5（ 1）， DH DN，HN DH ，在 RtKNH 中，KN2HN155 ，HK HN，AKAHHK 155 ，AK KN， KAN KNA ， NKH KAN + KNA， NAK 15°， MAN 75° BAD，由（ 2）得， MNBM+DN10+5（ 1） 5+5 例题 3. 如图，在四边形 ABCD 中，AB=BC ，A= C=90°， B=135 °， K ，N 分别是 AB ，BC 上的点，若BKN 的周长为 AB 的 2倍，求 KDN 的度数 .变式练习 >>>3. 如图，正方形被两条与边平行的线段 EF，GH 分割成四个小矩形， P是 EF与 GH的交点，若矩形 PFCH 的面积恰是矩形 AGPE 面积的 2 倍，试确定 HAF 的大小并证明你的结论 .例题 4. 如图，在四边形 ABCD 中，ABAD，BCCD，ABCADC90°， MAN BAD（1）如图 1，将 MAN 绕着 A点旋转，它的两边分别交边 BC、CD于 M、N，试判断这一过程中线段 BM 、DN 和 MN 之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不用证明；（2）如图 2，将 MAN 绕着 A点旋转，它的两边分别交边 BC、CD 的延长线于 M、N，试判断这一过 程中线段 BM、DN和 MN 之间有怎样的数量关系？并证明你的结论；（3）如图 3，将 MAN 绕着 A点旋转，它的两边分别交边 BC、CD 的反向延长线于 M、 N，试判断这一过程中线段 BM、 DN 和 MN 之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不用证明 ABG ABC ADC 90°， ABAD， ABG ADN AGAN，BGDN， 1 4BAD GAM MAN又 AM AM ， AMG AMNMGMNMGBM+BGMNBM+DN（2）MN BMDN证明：在 BM 上截取 BG，使 BGDN ，连接 AG ABC ADC 90°， AD AB， ADN ABG， AN AG， NAD GAB， MAN NAD+BAM DAB， MAG BAD， MAN MAG， MAN MAG，MNMG，MNBMDN（3）MN DNBM达标检测领悟提升 强化落实1. 请阅读下列材料：问题：正方形 ABCD 中， M，N分别是直线 CB、DC上的动点， MAN45°，当 MAN 交边 CB、DC 于点 M、N（如图 ）时，线段 BM 、DN 和 MN 之间有怎样的数量关系？小聪同学的思路是： 延长 CB至 E使 BE DN，并连接 AE，构造全等三角形经过推理使问题得到解决 请 你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）直接写出上面问题中，线段 BM，DN和 MN之间的数量关系；DN 4cm，请利用（ 1）中的结论，试求MN 的长（2）当 MAN 分别交边 CB，DC的延长线于点 M/N时（如图 ），线段 BM，DN 和 MN之间的又有怎 样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明；（2）DNBMMN理由如下：如图，在 DC 上截取 DF BM ，连接 AF AB AD， ABM ADF 90°， ABM ADF （SAS） AM AF ， MAB FAD MAB+BAF FAD+BAF90°， 即 MAF BAD 90°又 MAN 45°， NAF MAN 45°的数量关系，并证明AN AN， MAN FANMNFN，即 MNDNDF DNBM；（3）正方形的边长为 16，DN 4，CN12根据（ 1）可知， BM+DN MN，设 MNx，则 BM x4， CM 16（ x 4） 20 x在 Rt CMN 中，MN2CM2+CN2，x2（ 20x）2+122解得 x 13.6 MN 13.6cm2. （1）如图 1，在四边形 ABCD 中，ABAD，BD90°，E、F 分别是边 BC、CD上的点，且EAF BAD 试探究图中线段 BE、 EF、 FD 之间的数量关系（1）小王同学探究此问题的方法是：延长EB 到点 G，使 BGDF，连结 AG，先证明 ABG ADF ，再证明 AEG AEF，可得出结论，他的结论应是EFBE+FD （2）如图 2，在四边形 ABCD 中，ABAD，B+D180°，E、F分别是边 BC、CD 上的点，且EAF BAD ，上述结论是否仍然成立，并说明理由（3）如图 3，在四边形 ABCD 中，ABAD，B+ADC180°，E、F分别是边 BC、CD 延长线上的BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间【解答】解： （ 1）由 ABG ADF ， AEG AEF可知， BGDF，EFEGBG+EFDF+EF， 故答案为 EF BE+FD.（ 2）（1）中的结论 EF BE+FD 仍然成立 理由：延长 EB 到点 G，使 BGDF ，连结 AG ABD+D180°， ABD+ABG180°， ABG D， AB AD，BGDF， ABG ADF ， BAG DAF，AG AF， EAF BAD， BAE+DAF BADBAE+BAG， EAG EAF ， AE AE，AGAF， EAG EAF ， EGEF，EGBG+BEDF+BE， EF BE+ DF 3. 小曼和他的同学组成了 “爱琢磨” 学习小组， 有一次，他们碰到这样一道题： “已知正方形 ABCD，点 E、 F、G、H 分别在边 AB、BC、CD、DA 上，若 EGFH，则 EG FH ”为了解决这个问题，经过思考， 大家给出了以下两个方案： 方案一：过点 A作AMHF 交 BC于点 M，过点 B作 BNEG交 CD于点 N； 方案二：过点 A作AMHF 交 BC于点 M，过点 A作 ANEG交 CD于点 N （ 1）对小曼遇到的问题，请在甲、乙两个方案中任选一个加以证明（如图（1）（2）如果把条件中的“正方形”改为“长方形” ，并设 AB2，BC 3（如图（ 2），是探究 EG、FH 之 间有怎样的数量关系，并证明你的结论（3）如果把条件中的“ EGFH ”改为“ EG 与 FH 的夹角为 45°”，并假设正方形 ABCD 的边长为 1， FH 的长为（如图（ 3），试求 EG 的长度【解答】解： （ 1）证明：过点 A作AMHF 交BC于点 M，作 ANEG交CD的延长线于点 N， AMHF，ANBC，在正方形 ABCD 中， ABAD， ABM BAD ADN 90° EGFH， NAM 90°， BAM DAN，在ABM 和ADN 中， BAM DAN，ABAD， ABM ADN ABM ADN AM AN，即 EG FH （2）结论： EG：FH 3：2 证明：过点 A作AMHF 交BC于点 M，作 ANEC交CD的延长线于点 N， AMHF，ANEC，在长方形 ABCD 中， BC AD ， ABM BAD ADN 90°，EGFH， NAM 90°， BAM DAN ABM ADN，AB 2，BCAD 3，（3）解：过点 A作 AMHF 交 BC于点 M，过点 A作 ANEG交CD 于点 N， 在 Rt ABM 中，BM 将 AND 绕点 A 顺时针旋转 90°到 APB EG 与 FH 的夹角为 45°， MAN 45°， DAN+MAB45°，即 PAM MAN 45 从而 APM ANM ，设 DN x，则 NC1x，MNPM在 Rt CMN 中，PMNM2）求 MCN 的度数；4. 已知：如图，正方形 ABCD的边长为 a，BM，DN 分别平分正方形的两个外角，且满足MAN=45°，连接 MC， NC，MN （1）填空：与 ABM 相似的三角形是 ，BM?DN=；（用含 a 的代数式表示）3）猜想线段 BM，DN 和 MN 之间的等量关系并证明你的结论