必修4第二章《平面向量的应用举例》.doc

学科教师辅导讲义讲义编号_ 学员编号： 年 级： 课时数：3学员姓名： 辅导科目： 数学 学科教师：何群 课 题 平面向量的应用举例授课日期及时段教学目的1知识与技能：运用向量的有关知识（向量加减法与向量数量积的运算法则等）解决平面几何和解析几何中直线或线段的平行、垂直、相等、夹角和距离等问题2过程与方法：通过应用举例，让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-向量法和坐标法3情感、态度与价值观：通过本节的学习，让学生体验向量在解决几何问题中的工具作用，增强学生的积极主动的探究意识，培养创新精神。 教学内容一、课前检测1，则与的夹角是 （B）A. B. C. D. 2设是任意的非零向量，且相互不共线，则（1）=0；（2）不与垂直；（3）；（4）中，是真命题的有 （C）A. （1）（2） B. （2）（3） C.（3）（4） D. （2）（4）3已知与的夹角是，则等于 ( C ) A. B. C. D. 4已知向量，|1，对任意tR，恒有|t|，则（ C ）A B () C () D ()()5.已知、均为单位向量，它们的夹角为60°，那么 =（ C ）. A BC D46.已知平面上三点A、B、C满足 则的值等于 -25 . 7设为内一点，则是的_垂_心。8已知如果与的夹角是钝角，则的取值范围是_或且_。二、知识梳理（一）、平面向量在代数中的应用例1已知，其中。 （1）求证：与互相垂直； （2）若与（）的长度相等，求。 解析：（1）因为 所以与互相垂直。 （2）， ， 所以， ， 因为， 所以， 有， 因为，故， 又因为，所以。点评：平面向量与三角函数在“角”之间存在着密切的联系。如果在平面向量与三角函数的交汇处设计考题，其形式多样，解法灵活，极富思维性和挑战性。若根据所给的三角式的结构及向量间的相互关系进行处理。可使解题过程得到简化，从而提高解题的速度。（二）、力的合成问题例2、两个大小相等的共点力 ，当它们间夹角为 时，合力的大小为20N，则当它们的夹角为 时，合力的大小为（ ）A、40N B、 C、 D、 分析：力的合成关键是依平行四边形法则，求出力的大小，然后再结合平行四边形法则求出新的合力.解析：对于两个大小相等的共点力 ，当它们间夹角为 时，合力的大小为20N时，这二个力的大小都是 N，对于它们的夹角为 时，由三角形法则，可知力的合成构成一个等边三角形，因此合力的大小为 N. 正确答案为B.点评：力的合成可用平行四边形法则，也可用三角形法则，各有优点，但实质是相通的，关键是要灵活掌握；对于第一个平行四边形法则的应用易造成的错解是 ，这样就会错选答案D.类题练习1：已知作用在 点的三个力 则合力 的终点坐标是（ ）A、 B、 C、 D、 解析：对于力的合成问题用坐标法，实际是相量的加法问题，因此 的终点坐标是 ,因此选A.（三）、功的求解问题例3、一个物体受到同一平面内的三个力 的作用，沿北偏东 的方向移动 ，其中， ，方向为北偏东 ， ，方向为东偏北 ， ，方向为西偏北 ，则合力所作的功是 分析：这是一个物理中的功的求解问题，对于功的求解一般是用向量的点积，但点积的运算有向量法和坐标法两种，对于易建立坐标系的情况还是用坐标法求解为好.解析：对于题意建立平面直角坐标如图所示，根据图示求出各处力的向量坐标可得： 因此合力 ，而 ，这样其所做的功为 ，即合力所做的功为 .点评：对于功的求解要注意力用坐标，位移也可用坐标表示，然后用坐标法求向量的点积，然后求出合力所做的功.类题练2：已知一物体在共点力 的作用下产生位移 ，则共点力对物体所做的功为（ ）A、4 B、3 C、7 D、2解析：对于合力 ，其所做的功为 .因此选C.（四）、速度合成问题例4、人骑自行车的速度为 ，风速为 ，则逆风行驶的速度大小为（ ）A、 B、 C、 D、 分析：对于速度的合成问题，关键是运用向量的合成进行处理，本题的方向相反，大小就相减.解析：对于逆风行驶其速度大小为 ，因此宜选C.点评：速度的合成主要是要根据向量的三角形法则或平行四边形法则进行求解，因此对于逆风或顺风问题速度的大小可通过相减或相加可得.类题练3、某人以时速为 向东行走，此时正刮着时速为 的南风，则此人感到的风向及风速为（ ）A、东北， B、东南， C、西南， D、东南， 解析：如图所示，对于速度的合成由三角形法则可得其西面风的大小为 ,因此可选C.（五）、船的航行问题例5、一艘船从A点出发以 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水流速为 ，求船实际航行的速度的大小与方向.分析：这是一个船行问题，处理的方法和原则是三角形法则或平行四边形法则，当然要注意船的实际航速和航向，船在静水中的航速和航向.解析：如图所示，由向量的三角形法则知，对于 2 ， ，得 ，方向为逆水流与水流成 夹角.点评：对于船的航行问题关键是要注意运用向量的合成法则进行，当然要特别注意“船的实际航速和航向”和“船在静水中的航速和航向.三、重难点突破题型1：平面向量在代数中的应用例1已知。 分析：，可以看作向量的模的平方，而则是、的数量积，从而运用数量积的性质证出该不等式。 证明：设 则。点评：在向量这部分内容的学习过程中，我们接触了不少含不等式结构的式子，如等。例2、已知ABC的外接圆半径为1，角A，B，C的对边分别为a，b，c.向量m(a,4cosB)，n(cosA，b)满足mn.(1)求sinAsinB的取值范围；(2)若实数x满足abxab，试确定x的取值范围解：(1)因为mn，所以，即ab4cosAcosB.因为ABC的外接圆半径为1，由正弦定理，得ab4sinAsinB.于是cosAcosBsinAsinB0，即cos(AB)0.因为0AB.所以AB.故ABC为直角三角形sinAsinBsinAcosAsin(A)，因为A，所以sin(A)1，故1sinAsinB.(2)x.设tsinAcosA(1t)，则2sinAcosAt21，x，因为x0，故x在(1，上是单调递减函数所以.所以实数x的取值范围是，)例3已知向量m(cos，cos)，n(cos，sin)，且x0，令函数f(x)2a m·nb.(1)当a1时，求f(x)的递增区间；(2)当a<0时，f(x)的值域是3,4，求a、b.解：f(x)2a m·nb2a(cos2sinx)b2a(cosxsinx)ba(sinxcosx)abasin(x)ab.(1)当a1时，f(x)sin(x)1b.令2kx2k，得2kx2k(kZ)，又x0，f(x)的递增区间为0，(2)当a<0时，x0，x，sin(x)，1当sin(x)时，f(x)aabb，f(x)的最大值为b.当sin(x)1时，f(x)aab(1)ab.f(x)的最小值为(1)ab.解得a1，b4.题型2：平面向量在几何图形中的应用例4用向量法证明：直径所对的圆周角是直角。已知：如图，AB是O的直径，点P是O上任一点（不与A、B重合），求证：APB90°。证明：联结OP，设向量，则且，即APB90°。点评：平面向量是一个解决数学问题的很好工具，它具有良好的运算和清晰的几何意义。在数学的各个分支和相关学科中有着广泛的应用。例2设向量a，b满足：|a|3，|b|4，a·b0，以a，b，ab的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为 ()A3 B4 C5 D6解析：当圆与三角形两边都相交时，有4个交点，本题新构造的三角形是直角三角形，其内切圆半径恰好为1.故它与半径为1的圆最多有4个交点答案：B例5、已知| |1，|，·0，点C在AOB内，且AOC30°，设mn (m，nR)，则等于 ()A.B3 C. D.解析：| |1，| |，·0，OAOB，且OBC30°，又AOC30°，.(mn)·()0，m2n20，3nm0，即m3n，3.答案：B题型3：平面向量在物理中的应用例6如图所示，正六边形PABCDE的边长为b，有五个力、作用于同一点P，求五个力的合力解析：所求五个力的合力为，如图3所示，以PA、PE为边作平行四边形PAOE，则，由正六边形的性质可知，且O点在PC上，以PB、PD为边作平行四边形PBFD，则，由正六边形的性质可知，且F点在PC的延长线上。由正六边形的性质还可求得故由向量的加法可知所求五个力的合力的大小为，方向与的方向相同。四、课堂作业1、已知向量a、b不共线，cabR),dab,如果cd，那么 ( ) A且c与d同向 B且c与d反向 C且c与d同向 D且c与d反向答案 D解析 本题主要考查向量的共线（平行）、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算的考查. 取a，b，若，则cab，dab， 显然，a与b不平行，排除A、B. 若，则cab，dab，即cd且c与d反向，排除C，故选D.2、已知O为坐标原点, 集合,且 463、设P是ABC所在平面内的一点，则（）A. B. C. D.答案 B解析 :因为，所以点P为线段AC的中点，所以应该选B。【命题立意】:本题考查了向量的加法运算和平行四边形法则，可以借助图形解答.4、已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的( )A.重心 外心 垂心 B.重心 外心 内心 C.外心 重心 垂心 D.外心 重心 内心答案 C（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）解析5. 若向量a=，b=，且a，b的夹角为钝角，则x的取值范围是 . 6.已知向量，若向量满足，则 （ ）A B C D 答案 D解析 不妨设，则，对于，则有；又，则有，则有【命题意图】此题主要考查了平面向量的坐标运算，通过平面向量的平行和垂直关系的考查，很好地体现了平面向量的坐标运算在解决具体问题中的应用7. 对于个向量，若存在个不全为零的实数使得成立，则称向量是线性相关的.按此规定，能使向量是线性相关的实数的值依次为 .（只需写出一组值即可）根据线性相关的定义得，令则，的一组值为4，2，18. 设向量与的夹角为，则.解：设向量与的夹角为且，则=.9. 设定义域为x1，x2的函数yf（x）的图象为C，图象的两个端点分别为A、B，点O为坐标原点，点M是C上任意一点，向量（x1，y1），（x2，y2），（x，y），满足xx1（1）x2（01），又有向量（1），现定义“函数yf（x）在x1，x2上可在标准k下线性近似”是指|k恒成立，其中k0，k为常数。根据上面的表述，给出下列结论：A、B、N三点共线；直线MN的方向向量可以为（0，1）；“函数y5x2在0，1上可在标准下线性近似”“函数y5x2在0，1上可在标准1下线性近似”； 其中所有正确结论的序号为_、10. P为ABC所在平面上的点，且满足=+，则ABP与ABC的面积之比是_12 五、课堂小结本节主要研究了用向量知识解决平面几何问题；掌握向量法和坐标法，以及用向量解决平面几何问题的步骤六、课后作业1.已知a(1，sin2x)，b(2，sin2x)，其中x(0，).若|a·b|a|·|b|，则tanx的值等于()A.1B.1 C. D.解析：由|a·b|a|·|b|知，ab.所以sin2x2sin2x，即2sinxcosx2sin2x，而x(0，)，所以sinxcosx，即x，故tanx1.答案：A2.在ABC中，M是BC的中点，AM1，点P在AM上且满足2，则·()等于 ()A. B. C. D.解析：·()2×2×cos.答案：A3.设a、b、c是单位向量，且a·b0，则(ac)·(bc)的最小值为 ()A.2 B.2 C.1 D.1解析：(ac)·(bc)a·bc·(ab)c20|c|·|ab|·cosc，(ab)10|c|ab|11111.答案：D4.一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态.已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为 ()A.6 B.2 C.2 D.2解析：因为力F是一个向量，由向量加法的平行四边形法则知F3的大小等于以F1、F2为邻边的平行四边形的对角线的长，故|F3|2|F1|2|F2|22|F1|·|F2|·cos60°416828，|F3|2.答案：D5.已知向量a(cos，sin)，向量b(，1)，则|2ab|的最大、小值分别是 ()A.4，0 B.4,2 C.16,0 D.4,0解析：由于|2ab|24|a|2|b|24a·b84(cossin)88cos()，易知088cos()16，故|2ab|的最大值和最小值分别为4和0.答案：D6.在ABC中，()·| |2，则三角形ABC的形状一定是 () A.等边三角形 B.等腰三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形解析：由 ，A=90°.答案：C7.已知向量a(2，1)，b(x，2)，c(3，y)，若ab，(ab)(bc)，M(x，y)，N(y，x)，则向量的模为.解析：ab，x4，b(4，2)，ab(6，3)，bc(1，2y).(ab)(bc)，(ab)·(bc)0，即63(2y)0，y4，故向量(8,8)，| |8.答案：88.若平面上三点A、B、C满足| |3，| |4，| |5，则·· ·的值等于.解析：由+=0可得=0，9+16+25+2答案：259.关于平面向量a，b，c，有下列三个命题：若a·ba·c，则bc.若a(1，k)，b(2,6)，ab，则k3.非零向量a和b满足|a|b|ab|，则a与ab的夹角为60°.其中真命题的序号为(写出所有真命题的序号).解析：命题明显错误.由两向量平行的充要条件得1×62k0，k3，故命题正确.由|a|b|ab|，再结合平行四边形法则可得a与ab的夹角为30°，命题错误.答案：10.已知向量a (1,2)，b(2，2).(1)设c4ab，求(b·c)a；(2)若ab与a垂直，求的值；(3)求向量a在b方向上的投影.解：(1)a(1,2)，b(2，2)，c4ab(4,8)(2，2)(6,6).b·c2×62×60，(b·c)a0a0.(2)ab(1,2)(2，2)(21,22)，由于ab与a垂直，212(22)0，.(3)设向量a与b的夹角为，向量a在b方向上的投影为|a|cos.|a|cos.11.在ABC中，设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m(cosA，sinA)，向量n(sinA，cosA)，若|mn|2.(1)求角A的大小；(2)若b4，且ca，求ABC的面积.解：(1)|mn|2(cosAsinA)2(sinAcosA)242(cosAsinA)44cos(A)，44cos(A)4，cos(A)0，A(0，)，A，A.(2)由余弦定理知：a2b2c22bccosA，即a2(4)2(a)22×4×acos，解得a4，c8，SABCbcsinA×4×8×16.12.(2010·临沂模拟)已知向量m(sin，1)，n(cos，cos2).(1)若m·n1，求cos(x)的值；(2)记f(x)m·n，在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2ac)cosBbcosC，求函数f(A)的取值范围.解：(1)m·n1，即sincoscos21，即sincos1，sin().cos(x)cos(x)cos(x)2·()21.(2)(2ac)cosBbcosC，由正弦定理得(2sinAsinC)cosBsinBcosC.2sinAcosBcosBsinCsinBcosC，2sinAcosBsin(BC)，ABC，sin(BC)sinA，且sinA0，cosB，B，0A.，sin()1.又f(x)m·nsin()，f(A)sin().故函数f(A)的取值范围是(1，).